第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

復(fù)習(xí)目標(biāo)及教學(xué)建議

根底訓(xùn)練知識(shí)要點(diǎn)雙基固化能力提升規(guī)律總結(jié)

復(fù)習(xí)目標(biāo)

會(huì)運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)和函數(shù)的觀點(diǎn)解決實(shí)際應(yīng)用題，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和分析問題，解決問題的能力.

教學(xué)建議

函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用十分廣泛，常見題型有閱讀理解信息題，圖表類分析題，簡(jiǎn)單函數(shù)的應(yīng)用問題等.教學(xué)時(shí)要求訓(xùn)練學(xué)生縝密審題，確切理解題意的閱讀理解能力和運(yùn)用函數(shù)知識(shí)和函數(shù)觀點(diǎn)進(jìn)行數(shù)學(xué)推理的能力.近年來高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題重點(diǎn)考查學(xué)生在新情境下理解和運(yùn)用新模型的能力因此教學(xué)時(shí)要多訓(xùn)練一些由特殊的實(shí)際背景聯(lián)想初等函數(shù)模型求解問題.復(fù)習(xí)目標(biāo)及教學(xué)建議1．2005年10月27日全國(guó)人大通過了關(guān)于修改個(gè)人所得稅的決定，工薪所得稅標(biāo)準(zhǔn)從800元提高到1600元，也就是說原來月收入超過800元局部就要納稅，2006年1月1日開始超過了1600元才需要納稅，假設(shè)稅法修改前后超過局部的稅率相同，如下表:2023高考復(fù)習(xí)方案根底訓(xùn)練第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2023高考復(fù)習(xí)方案某人2005年9月交納個(gè)人所得稅123元，那么按照新稅法只要交稅43元.【解析】按原稅法計(jì)算時(shí)，∵500×5%=25＜123，∴收入大于800+500=1300，又〔2000-500〕×10%+500×5%＞123∴收入小于800+500+1500=2800.設(shè)收入為x，1300＜x＜2800.第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【解析】那么500×5%+〔x-1300〕10%=123，∴x=2280.按現(xiàn)稅法計(jì)算時(shí)2280-1600=680，∴應(yīng)納稅500×5%+180×10%=43〔元〕.2023高考復(fù)習(xí)方案【小結(jié)】讀懂題意，運(yùn)用分段函數(shù)模型求解.第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2023高考復(fù)習(xí)方案2．一般地，家庭用電量〔千瓦時(shí)〕與氣溫〔℃〕有一定的關(guān)系，圖2-5-1〔a〕表示某年12個(gè)月中每月的平均氣溫，圖2-1-1〔b〕表示某家庭在這年12個(gè)月中每月的用電量，根據(jù)這些信息，以下關(guān)于該家庭用電量與氣溫間關(guān)系的表達(dá)中，正確的選項(xiàng)是〔〕A．氣溫最高時(shí)，用電量最多B．氣溫最低時(shí)，用電量最少C．(當(dāng)氣溫大于某一值時(shí)，用電量隨氣溫增高而增加)D．(當(dāng)氣溫小于某一值時(shí)，用電量隨氣溫降低而增加)C第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2023高考復(fù)習(xí)方案【解析】該題考查對(duì)圖表的識(shí)別和理解能力，經(jīng)比較可發(fā)現(xiàn)，2月份用電量最多，而2月份氣溫明顯不是最高也不是最低的.因此A、D項(xiàng)錯(cuò)誤，同理可判斷出B項(xiàng)錯(cuò)誤，而5、6、7三個(gè)月的氣溫和用電量間關(guān)系可得C項(xiàng)正確.第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2023高考復(fù)習(xí)方案3．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(rùn)〔單位：萬元〕分別為L(zhǎng)12和L2=2x，其中x為銷售量〔單位：輛〕.假設(shè)該公司在這兩地共銷售15輛車，那么能獲得的最大利潤(rùn)為〔〕A．45.606B．45.6C．45.56D．45.51【解析】設(shè)甲地銷售x輛，那么乙地銷售15-x輛，總利潤(rùn)L=5.06x-0.15x2+2〔15-x〕=-0.15x2+3.06x+30，其對(duì)稱軸為x=10.2，當(dāng)x=10時(shí)，取最大值，且Lmax=15+30.6+30=45.6，應(yīng)選BB第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2023高考復(fù)習(xí)方案【小結(jié)】讀懂題意，建立函數(shù)模型，此題是一次函數(shù)、二次函數(shù)模型的應(yīng)用.4．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)開始沿折線BCDA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為S，那么函數(shù)S=f(x)的圖象是〔〕D第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【解析】求出分段函數(shù)f(x)，然后加以判斷是一種最根本的方法，特殊值法更顯簡(jiǎn)捷，取x=2，那么S=4，而x=4時(shí)，S=8，從圖象上點(diǎn)的位置關(guān)系，可知正確的圖象是D.2023高考復(fù)習(xí)方案第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用利用函數(shù)模型解決的實(shí)際問題稱為函數(shù)的應(yīng)用問題.分析和解答函數(shù)應(yīng)用問題的根本思路：2023高考復(fù)習(xí)方案

知識(shí)要點(diǎn)1．分析和解答函數(shù)應(yīng)用問題的根本思路第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2023高考復(fù)習(xí)方案2．解答函數(shù)應(yīng)用題的根本步驟〔1〕審題審題是解題的根底，它包括閱讀理解、翻譯、挖掘等，通過閱讀，真正理解用普通文字語言表述的實(shí)際問題的類型、思想內(nèi)涵、問題的實(shí)質(zhì)，初步預(yù)測(cè)所屬數(shù)學(xué)模型.同時(shí)，在閱讀過程中，注意挖掘一些隱含條件.〔2〕確定函數(shù)模型在細(xì)心閱讀與深入理解題意的根底上，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，將試題中的非數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，然后根據(jù)題意，第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2023高考復(fù)習(xí)方案列出數(shù)量關(guān)系——確定函數(shù)模型〔如一次、二次函數(shù)模型，指、對(duì)數(shù)函數(shù)模型等〕.同時(shí)要注意函數(shù)的定義域應(yīng)符合實(shí)際問題的要求.這樣便將實(shí)際問題化成了純數(shù)學(xué)問題.〔3〕解模運(yùn)用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行推理、運(yùn)算，使問題得到解決〔4〕復(fù)原評(píng)價(jià)應(yīng)用問題不是單純的數(shù)學(xué)問題.既要符合數(shù)學(xué)學(xué)科，又要符合實(shí)際背景，因此，對(duì)于解出的結(jié)果要代入原問題中進(jìn)行檢驗(yàn)、評(píng)判，最后得出結(jié)論，作出答復(fù).第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例12003年10月15日，我國(guó)的“長(zhǎng)征〞二號(hào)F型火箭成功發(fā)射了“神舟〞五號(hào)載人飛船，這標(biāo)志著中國(guó)航天又邁出了具有歷史意義的一步.設(shè)火箭的起飛重量M是箭體〔包括搭載的飛行器〕的重量m和燃料重量x之和，在不考慮空氣阻力的條件下，假設(shè)火箭的最大速度y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=k［ln(m+x)-ln〔m〕］+4ln2〔其中k≠0〕，2023高考復(fù)習(xí)方案雙基固化1．運(yùn)用模型求解第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用當(dāng)燃料重量為〔-1〕m噸〔e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…〕時(shí)，該火箭的最大速度為4km/s.〔1〕求“長(zhǎng)征〞二號(hào)系列火箭的最大速度y〔km/s〕與燃料重量x噸之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)；〔2〕“長(zhǎng)征〞二號(hào)F型火箭的起飛重量是479.8噸，那么應(yīng)裝載多少噸燃料〔精確到0.1噸〕才能使該火箭的最大飛行速度到達(dá)8km/s，順利地把飛船發(fā)送到預(yù)定的橢圓軌道？2023高考復(fù)習(xí)方案第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2023高考復(fù)習(xí)方案【解析】〔1〕依題意把x=〔-1〕m，y=4代入函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=k［ln(m+x)-ln〔m〕］+4ln2，解得k=8所以所求的函數(shù)關(guān)系式為y=8［ln〔m+x〕-ln〔m］+4ln2，整理得y=ln〔〕8.〔2〕設(shè)應(yīng)裝載x噸燃料方能滿足題意，此時(shí)m=479.8-x，y=8代入函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=ln〔〕8得ln=1，解得x=303.3〔噸〕.第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2023高考復(fù)習(xí)方案【小結(jié)】此題文字較多，對(duì)閱讀理解能力要求較高，首先，要認(rèn)真讀題，排除一些不必要的干擾因素，抓住問題中的本質(zhì)關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.此題中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)不難，主要是待定系數(shù)法求值，解方程等.第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例2在對(duì)口脫貧活動(dòng)中，為了盡快脫貧〔無債務(wù)〕致富，企業(yè)甲將經(jīng)營(yíng)狀態(tài)良好的某種消費(fèi)品專賣店以5.8萬元的優(yōu)惠價(jià)格轉(zhuǎn)給了尚有5萬元無息貸款沒有歸還的小型殘疾人企業(yè)乙，并約定從該店經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月的最低生活開支3600元后，逐步歸還轉(zhuǎn)讓費(fèi)〔不計(jì)息〕.在甲提供的資料中有：①這種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)每件14元；②該店月銷售量Q〔百件〕與銷售價(jià)P〔元〕的關(guān)系如圖2153；③每月需要各種開支2000元.2023高考復(fù)習(xí)方案2．建模求解第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用〔1〕試問為使該店至少能維持職工生活，商品價(jià)格應(yīng)控制在何種范圍內(nèi)？〔2〕當(dāng)商品價(jià)格每件多少元時(shí)，月利潤(rùn)扣除職工最低生活費(fèi)的余額最大？并求最大余額.〔3〕企業(yè)乙只依靠該店，最早可望圖2-15-3在幾年后脫貧？2023高考復(fù)習(xí)方案【分析】〔1〕每月的利潤(rùn)應(yīng)該銷售總額扣除進(jìn)貨本錢，各種開支及職工每月最低生活費(fèi)開支，建立利潤(rùn)余額L的函數(shù)表達(dá)式；第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2023高考復(fù)習(xí)方案〔2〕圖中的圖象是由線段組成的折線，因此銷售量Q與銷售價(jià)格P之間的函數(shù)關(guān)系式可以利用分段函數(shù)來表達(dá)；〔3〕將銷售量Q的表達(dá)式代入利潤(rùn)余額L的函數(shù)表達(dá)式中就可得到以銷售價(jià)格P為自變量，利潤(rùn)L為函數(shù)的分段函數(shù)，再建立有關(guān)不等式，通過解這些不等式就可使各問題得解.【解析】設(shè)該店月利潤(rùn)額為L(zhǎng)，那么由假設(shè)，得L=Q〔P-14〕×100-3600-2000.①由銷售圖，得第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2023高考復(fù)習(xí)方案〔1〕當(dāng)14≤P≤20時(shí)，由L≥0，得18≤P≤20.由20＜P≤26時(shí)，由L≥0，得20＜P≤22.故商品銷售價(jià)應(yīng)控制在18≤P≤22元內(nèi).第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2023高考復(fù)習(xí)方案〔2〕當(dāng)18≤P≤20時(shí)，L最大=450〔元〕，此時(shí)P=19.5〔元〕，當(dāng)20＜P≤22時(shí)，L最大=416〔元〕，此時(shí)P=20〔元〕，故當(dāng)P=19.5元時(shí)，月利潤(rùn)余額最大為450元.〔3〕設(shè)可在n年內(nèi)脫貧，依題意，有12n×450-50000-58000≥0，解得n≥20.即最早可望在20年后脫貧.第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2023高考復(fù)習(xí)方案【小結(jié)】解答此題的關(guān)鍵是要仔細(xì)審題，理解題意，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，求解時(shí)，注意利用導(dǎo)數(shù)求解，方便簡(jiǎn)捷，此外還要注意問題的實(shí)際意義.第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2023高考復(fù)習(xí)方案能力提升

例3[2006年·湖南卷]對(duì)1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗,清洗前其清潔度(）為0.8,要求清洗完后的清潔度為0.99.有兩種方案可供選擇,方案甲：一次清洗；方案乙：分兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質(zhì)量變?yōu)閍（1≤a≤3）.設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是3．函數(shù)不等式、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2023高考復(fù)習(xí)方案〔x＞a-1〕,用y單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是,其中c〔0.8＜c＜0.99〕是該物體初次清洗后的清潔度.〔1〕分別求出方案甲以及c=0.95時(shí)方案乙的用水量,并比較哪一種方案用水量較少;〔2〕假設(shè)采用方案乙,當(dāng)a為某定值時(shí),如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最小?并討論a取不同數(shù)值時(shí)對(duì)最少總用水量有什么的影響.第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2023高考復(fù)習(xí)方案【解析】〔1〕設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z，由題設(shè)有=099，解得x=19.由c=0.95得方案乙初次用水量為3，第二次用水量y滿足方程=0.99，解得y=4a，故z=4a+3.即兩種方案的用水量分別為19與4a+3.因?yàn)楫?dāng)1≤a≤3時(shí)，x-z=4〔4-a〕＞0，即x＞z，故方案乙的用水量較少.〔2〕設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為x與y，類似〔1〕得第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2023高考復(fù)習(xí)方案第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2023高考復(fù)習(xí)方案第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2023高考復(fù)習(xí)方案可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷〕.這說明，隨著a的值的增加，最少總用水量增加.第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1．解函數(shù)應(yīng)用問題，一般地可按以下四步進(jìn)行：第一步，閱讀理解，認(rèn)真審題.就是讀懂題中的文字表達(dá)，理解所反映的實(shí)際背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，尤其是理解表達(dá)中的新名詞、新概念，進(jìn)而把握住新信息.在此根底上，分析出什么，求什么，涉及哪些知識(shí)，確定自變量與函數(shù)值的意義，嘗試問題的函數(shù)化，審題時(shí)要抓住題目中的關(guān)鍵的量，要勇于嘗試、探索，敏于發(fā)現(xiàn)、歸納，善于聯(lián)想、化歸，實(shí)現(xiàn)應(yīng)用問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化.2023高考復(fù)習(xí)方案規(guī)律總結(jié)第14講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用第二步：引