2023年中考數(shù)學第一次模擬考試卷（寧波卷）數(shù)學·全解全析1．2023的相反數(shù)是（）A． B． C．﹣2023 D．2023【答案】C【分析】利用相反數(shù)的定義判斷．【詳解】2023的相反數(shù)是﹣2023，故選C．【點評】本題考查了相反數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的定義．2．盧塞爾體育場是卡塔爾世界杯的主體育場，由中國建造，是卡塔爾規(guī)模最大的體育場．世界杯之后，將有約170000個座位將捐贈給需要體育基礎(chǔ)設(shè)施的國家，其中大部分來自世界杯決賽場地盧塞爾體育場，170000這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為（）A．0.17×105 B．1.7×105 C．17×104 D．1.7×106【答案】B【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【詳解】170000＝1.7×105．故選B．【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．3．下列計算正確的是（）A．（x2）3＝x5 B．x2?x3＝x6 C．x3+x3＝2x3 D．x3÷x3＝x【答案】C【分析】利用合并同類項的法則，積的乘方的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，同底數(shù)冪的除法的法則對各項進行運算即可．【詳解】A、（x2）3＝x6，故A不符合題意；B、x2?x3＝x5，故B不符合題意；C、x3+x3＝2x3，故C符合題意；D、x3÷x3＝1，故D不符合題意；故選C．【點評】本題主要考查合并同類項，積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，解答的關(guān)鍵對相應(yīng)的運算法則的掌握．4．下列幾何體中，同一個幾何體從正面和上面看到的圖形不相同的是（）A．正方體 B．四棱錐 C．圓柱 D．球【答案】B【分析】從正面看到的圖形即為主視圖，從上面看到的形狀即俯視圖，結(jié)合圖形找出各圖形的俯視圖以及主視圖，然后進行判斷即可．【詳解】A、主視圖為正方形，俯視圖為正方形，不符合題意；B、主視圖為三角形，俯視圖為中間有點的正方形，符合題意；C、主視圖為長方形，俯視圖為長方形，不符合題意；D、主視圖為圓形，俯視圖為圓形，不符合題意．故選B．【點評】本題考查了簡單幾何體的三視圖，注意從正面看到的圖形即為主視圖，從上面看到的圖形即為俯視圖．5．已知圓錐的底面半徑為9cm，高線長為12cm，則圓錐的側(cè)面積為（）A．135π B．108π C．450π D．540π【答案】A【分析】利用勾股定理可求得圓錐的母線長，那么圓錐的側(cè)面積＝底面周長×母線長÷2．【詳解】底面半徑為9cm，高線長為12cm，底面周長＝18π，由勾股定理得，母線長＝15，那么側(cè)面面積＝×18π×15＝135πcm2．故選A．【點評】本題考查了圓錐的計算，利用了勾股定理，圓的周長公式和扇形面積公式求解．6．在抗擊新型冠狀病毒肺炎疫情中，某社區(qū)志愿者小分隊10名隊員年齡統(tǒng)計如表：則這10名隊員年齡的中位數(shù)、眾數(shù)分別是（）年齡（歲）1822303543人數(shù)23221A．20歲，35歲 B．26歲，22歲 C．22歲，26歲 D．30歲，30歲【答案】B【分析】眾數(shù)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，而中位數(shù)就是大小處于中間位置的數(shù)，根據(jù)定義即可求解．【詳解】在10名隊員的年齡數(shù)據(jù)里，第5和第6個數(shù)據(jù)分別是22歲和30歲，因而中位數(shù)是＝26（歲）．這10名隊員的年齡數(shù)據(jù)里，22歲出現(xiàn)了3次，次數(shù)最多，因而眾數(shù)是22歲；故選B．【點評】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的概念：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；注意找中位數(shù)的時候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個來確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，則正中間的數(shù)字即為所求，如果是偶數(shù)個則找中間兩位數(shù)的平均數(shù)．7．《九章算術(shù)》中記載：“今有甲乙二人持錢不知其數(shù)．甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十．問：甲、乙持錢各幾何？”大意是：甲、乙二人帶著錢，不知是多少，若甲得到乙的錢數(shù)的，則甲的錢數(shù)為50；若乙得到甲的錢數(shù)的，則乙的錢數(shù)也能為50，問甲、乙各有多少錢？設(shè)甲持錢為x，乙持錢為y，可列方程組為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)甲得到乙的錢數(shù)的，則甲的錢數(shù)為50；若乙得到甲的錢數(shù)的，則乙的錢數(shù)也能為50，可以得到相應(yīng)的方程組，從而可以解答本題．【詳解】由題意可得，，故選B．【點評】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．8．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足為D，過點D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，則線段DE的長為（）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】求出∠CAD＝∠BAD＝∠EDA，推出AE＝DE，求出∠ABD＝∠EDB，推出BE＝DE，求出AE＝BE，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可．【詳解】∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°，∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠BDE，∴DE＝BE，∵AB＝5，∴DE＝BE＝AE＝AB＝2.5，故選B．【點評】本題考查了三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出DE＝BE＝AE．9．當1≤x≤3時，二次函數(shù)y＝x2﹣2ax+3的最小值為﹣1，則a的值為（）A．2 B．±2 C．2或 D．2或【答案】A【分析】將二次函數(shù)化成頂點式，再求最值．【詳解】y＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2．拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝a．∴當a≤1時，若1≤x≤3時，y隨x的增大而增大，當x＝1時，y有最小值＝1﹣2a+3＝4﹣2a，∴4﹣2a＝﹣1，∴a＝，不合題意，舍去．當1＜a≤3時，x＝a，y有最小值3﹣a2．∴3﹣a2＝﹣1．∴a2＝4，∵1≤a≤3，∴a＝2．當a≥3時，若1≤x≤3，y隨x的增大而減小．∴當x＝3時，y有最小值＝9﹣6a+3＝12﹣6a．∴12﹣6a＝﹣1．∴a＝．∵a≥3．∴不合題意，舍去．綜上：a＝2．故選A．【點評】本題考查二次函數(shù)的最值，對a的范圍進行分類討論是求解本題的關(guān)鍵．10．如圖，正六邊形ABCDEF中，點P是邊AF上的點，記圖中各三角形的面積依次為S1，S2，S3，S4，S5，則下列判斷正確的是（）A．S1+S2＝2S3 B．S1+S4＝S3 C．S2+S4＝2S3 D．S1+S5＝S3【答案】B【分析】正六邊形ABCDEF中，點P是邊AF上的點，記圖中各三角形的面積依次為S1，S2，S3，S4，S5，則有S3＝S正六邊形ABCDEF，S1+S4＝S2+S5＝S正六邊形ABCDEF，由此即可判斷．【詳解】正六邊形ABCDEF中，點P是邊AF上的點，記圖中各三角形的面積依次為S1，S2，S3，S4，S5，則有S3＝S正六邊形ABCDEF，S1+S4＝S2+S5＝S正六邊形ABCDEF，∴S3＝S1+S4＝S2+S5，故選B．【點評】本題考查正多邊形與圓，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．二．填空題（共6小題）11．寫出一個比小的整數(shù)：如：﹣5（答案不唯一）．【分析】先找到所求的無理數(shù)在哪兩個和它接近的整數(shù)之間，然后即可判斷出所求的整數(shù)的范圍．【詳解】∵2＜＜3，∴﹣3＜﹣＜﹣2，∴所有小于或等于﹣3的整數(shù)都可以．故答案為：﹣5．【點評】此題主要考查了實數(shù)的大小的比較，其中“夾逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．12．因式分解：9x2﹣4＝（3x﹣2）（3x+2）．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．【詳解】9x2﹣4＝（3x﹣2）（3x+2）．故答案為：（3x﹣2）（3x+2）．【點評】此題主要考查了公式法分解因式，熟練應(yīng)乘法公式是解題關(guān)鍵．13．某校圍繞習近平總書記在慶祝中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年大會上的重要講話精神，開展了主題為“我叫中國青年”的線上演講活動．九年級（1）班共有50人，其中男生有26人，現(xiàn)從中隨機抽取1人參加該活動，恰好抽中男生的概率是．【分析】直接根據(jù)概率求解即可．【詳解】∵共有50人，男生有26人，∴隨機抽取1人，恰好抽中男生的概率是＝．故答案為：．【點評】此題考查了概率的求法．通過所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式P＝求出事件概率．14．定義：[x]表示不大于x的最大整數(shù)，（x）表示不小于x的最小整數(shù)，例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[﹣2.3]＝﹣3，（﹣2.3）＝﹣2，則[1.7]+（﹣1.7）＝0．【分析】根據(jù)新定義求解即可．【詳解】原式＝1+（﹣1）＝0．故答案為：0．【點評】本題考查了有理數(shù)的比較大小，新定義，掌握[x]表示不大于x的最大整數(shù)，（x）表示不小于x的最小整數(shù)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x、y軸上，點B的坐標為（3，1.5），反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象分別與邊AB、BC交于點D、E，連結(jié)DE，將△BDE沿DE翻折得到△B′DE，連結(jié)OE，當∠OEB'＝90°時，k的值為3．【分析】作∠COE的角平分線OF交BC于點F，設(shè)∠BED＝α，易證∠COF＝∠FOE＝α，由B（3，1.5）可知，E（k，），D（3，），所以BD＝﹣，EB＝3﹣k，所以tanα＝＝＝，即tanα＝＝，所以CF＝OC＝，設(shè)點F到OE的距離為h，則CF＝h，所以＝＝，則，由此建立方程，解方程即可．【詳解】如圖，作∠COE的角平分線OF交BC于點F，設(shè)∠BED＝α，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，∠BEB′＝2α，∵∠OEB′＝90°，∴∠CEO＝90°﹣2α，∵∠OCE＝90°，∴∠COE＝2α，∵OF平分∠COE，∴∠COF＝∠FOE，∵D，E在反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象上，B（3，1.5），矩形OABC的邊OA，OC分別在x，y軸上，則E（k，），D（3，），∴BD＝﹣，EB＝3﹣k，∵∠B＝90°，∴tanα＝＝＝，∴tanα＝＝，∴CF＝OC＝，設(shè)點F到OE的距離為h，則CF＝h，∴＝＝，∴，∴＝，解得k＝0（舍去）或k＝3，故答案為：3．【點評】本題屬于反比例函數(shù)與幾何綜合題，考查折疊的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，兩點間的距離公式，根據(jù)比例得出關(guān)于k的方程是解題關(guān)鍵．16．如圖，正方形ABCD的邊長為4，正方形CEFG的邊長為，將正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)，BG和DE相交于點K，則AK的最大值是4，連結(jié)BE，當點C正好是△BKE的內(nèi)心時，CK的長是．【分析】證明∠DKB＝90°，從而確定點K在以BD為直徑的圓上運動；根據(jù)內(nèi)心特征，確定內(nèi)心點C到BE的距離，進一步得出結(jié)果．【詳解】如圖，連接AC，BD，CF和EG，AC，BD交于點O，DC，BG交于點M，作CQ⊥BE于Q，作CR⊥BK于R，∵四邊形ABCD和四邊形EFGC是正方形，∴BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，∠ECF＝45°，AC＝，EN＝CN＝，∴∠BCD+∠DCG＝∠ECG+∠DCG，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠BGC＝∠CDE，∵∠BMC＝∠DMK，∴∠BKD＝∠BCD＝90°，∴點K在以BD為直徑的圓O上運動，∴當AK為圓O直徑時，AK最大，此時點K于點C重合，∴AK最大＝AC＝＝4，當點C為△BEK的內(nèi)心時，BC，CE，CK分別平分∠KBE，∠BEK和∠BKE，∴CR＝CQ，∵∠BKE＝90°，∴∠BKC＝，＝，∴∠ECF＝∠CBE+∠BEC，∴點B、C、F共線，∴BN＝BC+CN＝4+2＝6，∴BE＝＝＝2，∵sin∠NBE＝，∴，∴CR＝CQ＝，∴CK＝＝＝，故答案為：4，．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，確定圓的條件，解直角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)綜合知識．三．解答題（共8小題）17．（1）計算：2a（a+b）﹣（a+b）2（2）解不等式組，并將解集在數(shù)軸上表示．【分析】（1）根據(jù)單項式乘多項式的法則和完全平方公式分別進行計算，再把所得的結(jié)果合并即可；（2）先分別求出兩個不等式的解集，再把解集在數(shù)軸上表示出來，找出解集的公共部分即可．【詳解】（1）2a（a+b）﹣（a+b）2＝2a2+2ab﹣（a2+2ab+b2），＝2a2+2ab﹣a2﹣2ab﹣b2，＝a2﹣b2，（2），由①得：x＞﹣5，由②得：x≤3，在數(shù)軸上表示：，則不等式組的解集為：﹣5＜x≤3，【點評】此題考查了整式的混合運算和解一元一次不等式組，用到的知識點是整式混合運算的法則和乘法公式，解一元一次不等式組，注意結(jié)果的符號．18．如圖1是由邊長為1的正方形構(gòu)成的6×5的網(wǎng)格圖，四邊形ABCD的頂點都在格點上．（1）求四邊形ABCD的對角線AC的長；（2）命題“對角線相等的四邊形一定是矩形”是真命題還是假命題？如果是假命題，請在圖2中畫一個頂點都是格點的四邊形說明；如果是真命題，請進行證明．【分析】（1）根據(jù)勾股定理直接求解即可；（2）對角線相等的四邊形不一定是矩形，例如等腰梯形，畫出圖形即可．【詳解】（1）由題意可知，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝5，∴AC的長為5；（2）對角線相等的四邊形不一定是矩形，故命題“對角線相等的四邊形一定是矩形”是假命題，如圖：在四邊形ABCD中，AC＝BD，但四邊形ABCD為等腰梯形．【點評】本題主要考查命題與定理知識，熟練掌握絕對值的意義、對頂角的性質(zhì)、余角的性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．19．某校積極落實“雙減”政策，將要開設(shè)拓展課程．為讓學生可以根據(jù)自己的興趣愛好選擇最喜歡的課程，進行問卷調(diào)查，問卷設(shè)置以下四種選項：A（綜合模型）、B（攝影藝術(shù)）、C（音樂鑒賞）、D（勞動實踐），隨機抽取了部分學生進行調(diào)查，每名學生必須且只能選擇其中最喜歡的一種課程，并將調(diào)查結(jié)果整理繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）此次被調(diào)查的學生人數(shù)為120名；（2）直接在答題卡中補全條形統(tǒng)計圖；（3）求拓展課程D（勞動實踐）所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)；（4）根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，請你估計該校800名學生中，有多少名學生最喜歡C（音樂鑒賞）拓展課程．【分析】（1）根據(jù)選擇A的人數(shù)和所占的百分比，可以計算出本次調(diào)查的學生人數(shù)；（2）根據(jù)條形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，即可計算出選擇B的人數(shù)，然后即可將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）用360°乘以D（勞動實踐）所占比例可得答案；（4）用樣本估計總體即可．【詳解】（1）此次被調(diào)查的學生人數(shù)為：12÷10%＝120（名），故答案為：120；（2）選擇B的學生有：120﹣12﹣48﹣24＝36（名），補全的條形統(tǒng)計圖如圖所示；（3）360°×＝72°，即拓展課程D（勞動實踐）所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)是72°；（4）800×＝320（名），答：估計該校800名學生中，有320名學生最喜歡C（音樂鑒賞）拓展課程．【點評】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體、頻數(shù)（率）分布表，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．20．如圖，一次函數(shù)y＝ax+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A，B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D，已知OA＝，tan∠AOC＝，點B的坐標為（m，﹣2）．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求一次函數(shù)的解析式．【分析】（1）過A作AE⊥X軸于E，由tan∠AOE＝，得到OE＝3AE，根據(jù)勾股定理即可求出AE和OE的長，即得到A的坐標，代入雙曲線即可求出k的值，得到解析式；（2）把B的坐標代入反比例函數(shù)的解析式即可求出B的坐標，把A和B的坐標代入一次函數(shù)的解析式即可求出a、b的值，即得到答案．【詳解】（1）過A作AE⊥X軸于E，tan∠AOE＝，∴OE＝3AE，∵OA＝，由勾股定理得：OE2+AE2＝10，解得：AE＝1，OE＝3，∴A的坐標為（3，1），A點在雙曲線上，∴1＝，∴k＝3，∴雙曲線的解析式y(tǒng)＝．答：反比例函數(shù)的解析式是y＝．（2）解：B（m，﹣2）在雙曲y＝上，∴﹣2＝，解得：m＝﹣，∴B的坐標是（﹣，﹣2），代入一次函數(shù)的解析式得：，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為：y＝x﹣1．答：一次函數(shù)的解析式是y＝x﹣1．【點評】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，正比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，勾股定理等知識點，綜合運用這些知識進行計算是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強．21．某地一居民的窗戶朝南．窗戶的離地高度為0.8米，此地一年的冬至這一天的正午時刻太陽光與地面的夾角最小為α，夏至這一天的正午時刻太陽光與地面的夾角最大為β．若你是一名設(shè)計師，請你為教學樓的窗戶設(shè)計一個直角形遮陽蓬BCD，要求它既能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi)．根據(jù)測量測得∠α＝30°，∠β＝60°，AB＝1.5米．若同時滿足下面兩個條件：（1）當太陽光與地面的夾角是α時，太陽光剛好射入室內(nèi)．（2）當太陽光與地面的夾角是β時，太陽光剛好不射入室內(nèi)．請你求出直角形遮陽蓬BCD中CD的長、CD離地面的高度．【分析】在直角三角形△BCD和△ACD，利用相應(yīng)的三角函數(shù)用BC分別表示出CD、AC長，而AC﹣BC＝AB，由此即可求得BC長，進而求得CD長．【詳解】設(shè)BC＝x米，∵∠α＝30°，∠β＝60°，∴∠CDB＝30°，∠CDA＝60°，在Rt△BCD中，tan∠CDB＝＝tan30°＝＝，∴CD＝x，在Rt△ACD中，tan∠CDA＝tan60°＝＝＝，∴CD＝，∴＝x，解得x＝，∴CD＝（米），CD離地面的高度0.8+1.5+＝3.05（米）．答：直角形遮陽蓬BCD中CD的長為米，CD離地面的高度3.05米．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，在解直角三角形的題目中，應(yīng)先找到和所求線段相關(guān)的線段所在的直角三角形，然后確定利用什么形式的三角函數(shù)，最后解直角三角形即可求出結(jié)果．此題還需注意太陽光線是平行的．22．2022年北京冬奧會舉辦期間，冬奧會吉祥物“冰墩墩”深受廣大人民的喜愛．某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆．每個紀念品進價40元，規(guī)定銷售單價不低于44元，且不高于52元．銷售期間發(fā)現(xiàn)，當銷售單價定為44元時，每天可售出300個，銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個．現(xiàn)商家決定提價銷售，設(shè)每天銷售量為y個，銷售單價為x元．（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍；（2）將紀念品的銷售單價定為多少元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤w元最大？最大利潤是多少元？（3）該店主熱心公益事業(yè)，決定從每天的利潤中捐出200元給希望工程，為了保證捐款后每天剩余利潤不低于2200元，求銷售單價x的范圍．【分析】（1）根據(jù)題意直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍；（2）根據(jù)銷售利潤＝銷售量×（售價﹣進價），列出平均每天的銷售利潤w（元）與銷售價x（元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式，再依據(jù)函數(shù)的增減性求得最大利潤；（3）根據(jù)題意得剩余利潤為w﹣200，利用函數(shù)性質(zhì)求出w﹣200≥2200時的x的取值范圍即可【詳解】（1）根據(jù)題意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）根據(jù)題意得：w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，∵﹣10＜0，∴當x＜57時，w隨x的增大而增大，∵44≤x≤52，∴當x＝52時，w有最大值，最大值為﹣10×（52﹣57）2+2890＝2640，∴將紀念品的銷售單價定為52元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤w元最大，最大利潤是2640元；（3）依題意剩余利潤為（w﹣200）元，∵捐款后每天剩余利潤不低于2200元，∴w﹣200≥2200，即﹣10（x﹣57）2+2890﹣200≥2200，由﹣10（x﹣57）2+2890﹣200＝2200得x＝50或x＝64，∵﹣10＜0，44≤x≤52，∴捐款后每天剩余利潤不低于2200元，50≤x≤52，答：捐款后每天剩余利潤不低于2200元，銷售單價x的范圍是50≤x≤52．【點評】本題考查二次函數(shù)應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式．23．[證明體驗]（1）如圖1，在△ABC和△BDE中，點A、B、D在同一直線上，∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，求證：△ABC∽△DEB．（2）如圖2，圖3，AD＝20，點B線段AD上的點，AC⊥AD，AC＝4，連結(jié)BC，M為BC中點，將線段BM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°至BE，連結(jié)DE．[思考探究]①如圖2，當DE＝ME時，求AB的長．[拓展延伸]②如圖3，點G是CA延長線上一點，且AG＝8，連結(jié)GE，∠G＝∠D，求ED的長．【分析】（1）利用同角的余角相等得∠C＝∠DBE，可證明結(jié)論；（2）①過點E作EF⊥AD，垂足為F，由（1）得△ABC∽△FEB，得，可得答案；②過點M作AD的垂線交AD于點H，過點E作AD的垂線交AD于點F，過點D作DP⊥AD，過點E作NP⊥DP，交AC的延長線于N，首先利用AAS證明△MHB≌△BFE，得BF＝MH＝2，EF＝BH，設(shè)EF＝x，則DP＝x，BH＝AH＝x，EP＝FD＝20﹣2﹣2x＝18﹣2x，GN＝x+8，AF＝2x+2，再由∠GED＝∠GAH＝90°，由（1）得△NGE∽△PED，得，代入計算即可．【解答】（1）證明：∵∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，∴∠C+∠CBA＝90°，∠CBA+∠DBE＝90°，∴∠C＝∠DBE，∴△ABC∽△DEB；（2）解：①∵M繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°至E，M為BC的中點，∴△BME為等腰直角三角形，，∴BE＝，又∵DE＝，∴BE＝DE，如圖，過點E作EF⊥AD，垂足為F，則BF＝DF，∵∠A＝∠CBE＝∠BFE＝90°，由（1）得△ABC∽△FEB，∴，∵AC＝4，∴BF＝2，∴AB＝AD﹣BF﹣FD＝20﹣2﹣2＝16；②如圖，過點M作AD的垂線交AD于點H，過點E作AD的垂線交AD于點F，過點D作DP⊥AD，過點E作NP⊥DP，交AC的延長線于N，∵M為BC的中點，MH∥AC，∴，∴MH＝，BH＝AH，∵∠MHB＝∠MBE＝∠BFE＝90°，由（1）得：∠HBM＝∠FEB，∵MB＝EB，∴△MHB≌△BFE（AAS），∴BF＝MH＝2，EF＝BH，設(shè)EF＝x，則DP＝x，BH＝AH＝x，EP＝FD＝20﹣2﹣2x＝18﹣2x，GN＝x+8，AF＝2x+2，∵∠G＝∠D，∴∠GED＝∠GAH＝90°，由（1）得△NGE∽△PED，∴，即，解得x＝6或x＝﹣（舍去），∴FD＝18﹣2x＝6，∴ED＝＝6．【點評】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握一線三等角基本模型是解題的關(guān)鍵．24．如圖1，△ABC中，BC邊上的中線AM＝AC，延長AM交△ABC的外接圓于點D，過點D作DE∥BC交圓于點E，延長ED交AB的延長線于點F，連接CE．（1）若∠ACB＝60°，BC＝4，求MD和DF的長；（2）①求證：BC＝2CE；②設(shè)tan∠ACB＝x，＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；（3）如圖2，作NC⊥AC交線段AD于N，連接EN，當△ABC的面積是△CEN面積的6倍時，求tan∠ACB的值．【分析】（1）利用等邊三角形的判定與性質(zhì)，和直角三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理得到點M為圓心，則結(jié)論可求；（2）①連接BD，利用平行弦所夾的弧相等，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)解答即可；②過點A作AH⊥CM于點H，通過證明△AMC∽△BMD和平行線分線段成比例定理得到y(tǒng)＝＝＝＝，設(shè)CM＝2a，則BM＝CM＝2a，利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求得，代入即可得出結(jié)論；（3）連接ME，設(shè)ME與CN交于點K，在（2）的基礎(chǔ)上