2024屆湖南省長沙市雅禮書院中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖，在四邊形ABCD中，，，，，.則（）A． B． C．4 D．32．已知2弧度的圓心角所對(duì)的弧長為2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弦長是（）A． B． C． D．3．已知，取值如下表：014561.3m3m5.67.4畫散點(diǎn)圖分析可知：與線性相關(guān)，且求得回歸方程為，則m的值(精確到0.1)為()A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.84．已知函數(shù)，且的圖象向左平移個(gè)單位后所得的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為（）A． B． C． D．5．關(guān)于的不等式的解集為（）A． B． C． D．6．已知，則的值為（）A． B． C． D．27．過曲線的左焦點(diǎn)且和雙曲線實(shí)軸垂直的直線與雙曲線交于點(diǎn)A,B,若在雙曲線的虛軸所在的直線上存在—點(diǎn)C,使得,則雙曲線離心率e的最小值為（）A． B． C． D．8．在空間直角坐標(biāo)系中，軸上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是()A． B． C． D．9．已知數(shù)列滿足，為其前項(xiàng)和，則不等式的的最大值為（）A．7 B．8 C．9 D．1010．盒中裝有除顏色以外，形狀大小完全相同的3個(gè)紅球、2個(gè)白球、1個(gè)黑球，從中任取2個(gè)球，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球 B．至少有一個(gè)白球；紅、黑球各一個(gè)C．恰有一個(gè)白球：一個(gè)白球一個(gè)黑球 D．至少有一個(gè)白球；都是白球二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成一行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為________.12．在中，角所對(duì)的邊分別為.若,，則角的大小為____________________.13．已知數(shù)列是等差數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則________.14．已知向量，，若向量與垂直，則__________．15．已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)為，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為______16．若，，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在城市舊城改造中，某小區(qū)為了升級(jí)居住環(huán)境，擬在小區(qū)的閑置地中規(guī)劃一個(gè)面積為的矩形區(qū)域（如圖所示），按規(guī)劃要求：在矩形內(nèi)的四周安排寬的綠化，綠化造價(jià)為200元/，中間區(qū)域地面硬化以方便后期放置各類健身器材，硬化造價(jià)為100元/.設(shè)矩形的長為.（1）設(shè)總造價(jià)（元）表示為長度的函數(shù)；（2）當(dāng)取何值時(shí)，總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià).18．某校從高一年級(jí)的一次月考成績中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績（滿分100分，且抽取的學(xué)生成績都在內(nèi)），按成績分為，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）用分層抽樣的方法從月考成績?cè)趦?nèi)的學(xué)生中抽取6人，求分別抽取月考成績?cè)诤蛢?nèi)的學(xué)生多少人；（2）在（1）的前提下，從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，求月考成績?cè)趦?nèi)至少有1名學(xué)生被抽到的概率.19．已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè)．若從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率是．（1）求n的值；（2）從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a，第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為b．①記“”為事件A，求事件A的概率；②在區(qū)間內(nèi)任取2個(gè)實(shí)數(shù)，求事件“恒成立”的概率．20．從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選兩名代表，求：（１）甲被選中的概率；（２）丁沒被選中的概率.21．已知數(shù)列滿足：，（1）求，的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

在中，由正弦定理得到的長，在中，先得到的值，再利用余弦定理，求出的長.【題目詳解】在中，由正弦定理，得，因?yàn)?，，所以，在中，由余弦定理得所?故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，屬于簡單題.2、D【解題分析】

由弧長公式求出圓半徑，再在直角三角形中求解．【題目詳解】，如圖，設(shè)是中點(diǎn)，則，，，∴．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查扇形弧長公式，在求弦長時(shí)，常在直角三角形中求解．3、C【解題分析】

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求得樣本中心為，代入回歸直線方程，即可求解.【題目詳解】由題意，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得，，即樣本中心為，代入回歸直線方程，即，解得，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了回歸直線方程的應(yīng)用，其中解答中熟記回歸直線方程的基本特征是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

由函數(shù)圖像的平移變換得的圖象向左平移個(gè)單位，得到，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算即可得解.【題目詳解】解：，將的圖象向左平移個(gè)單位，得到，因?yàn)槠揭坪髨D象關(guān)于對(duì)稱，所以，可得，，，，因?yàn)?，所以的最小值為，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)圖像的平移變換及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】

將不等式化為，等價(jià)于，解出即可．【題目詳解】由原式得且，解集為，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查分式不等式的解法，解分式不等式時(shí)，要求右邊化為零，等價(jià)轉(zhuǎn)化如下：；；；.6、B【解題分析】

根據(jù)兩角和的正切公式，結(jié)合，可以求出的值，用同角的三角函數(shù)的關(guān)系式中的平方和關(guān)系把等式變成分子、分母的齊次式形式，最后代入求值即可.【題目詳解】..故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，考查了二倍角的正弦公式，考查了兩角和的正切公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.7、C【解題分析】

設(shè)雙曲線的方程為：，（a＞0，b＞0），依題意知當(dāng)點(diǎn)C在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，∠ACB最大，∠AOF1≥45°，利用tan∠AOF1，即可求得雙曲線離心率e的取值范圍．求出最小值．【題目詳解】設(shè)雙曲線的方程為：，（a＞0，b＞0），∵雙曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，且直線AB⊥x軸，設(shè)左焦點(diǎn)F1（﹣c，0），則A（﹣c，），B（﹣c，），∵△ABC為直角三角形，依題意知，當(dāng)點(diǎn)C在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，∠ACB最大，∴∠AOF1≥45°，∴tan∠AOF11，整理得：（）21≥0，即e2﹣e﹣1≥0，解得：e．即雙曲線離心率e的最小值為：．故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，分析得到當(dāng)點(diǎn)C在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，∠ACB最大是關(guān)鍵，得到∠AOF1≥45°是突破口，屬于中檔題．8、A【解題分析】

由空間兩點(diǎn)的距離公式，代入求解即可.【題目詳解】解：由已知可設(shè)，由空間兩點(diǎn)的距離公式可得，解得，即，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間兩點(diǎn)的距離公式，屬基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】

由題意，整理得出是一個(gè)首項(xiàng)為12，公比為的等比數(shù)列，從而求出，再求出其前項(xiàng)和，然后再求出的表達(dá)式，再代入數(shù)驗(yàn)證出的最大值即可．【題目詳解】由可得，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，又，所以，故，解得，（），所以的最大值為8.選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的遞推式以及數(shù)列求和的方法分組求和，屬于數(shù)列中的綜合題，考查了轉(zhuǎn)化的思想，構(gòu)造的意識(shí)，本題難度較大，思維能力要求高．10、B【解題分析】

根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的定義，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.【題目詳解】從6個(gè)小球中任取2個(gè)小球，共有15個(gè)基本事件，因?yàn)榇嬖谑录喝〕龅膬蓚€(gè)球?yàn)?個(gè)白球和1個(gè)紅球，故至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球，這兩個(gè)事件不互斥，故A錯(cuò)誤；因?yàn)榇嬖谑录喝〕龅膬蓚€(gè)球?yàn)?個(gè)白球和1個(gè)黑球，故恰有一個(gè)白球：一個(gè)白球一個(gè)黑球，這兩個(gè)事件不互斥，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榇嬖谑录喝〕龅膬蓚€(gè)球都是白球，故至少有一個(gè)白球；都是白球，這兩個(gè)事件不互斥，故D錯(cuò)誤；因?yàn)橹辽儆幸粋€(gè)白球，包括：1個(gè)白球和1個(gè)紅球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球，2個(gè)白球這3個(gè)基本事件；紅、黑球各一個(gè)只包括1個(gè)紅球1個(gè)白球這1個(gè)基本事件，故兩個(gè)事件互斥，因還有其它基本事件未包括，故不對(duì)立.故B正確.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查互斥事件和對(duì)立事件的辨析，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成一行，所有的基本事件有（數(shù)學(xué)1，數(shù)學(xué)2，語文），（數(shù)學(xué)1，語文，數(shù)學(xué)2），（數(shù)學(xué)2，數(shù)學(xué)1，語文），（數(shù)學(xué)2，語文，數(shù)學(xué)1），（語文，數(shù)學(xué)1，數(shù)學(xué)2），（語文，數(shù)學(xué)2，數(shù)學(xué)1）共6個(gè)，其中2本數(shù)學(xué)書相鄰的有（數(shù)學(xué)1，數(shù)學(xué)2，語文），（數(shù)學(xué)2，數(shù)學(xué)1，語文），（語文，數(shù)學(xué)1，數(shù)學(xué)2），（語文，數(shù)學(xué)2，數(shù)學(xué)1）共4個(gè)，故2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率．12、【解題分析】本題考查了三角恒等變換、已知三角函數(shù)值求角以及正弦定理，考查了同學(xué)們解決三角形問題的能力．由得，所以由正弦定理得，所以A=或（舍去）、13、1【解題分析】

由等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)可得，代入已知式子可得．【題目詳解】由等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)可得：＝，且，∴.故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】，所以，解得．15、【解題分析】由題意可得，解得．

∴等差數(shù)列的前三項(xiàng)為-1，1，1．

則1．

故答案為．16、【解題分析】

將等式和等式都平方，再將所得兩個(gè)等式相加，并利用兩角和的正弦公式可求出的值.【題目詳解】若，，將上述兩等式平方得，①，②，①＋②可得，求得，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用兩角和的正弦公式求值，解題的關(guān)鍵就是將等式進(jìn)行平方，結(jié)合等式結(jié)構(gòu)進(jìn)行變形計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）當(dāng)時(shí)，總造價(jià)最低為元【解題分析】

（1）根據(jù)題意得矩形的長為，則矩形的寬為，中間區(qū)域的長為，寬為列出函數(shù)即可．（2）根據(jù)（1）的結(jié)果利用基本不等式即可．【題目詳解】（1）由矩形的長為，則矩形的寬為，則中間區(qū)域的長為，寬為，則定義域?yàn)閯t整理得，（2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即所以當(dāng)時(shí)，總造價(jià)最低為元【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的表示方法，以及基本不等式的應(yīng)用．在利用基本不等式時(shí)保證一正二定三相等，屬于中等題．18、（1）有4人，有2人；（2）【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖，求出成績?cè)诤蛢?nèi)的頻率的比值，再按比例抽取即可；（2）由古典概型的概率的求法，先求出從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的所有不同取法，再求出被抽到的學(xué)生至少有1名月考成績?cè)趦?nèi)的不同取法，再求解即可.【題目詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，則月考成績?cè)趦?nèi)的學(xué)生有人；月考成績?cè)趦?nèi)的學(xué)生有人，則成績?cè)诤蛢?nèi)的頻率的比值為，故用分層抽樣的方法從月考成績?cè)趦?nèi)的學(xué)生中抽取4人，從月考成績?cè)趦?nèi)的學(xué)生中抽取2人.（2）由（1）可知，被抽取的6人中有4人的月考成績?cè)趦?nèi)，分別記為，，，；有2人的月考成績?cè)趦?nèi)，分別記為，.則從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的情況為，，，，，，，，，，，，，，，共15種；被抽到的學(xué)生至少有1名月考成績?cè)趦?nèi)的情況為，，，，，，，，，共9種.故月考成績內(nèi)至少有1名學(xué)生被抽到的概率為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了分層抽樣，重點(diǎn)考查了古典概型概率的求法，屬中檔題.19、（1）；（2）P＝．【解題分析】

試題分析：（1）依題意共有小球n＋2個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球有n個(gè)，從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率為，解得n＝2；（2）①從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球共有12種結(jié)果，而滿足2≤a＋b≤3的結(jié)果有8種，故；②由①知，，故，（x，y）可以看成平面中的點(diǎn)的坐標(biāo)，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋杉细判偷酶怕蕿椋键c(diǎn)：考查了古典概型和幾何概型．點(diǎn)評(píng)：解本題的關(guān)鍵是掌握古典概型和集合概型的概率公式，并能正確應(yīng)用．20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）先確定從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選兩名代表總事件數(shù)，再確定甲被選中的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率（2）先確定從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選兩名代表總事件數(shù)，再確定丁沒被選中的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.【題目詳解】（1）從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選兩名代表共有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁、丙丁共6種基本事件，其中甲被選中包括甲乙，甲丙，甲丁三種基本事件，所以甲被選中的概率為.（2）丁沒被選中包括甲乙，甲丙，乙丙三種基本事件，所以丁沒被選中的概率為.點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題