第九章聯(lián)立方程模型教師：盧時(shí)光9.1聯(lián)立方程模型的性質(zhì)在前面的學(xué)習(xí)中，我們僅僅考察了單一方程模型，也就是只有一個(gè)應(yīng)變量Y和一個(gè)或多個(gè)解釋變量X的模型。在這些模型中，重點(diǎn)放在估計(jì)和預(yù)測X變量的固定值為條件下的Y的均值。因此在這樣的模型中因果關(guān)系是從X到Y(jié)。但是有許多情形這種單向的因果關(guān)系是沒有意義的。比方，Y決定于X而同時(shí)某些X又反過來決定于Y。簡而言之，Y和X之間有一種雙向或聯(lián)立的關(guān)系，以至于我們無法區(qū)分哪些是應(yīng)變量而哪些是解釋變量。解決上述問題的方法之一，就是把一組變量合在一起，它們是能由另外一組變量聯(lián)合地決定的，這種方法就是聯(lián)立方程模型。在這種模型中有多于一個(gè)的方程，每個(gè)相互地或共同地依賴的變量，稱為內(nèi)生變量，占有一個(gè)方程。例如，宏觀經(jīng)濟(jì)收入-消費(fèi)的例子中，消費(fèi)C是受到收入Y的影響〔C=α+βY〕，而收入Y=C+I。C和Y被稱為內(nèi)生變量，而此時(shí)的I被稱為外生變量。在聯(lián)立方程的參數(shù)估計(jì)時(shí)，我們必須要考慮到方程組中其他方程所提供的信息。例1：需求和供給模型一個(gè)商品的價(jià)格和數(shù)量是由需求和供給曲線的交點(diǎn)決定的。簡單起見，我們假定需求和供給曲線是線性的，加上隨機(jī)干擾項(xiàng)u1和u2，可以寫成經(jīng)驗(yàn)需求和供給函數(shù)：諸α和β是參數(shù)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，預(yù)測α1為負(fù)〔需求曲線是向右下方傾斜的，需求量與價(jià)格呈負(fù)相關(guān)?！肠?為正〔供給曲線是向右上方傾斜的，供給量與價(jià)格呈正相關(guān)?！砅和Q是聯(lián)合應(yīng)變量。影響需求量Qd的其他因素發(fā)生變化〔如收入、財(cái)富和消費(fèi)偏好等〕，方程中的干擾項(xiàng)u1t將發(fā)生改變。如果u1t是正的，需求曲線向右上方移動(dòng)。需求曲線位置的變換，同時(shí)影響到了P和Q。同理，u2t的改變〔如罷工、氣候、進(jìn)出口的限制等〕，將使供給曲線發(fā)生移動(dòng)，也會(huì)同時(shí)影響P和Q。由于P和Q之間的這種依賴性，需求方程中的u1t和Pt，以及供給方程中的u2t和Pt是不可能獨(dú)立的。例2：凱恩斯收入決定模型宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中，簡單的收入決定模型：參數(shù)β1稱為邊際消費(fèi)傾向，經(jīng)濟(jì)理論預(yù)測β1位于0和1之間。方程1是個(gè)隨機(jī)消費(fèi)函數(shù)，而方程2是收入恒等式，總收入等于總消費(fèi)加上總投資〔投資等于儲(chǔ)蓄〕。用圖形來表示：從上圖中可以看出，C和Y是相互依賴的，并且不能指望方程1中的Yt會(huì)獨(dú)立于干擾項(xiàng)ut。因?yàn)楫?dāng)ut變動(dòng)時(shí)〔由于誤差項(xiàng)包含了種種因素〕，消費(fèi)函數(shù)也會(huì)隨之移動(dòng)，而消費(fèi)的變動(dòng)又反過來影響Y。由此，經(jīng)典最小二乘方法對上述模型不適用。例3：計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型：克萊因模型I一些計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家在它們構(gòu)造的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型中曾廣泛地使用聯(lián)立方程模型。以下模型被稱為克萊因模型I。在模型中，變量C、I、W、Y、P和K被看作聯(lián)合應(yīng)變量或內(nèi)生變量，而變量Pt-1、Kt-1和Yt-1被看作前定的。我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，它們不是獨(dú)立于隨機(jī)干擾項(xiàng)的，因此不能夠用OLS法逐個(gè)地估計(jì)方程組中的方程，這樣得來的估計(jì)量是非一致性的，即使是大樣本，它們也不收斂于真實(shí)值。9.2聯(lián)立方程偏誤：OLS估計(jì)量的非一致性為了說明這點(diǎn)，我們回到例2中簡單的凱恩斯收入決定模型。假定：即滿足經(jīng)典線性回歸模型的假設(shè)。〔1〕Yt和ut是相關(guān)的把方程〔1〕帶入方程〔2〕即：現(xiàn)在，對式子兩邊求期望，注意E(ut)=0，而I是外生變量，其期望就是其本身：現(xiàn)在用Yt減去E(Yt)，結(jié)果是：而〔為什么？〕由此得：Yt和ut的協(xié)方差的推導(dǎo)，用到了上面兩個(gè)式子的結(jié)論。這樣，δ2是正的〔>0〕，所以Yt和ut的協(xié)方差一定不為零。這樣，Yt和ut存在相關(guān)關(guān)系。這樣違反了經(jīng)典線性回歸模型的假定：干擾與解釋變量相互獨(dú)立或至少不相關(guān)。如上所述，在這種情形下，OLS估計(jì)量是非一致性的?！?〕OLS估計(jì)量的非一致性估計(jì)量和前面一樣，小寫字母代表對均值的離差。將C的表達(dá)式代入上式：上式的推導(dǎo)用到了和兩個(gè)關(guān)系式。對上式兩邊求期望值：9.3聯(lián)立方程偏誤：一個(gè)數(shù)值例子為零說明上述問題，我們回到凱恩斯收入決定模型，并完成以下蒙特卡羅研究。假定投資I的取值有左表中給出。再假定：根據(jù)這些假設(shè)產(chǎn)生的ut，見第四列。假定消費(fèi)函數(shù)的參數(shù)：β0=2，β1=0.8。直觀的看，除非為零，否那么一個(gè)有偏的估計(jì)量。由于真實(shí)的β0和β1是的，再由于我們樣本的誤差恰好等于“真實(shí)〞的誤差〔因?yàn)檎`差項(xiàng)源自蒙特卡羅法〕。如果我們用左表中的數(shù)據(jù)來對C對Y的回歸，如果回歸是無偏的，那么我們應(yīng)該得到β0=2，β1=0.8。但是，如果Y對干擾項(xiàng)u存在相關(guān)性，那么情形就不會(huì)這樣。根據(jù)數(shù)據(jù)，得到：就是說有0.02065的過高估計(jì)?；貧w結(jié)果是：回歸結(jié)果沒有恰好得出β0=2，β1=0.8的結(jié)果，而是有偏誤的。9.4符號和定義為了便于進(jìn)一步討論，我們引入以下符號和定義。一般的M個(gè)內(nèi)生或聯(lián)合應(yīng)變量的M個(gè)方程模型可以寫成如下方程組：進(jìn)入模型的變量被分為兩類：內(nèi)生變量：指其值是由模型內(nèi)部決定的。被視為隨機(jī)的。前定變量：指其值是由模型外部決定的。被視為非隨機(jī)的。前定變量又被分為兩類：外生變量：包括當(dāng)前的或滯后的，以及滯后的內(nèi)生變量。例如，X1t是當(dāng)前的外生變量；X1(t-1)是滯后一期的滯后外生變量；Y1(t-1)是滯后一期的內(nèi)生變量，但因?yàn)樵诋?dāng)時(shí)期間里Y1(t-1)是值，故看做是非隨機(jī)的，因而也被稱為前定變量?？傊?，當(dāng)期外生、滯后外生和滯后內(nèi)生變量都被認(rèn)為是前定的，在當(dāng)期里，它們的值不是由模型決定的。上述模型的方程，也許是描述經(jīng)濟(jì)社會(huì)的結(jié)構(gòu)，或描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)人的〔如消費(fèi)和生產(chǎn)〕行為，所以把這些方程稱為結(jié)構(gòu)或行為方程。諸β和γ那么被稱為結(jié)構(gòu)參數(shù)或系數(shù)。從結(jié)構(gòu)方程組可以解出M個(gè)內(nèi)生變量并導(dǎo)出誘導(dǎo)型方程和相應(yīng)的誘導(dǎo)型系數(shù)。所謂誘導(dǎo)型方程，是指純由前定變量和隨機(jī)干擾項(xiàng)來表達(dá)一個(gè)內(nèi)生變量的方程。例如：凱恩斯收入決定模型：模型中C〔消費(fèi)〕和Y〔收入〕都是內(nèi)生變量，而I〔投資〕是外生變量。這兩個(gè)方程都是結(jié)構(gòu)方程。將方程〔1〕代入到方程〔2〕，經(jīng)過代數(shù)運(yùn)算得到：其中：上式，那么由外生變量I和隨機(jī)干擾項(xiàng)u來表達(dá)的，是一個(gè)誘導(dǎo)型方程。Π0、Π1和wt是相應(yīng)的誘導(dǎo)型系數(shù)。將Y值代入方程〔1〕，得到另一個(gè)誘導(dǎo)型方程：9.5識別問題所謂識別問題，是指能否從所估計(jì)的誘導(dǎo)型系數(shù)求出一個(gè)結(jié)構(gòu)方程的參數(shù)的數(shù)值估計(jì)。如果能夠，就說該方程是可以識別的。如果不能，就說所考慮的方程是不可識別的或缺乏識別的。〔1〕缺乏識別情形考慮供需模型：由均衡條件我們得到：解上述方程，得到均衡價(jià)格：……〔1〕其中：將Pt代入原方程，得到均衡數(shù)量：……〔2〕其中：誤差項(xiàng)vt和wt是原始誤差項(xiàng)u1和u2的線性組合。方程〔1〕和方程〔2〕為誘導(dǎo)型方程?，F(xiàn)在我們的方程中包含有4個(gè)結(jié)構(gòu)系數(shù)α0、α1、β0和β1，但此時(shí)我們無法解出來，因?yàn)?個(gè)未知數(shù)，必須有4個(gè)獨(dú)立的方程。同時(shí)，上述方程只有常數(shù)項(xiàng)而不包含任何解釋變量，因此無法使用OLS，方程也僅給出P和Q的均值。上述分析說明，給定P和Q的時(shí)間序列數(shù)據(jù)而無任何其他信息，研究者將無法保證他所估計(jì)的是需求函數(shù)還是供給函數(shù)。換句話說，給定的一對P和Q，由于供求相等的均衡條件，僅代表適當(dāng)?shù)男枨蠛凸┙o曲線的交點(diǎn)。請看以下圖：圖〔a〕給出幾個(gè)聯(lián)系P和Q的散點(diǎn)，每個(gè)散點(diǎn)代表一條需求曲線和供給曲線的交點(diǎn)，如〔b〕中所示。現(xiàn)在拿一個(gè)點(diǎn)來考慮，如〔c〕中的那個(gè)點(diǎn)，我們無法肯定這個(gè)點(diǎn)是由圖中整個(gè)供求曲線族中的那一條需求曲線和供給曲線產(chǎn)生的。為此，我們需要有關(guān)供求曲線性質(zhì)的一些其他信息，例如，由于收入、消費(fèi)偏好的變換，需求曲線隨時(shí)間而變化，而供給曲線保持相對的穩(wěn)定，如圖〔d〕那樣，那么散點(diǎn)將描繪出一條供給曲線，這時(shí)供給曲線是可識別的。同理，如果由于天氣的變換，或其他外部因素的變換，供給曲線隨時(shí)間而遷移，但需求曲線保持相對的穩(wěn)定，如同〔e〕中那樣，那么散點(diǎn)將描繪一條需求曲線，這對我們來說，需求曲線是可識別的?！?〕恰可識別的情形仍然使用需求-供給模型，現(xiàn)在由下述方程給出：和原來的模型相比，需求函數(shù)多了一個(gè)變量I，I表示消費(fèi)者的收入，是一個(gè)外生變量，其他變量定義如前。從需求的經(jīng)濟(jì)理論可知，收入常常是對大多數(shù)商品和效勞需求的一個(gè)重要的解釋變量。對大多數(shù)商品和效勞而言，可以預(yù)料收入對消費(fèi)有正的影響〔α2＞0〕。利用市場均衡的概念：需求量=供給量，有：從中解出Pt的均衡值：……〔3〕其中：將Pt代回原方程，得到均衡數(shù)量Q：……〔4〕其中：方程〔3〕和方程〔4〕都是誘導(dǎo)型方程，可用OLS法估計(jì)它們的參數(shù)Π1、Π2、Π3和Π4。但是供求模型中包含了5個(gè)結(jié)構(gòu)系數(shù)α0、α1、α2、β1和β2，這時(shí)要想得到全部結(jié)構(gòu)系數(shù)的唯一解是不可能的，因?yàn)槲覀冎挥?個(gè)方程，無法給出5個(gè)未知數(shù)的唯一解。但是，我們發(fā)現(xiàn)供給函數(shù)的參數(shù)是可識別的，因?yàn)椋旱?，此時(shí)需求函數(shù)仍然是不可識別的。我們無法得到α0、α1和α2的全部估計(jì)。注意一個(gè)有趣的事實(shí)：在需求函數(shù)中增加了一個(gè)變量，使得我們能夠識別供給函數(shù)。原因在于，在需求函數(shù)中增加了變量I對需求的變異提供了額外的信息，如同圖〔e〕所示。該圖說明，穩(wěn)定的供給函數(shù)和變化的需求函數(shù)的交點(diǎn)，使得我們可以去識別供給曲線。如同我們即將看到，一個(gè)方程的可識別性，常常依賴于它是否排除了包含在模型里其他方程中的一個(gè)或多個(gè)變量。也就是說，其他方程中應(yīng)該包含該方程中未包含的其他假設(shè)干變量?？紤]下述供需模型：與前面的模型相比，供給函數(shù)包含了一個(gè)新解釋變量：滯后一期的價(jià)格。該供給模型假設(shè)，一個(gè)商品的供給量依賴于它當(dāng)期的和前一期的價(jià)格。對于Pt-1在時(shí)間t而言，是的，所以它是一個(gè)前定變量。解方程得到均衡價(jià)格P和均衡數(shù)量Q：上述方程中含有6個(gè)結(jié)構(gòu)系數(shù)：α0、α1、α2、β0、β1、和β2；同時(shí)含有6個(gè)誘導(dǎo)系數(shù)：Π0、Π1、Π2、Π3、Π4和Π5。這樣，6個(gè)未知數(shù)，有6個(gè)方程。正常情況下，我們應(yīng)該能夠得到唯一的估計(jì)值。因此需求方程和供給方程的參數(shù)都是可以識別的。〔3〕過度識別情形考慮以下模型，除了已經(jīng)定義的變量外，我們增加了R代表財(cái)富。對于大多數(shù)商品和效勞而言，財(cái)富和收入一樣，會(huì)對消費(fèi)產(chǎn)生正的影響。仍然令需求量=供給量，得到解如下：其中：上述方程中含有7個(gè)結(jié)構(gòu)系數(shù)，但用于估計(jì)它們的有8個(gè)方程〔8個(gè)誘導(dǎo)型系數(shù)〕。方程的個(gè)數(shù)大于未知數(shù)的個(gè)數(shù)。由上述誘導(dǎo)系數(shù)可得：或者：就是說，對于供給方程的價(jià)格函數(shù)有兩個(gè)估計(jì)值，但不保證這兩個(gè)估計(jì)值是相同的。此外β1出現(xiàn)在所有的誘導(dǎo)型系數(shù)的分母中，在β1估計(jì)中的不確定性還會(huì)傳遞給其他的估計(jì)值。為什么增加了R〔財(cái)富〕解釋變量后，模型反而不能恰好識別呢？答案是為了識別供給方程，我們有了“太多〞的或“過于充分〞的信息。這種情形和信息太少而缺乏以識別的情形正好適得其反。在模型中供給函數(shù)不僅排除收入變量，還排除了財(cái)富變量。換句話說，在模型中，對供給函數(shù)施加了“過多〞的約束，要求它排除多于識別它所需要的變量個(gè)數(shù)。以上分析說明：聯(lián)立方程模型中的一個(gè)方程可以是缺乏識別的或可識別的〔過度或恰好〕。如果模型中的每個(gè)方程都是可以識別的，就說整個(gè)模型是可識別的。9.6識別規(guī)那么前面我們利用誘導(dǎo)型方程幫助我們判明方程的識別問題，而誘導(dǎo)型方程方法過于繁復(fù)。識別的階條件和秩條件，提供了一種系統(tǒng)性的例行程序。引入符號：M：模型中內(nèi)生變量的個(gè)數(shù)m：給定方程中內(nèi)生變量的個(gè)數(shù)K：模型中前定變量的個(gè)數(shù)k：給定方程中前定變量的個(gè)數(shù)〔1〕可識別的階條件定義1：在一個(gè)含有M個(gè)聯(lián)立方程的模型中，為了使一個(gè)方程能夠被識別，它必須排除M－1個(gè)在模型中出現(xiàn)的變量〔內(nèi)生的或前定的〕。如果它恰好排除M－1個(gè)變量，那么該方程是恰好被識別的，如果它排除了多于M－1個(gè)變量，那么它是過度識別的。定義2：在一個(gè)含有M個(gè)聯(lián)立方程的模型中，為了使一個(gè)方程能夠被識別，該方程所排除的前定變量的個(gè)數(shù)必須不少于它所含有的內(nèi)生變量的個(gè)數(shù)減1〔即：K－k≥m－1〕。如果K－k＝m－1，那么方程是恰好被識別的，如果K－k＞m－1，那么它是過度識別的。例1：例2：例3：例4：〔2〕可識別的秩條件前面討論的階條件是識別的必要條件而非充分條件。就是說，即使它得到了滿足，方程也可能會(huì)出現(xiàn)不能識別的問題。因此我們需要一個(gè)充要的識別條件：秩條件?？勺R別性的秩條件：在一個(gè)含M個(gè)內(nèi)生變量的M個(gè)方程的模型中，一個(gè)方程是可識別的，當(dāng)且僅當(dāng)，我們能從模型〔其他方程〕所含而該方程