2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角〃條形碼粘貼處〃o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3,非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1_;

1.已知復數(shù)z=j=3為虛數(shù)單位）在復平面內對應的點的坐標是（）

2.已知函數(shù)/(x)=cos2x+sin[x+?J,貝!)/(x)的最小值為()

1

AA.1JH--&--RB.—Cr?1.---V--2--DI、.1I---及---

2224

3.函數(shù)fix）=sin（DX｛CO>0）的圖象向右平移三個單位得到函數(shù)y=g（x）的圖象，并且函數(shù)g（x）在區(qū)間上

1263

單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)。的值為（）

735

A.—B.—C.2D.一

424

3

4.在等差數(shù)列｛4｝中，4=-5,%+4+%=9,若2=一（鹿cN*）,則數(shù)列仇｝的最大值是（)

A.—3B.—

3

C.1D.3

5.若函數(shù)/（x）=%2+2x-mcos（x+l）+m2+3加-7有且僅有一個零點，則實數(shù)，〃的值為（）

軌函數(shù)八在「3,3］的圖象大致為（）

7,若2“+3。=3"+2"則下列關系式正確的個數(shù)是（）

?b<a<0?a=b?0<a<b<i?\<b<a

A.1B.2C.3D.4

8.若關于工的不等式<±有正整數(shù)解，則實數(shù)k的最小值為（）

~27

A.9B.8C.7D.6

x+2y>2

9.已知實數(shù)x,y滿足約束條件y-x<i,若z=2x—），的最大值為2,則實數(shù)我的值為（）

y+l>AJC

57

B.-C.2D.-

33

10.山東煙臺蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽國內外.據(jù)統(tǒng)計，煙臺蘋果（把蘋果近似看成球

體）的直徑（單位：〃m?）服從正態(tài)分布N（80,52）,則直徑在（75,90］內的概率為（）

附：若則尸(〃一b〈X,,〃+b)=0.6826,P(〃一2b<X,,〃+2b)=0.9544.

A.0.6826B.0.8413C.0.8185D.0.9544

11.下列四個結論中正確的個數(shù)是

（1）對于命題〃與天￡/?使得看一1W0,則都有爐_1>0；

(2)已知X~X(2Q2),則P(X>2)=0.5

（3）已知回歸直線的斜率的估計值是2,樣本點的中心為（4,5）,則回歸直線方程為》=2x-3；

(4)“121”是“工+，22”的充分不必要條件.

x

A.1B.2C.3D.4

12.已知角a的頂點與坐標原點。重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點P(-3,-4),則tan[2c+?)的

值為()

2417—2417

A.-----B.-----C.—D.—

731731

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數(shù)/(x)的圖象在x=l處的切線方程為.

14.如圖，在三棱錐A-BCD中，點E在80上，EA=EB=EC=ED,BD=OCD,△ACO為正三角形，點M,N

2

分別在A￡,CD上運動(不含端點)，且AM=CN,則當四面體C-EMN的體積取得最大值§時，三棱錐A-5C￡>

的外接球的表面積為____.

15.集合A={(x,y)M+3=aM>0},8={(x,y)忖|+1=國+聞，若樣8是平面上正八邊形的頂點所構成的

集合，則下列說法正確的為

①。的值可以為2；

②”的值可以為四;

③。的值可以為2+四;

16.函數(shù)/(x)=cos2x的最小正周期是,單調遞增區(qū)間是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知數(shù)列{%}滿足%=]，且4=等+而(〃22,〃eN*).

（1）求證：數(shù)列｛2"凡｝是等差數(shù)列，并求出數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）求數(shù)列｛4｝的前〃項和S”.

18.（12分）若不等式1+2*+4'閨＞0在時恒成立，則a的取值范圍是.

19.（12分）已知函數(shù)/（x）=a+21nx,f（x）＜ax.

⑴求”的值；

⑵令g（x）=加色在3”）上最小值為加，證明：6＜/（m）＜7.

x—a

20.（12分）如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD中，AABO為等邊三角形，△BCD是等腰三角形，且頂角

NBCD=120。,PCLBD,平面平面ABC。，”為Q4中點.

（1）求證：DM//平面P8C；

（2）若PDLPB,求二面角。一24-3的余弦值大小.

x=2+2cos9

21.（12分）在平面直角坐標系中，曲線一y2=2,曲線C,的參數(shù)方程為｛-'

y=2sin，

（。為參數(shù)）.以坐標原點。為極點，*軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求曲線G、C2的極坐標方程；

JT

（2）在極坐標系中，射線6=7?與曲線G，。2分別交于A、3兩點（異于極點O）,定點"（3,0）,求的面

積

22.（10分）已知橢圓5+卓=1（.＞人＞0）,點A（l,0）,8（0,l）,點尸滿足礪+日麗=而（其中。為坐標原

點），點民P在橢圓C上.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設橢圓的右焦點為F,若不經(jīng)過點尸的直線/：）=丘+，〃（左＜0,加＞（））與橢圓C交于M,N兩點.且與圓

/+產=1相切.4政\下的周長是否為定值?若是，求出定值；若不是，請說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求得，的坐標得出答案.

【詳解】

1-z(l-z)(2+z)31.

解：z=------=-----------------=-------1,

2-i(2-z)(2+z)55

.?.Z在復平面內對應的點的坐標是

故選：A.

【點睛】

本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎題.

2.C

【解析】

利用三角恒等變換化簡三角函數(shù)為標準正弦型三角函數(shù)，即可容易求得最小值.

【詳解】

由于〃x)=cos2x+sin?+￡|=*詈生+—

,cos2xsin2x

=1+--------+--------

22

=1+sin(2x+

2I4j

故其最小值為：1-也.

2

故選：C.

【點睛】

本題考查利用降幕擴角公式、輔助角公式化簡三角函數(shù)，以及求三角函數(shù)的最值，屬綜合基礎題.

3.C

【解析】

由函數(shù)f(x)=sis(。>0)的圖象向右平移個單位得到g(x)=sin[c^x-^)]=5ZH(如一,)，函數(shù)8(力在

TTTTTTTT

區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間

_o3J|_32_

上單調遞減，可得x=?時，g(x)取得最大值，即(0x(-符)=^+26■,k&Z,0>0,當％=0時，解得0=2,

故選C.

點睛：本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換和性質的靈活運用，屬于基礎題；據(jù)平移變換“左加右減，上加下減”

的規(guī)律求解出g(x),根據(jù)函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減可得x=0時，g(x)取

得最大值，求解可得實數(shù)。的值.

4.D

【解析】

333

在等差數(shù)列｛a,,｝中，利用已知可求得通項公式4=2〃-9,進而b?=—=五萬，借助/(x)=玄w函數(shù)的的單調性

可知，當〃=5時，2取最大即可求得結果.

【詳解】

3

因為%+4+%=9,所以3%=9,即％=3,又％=-5,所以公差。=2,所以4=2〃—9,即2=——因

2〃一9

3

為函數(shù)/(%)=7臺，在x<4.5時，單調遞減，且/(x)<0；在x>4.5時，單調遞減，且/(x)>0.所以數(shù)列出｝

Lx—9

的最大值是伉，且a=1=3,所以數(shù)列也｝的最大值是3.

故選:D.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列與函數(shù)的關系,借助函數(shù)單調性研究數(shù)列最值問題，難度較易.

5.D

【解析】

推導出函數(shù)y=/(x)的圖象關于直線x=-l對稱，由題意得出/(-1)=0,進而可求得實數(shù)，〃的值，并對加的值進

行檢驗，即可得出結果.

【詳解】

,.,/(x)=(x+l)-一？ncos(x+l)+m2+3機-8,

貝!I/(-1+x)=(-1+x+l)~-wcos(-l+x+l)+m2+3m-8=x2-mcosx+nr+3m-8?

/(-l-x)=(-l-x+l)'-wcos(-l-x+l)+nz2+3m-S=x2-mcosx+m2+3m-8,

.?./(-l+x)=/(-l-x),所以，函數(shù)y=/(x)的圖象關于直線x=—l對稱.

若函數(shù)y=/(x)的零點不為％=-1,則該函數(shù)的零點必成對出現(xiàn)，不合題意.

所以‘〃-1)=0,即〉+2加一8=0,解得加=T或2.

①當加=-4時，令/(x)=(x+l)--4cos(x+l)-4=0,得4cos(x+l)=4-(x+iy,作出函數(shù)y=4cos(x+l)與

②當機=2時，???cos(x+l)Wl,.?./(x)=(x+l)2—2cos(x+l)+2N0,當且僅當x=-l時，等號成立，則函數(shù)

y=/(x)有且只有一個零點.

綜上所述，加=2.

故選：D.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)，考查函數(shù)圖象對稱性的應用，解答的關鍵就是推導出/(-1)=0,在求出參數(shù)

后要對參數(shù)的值進行檢驗，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

6.C

【解析】

先根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B,再根據(jù)函數(shù)極值排除A；結合特殊值即可排除D,即可得解.

【詳解】

"—ex

函數(shù)/(x)=L~^，

ln(%-+1)

則/(—x)=：:'「—-/(無)，所以f(x)為奇函數(shù)，排除B選項；

ln(x'+l)

當x—＞欣時，/(X)af+00,所以排除A選項;

lnx~

e-e-i_e-eT~2.72-0.37

當x=l時，,〃1)=73.4,排除D選項;

ln(l+l)In20.69

綜上可知，C為正確選項,

故選：C.

【點睛】

本題考查根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖像，注意奇偶性、單調性、極值與特殊值的使用，屬于基礎題.

7.D

【解析】

a,8可看成是y=/與/(x)=2'+3x和g(x)=3'+2x交點的橫坐標，畫出圖象，數(shù)形結合處理.

【詳解】

令/(x)=2'+3x,g(x)=3'+2x,

作出圖象如圖,

/(o)=g(o)=l,/(l)=g(l)=5,②正確；

xw(F,O),y(x)<g(x),有b<a<0,①正確；

xe(O』)，〃x)>g(x),有0<a<b<l,③正確；

XG(1,+OO),/(x)<g(x),有l(wèi)<b<a,④正確.

故選：D.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)圖象比較大小，考查學生數(shù)形結合的思想，是一道中檔題.

8.A

【解析】

女

根據(jù)題意可將("LFwJL轉化為叱N駕，令〃月=叱，利用導數(shù)，判斷其單調性即可得到實數(shù)4的最小值.

⑴-27xkx

【詳解】

因為不等式有正整數(shù)解，所以%>0,于是「"L￥〈_L轉化為幺吧231n3,工=1顯然不是不等式的解，當X>1時,

27x

,c「-，\nx.3In3

lnx>0,所以-----231n3可變形為>—-—.

xxk

令〃x)=W，貝ur(x)=W^,

...函數(shù)/(X)在(o,e)上單調遞增，在(e,+8)上單調遞減，而2<e<3,所以

當xeN*時，&=max{/（2）,/（3）}=警，故孚2尊，解得k29.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查不等式能成立問題的解法，涉及到對數(shù)函數(shù)的單調性的應用，構造函數(shù)法的應用，導數(shù)的應用等，意在

考查學生的轉化能力，屬于中檔題.

9.B

【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義，求出最優(yōu)解，轉化求解攵即可.

【詳解】

22、42k-l

可行域如圖中陰影部分所示，B——,——+1,C,要使得z能取到最大值，則々>1,當1<%<2

k-\k-\J2k+f2k+l

2+1]=2,得攵=；；當左>2時，z在點C處取得最大值，即

時，x在點8處取得最大值，即2

k—11

42k7

2=2,得女二/（舍去）.

2k+\2k+l6

故選:B.

【點睛】

本題考查由目標函數(shù)最值求解參數(shù)值,數(shù)形結合思想，分類討論是解題的關鍵,屬于中檔題.

10.C

【解析】

根據(jù)服從的正態(tài)分布可得〃=8O,b=5,將所求概率轉化為一b<XW〃+2b）,結合正態(tài)分布曲線的性質可

求得結果.

【詳解】

由題意，〃=80,b=5,則P(75<X,,85)=0.6826,P(70<X?90)=0.9544,

所以P(85<X,,90)=；x(0.9544-0.6826)=0.1359,P(75<X,,90)=0.6826+0.1359=0.8185.

故果實直徑在（75,90］內的概率為0.8185.

故選：C

【點睛】

本題考查根據(jù)正態(tài)分布求解待定區(qū)間的概率問題，考查了正態(tài)曲線的對稱性，屬于基礎題.

11.C

【解析】

由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關系，即可判定是正確的；（2）中，根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質，即可

判定是正確的；（3）中，由回歸直線方程的性質和直線的點斜式方程，即可判定是正確；（4）中，基本不等式和充要

條件的判定方法，即可判定.

【詳解】

由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關系，可知命題〃與使得片-1<0,則都有

x2-l>0,是錯誤的；

（2）中，已知X?NR,。?），正態(tài)分布曲線的性質，可知其對稱軸的方程為x=2,所以P（X>2）=0.5是正確的;

（3）中，回歸直線的斜率的估計值是2,樣本點的中心為（4,5）,由回歸直線方程的性質和直線的點斜式方程，可得

回歸直線方程為y=2x-3是正確；

（4）中，當工?1時，可得X+?工=2成立,當x時，只需滿足尤>0,所以“xNl”是“x+，N2”

X\XXX

成立的充分不必要條件.

【點睛】

本題主要考查了命題的真假判定及應用，其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質、回歸直線方程的性

質，以及基本不等式的應用等知識點的應用，逐項判定是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于

基礎題.

12.B

【解析】

424

根據(jù)三角函數(shù)定義得到tana=彳，故tan2a=-=,再利用和差公式得到答案.

37

【詳解】

42tan。24

?角a的終邊過點tana=-,tan2a=

31-tan2a7

tan2a+tan-------------+1…

Atan2a+—4=」___E

I4,c乃124,=31,

1-tan2cz-tan—Id-----xl

47

故選：B.

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)定義，和差公式，意在考查學生的計算能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.x-j=0.

【解析】

先將x=l代入函數(shù)式求出切點縱坐標，然后對函數(shù)求導數(shù)，進一步求出切線斜率，最后利用點斜式寫出切線方程.

【詳解】

由題意得/'（X）=2x-lnx-l，r（l）=1,/（I）=1.

故切線方程為y-l=x-1,即x-y=0.

故答案為：x-j=0.

【點睛】

本題考查利用導數(shù)求切線方程的基本方法，利用切點滿足的條件列方程（組）是關鍵.同時也考查了學生的運算能力，

屬于基礎題.

14.32兀

【解析】

設根據(jù)勾股定理的逆定理可以通過計算可以證明出CEJLE0.AM=x,根據(jù)三棱錐的體積公式，運用基本不等

式，可以求出AM的長度，最后根據(jù)球的表面積公式進行求解即可.

【詳解】

設ED=a,貝！|CD=夜a.可得CE2+DE2=CD2,:.CE1ED.

當平面平面8C。時，當四面體C-EMN的體積才有可能取得最大值，設

則四面體C-EMN的體積=』xaxxx立■=絲ax（a-x）<YZq（葉竺12）2=2,當且僅當x=3時

3221212232

取等號.

解得a=25/2>

此時三棱錐A-BCD的外接球的表面積=4m?=32/r.

故答案為：32萬

【點睛】

本題考查了基本不等式的應用，考查了球的表面積公式，考查了數(shù)學運算能力和空間想象能力.

15.（2X3）

【解析】

根據(jù)對稱性，只需研究第一象限的情況，計算AC：>=（后-1）》,得到A（l,、匯-1）,C（V2+1,1）,得到答案.

【詳解】

如圖所示：根據(jù)對稱性，只需研究第一象限的情況，

集合8：xy+l=;t+y,故（x-l）（y-l）=O,即x=l或y=l,

集合A：x+y=a,AQB是平面上正八邊形的頂點所構成的集合，

故AC所在的直線的傾斜角為22.5。，左公=tan22.5°=0-1,故AC：y=

解得A（l,夜-1）,此時C（V2+1,1）,此時。=及+2.

本題考查了根據(jù)集合的交集求參數(shù)，意在考查學生的計算能力和轉化能力，利用對稱性是解題的關鍵.

16.冗伙乃+生,匕r+4],keZ

2

【解析】

化簡函數(shù)的解析式，利用余弦函數(shù)的圖象和性質求解即可.

【詳解】

,/函數(shù)/(x)=cos2x=；cos2x+g,

27r

:?最小正周期7="，

令2&萬+赧?x24方+2萬,ZGZ,可得憶乃+2領kkn+7t,k&Z,

2

所以單調遞增區(qū)間是伙乃+鄉(xiāng)版?+1],keZ.

TT

故答案為：[k7r+-,hr+m，keZ.

【點睛】

本題主要考查了二倍角的公式的應用，余弦函數(shù)的圖象與性質，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析，。,,=今史；(2)S“=5—誓^

【解析】

(1)將等式?！?號+擊變形為2"%=2"-%,“+2,進而可證明出｛2%,,｝是等差數(shù)列，確定數(shù)列｛2"為｝的首項

和公差，可求得2"a”的表達式，進而可得出數(shù)列｛/｝的通項公式；

(2)利用錯位相減法可求得數(shù)列｛??｝的前〃項和Sn.

【詳解】

<1)因為％=誓+擊("N2,〃eN*),所以2"4=2"%,“+2,即2"%—2"-%恒=2,

所以數(shù)列｛2"凡｝是等差數(shù)列，且公差1=2,其首項2卬=3

所以2"a“=3+(〃—l)x2=2〃+l,解得4=筆1；

,、「3572n-\2〃+1〃

(2)S=—I—彳H—7+?,?H-----：—I---------，①

“222232"-12"

S?3572n-l2n+l-

了=齊+滑夢+…+丫+>,②

G3殂S,3C(111)2〃+134(2"-')2〃+152〃+5

22I22232")2,,+|2112,,+122,,+,

1----

2

2〃+5

所以5“=5—

2"

【點睛】

本題考查利用遞推公式證明等差數(shù)列，同時也考查了錯位相減法求和，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.

3

18.a>—

4

【解析】

原不等式等價于在(0,1］恒成立，令「=，，求出在上的最小值后可得a

的取值范圍.

【詳解】

因為1+2*+4匚。〉0在%€(0,1］時恒成立，故a

令f=?，由xe(O,l］可得fw1,1

1\1AQ

令/(。=/+乙re-,1,貝！I./■⑺為-J上的增函數(shù)，故/⑺而

一乙)Lz4

“3

故a>——.

4

3

故答案為：a>一■

4

【點睛】

本題考查含參數(shù)的不等式的恒成立，對于此類問題，優(yōu)先考慮參變分離，把恒成立問題轉化為不含參數(shù)的新函數(shù)的最

值問題，本題屬于基礎題.

19.(l)a=2；(2)見解析.

【解析】

⑴將/。)<依轉化為a-辦+21nxW0對任意x〉0恒成立，令例?=。-6+21nx,故只需//。工耐W0,即可求

出"的值；

,..2x+2xlnx,-、,,、2(x-21nx-4)一、▼",八、

⑵由⑴知g(x)=---------(%>2),可得g(x)=--------—；---,令s(x)=x-21nx-4,可證Ir。e(8,9),

x-2(x-2)

使得S(X°)=0,從而可確定g(x)在(2,x0)上單調遞減，在(X。,+8)上單調遞增，進而可得g(X)min=g(Xo)=/，即

m=xQ,即可證出/(根)=/(%)=2+21nx()=%-26(6,7).

【詳解】

函數(shù)的定義域為(0,+8),因為f(x)<ax對任意X>()恒成立，

即。一依+21nxK()對任意x>0恒成立，

令〃(x)=a-ax+2\nx,則//⑺=-4Z+—=—,

xx

當〃<0時，h\x)>0,故人⑺在(0,+8)上單調遞增,

又飄1)=0,所以當時，/i(x)>/i(l)=0,不符合題意；

2

當〃>()時，令"0)=0得工=—,

a

2?

當0V時，/(x)>0；當時，

aa

所以〃⑺在上單調遞增，在(―,+8)上單調遞減，

(2、22

所以"(X)max=〃——CI—CLF2In—=(2—2+21n2—2111。，

\a)aa

所以要使以X)wo在％>()時恒成立，則只需〃(x)max40,即〃—2+21n2—21n〃W0,

令F(a)=a-2+21n2-2\na,a>0,

所以F(a)=l—42=a-2

aa

當0<a<2時，尸'(。)<0；當a>2時，F(xiàn)'(a)>0,

所以尸(a)在(0,2)單調遞減，在(2,+8)上單調遞增，所以E(a)N%2)=0,

即a-2+21n2-21na20,又a-2+21n2-21naW0,所以a-2+21n2-21na=0,

故滿足條件的“的值只有2

,,.xf(x)2x+2x\nx…叱一，/、2(x-21nx-4)

⑵由⑴知8(幻x=公2=----------(zx>2),所以g(x)=--~z-，

x-ax-2(x-2)

2r-2

令s(x)=x-21nx-4,貝!]s，(x)=l——=----,

xx

當x>2,時s'(x)>0,即s(x)在(2,+8)上單調遞增；

又s(8)<0,s(9)>0,所以現(xiàn)e(8,9),使得s(x0)=0,

當2cx<豌時,5(x)<0；當x>x()時，s(x)>0,

即g(x)在(2,x0)上單調遞減，在(X。,+8)上單調遞增，且%—21nx0-4=0

所以g(x).=g(x。)=2」0+2x2。=Nf=或1當=X。，

即〃?=尤0，所以，(㈤=/(x())=2+21nx0=/一2€(6,7),即6</(㈤<7.

【點睛】

本題主要考查利用導數(shù)法求函數(shù)的最值及恒成立問題處理方法，第(2)問通過最值問題深化對函數(shù)的單調性的考查，同

時考查轉化與化歸的思想，屬于中檔題.

20.(1)見解析：(2)上

7

【解析】

(1)設A3中點為N,連接MN、DN,首先通過條件得出CBLAB,加DN_LAB,可得DN//BC,進而可得

DN//平面PBC,再加上肱V//平面P8C,可得平面ZMW//平面P8C,則DM//平面PBC；

(2)設BO中點為。，連接AO、CO,可得PO1平面A8CO,加上8。J_平面PC。，則可如圖建立直角坐標系

O-xyz,求出平面的法向量和平面PAC的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.

【詳解】

(1)證明：設A8中點為N,連接MN、DN,

?.?△ABD為等邊三角形,

.-.DN1AB,

?;DC=CB,4X5=120。，

ZCBD=30°,

.-.ZABC=60°+30°=90°,即

-DN±AB,

：.DN//BC,

?.?BCu平面PBC,平面P3C,

.?.ON//平面PBC,

???MN為APAB的中位線，

:.MNHPB,

?.?PBu平面PBC,腦V<z平面PBC,

平面PBC,

?;MN、￡>N為平面OMN內二相交直線，

平面DMN11平面PBC,

?jDMu平面DMN,

；.DM//平面PBC；

(2)設BO中點為。，連接A。、CO

?.?△ABD為等邊三角形，△BCD是等腰三角形，且頂角NBCD=120。

AO±BD,CO工BD,

;.A、C、0共線，

-.PCLBD,BDA.CO,PCCCO=C,PC,COu平面PCO

:.BD工平面PCO.

?.POu平面PCO

：.BD±PO

?.?平面P8D_L平面ABC￡),交線為BD,POu平面PBD

..POJ_平面ABCD.

設AB=2,則AO=3

在ABCD中，由余弦定理，得：BD2=BC2+CD2-2BC-CD-cosA