絕密★啟用前臨沂市沂水縣2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)卷考試范圍：八年級(jí)上冊(cè)(人教版)；考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1、答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2、請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上評(píng)卷人得分一、選擇題（共10題）1.分式-和最簡(jiǎn)公分母是（）A.-6xyzB.6x2yzC.12xyzD.12x2yz2.（2020年秋?周口期末）關(guān)于未知數(shù)x的方程=x-2的解是x=3，則a的值是（）A.5B.-5C.1D.-13.（2022年河南省三門峽市義馬二中八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷）如圖是一個(gè)經(jīng)過改造的臺(tái)球桌面的示意圖，圖中四個(gè)角上的陰影部分分別表示四個(gè)入球孔果一個(gè)球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過多反射），那么該球最后將落入的球袋是（）A.1號(hào)袋B.2號(hào)袋C.3號(hào)袋D.4號(hào)袋4.（2021?合川區(qū)校級(jí)模擬）下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是?(???)??A.B.C.D.5.（2021?隨州）下列運(yùn)算正確的是?(???)??A.??a-2B.??a2C.??a2D.?(?6.（2016?楊浦區(qū)二模）下列圖形中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A.正五邊形B.正六邊形C.等腰三角形D.等腰梯形7.若將三條高線長(zhǎng)度分別為x、y、z的三角形記為（x，y，z），則在以下四個(gè)三角形中（6，8，10），（8，15，17），（12，15，20），（20，21，29）中，直角三角形的個(gè)數(shù)為（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)8.（2021?長(zhǎng)沙模擬）疫情期間，口罩的原材料提價(jià)，因而廠家決定對(duì)口罩進(jìn)行提價(jià)，現(xiàn)有三種方案：（1）第一次提價(jià)?5%?，第二次提價(jià)?10%?；（2）第一次提價(jià)?10%?，第二次提價(jià)?5%?；（3）第一、二次提價(jià)均為?7.5%?，三種方案哪種提價(jià)最多，下列說法正確的是?(???)??A.方案（1）B.方案（2）C.方案（3）D.三種方案相同9.（福建省寧德市福安市城區(qū)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷）在下列各式中屬于分式的是（）A.B.C.D.3x+10.（四川省成都市雙流縣八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷）如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，過點(diǎn)D作直線，分別交AC和AB于點(diǎn)E，H．下列的結(jié)論中一定不正確的是（）A.∠B＞∠ACDB.∠B+∠ACB=180°-∠AC.∠B+∠ACB＜180°D.∠HEC＞∠B評(píng)卷人得分二、填空題（共10題）11.已知正方形的面積為9x2+6x+1（x＞0），利用因式分解，該正方形的邊長(zhǎng)可用代數(shù)式表示為，正方形的周長(zhǎng)為．12.（福建省泉州市北峰中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷）實(shí)踐與探索我們知道完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積來表示，實(shí)際上還有一些等式也可以用這種形式表示，例如：等式（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用圖1或圖2表示．（1）請(qǐng)寫出圖3所表示的代數(shù)恒等式．（2）試畫出一個(gè)幾何圖形，利用面積的不同表示法解釋下列恒等式：（2a+3b）（a+b）=2a2+5ab+3b2．13.（2021?西安模擬）正九邊形的每一個(gè)內(nèi)角是______度．14.（2021?咸寧模擬）如果實(shí)數(shù)?a??，?b??滿足?a+b=6??，?ab=8??，那么??a215.（2021?廈門模擬）用《九章算術(shù)》中記載的“更相減損術(shù)”求168和72的最大公約數(shù)，運(yùn)算步驟如下：第一步：?168-72=96??；第二步：?96-72=24??；第三步：?72-24=48??；第四步：?48-24=24??．如果繼續(xù)操作，可得?24-24=0??，因此，經(jīng)過上述四步運(yùn)算，求得的結(jié)果24是168和72的最大公約數(shù)．若兩個(gè)正整數(shù)經(jīng)過“更相減損術(shù)”的三步運(yùn)算，所求得的最大公約數(shù)為?a??，且這兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)大于另一個(gè)的2倍，則這兩個(gè)正整數(shù)分別為______．（用含?a??的代數(shù)式表示）16.（2022年春?興化市校級(jí)月考）（2022年春?興化市校級(jí)月考）如圖，在?ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論：（1）∠DCF+∠D=90°；（2）∠AEF+∠ECF=90°；（3）S△BEC=2S△CEF；（4）若∠B=80°，則∠AEF=50°．其中一定成立的是（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）17.（北京市順義區(qū)八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷）若式子是分式，則x的取值范圍是．18.（江蘇省連云港市贛榆縣匯文雙語學(xué)校七年級(jí)（上）第三次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷）對(duì)正方形剪一刀能得到邊形．19.（2021?貴陽）在綜合實(shí)踐課上，老師要求同學(xué)用正方形紙片剪出正三角形且正三角形的頂點(diǎn)都在正方形邊上．小紅利用兩張邊長(zhǎng)為2的正方形紙片，按要求剪出了一個(gè)面積最大的正三角形和一個(gè)面積最小的正三角形．則這兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)分別是______．20.（江蘇省鹽城市東臺(tái)市第六教研片八年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份））已知△ABC≌△DEF，∠B=60°，則∠E=．評(píng)卷人得分三、解答題（共7題）21.如圖，菱形ABCD中，∠ABC＜90°，P為該菱形對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，Q為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，若AC=30，PC+PQ的最小值為24，求菱形ABCD的邊長(zhǎng)（要求在備用圖中畫出必要的圖形）22.在學(xué)完分式的基本性質(zhì)后，小剛和小明兩人對(duì)下面兩個(gè)式子產(chǎn)生了激烈的爭(zhēng)論：①=，②=．小剛說：“①②兩式都對(duì)．”小明說：“①②兩式都錯(cuò)．”你認(rèn)為他們兩人到底誰對(duì)誰錯(cuò)，為什么？23.按下列要求作圖（1）作出圖1△ABC關(guān)于已知直線l的軸對(duì)稱圖形．（2）作出圖2中線段AB關(guān)于點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形．24.（山東省青島市嶗山四中九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份））已知：如圖，在△ABC中，CD是中線，過點(diǎn)A作BC的平行線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接EB．（1）求證：AE=BC；（2）延長(zhǎng)AC到點(diǎn)F，使CF=AC，連接BF．當(dāng)△ABF滿足什么條件時(shí)，四邊形AEBC是矩形？（寫出你的猜想，并說明理由）25.經(jīng)天文學(xué)家測(cè)算，太陽系外離地球最近的恒星系是南門二，其中比鄰星發(fā)出的光到達(dá)地球的時(shí)間約為4.22年，光的速度是3×105km/s，求比鄰星到地球的距離s．（結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示，1年按3.15×107秒計(jì)算）26.（新人教版七年級(jí)（上）寒假數(shù)學(xué)作業(yè)I（35））任意一個(gè)三角形，如圖所示，在三角形ABC中取各邊中點(diǎn)依次為D、E、F，連接D、E、EF、FD得到三角形DEF，回答下列問題：（1）分別量出三角形ABC的周長(zhǎng)與三角形DEF的周長(zhǎng)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么？（2）用量角器量一下三角形ABC中∠A、∠B、∠C的度數(shù)，再量一下三角形DEF中∠1、∠2、∠3的度數(shù)，你會(huì)得到什么？（3）再試著取幾個(gè)三角形，依題意進(jìn)行測(cè)量，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？27.如圖，是一個(gè)4×4的方格，（1）求圖中∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠16的和．（2）求∠1-∠2+∠3-∠4+…+∠15-∠16．參考答案及解析一、選擇題1.【答案】【解答】解：分式-和最簡(jiǎn)公分母是6x2yz，故選B【解析】【分析】確定最簡(jiǎn)公分母的方法是：（1）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（2）凡單獨(dú)出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的一個(gè)因式；（3）同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡(jiǎn)公分母．2.【答案】【解答】解：把x=3代入方程得：=1，解得：a=-1，經(jīng)檢驗(yàn)a=-1時(shí)，分母不為0，則a的值是-1．故選D．【解析】【分析】把x=3代入方程即可求出a的值．3.【答案】【解答】解：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，臺(tái)球走過的路徑為：故選：B．【解析】【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，由軸對(duì)稱的性質(zhì)判定正確選項(xiàng)．4.【答案】解：?A??、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；?B??、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；?C??、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；?D??、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；故選：?D??．【解析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形進(jìn)行分析即可．此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，正確掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解題關(guān)鍵．5.【答案】解：?A??．??a-2?B??．??a2??與?C??．??a2?D??．?(?故選：?D??．【解析】分別根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義，合并同類項(xiàng)法則，同底數(shù)冪的乘法法則以及冪的乘方運(yùn)算法則逐一判斷即可．本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方，熟記相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．6.【答案】【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形．不是中心對(duì)稱圖形，故A錯(cuò)誤；B、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形．故B正確；C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形．故C錯(cuò)誤；D、是軸對(duì)稱圖形．不是中心對(duì)稱圖形，故D錯(cuò)誤．故選：B．【解析】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求即可．7.【答案】【解答】解：直角三角形中x、y為直角邊，z為斜邊上的高，則有xy=c，我們采用排除法假設(shè)都是直角三角形，①（6，8，10），斜邊對(duì)應(yīng)的高一定比直角邊短，所以10一定是一條直角邊，假設(shè)6是另一條直角邊，則斜邊應(yīng)等于6×10÷8=7.5，其平方顯然不等于136，同理假設(shè)8是另一條直角邊8×10÷6=，其平方不等于164，也不符合，所以不是直角三角形；②（8，15，17），斜邊對(duì)應(yīng)的高一定比直角邊短，所以17一定是一條直角邊，假設(shè)8是另一條直角邊，則斜邊應(yīng)等于17×8÷15=，其平方顯然不等于353，同理假設(shè)15是另一條直角邊15×17÷8=，其平方不等于514，也不符合，所以不是直角三角形；③（12，15，20），斜邊對(duì)應(yīng)的高一定比直角邊短，所以20一定是一條直角邊，假設(shè)12是另一條直角邊，則斜邊應(yīng)等于20×12÷15=16，其平方顯然不等于544，同理假設(shè)15是另一條直角邊15×20÷12=25，其平方等于625，符合，所以是直角三角形；④（20，21，29），斜邊對(duì)應(yīng)的高一定比直角邊短，所以29一定是一條直角邊，假設(shè)21是另一條直角邊，則斜邊應(yīng)等于29×21÷20=，其平方顯然不等于1281，同理假設(shè)20是另一條直角邊29×20÷21=，其平方不等于1241，也不符合，所以不是直角三角形；符合條件的只有一個(gè)．故選：A．【解析】【分析】利用直角三角形的面積可知：兩條直角邊的乘積，等于斜邊與高的乘積；假設(shè)x、y為直角邊，z為斜邊上的高，則有xy=c，利用這個(gè)性質(zhì)逐一分析探討得出答案即可．8.【答案】解：設(shè)原來的原材料價(jià)格為?a??，由題意可得，方案一最后的售價(jià)是：?a×(1+5%)(1+10%)=1.155a??，方案二最后的售價(jià)是：?a×(1+10%)(1+5%)=1.155a??，方案三最后的售價(jià)是：?a×(1+7.5%)(1+7.5%)=1.155625a??，?∵1.155625a>1.155a??，?∴??方案三提價(jià)最多，故選：?C??．【解析】設(shè)原來的原材料價(jià)格為?a??，根據(jù)題意列出代數(shù)式比較大?。绢}考查列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是明確題意，設(shè)未知數(shù)列出相應(yīng)的代數(shù)式比較大小．9.【答案】【解答】解：A、分母π是常數(shù)，不含有字母，它是整式，不是分式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、分母是4，不含有字母，它是整式，不是分式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、分母x-y中含有字母，是分式，故本選項(xiàng)正確；D、分母是2，不含有字母，它是整式，不是分式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【解析】【分析】根據(jù)分式的定義進(jìn)行解答即可，即分母中含有未知數(shù)的式子叫分式．10.【答案】【解答】解：A、∠B＜∠ACD，故本選項(xiàng)正確；B、∵∠B+∠ACB+∠A=180°，∴∠B+∠ACB=180°-∠A，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵∠B+∠ACB+∠A=180°，∴∠B+∠ACB＜180°，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵∠HEC＞∠AHD，∠AHD＞∠B，∴∠HEC＞∠B，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A．【解析】【分析】三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角，根據(jù)以上定理逐個(gè)判斷即可．二、填空題11.【答案】【解答】解：∵9x2+6x+1=（3x+1）2，∴該正方形的邊長(zhǎng)為（3x+1），周長(zhǎng)為4（3x+1）．故答案為：（3x+1），4（3x+1）．【解析】【分析】將已知正方形的面積利用完全平方公式分解因式后，即可表示出正方形的邊長(zhǎng)和周長(zhǎng)．12.【答案】【解答】解：（1）由圖可得：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2；故答案為：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2（2）如圖：【解析】【分析】（1）根據(jù)圖形先用不同的形式表示圖形的面積，再由面積不變，列出等式即可．（2）結(jié)合圖1，圖2，圖3，矩形的兩邊分別表示2a+3b與a+b，繼而可畫出圖形．13.【答案】解：?180°·(9-2)÷9=140°??．【解析】先求出該多邊形的內(nèi)角和，再求出每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理．?n??邊形的內(nèi)角和為：?180°(n-2)??．此類題型直接根據(jù)內(nèi)角和公式計(jì)算可得內(nèi)角和，再除以邊數(shù)即可．14.【答案】解：?∵a+b=6??，?ab=8??，??∴a2故答案為：20【解析】原式利用完全平方公式化簡(jiǎn)，將已知等式代入計(jì)算即可求出值．此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．15.【答案】解：令較大的數(shù)為?x??，較小的數(shù)為?y??，則?x>2y??，?∴x-y>y??，第一步，?x-y=x-y??，此時(shí)剩?x-yy??；第二步，?(x-y)-y=x-2y??，此時(shí)剩?x-2y??和?y??；第三步：①當(dāng)?x-2y>y??時(shí)，?x-2y-y=a??，此時(shí)?y=a??，解得，?x=4a??，?y=a??，②當(dāng)?x-2y?即解得，?x=5a??，?y=2a??，綜上得，這兩個(gè)正整數(shù)分別為?4a??，?a??或?5a??，?2a??．故答案為：?4a??，?a??或?5a??，?2a??．【解析】令較大的數(shù)為?x??，較小的數(shù)為?y??，則?x>2y??，然后分三步進(jìn)行解答即可得到答案．此題考查的是列代數(shù)式，掌握其數(shù)量關(guān)系是解決此題關(guān)鍵．16.【答案】【解答】解：（1）∵F是AD的中點(diǎn)，∴AF=FD，∵在?ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∠BCD+∠D=180°，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，∴∠DCF+∠D=90°，故（1）正確；（2）延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于M，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F為AD中點(diǎn)，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴EF=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴CF=EM=EF，∴∠FEC=∠ECF，∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°，故（2）正確；（3）∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵M(jìn)C＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故（3）錯(cuò)誤；（4）∵∠B=80°，∴∠BCE=90°-80°=10°，∵AB∥CD，∴∠BCD=180°-80°=100°，∴∠BCF=∠BCD=50°，∴∠FEC=∠ECF=50°-10°=40°，∴∠AEF=90°-40°=50°，故（4）正確．故答案為：（1）（2）（3）．【解析】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出（1）正確；由ASA證明△AEF≌△DMF，得出EF=MF，∠AEF=∠M，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CF=EM=EF，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠FEC=∠ECF，得出（2）正確；證出S△EFC=S△CFM，由MC＞BE，得出S△BEC＜2S△EFC，得出（3）錯(cuò)誤；由平行線的性質(zhì)和互余兩角的關(guān)系得出（4）正確；即可得出結(jié)論．17.【答案】【解答】解：由題意得：x-2≠0，解得：x≠2，故答案為：x≠2．【解析】【分析】根據(jù)分式有意義的條件可得：x-2≠0，再解即可．18.【答案】【解答】解：沿對(duì)角線剪一刀，得兩個(gè)三角形，即三角形，沿對(duì)邊上的兩點(diǎn)剪一刀，得兩個(gè)梯形，或兩個(gè)矩形，即四邊形；沿相鄰兩邊上的點(diǎn)剪一刀，得一個(gè)三角形，一個(gè)五邊形即五邊形．故答案為：三、四、五．【解析】【分析】根據(jù)圖形的分割，可得答案．19.【答案】解：如圖，設(shè)?ΔGEF??為正方形?ABCD??的一個(gè)內(nèi)接正三角形，作正?ΔGEF??的高?EK??，連接?KA??，?KD??，?∵∠EKG=∠EDG=90°??，?∴E??、?K??、?D??、?G??四點(diǎn)共圓，?∴∠KDE=∠KGE=60°??，同理?∠KAE=60°??，?∴ΔKAD??是一個(gè)正三角形，則?K??必為一個(gè)定點(diǎn)，?∵?正三角形面積取決于它的邊長(zhǎng)，?∴??當(dāng)?FG⊥AB??時(shí)，邊長(zhǎng)?FG??最小，面積也最小，此時(shí)邊長(zhǎng)等于正方形邊長(zhǎng)為2，當(dāng)?FG??過?B??點(diǎn)時(shí)，即?F'??與點(diǎn)?B??重合時(shí)，邊長(zhǎng)最大，面積也最大，此時(shí)作?KH⊥BC??于?H??，由等邊三角形的性質(zhì)可知，?K??為?FG??的中點(diǎn)，?∵KH//CD??，?∴KH??為三角形?F'CG'??的中位線，?∴CG'=2HK=2(EH-EK)=2(2-2×sin60°)=4-23?∴F'G'=?BC故答案為：?26【解析】設(shè)?ΔGEF??為正方形?ABCD??的一個(gè)內(nèi)接正三角形，由于正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)必落在正方形的三條邊上，所以令?F??、?G??兩點(diǎn)在正方形的一組對(duì)邊上，作?FG??邊上的高為?EK??，垂足為?K??，連接?KA??，?KD??，可證?E??、?K??、?D??、?G??四點(diǎn)共圓，則?∠KDE=∠KGE=60°??，同理?∠KAE=60°??，可證?ΔKAD??也是一個(gè)正三角形，則?K??必為一個(gè)定點(diǎn)，再分別求邊長(zhǎng)的最大值與最小值．本題主要考查正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．20.【答案】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠E=∠B，∵∠B=60°，∴∠E=60°，故答案為：60°．【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠E=∠B，代入求出即可．三、解答題21.【答案】【解答】解：∵菱形ABCD中，∴點(diǎn)A，C關(guān)于BD對(duì)稱，過A作AQ⊥BC于Q，交BD于P，則AQ=PC+PQ的最小值=24，∵AC=30，∴CQ==18，∵AB=BC，∴BQ=AB-18，∵AB2=BQ2+AQ2，即AB2=（AB-18）2+242，∴AB=25．∴菱形ABCD的邊長(zhǎng)=25．【解析】【分析】菱形ABCD中，由點(diǎn)A，C關(guān)于BD對(duì)稱，過A作AQ⊥BC于Q，交BD于P，于是得到AQ=PC+PQ的最小值=24，根據(jù)勾股定理得到CQ==18，然后根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．22.【答案】【解答】解：都錯(cuò)了①=分子分母都除以a，故①正確；②=，a=0時(shí)，分子分母都乘以a無意義，故②錯(cuò)誤；∴兩人的說法都錯(cuò)誤．【解析】【分析】根據(jù)分式的分子分母都乘以（或除以）同一個(gè)不為零的數(shù)（或整式），分式的值不變，可得答案．23.【答案】（1）如圖所示，△A′B′C′即為所求；（2）如圖所示，線段A′B′即為所求．【解析】24.【答案】【解答】（1）證明：∵CD是中線，∴AD=BD，∵AE∥BC，∴∠EAB=∠CBA，在△AED和△BCD中，，∴△AED≌△BCD（ASA），∴AE=BC；（2）解：當(dāng)AB=BF時(shí)，四邊形AEBC是矩形，∵AE=BC，AE∥BC，∴四邊形ACBE是平行四邊形，∵AB=BF，AC=CF，∴CB⊥AF，∴∠ACB=90°，∴四邊形AEBC是矩形．【解析】【分析】（1）首先證明AD=BD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EAB=∠CBA，然后再證明△AED≌△BCD可得AE=BC；（2）當(dāng)AB=BF時(shí)，四邊形AEBC是矩形；根據(jù)AE=BC，AE∥BC，可證明四邊形ACBE是平行四邊形，再由等腰三角形的性