【解答題搶分專題】備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)解答題典型例題+跟蹤訓(xùn)練（新高考通用）

專題22立體幾何之折疊、探索性問題

目錄一覽

一、典型例題講解

二、梳理必備知識(shí)

三、基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān)

四、解題技巧實(shí)戰(zhàn)

五、跟蹤訓(xùn)練達(dá)標(biāo)

（1）折疊問題

（2）探索性問題

二、梳理必備知識(shí)

1.折疊問題

解決折疊問題最重要的就是對(duì)比折疊前后的圖形，找到哪些線、面的位置關(guān)系和數(shù)學(xué)量沒有發(fā)生變化，哪

些發(fā)生了變化，在證明和求解的過程中恰當(dāng)?shù)丶右岳谩?/p>

一般步驟：

①確定折疊前后的各量之間的關(guān)系，搞清折疊前后的變化量和不變量；

②在折疊后的圖形中確定線和面的位置關(guān)系，明確需要用到的線面；

③利用判定定理或性質(zhì)定理進(jìn)行證明。

2.探索性問題

探究性問題常常是條件不完備的情況下探討某些結(jié)論能否成立，立體幾何中的探究性問題既能夠考查學(xué)生

的空間想象能力，又可以考查學(xué)生的意志力及探究的能力。對(duì)于這類問題一般可用綜合推理的方法、分析

法、特殊化法和向量法來解決.一般此類立體幾何問題描述的是動(dòng)態(tài)的過程，結(jié)果具有不唯一性或者隱藏

性，往往需要耐心嘗試及等價(jià)轉(zhuǎn)化，因此，對(duì)于常見的探究方法的總結(jié)和探究能力的鍛煉是必不可少的。

三、解題技巧實(shí)戰(zhàn)

1.如圖所示的五邊形SB49。中/BCD是矩形，BC=2AB,SB=SC,沿8c折疊成四棱錐S-/BCD,點(diǎn)M

是的中點(diǎn)，SM=2.

⑴在四棱錐S-43CQ中，可以滿足條件①S4="；②cosNSBM=冬③sin/S/M=^，請(qǐng)從中任選

兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，證明：側(cè)面S8CL底面/8CO；（注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)

分.）

（2）在（1）的條件下求直線SC與平面所成角的正弦值.

【分析】（1）選條件①②，利用勾股定理得到進(jìn)而得到SM_L底面/BCD,利用面面垂直的判定

定理即可得證；

選條件①③，利用正弦定理得到SMJLM4,進(jìn)而得到底面/8C。，利用面面垂直的判定定理即可得證;

選條件②③，利用余弦定理和勾股定理得到SMLW4,進(jìn)而得到SM_L底面/8CD,利用面面垂直的判定定

理即可得證；

（2）由（1）可得SNL平面N88,建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.

【詳解】（1）證明：（1）方案一：選條件①②.

因?yàn)樵谒睦忮FS-488中S3=SC,點(diǎn)M是8C的中點(diǎn)，SM=2,所以SML8C,

又因?yàn)樵赗aS8M中，cosNSBM=6，所以的=1,

5

又因?yàn)槭蔷匦危珺C=2AB,所以3M=/8=1,AM=6，

SA=yf6,AM=y（2,SM=2^1^SA2=AM2+SM2,所以SM_LNM,

則由SM_L8C,SMVAM,AM[\BC=M,/M,8Cu平面43cD,所以SM_L平面/BCD,又因?yàn)镾Mu

側(cè)面SBC,所以側(cè)面SBC，底面ABCD；

方案二：選條件①③.

因?yàn)樵谒睦忮Fs-488中SB=SC,點(diǎn)也是8c的中點(diǎn)，SM=2,所以SHL8C,

又因?yàn)樵凇鱏ZA/中，SA=>/6,sinZ.SAM=與SM=2,

?.q”娓2

所以由正弦定理得：.."....即sin/SM/正,所以sinNSM4=l,即所以SMJ.K4,

sinZ.SMAsinZ.SAM-2

3

則由SMJ.5C,SMVAM,AM^BC=M,/M,8Cu平面/BCD,所以SM，平面/BCD,又因?yàn)镾Mu

側(cè)面SBC,所以側(cè)面SBC_L底面ABCD；

方案三：選條件②③.

因?yàn)樵谒睦忮FS-488中SB=SC,點(diǎn)M是8c的中點(diǎn)，SM=2,所以SMJ_8C,

又因?yàn)樵赗aSBM中，cosNSBM=且,所以8M=1,

5

又因?yàn)槭蔷匦危?c=2/8,所以BM=4B=1,AM=&,

又因?yàn)樵凇鱏4M中，sinZSAM=—,則cosNS/M=3,

33

設(shè)"=x,SM2=SA2+AM2-ISAAMcosZSAM,

所以有3x?-2&x-6=0,解得%=#或％（舍），所以“=指，

3

^SA=46,AM=-/2,SM=2^1^SA2=AM2+SM2,所以SM_L/M,

則由SM_L8C,SMLAM,AM^BC=M,u平面458,所以SH_L平面N88,又因?yàn)镾A/u

側(cè)面SBC,所以側(cè)面SBC1底面ABCD；

（2）在（1）條件下知SM_L平面Z8C。，且

故如圖所示：以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為x軸，以所在直線為N軸，以MS所在直線為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

則S（0,0,2）,4（0,0,0）,0（0,&,0）,C-冬冬。

貝兩=(0,"-2),工=(正,0,-2),

n-SD=6y-2z=0-/rr~\

設(shè)平面S/D的法向量為〃=(x,y,z),貝I卜_」，貝!|"=""1,

n-SA=y/2x-2z=0''

sc=一^■'子一2

設(shè)直線sc與平面”。所成角為。，貝Ijsine=%4=2

H-lscl5

直線SC與平面SAD所成角的正弦值為12.

2.如圖，在四棱錐P-48co中，平面尸/。_1_平面48c0,ABIIDC,PA=PD,NBAD=45°,AD=2^2,

4B=4,DC=\,PB=2y/3.

(1)求四棱錐P-/8C。的體積；

(2)在線段P8上是否存在點(diǎn)使得CM//平面以。？若存在，求篝的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】⑴先證明PGJ?平面ABCD,則PG為四棱錐尸-Z8C。的高，再應(yīng)用體積公式匕=gPG?SABCD；

(2)先過點(diǎn)C作CN//4。交AB于點(diǎn)N,過點(diǎn)N作M0//RP交PB于點(diǎn)M,再證平面〃平面CMN,最

后得出比值成立即可.

【詳解】(1)取AD的中點(diǎn)G,連接PG,GB,如圖所示.

在API。中，PA=PD,G是AD的中點(diǎn)，所以PG_L/。.

又平面尸4D_L平面ABCD,平面P/Oc平面/8CZ)=/Z),PGu平面PAD,

所以PG,平面ABCD,即PG為四棱錐尸的高.

又G8u平面ABCD,所以尸G_LG8.

在A/G8中，由余弦定理得

GB2=AG2+AB2-2AG-AB-cosZGAB=^^+42-2xy/2x4x^-=10,故G8=W.

在△尸G5中，PB=26,GB=M,PG1GB,所以PC=JL

m11r(l+4)x250

所以/r-AlBiiC-UD=3_PGSAoBi-8Lf=3-XV2X^——2-=3

(2)過點(diǎn)C作CN//4D交AB于點(diǎn)N,則萼=：,

NB3

PM1

過點(diǎn)N作MW〃/P交PB于點(diǎn)M,連接CM,貝）』=;.

MB3

又因?yàn)镃N11AD,ZOu平面PAD,CNcz平面PAD,所以CN//平面PAD.

因?yàn)镸N//P4,P/u平面PAD,MVN平面PAD,所以MV〃平面PAD.

又CNcMN=N,CN,朋TVu平面CNM,所以平面P/。〃平面CMN.

又CWu平面CMN,所以CM〃平面PAD.

所以在PB上存在點(diǎn)M,使得CM//平面PAD,且槳

BP4

四、跟蹤訓(xùn)練達(dá)標(biāo)

折疊問題

1.（江蘇省宿遷市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在直角梯形CEPO中，PD//EC,PD=8,CE=6,

力為線段產(chǎn)。的中點(diǎn)，四邊形/8C。為正方形.將四邊形P43E沿折疊，使得尸得到如圖（2）

所示的幾何體.

D

E\\D

?\/

?Z\//

z\

BC

(2)

(1)求直線P。與平面PCE所成角的正弦值；

(2)當(dāng)尸為線段48的中點(diǎn)時(shí)，求二面角P-CE-尸的余弦值.

【答案】⑴立

6

(2)造

6

【分析】(1)(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用即可向量法計(jì)算可得；

【詳解】(1)解：依題意可得尸/_LXB、PALAD,ABLAD,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0)、8(4,0,0)、C(4,4,0)、0(0,4,0),P(0,0,4)、￡(4,0,2),

所以屈=(0,-4,2),CP=(-4,-4,4),麗=(0,-4,4),

nCE--4y+2z—0.,~,、

設(shè)平面PCE的法向量為】=(xj,z),所以心中―+4z=。'令…'則z=2，x=l，所以〃=（門2），

忖,。尸|4百

設(shè)直線與平面PCE所成角為。，貝！|sin9=

同網(wǎng)-4應(yīng)X&-6

(2)解：依題意可得尸(2,0,0),則麗=(-2,工0),

in-CF=-2a-4b=0.

設(shè)平面CE77的法向量為加=(a,b,c),所以,—,令A(yù)b=l,貝-2,1,2,

m-CE=-4h+2c=0')

/---\nm3y/6

則cos(〃⑺=加扁=市=—,顯然二面角P-CE-F的銳二面角,

所以二面角P-CE-F的余弦值為亞;

6

2.(浙江省富陽中學(xué)、浦江中學(xué)二校2022屆高三下學(xué)期第五次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)如圖，平面五邊形458中,

NB=NB4D=NE=NCDE=90°,CD=DE=EA=42,將A4OE沿力。折疊，得四棱錐尸-/8CO.

(1)證明：PCLAD；

(2)若二面角8的大小是120。，求直線PB與平面尸8所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)取的中點(diǎn)。，連結(jié)P。，co,由等腰直角三角形的性質(zhì)可知/。，尸O,NPD4=45。，則

可知//DC=45。，易證4)_LC。，進(jìn)而證明；

(2)以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由(1)可知ZPOC為二面角P-/1D-8的平面角，表示出B,C,

\n-PB\

D,P的坐標(biāo)，即可得到而，DC，PC，利用反，定求得平面PC。的法向量，再根據(jù)替下斗求解即

M網(wǎng)

可.

(1)證明：取4。的中點(diǎn)。，連結(jié)P。，CO,

因?yàn)镈E=EA=近，即P4=PD=8，所以/D_LPO,DO=^DA=^x2=\,

因?yàn)?E=NCDE=90。，即NP=90。，ZPDA=45°,所以N/OC=45。，

又CD=正，所以4D_LC。，

因?yàn)槭?(1。。=。，POu平面尸0C,。。匚平面73。。，

所以平面POC,

因?yàn)镻Cu平面POC,所以49J_PC.

(2)解：以。為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

由(1)可知，NPOC為二面角尸-ZD-8的平面角，即/POC=120。,

C(0,l,0),。(-1,0,0),8(1,1,0),P(0,-cos60°,sin60°)=0,--,

2

_(3⑶———(3

則尸8=,DC=(1,1,0),PC=0,-,-

2

x+y=0

r元反=0

設(shè)平面PC。的法向量為"=（x,弘2）,則，即彳3V3八，

iiPC=0—y----z=0

[22

令Z=-B貝！Jy=-1,X=\,所以平面P8的法向量為7=(1,-1,-8),

設(shè)直線PB與平面PCD所成角為e,

」3

22

則sin8=J_|」=一在

M網(wǎng)10'

Vl+1+3

所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為更.

10

3.（安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期春季聯(lián)賽數(shù)學(xué)試題）如圖1,已知矩形4BC。，其

中N8=2,BC=4,線段8c的中點(diǎn)分別為點(diǎn)E,F,現(xiàn)將沿著BE折疊，使點(diǎn)力到達(dá)點(diǎn)P,得

到四棱錐尸-8CDE,如圖2.

AE

圖1圖2

（1）求證：BE±PF；

（2）當(dāng)四棱錐P-BCDE體積最大時(shí)，求二面角P-EC-8的大小.

【答案】（1）證明見解析

（嗚

【分析】（1）要證明線線垂直，需先證明線面垂直，首先作輔助線，取BE的中點(diǎn)O,連接PO,OF,證

明8E_L平面PFO；

（2）首先確定點(diǎn)P的位置，法一，利用坐標(biāo)法，求二面角；法二，幾何法，根據(jù)二面角的定義，得二面角

尸-￡08的平面角就是/「￡8,即可求解.

【詳解】（1）取BE的中點(diǎn)O,連接PO,OF,

因?yàn)镹8=2,BC=4,線段AD,BC的中點(diǎn)分別為點(diǎn)E,F,所以BE=CE=2NBEC=90°，

又因?yàn)镕O〃CE,所以FOLBE,在等腰直角△PBE中，POA.BE,

FOnPO=O,所以8￡_L平面PFO,

因?yàn)槭瑄平面PFO,所以8E_L尸產(chǎn).

(2)當(dāng)四棱錐尸-8C0E體積最大時(shí)，點(diǎn)P在平面BCDE的射影即為點(diǎn)O,即PO上平面BCDE.

法一：以O(shè)B,OF,OP方向?yàn)閤軸，y軸和z軸分別建立空間直角坐標(biāo)系。-中z.如圖3.

則尸(0,0,E(-6,0,0),C(-72,272,0),川正,0,0)

P￡=(-V2,0,-^2),￡C=(0,272,0)

I',\[n?PE=0\-y/lx-y/2z=0

設(shè)平面PEC的法向量為〃=(XJ,Z),則

[w-EC=o[y=y

取x=l,可得萬=(1,0,-1)

易得平面ECB的一個(gè)法向量成=(0,0,1)

所以c°s值昉=輸=于-孝

7T

因?yàn)槎娼荘-EC-8是銳角，所以二面角尸-EC-8的大小為二.

4

法二：在AEC8中，因?yàn)镋C=2五,EB=2亞,8c=4,所以E8_LEC.

在APEC中，pc=y/P02+0C2=2>/3?PE=2,EC=2也,所以PE_LEC.

由二面角的定義可知，二面角P-EC-8的平面角就是/PE8.

4.(江西省臨川第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)(文)試題)如圖，四邊形/8CD中，

AB1AD,AD//BC,AD=6,BC=2AB=4,E,F分別在5C,上，EF//AB,現(xiàn)將四邊形/8C。沿EF

折起，使BE1EC.

A

(1)若8E=3,在折疊后的線段4。上是否存在一點(diǎn)尸，使得CP〃平面4BEF?若存在，求出急的值；若不

存在，說明理由.

(2)求三棱錐A-CDF的體積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)F到平面ACD的距離.

【答案】⑴存在，符AP;1

(2)最大值為3,此時(shí)點(diǎn)F到平面的距離為Q

【分析】⑴取方=5'可得而=；’過點(diǎn)"作加〃尸。交"于點(diǎn)連接EM'則有訪=而=相

結(jié)合已知條件可證四邊形MPEC為平行四邊形即可證明結(jié)論;

(2)利用心處有最大值，求出BE的長(zhǎng)度，在“CD中，由余弦定理得cosZADC的值,進(jìn)一步求出sinZADC

的值，求出設(shè)點(diǎn)尸到平面/OC的距離為〃，利用等體積法求出力即點(diǎn)尸到平面ZOC的距離.

4P1

【詳解】(1)上存在一點(diǎn)P,使得CP//平面Z8EF,此時(shí)奇=、，

讓4P1gAP1

理由如下：當(dāng)而=受時(shí)’而=§，

如圖，過點(diǎn)P作〃陽交/尸于點(diǎn)M,連接ME,

MPAP1

貝niUI—=—=一，

FDAD3

VBE=3,:.FD=3,：.MP=\,又EC=1,MP//FD//EC,：.MP//EC,

故四邊形MPCE為平行四邊形，CP//ME,

又CP我平面ABEF,MEu平面ABEF,

:.CP〃平面ABEF.

AD1

綜上，存在點(diǎn)P,使得CP//平面奇

(2)設(shè)8E=x,則力尸=x(0<x44),尸。=6-x,

故噎w=gx；x2x(6-x)xx=Tx-3y+3,

.?.當(dāng)x=3時(shí)，%W8有最大值，且最大值為3,

此時(shí)EC=1,AF=3,FD=3,DC=2五,

:?AD=YAF2+FD?=30，/C=ylEF2+EC2+AF2=9，

在A/CQ中，由余弦定理得cos乙”)C=2：靠[%=g，sinZADC=^~,

S,ACD=-DC-AD-sinZADC=3?j3,

設(shè)F到平面/CD的距離為h,

^A-CDF=VF-ACD>=

綜上，三棱錐"-c。尸的最大值為3,此時(shí)點(diǎn)F到平面/CD的距離為G.

5.(湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)如圖1,在梯形N8C。中，

〃8C,BE_LZO于E,且。E=2BC=2BE,將梯形4BCD沿BE折疊成如圖2所示的幾何體，=60。,

F為直線40上一點(diǎn)，且于F,G為線段皮)的中點(diǎn)，連接FG,CG.

圖1圖2

(1)證明：AD1FG；

(2)若圖1中，AD=6,求當(dāng)四棱錐/-8C￡>￡的體積最大時(shí)，平面48C與平面CFG所成銳角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)線面垂直即可證明線線垂直，

(2)根據(jù)體積公式表達(dá)出體積，利用導(dǎo)數(shù)求解最值，進(jìn)而根據(jù)空間向量求解面面角.

【詳解】(1)由已知得8E_LE。，BEA.AE,^.AE[}ED=E,4E,EDu平面4ED,

所以BE_L平面ZEA,因?yàn)?Du平面NEO,所以8￡_L/。，

在梯形E8CD中，DE=2BC=2BE,

因?yàn)镚為線段中的中點(diǎn)，所以CG〃8￡,故CGJ./。，

又因?yàn)镃尸且CGnb=C,CG,C/u平面CFG,所以4)，平面CFG,

因?yàn)镕Gu平面CFG,所以ZOLFG.

(2)過點(diǎn)A作/MJ.DE于點(diǎn)"，又因?yàn)?E_L平面/EZ),/A/u平面，所以8EJ.NM,

又AMLDE,BERDE=E,BE,DEu平面BCDE,所以工平面8CDE,

所以線段AM的長(zhǎng)度為點(diǎn)A到平面BCDE的距離.

設(shè)DE=2BC=2BE=2x,則/E=6-2x(0cx<3),

則四棱錐力-BCDE的體積昨1X3XX2XX1(6-2X)=-直》3+述

令/(力=-曰/+^^》2,xe(0,3)>廣(x)=-^^x，+=3①(1-3)，

貝!Jxe(O,2)時(shí)，//)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增；

x?2,3)時(shí),尸(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

所以/(xL=/(2)，即當(dāng)02時(shí)，四棱錐Z-8CDE的體積最大，此時(shí)ZE=2，DE=4,

以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線E8,分別為x軸、歹軸，在平面NED內(nèi)過點(diǎn)E作與。E垂直的直線為z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則/(0,1,6)，8(2,0,0),C(2,2,0),0(0,4,0),

則赤二(0,3,-6),方=(2,—1,-6),鴕=(0,2,0),

一一/、n-AB=2x—y-yfiz=0-(r\

設(shè)平面44C的法向量〃=(x,y,z),則有｛_,可取〃=(6,0,2),

元?BC=2y=0'7

因?yàn)锳D1平面CFG，所以而=（0,3,-6）即為平面CFG的一個(gè)法向量,

則加伍列卜猛二手

故sin（%AD^=^1-cos2,

所以平面的與平面CFG所成銳角的正弦值為半

6.（湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖1,直角梯形力38中,

CD=2AB=2BC=4,AB〃CD,ABLBC,E為CD的中點(diǎn)，現(xiàn)將AD4E沿著4E折疊，使CD=2m,得到如

圖2所示的幾何體，其中尸為N￡＞的中點(diǎn)，G為8。上一點(diǎn)，/C與8E交于點(diǎn)O,連接。尸.

圖1圖2

（1）求證：C。〃平面EEB；

⑵若BE1面AGC,求平面GEC與平面BEC的夾角0.

【答案】（1）證明見解析

（2）45°

【分析】（1）根據(jù)直角梯形的特征和勾股定理可得DE,NE,CE兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向

量法證明線面平行；

（2）根據(jù)題意，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出平面GEC的法向量，由向量的夾角公

式求解即可.

【詳解】（1）在直角梯形/BCD中，CD=2AB=2BC=4,AB//CD,AB1BC,

由翻折的性質(zhì)可得，翻折后AE1EC、DE±AE,

5i.DE=CE=2,CD=242,：.CD2=DE2+CE1,則DE_LCE,故OE,/E,C￡兩兩互相垂直,

二以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-孫z,如圖示:

D

則C(0,2,0),D(0,0,2),0),E(l,0,1),.?.瓦=(0,-2,2),赤=(0,-1,1),

CD=2OF,即。/〃C￡),又CD平面EFBQFu平面EFB,

：.CD//平面EFB.

(2)由8E_L平面/GC,GOu平面4GC,/.BEIGO,又DELBE,：.DE//GO,

.,.點(diǎn)G為8。的中點(diǎn)，

二在空間直角坐標(biāo)系E-孫z中,G(1,1,1),E(0,0,0),C(0,2,0).

:.EG=(1,1,1),EC=(0,2,0),設(shè)平面GEC的法向量為n=(x,y,z),

,n-EG=0,(x+y+z=0,,八.

則｛—,即｛；c令A(yù)x=-l,則y=0,z=l,

n-EC=0,｛2y=0,

故平面GEC的一個(gè)法向量為方=(-1,0,1),

又平面BEC的一個(gè)法向量為in=(0,0,1),

由圖可知：平面GEC與平面8EC的夾角為銳角，

所以平面GEC與平面8EC的夾角。為45。.

7.（吉林省長(zhǎng)春市綠園區(qū)長(zhǎng)春市十一高中2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）中國(guó)古代數(shù)學(xué)名

著《九章算術(shù)》中記載：“芻薨者，下有表有廣，而上有表無廣芻，草也，薨，屋蓋也”.翻譯為“底面有長(zhǎng)

有寬為矩形，頂部有長(zhǎng)沒有寬為一條棱；芻裝為茅草屋頂”，現(xiàn)將一個(gè)正方形折疊成一個(gè)“芻舞”，如圖1,E、

尸、G分別是正方形的三邊N8,CD,的中點(diǎn)，先沿著虛線段FG將等腰直角三角形EDG裁掉，再將剩

下的五邊形/8CFG沿著線段環(huán)折起，連接15,CG就得到了一個(gè)“芻薨”，如圖2.

圖1圖2

(1)若。是四邊形E8CF對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：/O//平面GC/；

(2)若二面角A-EF-B的大小為2:n,求直線48與平面GC產(chǎn)所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析；

(好.

【分析】(1)取線段CF中點(diǎn)〃，連接OH、GH,可證明四邊形AOHG是平行四邊形，再由線面平行判

定定理求證即可;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出線面角即可.

【詳解】(1)取線段CF中點(diǎn)打，連接OH、GH,如圖,

由圖1可知，四邊形EBCF是矩形，AG=\EF,所以O(shè)是線段CE的中點(diǎn),

2

：.0H//EF且OH=、EF,

2

又AGUEFaAG=；EF,

：.AG//OHS.AG=OH

二四邊形AOHG是平行四邊形，則/O〃〃G

由于平面GCF,//6(=平面63,

:.40〃平面GCF.

(2)由圖1,EFVAE,EF工BE,折起后在圖2中仍有防_L4E,EFA.BE

：.NAEB即為二面角A-EF-B的平面角./.NAEB=120°,

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB，而分別為x軸和J軸正向建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,如圖,

設(shè)CB=2EB=2EA=4,則8(2,0,0)、尸(0,4,0),石)，

''''一-'',?“'?71..f—..

**?FG=FE4-EA+/G=FE+EA+—EF—(―1,—2,V3),BA-(―3,0,v3),FC=EB=(2,0,0),

設(shè)平面GCF的一個(gè)法向量?=(x,y,z),

n-FC=0,2x=0

由＜—.，得《*2y+岳=0'取YE則z=2，

萬戶G=0

于是平面GCF的一個(gè)法向量n=(0,0,2),

元.瓦I2百近

:.cos@,BA)

\n\\BA\~y/12xy/j~7

二直線AB與平面GCF所成角的正弦值為也.

7

8.(陜西省西安中學(xué)2022屆高三下學(xué)期五模文科數(shù)學(xué)試題)如圖1,在梯形/3CO中，ADHBC,BEVAD

于E,且。E=28C=28E,將梯形48C。沿8E折疊成如圖2所示的幾何體，N/ED=60",尸為4E的中點(diǎn).

(1)證明：8尸//平面力。。：

(2)《九章算術(shù)》中將四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐稱為“鱉嚅”，若圖1中"0=6且sinN+cos/=&，

判斷三棱錐BAE是否為“鱉腌”，并說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)是，理由見解析

【分析】(1)取4。的中點(diǎn)G,連FG,CG,通過證明四邊形3FGC為平行四邊形得到CG//8F,再根據(jù)

直線與平面平行的判定定理可證結(jié)論;

⑵先求出“彳然后通過計(jì)算可知三棱錐”一亞的四個(gè)面均為直角三角形，從而可得答案.

【詳解】(1)取的中點(diǎn)G,連FG,CG,如圖:

A

因?yàn)镕為NE的中點(diǎn)，所以FG//ED且FG=；ED,

又BCUEDaBC=、ED,

2

所以FG//BC且FG=BC,

所以四邊形BFGC為平行四邊形，

所以CGUBF,又8尸a平面/C。，。6匚平面/8,

所以8斤〃平面ZCZ）.

（2）三棱錐N-8OE為“鱉膈”，理由如下：

若圖1中/。=6且sin/+cos4=）則（sin/+cos4『=2,

7T

則l+sin24=2,即sin24=1,結(jié)合圖形可得力=—,

4

所以4E=BE=gED,所以/E=2,￡>E=4,

在圖②中，在三角形/E。中，AD2=AE2+ED2-2AE-EDCOS60^4+16-2X2X4X^=12,

所以/爐+/。2=￡1）2,所以4E_LED,即三角形/E。為直角三角形，

由題意可知BE_L4E,即三角形/E8為直角三角形，所以/幺=4歹+8爐=4+4=8,

由題意知，BELED,即三角形8皮>為直角三角形，所以81）2=8￡^+ED?=4+16=20,

所以/a+482=8。2,所以"14。，即三角形/8。為直角三角形，

根據(jù)題意可知，三棱錐4-8DE為“鱉膈”.

9.（西藏林芝市、日喀則市2021屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）如圖1所示，梯形中，

AD=2AB=2BC=2CD=4.E為/。的中點(diǎn)，連結(jié)8E,4C交于凡將△/8E沿8E折疊，使得平面N8EJ_

平面BCDE（如圖2）

(1)求證：AFLCD；

(2)求平面AFC與平面ADE所成的二面角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

喈

【分析】(1)先證明AFJ_BE,再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，證明線面垂直，進(jìn)而證明結(jié)論；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，進(jìn)而求得平面ADE和平面AFC

的的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式求得答案.

(1)由題意，AE=BC=2,

又因?yàn)锳E//BC,

所以四邊形ABCE為平行四邊形且為菱形，

所以AF_LBE.

在圖2中，因?yàn)锳F_LBE,平面ABE_L平面BCDE,

平面ABECI平面BCDE=BE,AFU平面ABE,

所以AFJ_平面BCDE,

又因?yàn)镃D*=平面BCDE,

所以AF_LCD.

(2)由(1)知AF,BE,FC兩兩垂直，

以而，而，成為一組正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，

則有B(l,0,0),C(0,y/3,0),E(-l,0,0),D(-2,50),A(0,0,拒),

顯然FBJ_平面AFC,

所以平面AFC的一個(gè)法向量為而=(1,0,0).

設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量為萬=(x,y,z).

而而=(1,0,g),ED=(-1,73,0),

kt」n.EA=0__x+>/3z=0,

所以萬麗=0,即

-x+—0,

取x=g,貝！I萬=(b,1,一1),

_J3__V3

所以COsS,/7^〉

1-V3+1+1~4s

則sin〈〃,F8)=

即平面AFC與平面ADE所成的二面角的正弦值為乎.

10.（福建省漳州市2023屆高三第二次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）如圖I,在直角梯形BCDE中,BC//DE,BC上CD,

4為DE的中點(diǎn)，且。E=28C=4,BE=2y/2,將48E沿折起，使得點(diǎn)E到達(dá)尸處（尸與。不重合）,

記尸。的中點(diǎn)為A/,如圖2.

（1）在折疊過程中，尸8是否始終與平面/CN平行？請(qǐng)說明理由；

（2）當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積最大時(shí)，求CD與平面ZCW所成角的正弦值.

【答案】（1）PB始終與平面ACM平行，理由見解析.

喈

【分析】（1）先證明四邊形Z8CZ）為正方形，連接8。交/C于點(diǎn)N,連接腦V,易得MN//PB,再由線面

平行的判定定理即可證明結(jié)論；

（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立合適的空間角坐標(biāo)系，分別求出皮和平面ACM的一個(gè)法向量，進(jìn)而求出線面

角的正弦值.

【詳解】（1）在折疊過程中，PB始終與平面ACM平行.

理由如下：

由已知可得：AB1DE,DE=2BC=4,BE=272,

所以Z8=2,即四邊形/8CD為正方形，

連接8。與/C于點(diǎn)N,連接

又"為的中點(diǎn)，版以MNUPB,

因?yàn)槠矫鍭CM,MYu平面ACM,

所以P8//平面ACM

（2）要使四棱錐P-ABCD的體積最大，只需點(diǎn)P到平面N5C。的距離最大，

即尸/，平面/8C￡>,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，初,42/尸所在直線分別為x/，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4（0,0，。），。（2,2,0）,。（0,2,0）,"（0,1,1）,

元=（2,2,0）,施=（0』,1）,反=（2,0,0）,

設(shè)平面ACM的法向量為〃=（x,y,z）,

n-AC=0[2x+2y=0

——0n

n-AM=0|>+z=0

令y=T,得x=z=l,則〃=

設(shè)CD與平面ACM所成角為0,

|?-￡>C|2y/3

所以sin0=|cos五,￡>c|

|n|-|DC|-V3x23

即CD與平面ACM所成角的正弦值為3.

3

z

探索性回題

11.（2023?河北石家莊?統(tǒng)考一模）如圖，四棱錐S-/8CD中，底面/8CO為矩形且垂直于側(cè)面S/8,O為AB

的中點(diǎn)，SA=SB=AB=2,AD=41■

（1）證明：804平面SOC；

ISF

（2）側(cè)棱S￡）上是否存在點(diǎn)E,使得平面/8E與平面SCD夾角的余弦值為g若存在，求黑的值：若不存在,

說明理由.

【答案】（1）見詳解

（2）側(cè)棱S。上存在點(diǎn)E,1或興=57

tjLJ2.4jZ-z1U

【分析】（1）利用相似三角形和勾股定理證出8。，OC,根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)和直線與平面垂直的

性質(zhì)，證得8D1SO,根據(jù)直線和平面垂直的判定定理，證出8。1平面SOC；

（2）根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)以及△SZB為等邊三角形，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角與

平面與平面的夾角公式及關(guān)系，求出存在點(diǎn)E,得出去=1或興=《.

ijLJ乙ijLJ1U

【詳解】（1）證明：設(shè)8。交OC于點(diǎn)M,

?底面48CO為矩形，，在中，BD=ylAB?+AD2=百+（近￥=娓,

???。為N8的中點(diǎn)，=

2

在RtAOSC中，0C=y/BC2+OB2=+f=石，

…cc1f8MoM1IJ61J3

QOB//CD,OB=—CD,:.==—,：,BM=—BD=---->OM=—OC=----->

2MDOC23333

■:OB=\,：,BM2+OM1=OB-,：.BMVOM,BPBDVOC,

?.,SZ=S8=N8=2,.nS/B為等邊三角形，[?。為的中點(diǎn)，SO,48,

,平面Z8CD_L平面S48,SOu平面SAO,平面0平面S/8=Z8,SOVAB,

.?.SO_L平面/BCD,

Q8Qu平面48cD,：.SOLBD,BPBDISO,

又?.?8D1.0C,SOcOC=O,5。,。。匚平面50(7,;.8。_1平面50(7.

(2)設(shè)豆=2麗,^e[0,l],

???底面/8CZ)為矩形，:.AD1AB,

?.?平面N8C0_L平面以8,平面平面=ADLAB,

AD_L平面”3.

以。坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O作平行于的直線為z軸，以。8和OS所在直線分別為x軸和了軸，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系。-中z；

,:SA=SB=AB=2,為等邊三角形，

???。為4B的中點(diǎn)，

:.OB=^AB=\,SO=4SB。-OB。=抄-產(chǎn)=拒,

5(0,A0),C(l,0,V2),￡>(-1,0,&),4(-1,0,0),8(1,0,0),

麗=(-1,-6,0),方=(2,0,0),DC=(2,0,0),汨=(1,6,0);

SE=2而=2(-1,->/3,V2)=(-2,->/32,V22),

:.AE=AS+SE=(\,43,0)+(-A,-V32,V2/1)=(1-A,V3-V3A,V22),

設(shè)平面SCD的法向量為m=(占,必,4),

m-DC=0x,=0

即=g'令必=&，.?.玩=(0,8,6)

fhSD=O

設(shè)平面ABE的法向量為n=(%2ME),

m?AB=0%=°

由<-可得'I—z、r~9

m-AE=0[V3(1-^)y2+V22Z2=0

令％=V229x2=0/2=V22,Z2二百4一9

.?.萬=(0,Z,而一百)，

???平面ABE與平面SCD夾角的余弦值為1,

,__,m-n122+^3(732-^)1]

???cos<m,n>\==二]一廣」-=7，

州〃國(guó)2萬+(&_6)25

17

整理得20儲(chǔ)-244+7=0,/.F或4=會(huì)均符合％￡[(),1],

SE1_^SE7

??=—=,

SD2SD10

???側(cè)棱SD上存在點(diǎn)E,使得平面ABE與平面SCD夾角的余弦值為1,

SE1-SE7

—=—或—=——.

SD2SD10

12.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，在四棱錐P一48C。中，以，平面/8CD底面458是矩形,

PA=AD=2,AB=4,M,N分別是線段尸C的中點(diǎn).

(1)求證：加2//平面以。；

(2)在線段CD上是否存在一點(diǎn)。，使得直線NQ與平面。仞V所成角的正弦值為;？若存在，求出器的值;

若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(I)證明見解析

C0_3

(2)存在,

CD-4

【分析】(1)取PB中點(diǎn)E,連接ME,NE.由線面平行的判定定理可證得ME〃平面PAD,NE//平面

PAD,再由面面平行的判定定理即可證明：

(2)以AB、AD、AP為x、y、z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)