微專題15立體幾何中的截面、范圍與最值、軌跡問題

【秒殺總結(jié)】

1、立體圖形中的截面問題：

（1）利用平面公理作出截面；（2）利用幾何知識(shí)求面積或體積.

2、立體幾何中距離之和的最值問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠求得A關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)

從而利用三角形兩邊之和大于第三邊的特點(diǎn)確定當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值.

3、對(duì)于立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問題，常需動(dòng)中覓靜，這里的“靜"是指問題中的不變量或者是不

變關(guān)系，動(dòng)中覓靜就是在運(yùn)動(dòng)變化中探索問題中的不變性."靜"只是"動(dòng)"的瞬間，是運(yùn)動(dòng)的一

種特殊形式，然而抓住"靜”的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形，問題便迎刃而解.

【典型例題】

例1.（2023秋?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨(dú)特的幾何體，圖

1所示的禮品包裝盒就是其中之一.該禮品包裝盒可以看成是一個(gè)十面體，其中上、下底面

為全等的正方形，所有的側(cè)面是全等的等腰三角形.將長方體A8CZ）-AACR的上底面

繞著其中心旋轉(zhuǎn)45。得到如圖2所示的十面體45CD-￡FG”.已知AB=A￡>=2,

AE=幣,DC=2（V2+1）DP,過直線律作平面a,則十面體外接球被平

面a所截的截面圓面積的最小值是（）

圖I圖2

A(51-320,51-32立卜C(81+56萬卜口(81+56夜,

48124812

【答案】C

【解析】依題意，四邊形EFGH是正方形，令正方形A5CD與正方形EFG”中心分別為。'，口,

連接。2，

因?yàn)檎叫闻c正方形EFG"在同一平面內(nèi)，且有相同中心，因此它們有相同的外

接圓，

從而十面體ABCD-EFGH與長方體A8CQ-AAGA的外接球相同，球心。是線段。'?的

中點(diǎn)，如圖，

取A8中點(diǎn)M,連接O'M,EM,因?yàn)?則顯然OM_LA6,

又O'MEM=M,O'M,EMu平面EMO',則AB/平面EMO',

而0'0口平面ABCD,ABu平面A3CZ)，即有

。‘。。'"=0',0加,0'4匚平面加。2,則A8工平面MOQ,平面EM。與平面MO'Q有

公共點(diǎn)O',

顯然平面EMO'與平面MOQ為同一平面，有qE//OM,而Og=&,。加=1,

ME={AE2-AM)=娓-

在直角梯形EMOQ中，過M作M/J.OE于/,

O'O,=MI=y/ME2-EI2=76-(72-1)2=72+1，

222

球O的半徑R=OB=y/0'0+0'B=J(^l±l)+(^)2=J"+2',

V22

過。作Oz,平面月BCD，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，射線Q4DC,Dz分別為x,y,z軸非負(fù)半軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，

則D(0,0,0),C(0,2,0),E(e+1,1,724-1),0(1,1,^―!-),DC=(0,2,0),

2

由已知得。P=——￡>C=(0,72-1,0),即尸((),&-1,0),

2(&+1)

尸￡=(夜+1,2-夜，夜+1),。后=(&,0,也±1),則點(diǎn)0到直線PE的距離d有:

2

dYOEU正阻咒

I陽

球。被過直線￡P(guān)的平面a所截的截面圓最小時(shí)，球心。到平面a的距離最大，即為點(diǎn)。到

直線PE的距離d,

截得的最小截面圓半徑為「，而OE=R，則

a陽一號(hào)斜2]=喘g

=（2+&+等今81+560,

-2（&+1產(chǎn)+（2-點(diǎn)了—48

所以截得的截面圓面積的最小值是萬產(chǎn)=（81+56&R.

48

故選：C

例2.（2023春?河北石家莊?高三石家莊二中校考開學(xué)考試）已知AC為圓錐S。底面圓。的

直徑（S為頂點(diǎn)，。為圓心），點(diǎn)B為圓0上異于AC的動(dòng)點(diǎn)，SO=1,OC=百，則下列結(jié)

論正確的為（）

A.圓錐SO的側(cè)面積為2石萬

B.NSM的取值范圍為弓號(hào)）

C.若A8=8C,E為線段A3上的動(dòng)點(diǎn)，則（SE+CE）mi?=,10+2后

D.過該圓錐頂點(diǎn)S的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為白

【答案】AC

【解析】對(duì)選項(xiàng)A：母線長的=』+陰2=2,側(cè)面積為5=口/=26兀，正確；

對(duì)選項(xiàng)B：ZXMB中，SA=SB=2,0<AB<2y/3,則當(dāng)AB=2時(shí)，

IT

NSAB=],錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)C：ABC為等腰直角三角形，AB=BC=?將aSAB放平得到S.AB,如圖2

所示，當(dāng)*,E,C三點(diǎn)共線時(shí)SE+CE最小，尸為AB中點(diǎn)，連接￡尸，則

SC=7BS,2+BC2-2BS,■BCcosZ5.BC=14+6-2x2x#xcos(J+NABSJ

=J10+2后，正確；

對(duì)選項(xiàng)D：如圖3,設(shè)截面為SMN,。為MN中點(diǎn)，連接OQ,SQ,設(shè)MN=2a,ae(0,括］,

22

貝ljS殷MN=gMNXSQ=a.Jl+OQ?=aVl+3-a=a-^-a

^a2+4-a2

=2,當(dāng)q=67，即〃=0時(shí)等號(hào)成立，D錯(cuò)誤.

2

故選：AC

例3.（2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）正四棱臺(tái)ABCO-AMGR中,

JT

4B=2，ABI=I,側(cè)棱AA與底面所成角為m.E,RG分別為AD,A8,網(wǎng)的中點(diǎn)，M為線

段BQ上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則下列說法正確的是（）

B.三棱錐E-FGM的體積為定值

6

C.平面EFG截該棱臺(tái)所得截面為六邊形D.異面直線A瓦與匹i所成角的余弦值為

5應(yīng)

~8~

【答案】ABD

【解析】將正四棱臺(tái)補(bǔ)形為正四棱錐S-ABCD,

s

由AB=2，A4=1可得44GA為其中截面.

設(shè)。。分別為ABC3ABCQ的中心，

A0=gx2&=0,5。，底面故/S40為側(cè)棱AA與底面所成角，

故NSAO=],可得SA=2&,A4,=應(yīng),S0=J(2應(yīng)q_(a)2=#,00=*,

側(cè)面ABBM為等腰梯形，高為j-QJ=,,故ABi=，(2-；y+(,y=2,

+SS

對(duì)于A,V=3(5.00+548,60,\lABCDAlBlClDl)X/?=-i(4+1+74X1jX,正確

對(duì)于B,連接BD.則EF//BD,而B、D、〃BD.

所以片口〃EF,￡Fu平面EFG.8Q<Z平面EFG,得8a/平面EFG,

由于5??；為定值，M在8Q匕故三棱錐M-EFG的體積為定值

即三棱錐E-FGM的體積為定值，B正確；

對(duì)于C,取中點(diǎn)“，連接EH并延長交4A于P,

連接房并延長交直線于。，

p

則色PD、H.則ED=PD,，而ED=A,Dt=\,

故AQ=P〃洞理A4=?！?/p>

連接PQ,則PQ〃8Q,即BQ,為△AP。的中位線，而O1為AG的中點(diǎn)，

故〈在PQ上,即P,C”。三點(diǎn)共線,

連接GG，G”,則五邊形EFG￡H為平面EFG截正棱臺(tái)所得的截面，C錯(cuò)誤

對(duì)于D，由題意A2〃=AE知四邊形4。圈為平行四邊形，

故〃E〃AA，可得4乃4為異面直線AB,4ED1所成角或補(bǔ)角，

在世中,由余弦定理得cos/A做=A儲(chǔ)；,，二?即、2+?1=半，

2AA由42XV2X28

jr

由于異面直線ABt與ED［所成角范圍為（0,會(huì)，

故異面直線4片與EE＞［所成角的余弦值為逑，D正確，

8

故選：ABD

例4.（2023秋?山東德州?高三統(tǒng)考期末）正方體ABC。-ABCQ的棱長是2,M、N分別

是A3、8c的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.DtM±B,C

B.以R為球心，逐為半徑的球面與側(cè)面BCG用的交線長是兀

C.平面AMN截正方體所得的截面周長是0+2萬

D.與平面所成的角的正切值是④

【答案】AC

【解析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD,AA所在直線分別為x、V、z軸建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，

對(duì)于A選項(xiàng)，4（0,2,2）、”（1,0,0）、4（2,0,2）、C（2,2,0）,

￡＞陽=（1,-2,-2）,四。=（0,2,-2）,則。陽-4c=0-4+4=0,A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?G1平面BBgC,

所以，以A為球心，石為半徑的球面與側(cè)面8CC4的交線是以點(diǎn)G為圓心，半徑為

r/5-CR=1的;圓,

1TT

故交線長為B錯(cuò)：

22

對(duì)于D選項(xiàng)，易知點(diǎn)4(2,0,2)、R(0,2,2)、M(1,0,0),N(2,l,0),

設(shè)平面RMN的法向量為〃=(x,y,z),AW=(1,1,0),JDJM=(1,-2,-2),

n-MN=x+y=0

取x=2,可得”=(2,-2,3),

nDM=-2y-2z=0

)lX

,、BRn-82&

的=(-2,2,。)，-而,

設(shè)直線BR與平面D、MN所成角為0,則sin。=竽，

V17

所以，cos0=>/l-sin26>=-^=,故tane=^^=^^,

V17cos6>3

因此，。田與平面RMN所成的角的正切值是述，D錯(cuò).

3

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)平面RMN交棱A4于點(diǎn)磯0,01),其中04f42,ME=(-l,0j),

因?yàn)槔鼸u平面RMN,所以，MEn=-2+3t=O,解得，=：，即點(diǎn)E(0,0,|

同理可知，平面0MN交棱CG于點(diǎn)尸(2,2彳

同理可得|ME|=|NF卜浮，|MN|=0,

因此，平面D\MN截正方體所得的截面為五邊形REMNF,

其周長是a+2x（乎+乎）

=0+2屈，C對(duì).

故選：AC.

例5.（2023春?廣東汕頭?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知正方體A8CO-AAG。的棱長均為2,E為

線段AA的中點(diǎn),4P=24B+〃AD,其中九4目05,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.當(dāng)〃=；時(shí),

B.當(dāng)時(shí),Af+P。的最小值為近+逐

C.若直線8/與平面ABCZ）所成角為彳，則點(diǎn)尸的軌跡長度為^

D.當(dāng)2+〃=1時(shí),正方體被平面PAR截的圖形最大面積為472

【答案】AD

【解析】由題知正方體ABC3-AMGA的棱長均為2,

當(dāng)〃=g時(shí),=+

此時(shí)AP.E.=（AA+AP）.（E4+40+OR）

^^A+AAB+^ADY^AD+^AA,

2

=AtAAD+^A]AAA]+AABAD+^AABAA]+^ADAD+^ADAAt

_lx4+-x4=0,

22

所以APLE0,

即選項(xiàng)A正確；

當(dāng)；l=〃時(shí),AP=/i（AB+AO）=/l4C,

所以點(diǎn)P在AC上，且點(diǎn)P在平面MGC上,

分別將AA.GC延長至M,N,

使得AM=CN=B

將AADC沿著AC向下翻折至與平面AACC共面，

點(diǎn)D翻折后變?yōu)?，過2向AC作垂線，垂足為。，如圖所示:

因?yàn)锳￡>=￡>C=2,A￡>_LDC,

所以AO?=D2C=2,AD2±D2C,/^ADC^AD2C,

因?yàn)?。_LAC,所以。為AC中點(diǎn)，且D20=6,

因?yàn)槠矫鍭A.QC1平面ABCD,且平面MGC、平面ABCD=AC,

D20，AC,所以D2O平面ABCD.

所以2?！ˋA,〃CG,又因?yàn)?0=&=AM=CN.

所以2在MN上，且為MN中點(diǎn),AP+PO=AP+P2,

在平面AA,C}C中，連接\D2交AC于點(diǎn)尸時(shí),AP+PD2取最小值，

因?yàn)?。=2夜,所以2知=也，

此時(shí)\D2={(AM/+SM?

='(2+何+(可=18+4&*夜+6,

故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

因?yàn)槠凇烂鍭BCD,所以NBPB1為直線B,P與面ABC。的平面角,

當(dāng)直線BE與平面ABCD所成角為￡時(shí)，

4

冗7E

即ZBP4=7,因?yàn)?片工3戶,所以ZBB,P=-,

44

所以84P為等腰直角三角形，因?yàn)?用=2,所以外=2,

因?yàn)锳P=4AB+pAD，由平面向量基本定理可知P在平面ABCD內(nèi),

所以P的軌跡為以8為圓心2為半徑的圓匕且在平面ABCD內(nèi)，

所以點(diǎn)P的軌跡長度為:x27rx2=九

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

因?yàn)?2=248+〃4),其中/1,〃€[0,1],

因?yàn)閹?〃=1,所以尸,反。三點(diǎn)共線，

連接4c交8。于點(diǎn)。，

當(dāng)點(diǎn)尸在。。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，延長轉(zhuǎn)交C￡＞于點(diǎn)

則正方體被平面PAD,截的圖形為AAHR,

山圖可知，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到。點(diǎn)時(shí)，截面為△AC。.此時(shí)截面枳最大,

因?yàn)檎襟w棱為2,所以AA=2&=AC=CD「

此時(shí)截面積最大為！x2應(yīng)x2&x立=2百.

22

當(dāng)點(diǎn)戶在。8上運(yùn)動(dòng)時(shí)，延長小交C。于點(diǎn)L,

過點(diǎn)L做ADt的平行線交CC,于點(diǎn)Q,連接D,Q,

再過點(diǎn)L做A"的垂線，垂足為R,如圖所示：

由題可知,此時(shí)截面為等腰梯形ADtQL.

記CL=x,xw[0,2]^iJCQ=x,8L=CiQ=2-x,ADX=272,

AL=D[Q=,4+（2_X）2,LQ=y/2x,

所以科=歿二口=巫巫，

22

2加一瘋丫

LR=qAl}-AR2=4+（2-X『-

/

所以與以JAR+⑷/即+國N

2-2

(X+2)2.(X2-4X+12)J(X+2)2-((X-2)2+8)

(x+2)t(x-2y+8(x+2)2^(X2-4)2+8(X+2)2

L4-8X2+16+8X2+32X+32(7+327+48

V44

/+32x+48

令〃x)=[0,2],

所以/（力=V+8>0,所以〃x）在［0,2］單調(diào)遞增,

所以f（x）4/（2）=32,

故S叫2^4病=40,因?yàn)?百<4立，

所以正方體被平面抬口截的圖形最大面積為4應(yīng).

即選項(xiàng)D正確.

故選:AD

例6.（2023秋?河北衡水?高三河北衡水中學(xué)?？计谀┰谡襟wABCO-AAGA中,

AB=2.E,F,G分別為棱明,AB,BC中點(diǎn)，”為CG近C三等分點(diǎn)，P在面例。。上運(yùn)動(dòng),

B.若GP=RGF+（pGH（jj,夕wR），則C點(diǎn)到平面PBH的距離與P點(diǎn)位置有關(guān)

C.BDt1EG

uuilujuuuuo./ri

D.若GP=juGF+<pGH3，（pwR），則P點(diǎn)軌跡長度為三二

【答案】BCD

【解析】根據(jù)題意建立如圖所示的坐標(biāo)系：

因?yàn)檎襟w的邊長為2,

所以A(o,o,o),A(O,O,1),4(2,0,0),G(2,2,0),0,(0,2,0),8(2,0,2),C(2,2,2),￡>(0,2,2),

4

E(2,0,l),尸(1,0,2),G(2,l,2),”(2,2,—),

3

LMJLaiUULMtUUU

對(duì)于A,因?yàn)锽G=(0,2,—2),FD,=(-l,2,-2),FG=(1,1,0),

,,、，一,，(一x+2y-2z=0

設(shè)平面。[尸G的法向量為〃=(x,y,z),則有“，

[x+y=0

，2

y=-z

則有J3,

y=-x

取1(-2,2,3),

1ILLBl1UUUU

因?yàn)椤?BG=-2HO,所以，U8G不成立，

所以SC；〃平面D,FG不成立，故錯(cuò)誤；

ULUUUUUUW2

對(duì)于B,設(shè)P(O,%,Zo),則GP=(-2,%-1,Z()—2),GF=(-l,-l,0).GW=(0,l,--),

UlUUUUUUU

又因?yàn)镚P=〃G尸+*GH(M，/eR)，

-2=-//

24

所以=所以有zo=_1%+§，

所以尸點(diǎn)軌跡為如圖所不的線段M。,

在平面BCG用內(nèi)作出與MR平行的直線NC、,

易知MD,與NC、的距離等了平面ADD^與平面BCC國的距離為2,

因?yàn)镹GHBH不平行，

所以MR與班/不平行，

所以點(diǎn)尸到BH的距離不是定值,

所以Spg”不是定值，

又因?yàn)樨癷CH=^C-BPH,

1i2I

即aX/x2x§x2=]Sww，(〃為。點(diǎn)到平面PBH的距離)，

4

所以〃=行一不是定值，

PHB

所以C點(diǎn)到平面PBH的距離與P點(diǎn)位置有關(guān)，故正確；

UUUUUWIILIUULM1

對(duì)于C,因?yàn)?.=(-2,2,-2),EG=(0,1,1)，BD「EG=2-2=3

uuuUU11

所以BQLEG,即有8R_LEG,故正確；

244

對(duì)于D,由B可知P點(diǎn)軌跡為4=-§%+§,令%=°，則%=§；

令4>=2,則%=2，

所以尸點(diǎn)軌跡的長度為尸等,故正確.

故選：BCD

例7.(2023春?河北石家莊?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)在三棱錐尸-A8C中，

PA1BC,BC=2PA=2AB=4,PC=2y[6,點(diǎn)M,N分別是PB,BC的中點(diǎn)，且AM_LPC,

則平面AMN截三棱錐P-ABC的外接球所得截面的面積是.

【答案】手147r

【解析】因?yàn)?例是P8的中點(diǎn)，所以

又AMLPC,PBcPC=P,PB,尸。u平面PBC,

所以AMJ_平面PBC,又BCu平面PBC,

所以4W_L8C,

又/<4_L5C,PAcA"=A,PAAMu平面PAB,

所以BC_L平面BAB,又PB,ABu平面以8,

所以8c1AB,BC1PB.

在△ABC中，AB=2,8C=4,BC1A8,

所以AC=jAfi2+8C2=2K，

在△/MC中，AC=2瓜PA=2,PC=2娓,所以AC2+P42=pc2,所以AC，％,

取PC的中點(diǎn)O,又3C，PB,ACJ?必，

所以。4=。8=OC=OP,即點(diǎn)。是三棱錐P-ABC的外接球的球心，

因?yàn)镻C=2C，故外接球半徑為??="，

設(shè)。到平面AMN的距離為h,平面AMN截球。所得的截面圓的半徑為r,

因?yàn)镸N是△PBC的中位線，所以O(shè)到平面AMN的距離等于B到平面AMN的距離，

故^O-AMN=VR_AM,V=Vv-AAffi，即1*彳'及X瓜x/；=—x2x—X近X近,得h=—^―）

32323

所以r=R2j2=?,

所以截面圓的面積為S=Q2=￡兀.

14

故答案為：—7T.

例8.（2023秋?北京朝陽?高三統(tǒng)考期末）如圖，在棱長為。的正方體ABCQ-ABIG。中,

P，Q分別為AG，aq的中點(diǎn)，點(diǎn)T在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，滿足P7J.8Q.

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①點(diǎn)7可以是棱。A的中點(diǎn)；

②線段尸T長度的最小值為:。；

③點(diǎn)T的軌跡是矩形;

DA

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】②③④

【解析】山題知，以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CD,C8,CG所在直線分別為x，yz軸建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系，令正方體ABC。-ABGA棱長”=2

則C(0,0,0),0(2,0,0),*0,2,0),A(2,2,0),C,(0,0,2),R(2,0,2),

4(022),A(2,2,2),p(l,14),e(1.2.2).設(shè)T(x,y,z),

對(duì)于①，當(dāng)點(diǎn)T為棱。。的中點(diǎn)時(shí)，7(2,0,1),

貝iJPT=(l,T,0),8Q=(l,0,2),PT.BQ=1+0+()=1H()

不滿足PTLBQ,所以點(diǎn)7不是棱。。的中點(diǎn)，故①錯(cuò)誤.

PT=（x—l,y—因?yàn)镻TL8Q

所以x—l+2（z—1）=0,

31

當(dāng)x=0時(shí)，z=-.當(dāng)x=2時(shí)，z=—

取E（2,0,￡|,尸0,2,；）,G（0,2,|）“0,04

連結(jié)EF,FG,GH,HE,

則改="。=(0,2,0),E”=FG=(—2,0,1),EFEH=。，即EFLE”

所以四邊形EFGH為矩形，

因?yàn)镋F-BQ=0,EH-BQ=0,

所以EFJ.BQ,EHVBQ,

又EF和EH為平面EFGH中的兩條相交直線,

所以BQL平面EFGH,

又麗=1詞，'+嗚)

所以P為EG的中點(diǎn)，則Pw平面EFG”，

為使P7LBQ,必有點(diǎn)Te平面EFG”，

又點(diǎn)T在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)T的軌跡為四邊形EFGH,

又EF=GH=2,EH=FG=也,

所以EFwEH,則點(diǎn)T的軌跡為矩形EfG”，故③正確

面積為2x6=26,即無az,故④正確

2

又因?yàn)锽Q=(l,0,2),PT=(x-l,j-l,z-l),PTA.BQt

則％-l+2(z-1)=0,即x+2z-3=0,

所以x=3-2z，點(diǎn)7在正方體表面運(yùn)動(dòng)，

,13

則0K3-2z<2,解得z<—f

所以IPT|=J(x-l)2+(y-l)2+(z-l)2=75(z-l)2+(y-l)2,

結(jié)合點(diǎn)7的軌跡為矩形EFGH,

分類討論卜列兩種可能取得最小值的情況

當(dāng)z=l，y=o或產(chǎn)2時(shí)，|尸刀=1,

當(dāng)y=i,Z=1或Z=g時(shí)，忸7|=延

22112

因?yàn)?〈正，所以當(dāng)z=l,y=0或y=2時(shí)，PT取得最小值為I,即故②正確.

22

綜上所述：正確結(jié)論的序號(hào)是②③④

故答案為：②③④.

例9.(2023春?云南?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基

米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)“，N的距離之比為定值4九二1,4>0)的點(diǎn)的軌跡

是圓“，后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直

角坐標(biāo)系xOy中，W(-2,0),N(4,0),點(diǎn)P滿足=；.則點(diǎn)P的軌跡方程為；

在三棱錐S-ABC中，SAJ?平面A8C,且9=3,BC=6,4C=2A8,該三棱錐體積的最大

值為.

【答案】(x+4>+y2=i612

【解析】設(shè)尸(*，以魯="所以4*+2)：+,=：,所以J+8X+2=。，即(尤+4/+2=16,

|PN|2《-4產(chǎn)+/2

所以點(diǎn)P的軌跡方程為(x+4)2+V=16；

三棱錐的高為&4=3,當(dāng)?shù)酌鎜ABC的面積最大值時(shí)，三棱錐的體積最大，BC=6,

AC=2AB,取8C靠近8的一個(gè)三等分點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。，5c為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

不妨取B(-2,0),C(4,0),由題設(shè)定義可知4(x,y)的軌跡方程為(x+4f+產(chǎn)=16,

所以4在圓。+4)2+產(chǎn)=16的最高點(diǎn)處(T,4),S=1x6x4=12,

此時(shí)，(kBc)a=gx3xl2=12.

故答案為：(x+4)2+y2—16；12.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.(2023?北京順義?統(tǒng)考一模)在棱長為1的正方體中，動(dòng)點(diǎn)P在棱4圈上,

動(dòng)點(diǎn)。在線段8G上、若AP=48Q=〃，則三棱錐R-AP。的體積()

A.與幾無關(guān)，與〃有關(guān)B.與2有關(guān)，與〃無關(guān)

C.與;都有關(guān)D.與都無關(guān)

【答案】D

【解析】因?yàn)锳8CD-A8GR為正方體，所以CQ〃AB1

因?yàn)镚Ru平面ABC。，4四《平面ABCQ,所以44〃平面4BCQ,

所以點(diǎn)P到平面ABCR的距離也即A區(qū)到平面A8G烏的距離，也即點(diǎn)P到平面AQQ的距

離不隨AP=2的變化而變化，設(shè)點(diǎn)P到平面A2A的距離為〃，過點(diǎn)4作A/LA。，根據(jù)

正方體的特征可知：A32平面因?yàn)?/<=平面AORA，所以尸，

ABADt=A,所以AFL平面ABCQ,則有〃=同尸=也，

2

因?yàn)镚A//4B且GA=AB,所以四邊形A3GR為平行四邊形，所以BG//AR,

所以點(diǎn)Q到A4的距離也即BC,到AQ的距離，且距離為1,所以S,。=[xA"xl=也（定

a〃必2I2

值），

所以％-”0=%ZM2=：SADg,h=；x^x與=:（定值），

則三棱錐R-APQ的體積不隨4與〃的變化而變化，也即與與兒M都無關(guān).

故選：D.

2.（2023?遼寧?校聯(lián)考模擬預(yù)測）在三棱錐A—BC。中，AB=BC=CD=DA=2日ZADC

=/ABC=90。，平面ABC,平面AC￡>,三棱錐A-BCO的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，E,

產(chǎn)分別在線段08,CO上運(yùn)動(dòng)（端點(diǎn)除外），BE=42CF.當(dāng)三棱錐E—ACF的體積最大時(shí)，

過點(diǎn)尸作球O的截面，則截面面積的最小值為（）

7-3

A.兀B.J3itC.—兀D.2兀

2

【答案】C

【解析】如圖，取AC的中點(diǎn)O,連接。F，OB,

因?yàn)镹AQC=N48C=90。，所以QA=O3=OC=OZ)=gAC,即。為球心,

則球。的半徑R=2.又AB=BC,所以O(shè)B_LAC,

又平面ABC_L平面ACZ）,平面ABCc平面AC￡）=4C,QBu平面ABC,

所以O(shè)B_L平面ACD.

設(shè)CF=x,則BE=>/ir<2，所以O(shè)<x<0，

所以三棱錐E-ACF的體積V=gS?CFXOE=HCFADOE

=2叫2—岳）=|（歷孑）=_.4]+：,

歷1

當(dāng)》=注時(shí)，丫取得最大值；.由于OA=OB=OC=OD,

23

在△COB中，由余弦定理得：

OF=yloC2+CF2-2OC-CFCOSZACF=.4+--2x2x—x—=—,

V2222

根據(jù)球的性質(zhì)可知，當(dāng)。尸垂直于截面時(shí)，截面圓的面積最小，

設(shè)此時(shí)截面圓的半徑為r,所以r=J/?2—0尸2=卜_（叵]=告，

則截面面積的最小值為“2=兀（半J=|兀.

故選：C.

3.（2023秋?廣東?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在三棱錐A-A8C中，胴，平面

A4G，NAB|G=90。，A4=2AA=2BC=2,P為線段4片的中點(diǎn)，M,N分別為線段4a和

線段上任意一點(diǎn)，則指PM+MN的最小值為（）

C.V5D.2

【答案】C

【解析】因?yàn)槠矫?萬G，A4，BC|U面所以例44,_L44,

又NA4G=90。，B.C.1AB,，

因?yàn)?4,A4=A，平面AgA，所以3cl.平面A44,

又AB|U平面ABM，所以BCi，AB”

又在Rt,AA與中，AB[=jM+ABj=6,

在中，s

Rtz^AGABjM+s81MCi=SA81G，

故gX島PMsinNMP耳+gX1XMNsinNMNC、=gx1x石，

則有PMsinZMPB]+MNsinZMNCt=石,

又逐PMsinNMPB,<加PM,MNslnAMNC、<MN,

所以出PMsinZMPB]+MNsinZMNC,<舊PM+MN.

即石4石PM+MN,當(dāng)且僅當(dāng)/94=90。,/236=90。時(shí)，等號(hào)成立，

當(dāng)NMP&=90。時(shí)，M為AG的中點(diǎn)，此時(shí)當(dāng)/MNG=90。時(shí)，N為qG的中點(diǎn)，

綜上所述卡PM+MN的最小值是石.

故選：C.

4.（2023秋?河北保定?高二統(tǒng)考期末）足球起源于中國古代的蹴鞠游戲.“蹴”有用腳蹴、踢

的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活

動(dòng)，已知某“鞠''的表面上有四個(gè)點(diǎn)P,A8,C,滿足尸A=2,24_1面48。，AC1BC,若

2

匕FBC=§，則該“鞠''的體積的最小值為（）

A4近口8夜99

A.-----7T13.-----7CC-ROn.一兀

3328

【答案】B

【解析】因?yàn)镻4=2,抬_1_面4?6\ACLBC,

故AB為三角形ABC所在小圓的直徑，取A8中點(diǎn)O',過O'作。O//AP,交BP于點(diǎn)O,

則O即為球心，為球的宜徑，

要想該“鞠”的體積最小，只需尸3最小，由于P8=>JPA2+AB2=J4+A82,

故只需AB最小，AB=yjAC1+BC2>

I112

故/TBC=§SMC?尸A=§XEACBCX2=§,

解得：AC.BC=2,

由基本不等式得：AC2+BC2>2ACBC=4,當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC=夜時(shí)，等號(hào)成立,

故A3最小值為2,此時(shí)直徑最小值為PB="+22=272，

所以談'鞠”的體積最小值為?（四）'=甲兀.

5.（2023秋?北京密云?高二統(tǒng)考期末）在直三棱柱ABC-A4G中，底面為等腰直角

三角形，且滿足A8=BC=A4,=1,點(diǎn)P滿足BP=4BC+〃BR,其中九?0/，

則下列說法不正確的是（）

A.當(dāng)2=1時(shí)，的面積S的最大值為無

2

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐P-ABC的體積為定值

C.當(dāng)力=；時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得4尸，3尸

D.當(dāng)〃=；時(shí),存在點(diǎn)P,使得A8_L平面A87

【答案】C

【解析】當(dāng)4=1時(shí)，BP=BC+〃網(wǎng)，則點(diǎn)尸在CC上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)尸與C1重合時(shí)，則此時(shí)面

積取得最大值，A￡=JAC，+CC：=V2，由于直三棱柱ABC-AtB￡,則AB±A4.ABC為

等腰直角三角形，則回工AC,4CcAA=A,AC,A4,u面4CGA

則AB上面ACCa

QAGujBMCGA

ABJ.AC；

則S""=SABC=，AB-AG=立,故選項(xiàng)A正確;

r\tir/&￡>C|12

當(dāng)〃=1時(shí)，則加=2BC+B/點(diǎn)尸在4G上運(yùn)動(dòng)，則%“c=匕、-BPC,

山于點(diǎn)A到平面BPC的距離為定值豐，點(diǎn)尸到線段BC的距離恒為1

=XX=1

則SBCP=—xV2x1=,WI]Vp=V,BPC~~^~~^~~故選項(xiàng)B正確;

lf\^r22i~A,ov/I1—Dr\.3226

當(dāng)；l=g時(shí)，8。=；8。+〃84，設(shè)8（：的中點(diǎn)為知，8c的中點(diǎn)為N,則點(diǎn)尸在用N上運(yùn)動(dòng),

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，BMLMN,BM上AN,

則BM上面AMN,則BM1A,P

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，47，面5。。4,即Af,面8CCf，

則A/LBP,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

AC

BM(P)

A\i.G

N(P)

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)B片的中點(diǎn)為H,CG的中點(diǎn)為G,當(dāng)〃=；時(shí),

BP=2BC+；BB一則點(diǎn)P在線段陽上運(yùn)動(dòng)，

A(0.0.0),8(1,0,1),A(0,0,1),4(1,0,0),尸(a』一”,；

4B=(l,0,l),Ag=(l,0,T)AP=(a,j,_g)

設(shè)平面APB,的法向量為m=(x,y,z).

(1

AB1-m=x—z=0—a

則v1nm=1,7——,1

Iuuu

當(dāng)a時(shí)，則4B與記平行，則存在點(diǎn)尸，使得平面ABf,故選項(xiàng)D正確.

6.（2023?河南信陽?河南省信陽市第二高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考一模）在棱長為2的正方體

ABCD-A耳GR中,M為CG中點(diǎn),N為四邊形AQQA內(nèi)一點(diǎn)（含邊界）,若與N〃平面BMD,

則下列結(jié)論正確的是（）

Q

A.NBJNC、B.三棱錐用的體積為］

C.線段與N最小值為亨D.tan幺2線的取值范圍為［1,逐］

【答案】D

【解析】

取A4中點(diǎn)M，連接。￡,DN，B\N\,則有平面耳NQ〃平面助⑺，

B\N//平面BMD，即N在線段N。上.

當(dāng)N在。時(shí)夾角為45。，故A錯(cuò)；

||4

V氏-NBM=VN-MM=§X]X2X2X2=3.故B錯(cuò).

線段8聲的最小值為等腰三角形4M。腰2。上的高腦力=3空叵=2叵，故c錯(cuò).

V55

因?yàn)镹NAM=90°,tanZAiNB、=普=焉.

當(dāng)N為口點(diǎn)時(shí)AN最大，/AN4的最小.

當(dāng)AN最小值為直角三角形斜邊的高，即4%=京

此時(shí)tanNANq=l為最小,,此時(shí)

tanZ^Ng=石為最大，故D正確.

故選:D

7.（2023?北京?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知正三棱錐P-ABC的側(cè)棱長為迷，底面邊長為,

則以P為球心，2為半徑的球面與正三棱錐表面的交線長為（）

【答案】D

【解析】

由已知得尸A=?,PB=R,AB=2石，得

灰+金-66+6—12TT

cosNBPA==0,所以NBPA=5,

2PAPB2xV6x5/6

其中，以尸為球心，2為半徑的球面與正三棱錐的面aw的交線如圖，為弧OE與弧FG,

可求得尸”=G，PD=2,故NOP"=30,故NAPO=N8PF=15,

|JT

故OE=FG=-4"二二，同理，球面與正三棱錐的面PAC和面P8C所交的弧長一致，故

724T6

以尸為球心，2為半徑的球面與正三棱錐的面2鉆，面PAC,面P8C的交線的總長度為：

—x6=》.

6

而球面與正三棱錐的面A8C的其中交線如圖,

取其中一部分，三部分弧長長度一樣,

p

c

因?yàn)椤鱎4C為直角三角形，且PA=PC=#,AC=26根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)，Q為三角

形ABC的外接圓圓心，故”為4C中點(diǎn)，則PH=《PC?—CW?=,且QH=1,所以，

PQ=^PH'-QH-=V2.

取尸T=2,則Rf.PQT中，QT=dpr-PQ，=0,△QTC中。T=&,CQ=2,

NACQ=30,故利用余弦定理，可得CT=&，所以，弧長77=12k夜=立;r,而這

126

樣的弧長，球面與正三棱錐的面ABC的交線總共有三部分，故交線長為：兀+包兀

2

故選：D

8.（2023秋?北京?高二清華附中?？计谀┤鐖D，在正方體ABC。-A耳GA中，E為棱4G

的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)尸沿著棱。。從點(diǎn)。向點(diǎn)C移動(dòng)，對(duì)于下列四個(gè)結(jié)論：

①存在點(diǎn)P,使得2\=所；

②存在點(diǎn)P，使得BD、，平面P&E；

③△PAE的面積越來越??；

④四面體的體積不變.

其中，所有正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】c

【解析】設(shè)正方體棱長為2,op=/n,

由⑨，平面ABCDAPu平面ABC。得AA1AP,同理PCLEC,

所以=AA2+AD1+DP2=8+機(jī)2,PE2=PC2+CC^+C.E2=4+(2-m)2+\=5+(2-m)2,

由8+〃P=5+(2-/n)2得機(jī)=1,存在尸使得尸4=尸￡,①正確，

4

正方體中，8〃平面所以P到平面A/GR的距離不變，即P到平面

A與E的距離不變，而△A4E面積不變，因此三棱雉尸-4冉后，即四面體423避的體積不

變，④正確；

以DA,DC,DDt為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖，

正方體棱長為2,則A(2,0,2),￡(1,2,2),8(2,2,0),D,