PAGEPAGE2第頁共6頁相似三角形經(jīng)典習題教師版例1從下面這些三角形中，選出相似的三角形．例2已知：如圖，ABCD中，，求與的周長的比，如果，求．例3如圖，已知∽，求證：∽．例4下列命題中哪些是正確的，哪些是錯誤的？（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等邊三角形都相似．例5如圖，D點是的邊AC上的一點，過D點畫線段DE，使點E在的邊上，并且點D、點E和的一個頂點組成的小三角形與相似．盡可能多地畫出滿足條件的圖形，并說明線段DE的畫法．例6如圖，一人拿著一支刻有厘米分畫的小尺，站在距電線桿約30米的地方，把手臂向前伸直，小尺豎直，看到尺上約12個分畫恰好遮住電線桿，已知手臂長約60厘米，求電線桿的高．例7如圖，小明為了測量一高樓MN的高，在離N點20m的A處放了一個平面鏡，小明沿NA后退到C點，正好從鏡中看到樓頂M點，若m，小明的眼睛離地面的高度為1.6m，請你幫助小明計算一下樓房的高度（精確到0.1m）．例8格點圖中的兩個三角形是否是相似三角形，說明理由．例9根據(jù)下列各組條件，判定和是否相似，并說明理由：（1）．（2）．（3）．例10如圖，下列每個圖形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它們用字母表示出來，并簡要說明識別的根據(jù)．例11已知：如圖，在中，是角平分線，試利用三角形相似的關(guān)系說明．例12已知的三邊長分別為5、12、13，與其相似的的最大邊長為26，求的面積S．例13在一次數(shù)學活動課上，老師讓同學們到操場上測量旗桿的高度，然后回來交流各自的測量方法．小芳的測量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在離旗桿27米的C處（如圖），然后沿BC方向走到D處，這時目測旗桿頂部A與竹竿頂部E恰好在同一直線上，又測得C、D兩點的距離為3米，小芳的目高為1.5米，這樣便可知道旗桿的高．你認為這種測量方法是否可行？請說明理由．例14．如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標作為點A，再在河的這一邊選點B和C，使，然后再選點E，使，確定BC與AE的交點為D，測得米，米，米，你能求出兩岸之間AB的大致距離嗎？例15．如圖，為了求出海島上的山峰AB的高度，在D和F處樹立標桿DC和FE，標桿的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面內(nèi)，從標桿DC退后123步的G處，可看到山峰A和標桿頂端C在一直線上，從標桿FE退后127步的H處，可看到山峰A和標桿頂端E在一直線上．求山峰的高度AB及它和標桿CD的水平距離BD各是多少？（古代問題）例16如圖，已知△ABC的邊AB＝，AC＝2，BC邊上的高AD＝．（1）求BC的長；（2）如果有一個正方形的邊在AB上，另外兩個頂點分別在AC，BC上，求這個正方形的面積．相似三角形經(jīng)典習題答案解①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似解是平行四邊形，∴，∴∽，又，∴，∴與的周長的比是1：3．又，∴．例3分析由于∽，則，因此，如果再進一步證明，則問題得證．證明∵∽，∴．又，∴，∴．∵∽，∴．在和中，∵，∴∽例4．分析（1）不正確，因為在直角三角形中，兩個銳角的大小不確定，因此直角三角形的形狀不同．（2）也不正確，等腰三角形的頂角大小不確定，因此等腰三角形的形狀也不同．（3）正確．設(shè)有等腰直角三角形ABC和，其中，則，設(shè)的三邊為a、b、c，的邊為，則，∴，∴∽．（4）也正確，如與都是等邊三角形，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊都成比例，因此∽．答：（1）、（2）不正確．（3）、（4）正確．例5．解：畫法略．例6．分析本題所敘述的內(nèi)容可以畫出如下圖那樣的幾何圖形，即厘米米，厘米米，米，求BC．由于∽，又∽，∴，從而可以求出BC的長．解，∴，∴∽．∴．又，∴，∴∽，∴，∴．又厘米米，厘米米，米，∴米．即電線桿的高為6米．例7．分析根據(jù)物理學定律：光線的入射角等于反射角，這樣，與的相似關(guān)系就明確了．解因為，所以∽．所以，即．所以（m）．說明這是一個實際應(yīng)用問題，方法看似簡單，其實很巧妙，省卻了使用儀器測量的麻煩．例8．分析這兩個圖如果不是畫在格點中，那是無法判斷的．實際上格點無形中給圖形增添了條件——長度和角度．解在格點中，所以，又．所以．所以∽．說明遇到格點的題目一定要充分發(fā)現(xiàn)其中的各種條件，勿使遺漏．例9．解（1）因為，所以∽；（2）因為，兩個三角形中只有，另外兩個角都不相等，所以與不相似；（3）因為，所以相似于．例10．解（1）∽兩角相等；（2）∽兩角相等；（3）∽兩角相等；（4）∽兩邊成比例夾角相等；（5）∽兩邊成比例夾角相等；（6）∽兩邊成比例夾角相等．例11．分析有一個角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分線，∴，則可推出∽，進而由相似三角形對應(yīng)邊成比例推出線段之間的比例關(guān)系．證明，∴．又平分，∴．∴，且∽，∴，∴，∴．說明（1）有兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似，這是判斷兩個三角形相似最常用的方法，并且根據(jù)相等的角的位置，可以確定哪些邊是對應(yīng)邊．（2）要說明線段的乘積式，或平方式，一般都是證明比例式，，或，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)推出乘積式或平方式．例12分析由的三邊長可以判斷出為直角三角形，又因為∽，所以也是直角三角形，那么由的最大邊長為26，可以求出相似比，從而求出的兩條直角邊長，再求得的面積．解設(shè)的三邊依次為，，則，∴．又∵∽，∴．，又，∴．∴．例13．分析判斷方法是否可行，應(yīng)考慮利用這種方法加之我們現(xiàn)有的知識能否求出旗桿的高．按這種測量方法，過F作于G，交CE于H，可知∽，且GF、HF、EH可求，這樣可求得AG，故旗桿AB可求．解這種測量方法可行．理由如下：設(shè)旗桿高．過F作于G，交CE于H（如圖）．所以∽．因為，所以．由∽，得，即，所以，解得（米）所以旗桿的高為21.5米．說明在具體測量時，方法要現(xiàn)實、切實可行．例14.解：，∴∽，（米），答：兩岸間AB大致相距100米．例15.答案：米，步，（注意：．）例16.分析：要求BC的長，需畫圖來解，因AB、AC都大于高AD，那么有兩種情況存在，即點D在BC上或點D在BC的延長線上，所以求BC的長時要分兩種情況討論．求正方形的面積，關(guān)鍵是求正方形的邊長．解：（1）如上圖，由AD⊥BC，由勾股定理得BD＝3，DC＝1，所以BC＝BD＋DC＝3＋1＝4．（2）如下圖，由題目中的圖知BC＝4，且，，∴．所以△ABC是直角三角形．由AEGF是正方形，設(shè)GF＝x，則FC＝2－x，∵GF∥AB，∴，即．∴，∴．如下圖，當BC＝2，AC＝2，△ABC是等腰三角形，作CP⊥AB于P，∴AP＝，在Rt△APC中，由勾股定理得CP＝1，∵GH∥AB，∴△CGH∽△CBA，∵，∴因此，正方形的面積為或．相似三角形一，比例線段成比例線段對于四條線段a，b，c，d，如果其中兩條線段的長度的比等于另外兩條線段的比，如=（或a：b=c：d），那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。此時有稱這四條線段成比例。2．比例的性質(zhì)（1）如果=，那么ad=bc（2）如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么=（3）如果=，那么=ac（4）如果=ac，那么=（5）合比性質(zhì)：如果=，那么=（6）等比性質(zhì)：如果==...=（b+d+...+n≠0），那么=二，相似三角形相似三角形定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形注意：（1）所謂相似三角形是指兩個三角形形狀一樣，大小不一定一樣。（2）相似三角形定義本身揭示了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。（3）全等三角形是相似比為1的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形。2．相似三角形的判定方法（1）定義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形相似。（2）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。（3）如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。簡單地說：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。（4）如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。簡單地說：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，則兩三角形相似。（5）如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似。簡單地說：三邊對應(yīng)成比例，則兩三角形相似。（6）直角三角形相似的判定定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。一、選擇題1、下列多邊形一定相似的為（）A、兩個矩形B、兩個菱形C、兩個正方形D、兩個平行四邊形2、下列說法不正確的是（）兩對應(yīng)角相等的三角形是相似三角形；ABABCDEFC、三邊對應(yīng)成比例的三角形是相似三角形；D、以上有兩個說法是正確。3、如圖，DE∥BC，EF∥AB，則圖中相似三角形有（）A、2對B、3對C、4對D、5對4、已知3x=4y，則=（）A、B、C、D、以上都不對5、下列各組中得四條線段成比列得是（）A、4cm、2cm、1cm、3cmB、1cm、2cm、3cm、4cmC、25cm、35cm、45cm、55cmD、1cm、2cm、20cm、40cm6、若x是3和6的比例中項，則x的值為（）A、B、C、D、7、若P是線段AB的黃金分割點（PA＞PB），設(shè)AB=1，則PA的長約為（）A、0.191B、0.382C、0.5D、0.6188、如果，則下列正確得是（）A、B、C、D、ABCP9、如圖，若P為△ABC的邊AB上一點（AB>AC），則下列條件不一定能保證△ABCPA、∠ACP=∠BB、∠APC=∠ACBC、D、10、已知D、E為△ABC的邊AB、AC上的兩點，且AB=8，AC=6，AD=4，AE=3，則∶=（）A、1∶2B、1∶4C、1∶3D、2∶511、下列3個圖形中是位似圖形的有（）A、0個B、1個C、2個D、3個12?、已知，如圖（上右）△ABC是銳角三角形，正方形DEFG的一邊在BC上，其余兩個定點分別在AB、AC上，記△ABC的面積為，正方形DEFG的面積為，則有（）A、B、C、D二、填空題13、在比例尺為1：8000000的“中國政區(qū)”地圖上，量得甲市與乙市之間的距離是6.5cm，則這兩市之間的實際距離為km；14、小明的身高是1.6m，他的影長為2m，同一時刻教學樓的影長為24m，則教學樓的高是；15、已知AD為Rt△ABC斜邊BC上的高，且AB=15cm，BD=9cm，則AD=，CD=。16、如圖四，在平行四邊形ABCD中，AB=4cm,AD=7cm,∠ABC的平分線交AD于點E，交CD的延長線于點F，則DF=_________cm17、若△ABC∽△ABC，且，△ABC的周長為12cm，則△ABC的周長為；ABCDF圖5GE18、已知：x∶y∶z=2∶3∶ABCDF圖5GE19、?如圖5,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,則=20、以坐標原點O為位似中心，作的位似圖形，并把的邊長放大5倍.如果四邊形ABCD的坐標A（2，3），B（4，0），C（6，0），D（5，5）那么它們的對應(yīng)點的坐標是。（只要一種）三、解答題21、請作出五邊形ABCDE以點O為位似中心的位似圖形，使得像和原圖形的位似比是1：2。22、已知AB∥CD，AD、BC交于點O。（1）、試說明△AOB∽△DOC。（2）、若AO＝2，DO＝3，CD＝5，求AB的長。ABCED23、如圖，已知，試說明∠ABCED24、如圖，已知AD、BE是△ABC的兩條高，試說明AD·BC=BE·ACAABCEDABCDE25、已知，如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=3，求S△ADEABCDE26、有一塊三角形的土地，它的底邊BC＝100米，高AH＝80米。某單位要沿著地邊BC修一座底面是矩形DEFG的大樓，D、G分別在邊AB、AC上。若大樓的寬是40米（即DE＝40米），求這個矩形的面積。27、已知:如圖,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求證:ΔABC∽ΔEAD.相似三角形經(jīng)典習題教師版例1從下面這些三角形中，選出相似的三角形．例2已知：如圖，ABCD中，，求與的周長的比，如果，求．例3如圖，已知∽，求證：∽．例4下列命題中哪些是正確的，哪些是錯誤的？（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等邊三角形都相似．例5如圖，D點是的邊AC上的一點，過D點畫線段DE，使點E在的邊上，并且點D、點E和的一個頂點組成的小三角形與相似．盡可能多地畫出滿足條件的圖形，并說明線段DE的畫法．例6如圖，一人拿著一支刻有厘米分畫的小尺，站在距電線桿約30米的地方，把手臂向前伸直，小尺豎直，看到尺上約12個分畫恰好遮住電線桿，已知手臂長約60厘米，求電線桿的高．例7如圖，小明為了測量一高樓MN的高，在離N點20m的A處放了一個平面鏡，小明沿NA后退到C點，正好從鏡中看到樓頂M點，若m，小明的眼睛離地面的高度為1.6m，請你幫助小明計算一下樓房的高度（精確到0.1m）．例8格點圖中的兩個三角形是否是相似三角形，說明理由．例9根據(jù)下列各組條件，判定和是否相似，并說明理由：（1）．（2）．（3）．例10如圖，下列每個圖形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它們用字母表示出來，并簡要說明識別的根據(jù)．例11已知：如圖，在中，是角平分線，試利用三角形相似的關(guān)系說明．例12已知的三邊長分別為5、12、13，與其相似的的最大邊長為26，求的面積S．例13在一次數(shù)學活動課上，老師讓同學們到操場上測量旗桿的高度，然后回來交流各自的測量方法．小芳的測量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在離旗桿27米的C處（如圖），然后沿BC方向走到D處，這時目測旗桿頂部A與竹竿頂部E恰好在同一直線上，又測得C、D兩點的距離為3米，小芳的目高為1.5米，這樣便可知道旗桿的高．你認為這種測量方法是否可行？請說明理由．例14．如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標作為點A，再在河的這一邊選點B和C，使，然后再選點E，使，確定BC與AE的交點為D，測得米，米，米，你能求出兩岸之間AB的大致距離嗎？例15．如圖，為了求出海島上的山峰AB的高度，在D和F處樹立標桿DC和FE，標桿的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面內(nèi)，從標桿DC退后123步的G處，可看到山峰A和標桿頂端C在一直線上，從標桿FE退后127步的H處，可看到山峰A和標桿頂端E在一直線上．求山峰的高度AB及它和標桿CD的水平距離BD各是多少？（古代問題）例16如圖，已知△ABC的邊AB＝，AC＝2，BC邊上的高AD＝．（1）求BC的長；（2）如果有一個正方形的邊在AB上，另外兩個頂點分別在AC，BC上，求這個正方形的面積．相似三角形經(jīng)典習題答案解①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似解是平行四邊形，∴，∴∽，又，∴，∴與的周長的比是1：3．又，∴．例3分析由于∽，則，因此，如果再進一步證明，則問題得證．證明∵∽，∴．又，∴，∴．∵∽，∴．在和中，∵，∴∽例4．分析（1）不正確，因為在直角三角形中，兩個銳角的大小不確定，因此直角三角形的形狀不同．（2）也不正確，等腰三角形的頂角大小不確定，因此等腰三角形的形狀也不同．（3）正確．設(shè)有等腰直角三角形ABC和，其中，則，設(shè)的三邊為a、b、c，的邊為，則，∴，∴∽．（4）也正確，如與都是等邊三角形，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊都成比例，因此∽．答：（1）、（2）不正確．（3）、（4）正確．例5．解：畫法略．例6．分析本題所敘述的內(nèi)容可以畫出如下圖那樣的幾何圖形，即厘米米，厘米米，米，求BC．由于∽，又∽，∴，從而可以求出BC的長．解，∴，∴∽．∴．又，∴，∴∽，∴，∴．又厘米米，厘米米，米，∴米．即電線桿的高為6米．例7．分析根據(jù)物理學定律：光線的入射角等于反射角，這樣，與的相似關(guān)系就明確了．解因為，所以∽．所以，即．所以（m）．說明這是一個實際應(yīng)用問題，方法看似簡單，其實很巧妙，省卻了使用儀器測量的麻煩．例8．分析這兩個圖如果不是畫在格點中，那是無法判斷的．實際上格點無形中給圖形增添了條件——長度和角度．解在格點中，所以，又．所以．所以∽．說明遇到格點的題目一定要充分發(fā)現(xiàn)其中的各種條件，勿使遺漏．例9．解（1）因為，所以∽；（2）因為，兩個三角形中只有，另外兩個角都不相等，所以與不相似；（3）因為，所以相似于．例10．解（1）∽兩角相等；（2）∽兩角相等；（3）∽兩角相等；（4）∽兩邊成比例夾角相等；（5）∽兩邊成比例夾角相等；（6）∽兩邊成比例夾角相等．例11．分析有一個角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而