吉林省蛟河市第一中學2024屆高三下第三次考試數(shù)學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為坐標原點，角的終邊經(jīng)過點且，則()A． B． C． D．2．已知正方體的棱長為2，點為棱的中點，則平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面面積為（）A． B． C． D．3．設全集U=R，集合，則（）A． B． C． D．4．如圖所示，三國時代數(shù)學家在《周脾算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設直角三角形有一個內(nèi)角為，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲200顆米粒（大小忽略不計，取），則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（）A．20 B．27 C．54 D．645．三棱錐中，側(cè)棱底面，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．6．已知三棱柱()A． B． C． D．7．已知集合A，則集合（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的定義域為，且，當時，.若，則函數(shù)在上的最大值為（）A．4 B．6 C．3 D．89．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，則滿足M∪X＝N的集合X的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．410．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù).若從這10個數(shù)中任取3個數(shù)，則這3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為（）A． B． C． D．11．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．12．是虛數(shù)單位，復數(shù)在復平面上對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．“學習強國”學習平臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員、面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺，現(xiàn)已日益成為老百姓了解國家動態(tài)，緊跟時代脈搏的熱門app.該款軟件主要設有“閱讀文章”和“視聽學習”兩個學習板塊和“每日答題”、“每周答題”、“專項答題”、“挑戰(zhàn)答題”四個答題板塊.某人在學習過程中，將六大板塊依次各完成一次，則“閱讀文章”與“視聽學習”兩大學習板塊之間最多間隔一個答題板塊的學習方法有________種.14．（5分）已知橢圓方程為，過其下焦點作斜率存在的直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，則面積的取值范圍是____________．15．我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》對立體幾何有深入的研究，從其中一些數(shù)學用語可見，譬如“憋臑”意指四個面都是直角三角形的三棱錐.某“憋臑”的三視圖（圖中網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1）如圖所示，已知幾何體高為，則該幾何體外接球的表面積為__________．16．已知三棱錐的四個頂點都在球O的球面上，，，，，E，F(xiàn)分別為，的中點，，則球O的體積為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，函數(shù)有最小值7.（1）求的值；（2）設，，求證：.18．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓C的標準方程；（2）點P是橢圓上異于短軸端點A，B的任意一點，過點P作軸于Q，線段PQ的中點為M.直線AM與直線交于點N，D為線段BN的中點，設O為坐標原點，試判斷以OD為直徑的圓與點M的位置關(guān)系.19．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.若問題中的正整數(shù)存在，求的值；若不存在，說明理由.設正數(shù)等比數(shù)列的前項和為，是等差數(shù)列，__________，，，，是否存在正整數(shù)，使得成立？20．（12分）已知橢圓的左右焦點分別是，點在橢圓上，滿足（1）求橢圓的標準方程；（2）直線過點，且與橢圓只有一個公共點，直線與的傾斜角互補，且與橢圓交于異于點的兩點，與直線交于點（介于兩點之間），是否存在直線，使得直線，，的斜率按某種排序能構(gòu)成等比數(shù)列？若能，求出的方程，若不能，請說理由.21．（12分）在直角坐標系中，已知點，若以線段為直徑的圓與軸相切.（1）求點的軌跡的方程；（2）若上存在兩動點（A，B在軸異側(cè)）滿足，且的周長為，求的值.22．（10分）已知不等式的解集為.（1）求實數(shù)的值；（2）已知存在實數(shù)使得恒成立，求實數(shù)的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)題意，，解得，所以，所以，所以.故選：C.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)定義的應用和二倍角的正弦公式，考查計算能力.2、A【解題分析】

根據(jù)球的特點可知截面是一個圓，根據(jù)等體積法計算出球心到平面的距離，由此求解出截面圓的半徑，從而截面面積可求.【題目詳解】如圖所示：設內(nèi)切球球心為，到平面的距離為，截面圓的半徑為，因為內(nèi)切球的半徑等于正方體棱長的一半，所以球的半徑為，又因為，所以，又因為，所以，所以，所以截面圓的半徑，所以截面圓的面積為.故選：A.【題目點撥】本題考查正方體的內(nèi)切球的特點以及球的截面面積的計算，難度一般.任何一個平面去截球，得到的截面一定是圓面，截面圓的半徑可通過球的半徑以及球心到截面的距離去計算.3、A【解題分析】

求出集合M和集合N,，利用集合交集補集的定義進行計算即可．【題目詳解】，，則，故選：A．【題目點撥】本題考查集合的交集和補集的運算，考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】

設大正方體的邊長為，從而求得小正方體的邊長為，設落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，利用概率模擬列方程即可求解。【題目詳解】設大正方體的邊長為，則小正方體的邊長為，設落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，則，解得：故選：B【題目點撥】本題主要考查了概率模擬的應用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。5、B【解題分析】由題，側(cè)棱底面，，，，則根據(jù)余弦定理可得，的外接圓圓心三棱錐的外接球的球心到面的距離則外接球的半徑，則該三棱錐的外接球的表面積為點睛：本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體，熟練掌握球的半徑公式是解答的關(guān)鍵．6、C【解題分析】因為直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC為過底面ABC的截面圓的直徑．取BC中點D，則OD⊥底面ABC，則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi)，矩形BCC1B1的對角線長即為球直徑，所以2R＝＝13，即R＝7、A【解題分析】

化簡集合,，按交集定義，即可求解.【題目詳解】集合，，則.故選:A.【題目點撥】本題考查集合間的運算，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關(guān)系及指數(shù)冪運算，可得；利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性，由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【題目詳解】函數(shù)的定義域為，且，則；任取，且，則，故，令，，則，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，令，，故，故函數(shù)在上的最大值為4.故選：A.【題目點撥】本題考查了指數(shù)冪的運算及化簡，利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性，賦值法在抽象函數(shù)求值中的應用，屬于中檔題.9、D【解題分析】可以是共4個，選D.10、C【解題分析】

先根據(jù)組合數(shù)計算出所有的情況數(shù)，再根據(jù)“3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列”列舉得到滿足條件的情況，由此可求解出對應的概率.【題目詳解】所有的情況數(shù)有：種，3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有：，共種，所以目標事件的概率.故選：C.【題目點撥】本題考查概率與等差數(shù)列的綜合，涉及到背景文化知識，難度一般.求解該類問題可通過古典概型的概率求解方法進行分析；當情況數(shù)較多時，可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計算.11、A【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，排除錯誤選項，從而得出正確選項.【題目詳解】因為，所以是偶函數(shù)，排除C和D.當時，，，令，得，即在上遞減；令，得，即在上遞增.所以在處取得極小值，排除B.故選：A【題目點撥】本小題主要考查函數(shù)圖像的識別，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，屬于中檔題.12、D【解題分析】

求出復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標，即可得出結(jié)論.【題目詳解】復數(shù)在復平面上對應的點的坐標為，該點位于第四象限.故選：D.【題目點撥】本題考查復數(shù)對應的點的位置的判斷，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先分間隔一個與不間隔分類計數(shù)，再根據(jù)捆綁法求排列數(shù),最后求和得結(jié)果.【題目詳解】若“閱讀文章”與“視聽學習”兩大學習板塊相鄰，則學習方法有種;若“閱讀文章”與“視聽學習”兩大學習板塊之間間隔一個答題板塊的學習方法有種;因此共有種.故答案為：【題目點撥】本題考查排列組合實際問題，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

由題意，，則，得．由題意可設的方程為，，聯(lián)立方程組，消去得，恒成立，，，則，點到直線的距離為，則，又，則，當且僅當即時取等號．故面積的取值范圍是.15、【解題分析】三視圖還原如下圖：，由于每個面是直角，顯然外接球球心O在AC的中點.所以，，填?！绢}目點撥】三視圖還原，當出現(xiàn)三個尖點在一個位置時，我們常用“揪尖法”。外接球球心到各個頂點的距離相等，而直角三角形斜邊上的中點到各頂點的距離相等，所以本題的球心為AC中點。16、【解題分析】

可證，則為的外心，又則平面即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后根據(jù)體積公式計算可得.【題目詳解】解：，，，因為為的中點，所以為的外心，因為，所以點在內(nèi)的投影為的外心，所以平面，平面，所以，所以，又球心在上，設，則，所以，所以球O體積，.故答案為：【題目點撥】本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）.（2）見解析【解題分析】

（1）由絕對值三解不等式可得，所以當時，，即可求出參數(shù)的值；（2）由，可得，再利用基本不等式求出的最小值，即可得證；【題目詳解】解：（1）∵，∴當時，，解得.（2）∵，∴，∴，當且僅當，即，時，等號成立.∴.【題目點撥】本題主要考查絕對值三角不等式及基本不等式的簡單應用，屬于中檔題．18、（1）（2）點在以為直徑的圓上【解題分析】

（1）根據(jù)題意列出關(guān)于，，的方程組，解出，，的值，即可得到橢圓的標準方程；（2）設點，，則，，求出直線的方程，進而求出點的坐標，再利用中點坐標公式得到點的坐標，下面結(jié)合點在橢圓上證出，所以點在以為直徑的圓上．【題目詳解】（1）由題意可知，，解得，橢圓的標準方程為：.（2）設點，，則，，直線的斜率為，直線的方程為：，令得，，點的坐標為，，點的坐標為，，，，又點，在橢圓上，，，，點在以為直徑的圓上．【題目點撥】本題主要考查了橢圓方程，考查了中點坐標公式，以及平面向量的基本知識，屬于中檔題．19、見解析【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)及、，可求得等差數(shù)列的通項公式，由即可求得的值；根據(jù)等式，變形可得，分別討論?、佗冖壑械囊粋€，結(jié)合等比數(shù)列通項公式代入化簡，檢驗是否存在正整數(shù)的值即可.【題目詳解】∵在等差數(shù)列中，，∴，∴公差，∴，∴，若存在正整數(shù)，使得成立，即成立，設正數(shù)等比數(shù)列的公比為的公比為，若選①，∵，∴，∴，∴，∴當時，滿足成立.若選②，∵，∴，∴，∴，∴方程無正整數(shù)解，∴不存在正整數(shù)使得成立.若選③，∵，∴，∴，∴，∴解得或（舍去），∴，∴當時，滿足成立.【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列通項公式的求法，等比數(shù)列通項公式及前n項和公式的應用，遞推公式的簡單應用，補充條件后求參數(shù)的值，屬于中檔題.20、（1）；（2）不能，理由見解析【解題分析】

（1）設，則，由此即可求出橢圓方程；（2）設直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程可求得，則直線斜率為，設其方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理可得關(guān)于對稱，可求得，假設存在直線滿足題意，設，可得，由此可得答案．【題目詳解】解：（1）設，則，，所以橢圓方程為；（2）設直線的方程為，與聯(lián)立得，∴，因為兩直線的傾斜角互補，所以直線斜率為，設直線的方程為，聯(lián)立整理得，，所以關(guān)于對稱，由正弦定理得，因為,所以，由上得，假設存在直線滿足題意，設，按某種排列成等比數(shù)列，設公比為，則，所以，則此時直線與平行或重合，與題意不符，所以不存在滿足題意的直線．【題目點撥】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計算能力與推理能力，屬于難題．21、（1）；（2）【解題分析】

（1）設，則由題設條件可得，化簡后可得軌跡的方程.（2）設直線，聯(lián)立直線方程和拋物線方程后利用韋達定理化簡并求得，結(jié)合焦半徑公式及弦長公式可求的值及的長.【題目詳解】（1）設，則圓心的坐標為，因為以線段為直徑的圓與軸相切，所以，化簡得的方程為.(2)由題意，設直線，聯(lián)立得，設（其中）所以，，且，因為，所以，，所以，故或（舍），直線，因為的周長為所以.即，因為.又，所以，解得，所以.【題目點撥】本題考查曲線方程以及拋物線中的弦長計算，還涉及到向量的數(shù)量積.一般地，拋物線中的弦長問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元