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《數(shù)值線性代數(shù)》課件河南師大數(shù)學與信息科學學院線性方程組迭代解法本章討論解線性方程組古典迭代解法。主要內容包括：雅可比(Jacobi)迭代法高斯-賽德爾(Gauss-Seidel)迭代法超松馳(SOR)迭代法收斂性分析單步線性定常迭代算法雅可比(Jacobi)迭代法雅可比迭代法的分量形式雅可比迭代程序設計編制計算程序時,應注意以下幾個問題:算法的終止程序設計點擊對象展開程序算法的實現(xiàn)高斯-賽德爾(Gauss-Seidel)迭代法G-S迭代法的分量形式G-S迭代程序設計編制計算程序時,應注意以下幾個問題:算法的終止程序設計點擊對象展開程序算法的實現(xiàn)超松馳(SuccessiveOverrelaxation)迭代法SOR迭代法的分量形式G-S迭代程序設計編制計算程序時,應注意以下幾個問題:算法的終止程序設計點擊對象展開程序算法的實現(xiàn)注意:迭代陣M不唯一,影響收斂性。

單步線性定常迭代法的收斂性定義：矩陣M的譜半徑為：定義：如果存在矩陣G使：G(I–M)=A，Gg=b.那么稱迭代法與方程組Ax=b是相容的。引理1迭代法收斂當且僅當引理設，那么有1.對上的任意矩陣范數(shù)，有2.對任給的,存在上的算子范數(shù)使得注:

引理的詳細證明過程,請閱讀第四章,第3節(jié).定理1當且僅當

定理2單步線性定常迭代法收斂當且僅當例1當方程組的系數(shù)矩陣為可以驗證：Jacobi迭代收斂，而Gauss-Seidel迭代不收斂。

例2當方程組的系數(shù)矩陣為可以驗證：Jacobi迭代不收斂，而Gauss-Seidel迭代收斂。例3對于方程組Jacobi迭代公式為，迭代矩陣為Gauss-Seidel迭代公式為，迭代矩陣為顯然，兩種迭代都不收斂。假設將方程的順序調整，即Jacobi迭代公式為，迭代矩陣為Gauss-Seidel迭代公式為，迭代矩陣為顯然，兩種迭代都收斂。定理3假設迭代矩陣M的范數(shù)且，那么單步線性定常迭代的第k次迭代向量與準確解的誤差有估計式

定理4假設迭代矩陣M的范數(shù)且，那么單步線性定常迭代的第k次迭代向量與準確解的誤差有估計式定理5假設系數(shù)矩陣A對稱，對角線元素那么Jacobi迭代收斂的充分必要條件是A和2D-A都正定。定理6假設系數(shù)矩陣A正定，那么G-S迭代收斂。定理7假設矩陣A是嚴格對角占優(yōu)的或不可約對角占優(yōu)的，那么A非奇異。定理8假設A是嚴格對角占優(yōu)的或不可約對角占優(yōu)的，那么Jacobi迭代和G-S迭代收斂。超松馳迭代收斂性定理9SOR收斂的充分和

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