./手拉手模型要點一：手拉手模型特點：由兩個等頂角的等腰三角形所組成,并且頂角的頂點為公共頂點結(jié)論：〔1△ABD≌△AEC〔2∠α+∠BOC=180°〔3OA平分∠BOC變形：例1.如圖在直線的同一側(cè)作兩個等邊三角形與,連結(jié)與,證明〔1與之間的夾角為平分變式精練1：如圖兩個等邊三角形與,連結(jié)與,證明〔1與之間的夾角為與的交點設(shè)為,平分變式精練2：如圖兩個等邊三角形與,連結(jié)與,證明〔1與之間的夾角為與的交點設(shè)為,平分例2：如圖,兩個正方形與,連結(jié),二者相交于點問：〔1是否成立？是否與相等？與之間的夾角為多少度？是否平分？例3：如圖兩個等腰直角三角形與,連結(jié),二者相交于點問：〔1是否成立？〔2是否與相等？〔3與之間的夾角為多少度？〔4是否平分？例4：兩個等腰三角形與,其中,,連結(jié)與,問：〔1是否成立？〔2是否與相等？〔3與之間的夾角為多少度？〔4是否平分？例5：如圖,點A.B.

C在同一條直線上,分別以AB、BC為邊在直線AC的同側(cè)作等邊三角形△ABD、△BCE.連接AE、DC,AE與DC所在直線相交于F,連接FB.判斷線段FB、FE與FC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.[練1]如圖,三角形ABC和三角形CDE都是等邊三角形,點A,E,D,同在一條直線上,且角EBD=62°,求角AEB的度數(shù)倍長與中點有關(guān)的線段倍長中線類?考點說明：凡是出現(xiàn)中線或類似中線的線段,都可以考慮倍長中線,倍長中線的目的是可以旋轉(zhuǎn)等長度的線段,從而達(dá)到將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的：將題中已知和未知條件集中在一對三角形中、構(gòu)造全等三角形、平移線段.[方法精講]常用輔助線添加方法——倍長中線△ABC中方式1：延長AD到E,AD是BC邊中線使DE=AD,連接BE方式2：間接倍長作CF⊥AD于F,延長MD到N,作BE⊥AD的延長線于E使DN=MD,連接BE連接CD已知：中,是中線．求證：．[練1]在△中,,則邊上的中線的長的取值范圍是什么？[練2]如圖所示,在的邊上取兩點、,使,連接、,求證：．[練3]如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D是AB上一點,F是AC延長線上的一點,且BD=CF,連結(jié)DF交BC于E．求證：DE=EF<倍長中線、截長補(bǔ)短>如圖,已知在中,是邊上的中線,是上一點,延長交于,,求證：．[練1]如圖,已知在中,是邊上的中線,是上一點,且,延長交于,求證：[練2]如圖,在△ABC中,AB>AC,E為BC邊的中點,AD為∠BAC的平分線,過E作AD的平行線,交AB于F,交CA的延長線于G.求證：BF=CG.[練3]如圖,在中,交于點,點是中點,交的延長線于點,交于點,若,求證：為的角平分線．[練4]如圖所示,已知中,平分,、分別在、上．,．求證：∥[例3]已知為的中線,,的平分線分別交于、交于．求證：．[練1]在中,是斜邊的中點,、分別在邊、上,滿足．若,,則線段的長度為_________．[練2]如圖,△ABC中,AB=2AC,AD平分BC且AD⊥AC,則∠BAC=______.[練3]在中,點為的中點,點、分別為、上的點,且．〔1若,以線段、、為邊能否構(gòu)成一個三角形？若能,該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？〔2如果,求證．[例4]如圖,等腰直角與等腰直角,為中點,連接、.探究、的關(guān)系.〔證角相等方法[練1]如圖,兩個正方形和,點為的中點,連接交于點.探究與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.〔證角相等方法[練2]如圖,在中,,,是邊的中線.求證：[例5]如圖所示,在中,,延長到,使,為的中點,連接、,求證．[練1]已知中,,為的延長線,且,為的邊上的中線．求證：[練2]如圖,CB、CD分別是鈍角△AEC和銳角△ABC中線,且AC=AB,∠ACB=∠ABC.求證CE=2CD.[例16]如圖,兩個正方形和,點為的中點,連接交于點.探究與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.〔倍長中線與手拉手模型綜合應(yīng)用[練1]已知：如圖,正方形和正方形,點是線段的中點.⑴試說明線段與數(shù)量關(guān)系和關(guān)系.⑵如圖,若將上題中正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)度數(shù)〔,其他條件不變,上述結(jié)論還正確嗎？若正確,請你證明；若不正確,請說明理由.★全等之截長補(bǔ)短：人教八年級上冊課本中,在全等三角形部分介紹了角的平分線的性質(zhì),這一性質(zhì)在許多問題里都有著廣泛的應(yīng)用.而"截長補(bǔ)短法"又是解決這一類問題的一種特殊方法<把長邊截成兩個短邊或把兩個短邊放到一起；出現(xiàn)角平分線進(jìn)行翻折；有具體角的度數(shù)說明要求角的度數(shù),進(jìn)而得到角相等,全等>如圖所示,中,,AD平分交BC于D.求證：AB=AC+CD.[練1]如圖所示,在中,,的角平分線AD、CE相交于點O.求證：AE+CD=AC.[練2]已知中,,、分別平分和,、交于點,試判斷、、的數(shù)量關(guān)系,并加以證明．[練2]如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AE平分∠BAD交DC于點E,連接BE,且AE⊥BE,求證：AB=AD+BC.[練3]已知：如圖,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD是∠ABC的平分線.求證：BC=AB+AD.[練4]點M,N在等邊三角形ABC的AB邊上運(yùn)動,BD=DC,∠BDC=120°,∠MDN=60°,求證MN=MB+NC．[例11]已知如圖所示,在△ABC中,AD是角平分線,且AC=AB+BD,試說明∠B=2∠C〔不只是邊,倍角也適用[練1]如圖,在△ABC中,AB＝AC,BD⊥AC交AC于點D．求證：∠DBC＝∠BAC．[例12]如圖所示,已知,P為BN上一點,且于D,AB+BC=2BD,求證：.[練1]如圖,在四邊形ABCD中,BC＞BA,AD＝CD,BD平分,求證：[例13]如圖所示,在中,AB=AC,,,CE垂直于BD的延長線于E.求證：BD=2CE.[練1]已知：如圖示,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC=2∠C,BD是∠ABC的平分線．求證：CD=2AD．[練2]如圖所示,在中,,AD為的平分線,=30,于E點,求證：AC-AB=2BE.[練3]正方形ABCD,E是BC上一點,AEEF,交∠DCH的平分線于點F,求證AE=EF[練4]已知在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延長線上,DE交BC于F,且DF=EF,求證：BD=CE[例14]如圖所示,已知//CD,的平分線恰好交于AD上一點E,求證：BC=AB+CD.[練1]如圖,已知AD∥BC,∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E,CE的連線交AP于D．求證：AD+BC=AB．[練2]如圖,在正方形ABCD中,F是CD的中點,E是BC邊上的一點,且AF平分∠DAE,求證：AE=EC+CD．[練3]在△ABC中,AD是BC邊上的高,∠B=2∠C．求證：CD=AB+BD．

[練4]如圖所示,在三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D為三角形ABC外一點,且AD＝BD,DE⊥AC交AC的延長線于點E.試探求ED、AE和BC之間有何數(shù)量關(guān)系[練5]在四邊形ABCD中,AB∥DC,E為BC邊的中點,∠BAE=∠EAF,AF與DC的延長線相交于點F.試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論[例15]如圖在△ABC中,AB＞AC,∠1＝∠2,P為AD上任意一點,求證：AB-AC＞PB-PCDAD12PBC[練1]已知為的中線,,的平分線分別交于、交于．求證：．如圖,E是的平分線上一點,,,垂足為C、D.求證：〔1OC=OD；〔2DF=CF.構(gòu)造等邊三角形1、如圖,已知△ABC中,AB=AC,D是CB延長線上一點,∠ADB=60°,E是AD上一點,且有DE=DB.求證：AE=BE+BC.2、在等腰中,,頂角,在邊上取點,使,求.練習(xí)1、如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于A、2cmB、3cmC、4cmD、5cmABCDA'B'ABCDA'B'C'D'〔倍長中線練習(xí)3、如圖,在△ABC中,BE是∠ABC的角平分線,AD⊥BE,垂足為D,求證：∠2=∠1+∠C練習(xí)4、如圖〔1,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是過A的一條直線,且B、C在A、E的異側(cè),BD⊥AE于D,CE⊥AE于E〔1試說明：BD=DE+CE．〔2若直線AE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖〔2位置時〔BD＜CE,其余條件不變,問BD與DE、CE的關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果；〔3若直線AE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖〔3位置時〔BD＞CE,其余條件不變,問BD與DE、CE的關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果,不需說明理由．如圖所示,在Rt△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝90°,有過A的任一條直線AN,BD⊥AN于D,CE⊥AN于E,求證：DE＝BD－CE．〔思路：截長補(bǔ)短法如圖,在△ABC中,AB=AC,D是三角形外一點,且∠ABD=60°,BD+DC=AB.求證：∠ACD=60°.〔截長補(bǔ)短1、如圖,等腰直角與等腰直角,為中點,連接、.探究、的關(guān)系.〔輔助線的連法都一樣2、已知：如圖,正方形和正方形,點是線段的中點.⑴試說明線段與數(shù)量關(guān)系和關(guān)系.〔輔助線的連法都一樣⑵如圖,若將上題中正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)度數(shù)〔,其他條件不變,上述結(jié)論還正確嗎？若正確,請你證明；若不正確,請說明理由.3、已知為的中線,,的平分線分別交于、交于．求證：．〔輔助線的連法都一樣[閱讀理解]

已知：如圖1,等腰直角三角形ABC中,∠B=90°,AD是角平分線,交BC邊于點D．求證：AC=AB+BD證明：如圖1,在AC上截取AE=AB,連接DE,則由已知條件易知：Rt△ADB≌Rt△ADE〔AAS

∴∠AED=∠B=90°,DE=DB

又∵∠C=45°,∴△DEC是等腰直角三角形．

∴DE=EC．

∴AC=AE+EC=AB+BD．

[解決問題]

已知,如圖2,等腰直角三角形ABC中,∠B=90°,AD是∠BAC的平分線,交BC邊于點D,DE⊥AC,垂足為E,若AB=2,則三角形DEC的周長為．[數(shù)學(xué)思考]：現(xiàn)將原題中的"AD是內(nèi)角平分線,交BC