第第頁(yè)§6.4數(shù)列中的構(gòu)造問(wèn)題題型一形如an＋1＝pan＋f(n)型命題點(diǎn)1an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0，其中a1＝a)例1在數(shù)列{an}中，a1＝5，an＋1＝3an﹣4，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解由an＋1＝3an﹣4，可得an＋1﹣2＝3(an﹣2)，所以eq\f(an＋1－2,an－2)＝3.又a1＝5，所以{an﹣2}是以a1﹣2＝3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以an﹣2＝3n，所以an＝3n＋2.命題點(diǎn)2an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)例2已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an﹣n＋1(n∈N*)，a1＝3，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解∵an＋1＝2an﹣n＋1，∴an＋1﹣(n＋1)＝2(an﹣n)，∴eq\f(an＋1－n＋1,an－n)＝2，∴數(shù)列{an﹣n}是以a1﹣1＝2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an﹣n＝2·2n﹣1＝2n，∴an＝2n＋n.命題點(diǎn)3an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1)例3在數(shù)列{an}中，a1＝﹣1，an＋1＝2an＋4·3n﹣1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解方法一原遞推式可化為an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n﹣1)．①比較系數(shù)得λ＝﹣4，①式即是an＋1﹣4·3n＝2(an﹣4·3n﹣1)．則數(shù)列{an﹣4·3n﹣1}是首項(xiàng)為a1﹣4·31﹣1＝﹣5，公比為2的等比數(shù)列，∴an﹣4·3n﹣1＝﹣5·2n﹣1，即an＝4·3n﹣1﹣5·2n﹣1.方法二將an＋1＝2an＋4·3n﹣1的兩邊同除以3n＋1，得eq\f(an＋1,3n＋1)＝eq\f(2,3)·eq\f(an,3n)＋eq\f(4,32)，令bn＝eq\f(an,3n)，則bn＋1＝eq\f(2,3)bn＋eq\f(4,9)，設(shè)bn＋1＋k＝eq\f(2,3)(bn＋k)，比較系數(shù)得k＝﹣eq\f(4,3)，則eq\f(bn＋1－\f(4,3),bn－\f(4,3))＝eq\f(2,3)，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn－\f(4,3)))是以﹣eq\f(5,3)為首項(xiàng)，eq\f(2,3)為公比的等比數(shù)列．∴bn﹣eq\f(4,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n﹣1，則bn＝eq\f(4,3)﹣eq\f(5,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n﹣1，∴an＝3n·bn＝4·3n﹣1﹣5·2n﹣1.思維升華(1)形如an＋1＝αan＋β(α≠0,1，β≠0)的遞推式可用構(gòu)造法求通項(xiàng)，構(gòu)造法的基本原理是在遞推關(guān)系的兩邊加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，構(gòu)造數(shù)列的每一項(xiàng)都加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，使之成為等差數(shù)列或等比數(shù)列．(2)遞推公式an＋1＝αan＋β的推廣式an＋1＝αan＋β×γn(α≠0,1，β≠0，γ≠0,1)，兩邊同時(shí)除以γn＋1后得到eq\f(an＋1,γn＋1)＝eq\f(α,γ)·eq\f(an,γn)＋eq\f(β,γ)，轉(zhuǎn)化為bn＋1＝kbn＋eq\f(β,γ)(k≠0,1)的形式，通過(guò)構(gòu)造公比是k的等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn－\f(β,γ1－k)))求解．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝﹣3×2n﹣1 B．a(chǎn)n＝3×2n﹣1C．a(chǎn)n＝5n＋3×2n﹣1 D．a(chǎn)n＝5n﹣3×2n﹣1答案D解析方法一將遞推公式an＋1＝2an＋3×5n的兩邊同時(shí)除以5n＋1，得eq\f(an＋1,5n＋1)＝eq\f(2,5)·eq\f(an,5n)＋eq\f(3,5)，①令eq\f(an,5n)＝bn，則①式變?yōu)閎n＋1＝eq\f(2,5)bn＋eq\f(3,5)，即bn＋1﹣1＝eq\f(2,5)(bn﹣1)，所以數(shù)列{bn﹣1}是首項(xiàng)為b1﹣1＝eq\f(a1,5)﹣1＝﹣eq\f(3,5)，公比為eq\f(2,5)的等比數(shù)列，所以bn﹣1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))n﹣1，即bn＝1﹣eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))n﹣1＝1﹣eq\f(3×2n－1,5n)，故an＝5n﹣3×2n﹣1.方法二設(shè)an＋1＋k×5n＋1＝2(an＋k×5n)，則an＋1＝2an﹣3k×5n，與題中遞推公式比較得k＝﹣1，即an＋1﹣5n＋1＝2(an﹣5n)，所以數(shù)列{an﹣5n}是首項(xiàng)為a1﹣5＝﹣3，公比為2的等比數(shù)列，則an﹣5n＝﹣3×2n﹣1，故an＝5n﹣3×2n﹣1.(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1﹣2Sn＝1，n∈N*，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．答案an＝2n﹣1，n∈N*解析因?yàn)镾n＋1﹣2Sn＝1，所以Sn＋1＝2Sn＋1.因此Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，因?yàn)閍1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n﹣1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，a1＝1也滿足此式，所以an＝2n﹣1，n∈N*.題型二相鄰項(xiàng)的差為特殊數(shù)列(形如an＋1＝pan＋qan﹣1，其中a1＝a，a2＝b型)例4已知在數(shù)列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an﹣1＋3an﹣2(n≥3)，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．解∵an＝2an﹣1＋3an﹣2，∴an＋an﹣1＝3(an﹣1＋an﹣2)，又a1＋a2＝7，∴{an＋an﹣1}是首項(xiàng)為7，公比為3的等比數(shù)列，則an＋an﹣1＝7×3n﹣2，①又an﹣3an﹣1＝﹣(an﹣1﹣3an﹣2)，a2﹣3a1＝﹣13，∴{an﹣3an﹣1}是首項(xiàng)為﹣13，公比為﹣1的等比數(shù)列，則an﹣3an﹣1＝(﹣13)·(﹣1)n﹣2，②①×3＋②得，4an＝7×3n﹣1＋13·(﹣1)n﹣1，∴an＝eq\f(7,4)×3n﹣1＋eq\f(13,4)(﹣1)n﹣1.思維升華可以化為an＋1﹣x1an＝x2(an﹣x1an﹣1)，其中x1，x2是方程x2﹣px﹣q＝0的兩個(gè)根，若1是方程的根，則直接構(gòu)造數(shù)列{an﹣an﹣1}，若1不是方程的根，則需要構(gòu)造兩個(gè)數(shù)列，采取消元的方法求數(shù)列{an}．跟蹤訓(xùn)練2(1)數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足an＋2＝2an＋1﹣an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________．答案an＝10﹣2n(n∈N*)解析由題意知，an＋2﹣an＋1＝an＋1﹣an，所以{an}為等差數(shù)列．設(shè)公差為d，由題意得2＝8＋3d?d＝﹣2，得an＝8﹣2(n﹣1)＝10﹣2n.(2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1﹣2an，則an＝________.答案2n﹣1解析由題意知，an＋2﹣an＋1＝2(an＋1﹣an)，∵a2﹣a1＝2，∴{an﹣an﹣1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，an﹣an﹣1＝2n﹣1(n≥2)，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝(an﹣an﹣1)＋(an﹣1﹣an﹣2)＋…＋(a2﹣a1)＋a1＝2n﹣1＋2n﹣2＋…＋2＋1＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n﹣1.顯然n＝1時(shí)滿足上式，∴an＝2n﹣1.題型三倒數(shù)為特殊數(shù)列eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(形如an＋1＝\f(pan,ran＋s)型))例5(1)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，則an＝________.答案eq\f(2,n＋1)解析∵an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，a1＝1，∴an≠0，∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,2)，即eq\f(1,an＋1)﹣eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)，又a1＝1，則eq\f(1,a1)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1為首項(xiàng)，eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列．∴eq\f(1,an)＝1＋(n﹣1)×eq\f(1,2)＝eq\f(n,2)＋eq\f(1,2)，∴an＝eq\f(2,n＋1)(n∈N*)．(2)已知在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝eq\f(an,an＋3)(n∈N*)，則an＝________.答案eq\f(2,2×3n－1－1)解析∵eq\f(1,an＋1)＝3·eq\f(1,an)＋1，∴eq\f(1,an＋1)＋eq\f(1,2)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋\f(1,2)))，eq\f(1,a1)＋eq\f(1,2)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋\f(1,2)))是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，∴eq\f(1,an)＋eq\f(1,2)＝3n﹣1，∴eq\f(1,an)＝3n﹣1﹣eq\f(1,2)，∴an＝eq\f(2,2×3n－1－1)(n∈N*)．思維升華兩邊同時(shí)取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為eq\f(1,an＋1)＝eq\f(s,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(r,p)的形式，化歸為bn＋1＝pbn＋q型，求出eq\f(1,an)的表達(dá)式，再求an.跟蹤訓(xùn)練3(1)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x,3x＋1)，數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)___________．答案an＝eq\f(1,3n－2)(n∈N*)解析由已知得，an＋1＝eq\f(an,3an＋1)，∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋3，即eq\f(1,an＋1)﹣eq\f(1,an)＝3，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首項(xiàng)為eq\f(1,a1)＝1，公差為d＝3的等差數(shù)列，∴eq\f(1,an)＝1＋(n﹣1)×3＝3n﹣2.故an＝eq\f(1,3n－2)(n∈N*)．(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝eq\f(an,2nan＋1)，則an＝__________.答案eq\f(1,n2－n＋1)解析對(duì)遞推關(guān)系兩邊取倒數(shù)，得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(2nan＋1,an)＝eq\f(1,an)＋2n.即eq\f(1,an＋1)﹣eq\f(1,an)＝2n，分別用1,2,3，…，n﹣1替換n，有eq\f(1,a2)﹣eq\f(1,a1)＝2×1，eq\f(1,a3)﹣eq\f(1,a2)＝2×2，eq\f(1,a4)﹣eq\f(1,a3)＝2×3，…，eq\f(1,an)﹣eq\f(1,an－1)＝2(n﹣1)，以上n﹣1個(gè)式子相加，得eq\f(1,an)﹣eq\f(1,a1)＝2[1＋2＋3＋…＋(n﹣1)]＝n(n﹣1)，所以eq\f(1,an)＝n2﹣n＋1.所以an＝eq\f(1,n2－n＋1).課時(shí)精練1．?dāng)?shù)列{an}滿足an＝4an﹣1＋3(n≥2)且a1＝0，則此數(shù)列第5項(xiàng)是()A．15 B．255C．16 D．63答案B解析∵an＝4an﹣1＋3(n≥2)，∴an＋1＝4(an﹣1＋1)(n≥2)，∴{an＋1}是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，則an＋1＝4n﹣1.∴an＝4n﹣1﹣1，∴a5＝44﹣1＝255.2．?dāng)?shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，且an＋1＝4an＋6(n∈N*)，令bn＝log2(an＋2)，則eq\f(b1＋b2＋…＋b2022,2022)等于()A．2020 B．2021C．2022 D．2023答案D解析∵an＋1＝4an＋6(n∈N*)，∴an＋1＋2＝4an＋6＋2＝4(an＋2)>0，即eq\f(an＋1＋2,an＋2)＝4且a1＝2，∴數(shù)列{an＋2}是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，故an＋2＝4n，由bn＝log2(an＋2)得，bn＝log24n＝2n，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2022＝2(1＋2＋3＋…＋2021＋2022)＝2022×2023，∴eq\f(b1＋b2＋…＋b2022,2022)＝eq\f(2022×2023,2022)＝2023.3．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝a2＝2，an＝3an﹣1＋4an﹣2(n≥3)，則a9＋a10等于()A．47 B．48C．49 D．410答案C解析由題意得a1＋a2＝4，由an＝3an﹣1＋4an﹣2(n≥3)，得an＋an﹣1＝4(an﹣1＋an﹣2)，即eq\f(an＋an－1,an－1＋an－2)＝4(n≥3)，所以數(shù)列{an＋an＋1}是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列，所以a9＋a10＝49.4．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*，則a4等于()A．64 B．56C．32 D．24答案C解析由an＋1＝2an＋2n得eq\f(an＋1,2n＋1)﹣eq\f(an,2n)＝eq\f(1,2)，而eq\f(a1,2)＝eq\f(1,2)，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是首項(xiàng)為eq\f(1,2)，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列，∴eq\f(an,2n)＝eq\f(1,2)＋(n﹣1)×eq\f(1,2)＝eq\f(n,2)，∴an＝n·2n﹣1，∴a4＝4×24﹣1＝32.5．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝eq\f(an,an＋2)(n∈N*)．若bn＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1))，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn等于()A.eq\f(1,2)n B．n﹣1C．n D．2n答案C解析由an＋1＝eq\f(an,an＋2)，得eq\f(1,an＋1)＝1＋eq\f(2,an)，所以eq\f(1,an＋1)＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1))，又eq\f(1,a1)＋1＝2，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1))是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以eq\f(1,an)＋1＝2·2n﹣1＝2n，所以bn＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1))＝log22n＝n.6．已知數(shù)列{an}滿足3an﹣2an﹣1＝an＋1(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，a6＝2022，則a2等于()A.eq\f(2022,31) B.eq\f(2022,33)C.eq\f(2022,63) D.eq\f(2022,65)答案A解析由3an﹣2an﹣1＝an＋1(n≥2，n∈N*)，可得2(an﹣an﹣1)＝an＋1﹣an，若an﹣an﹣1＝0，則a6＝a5＝…＝a1，與題中條件矛盾，故an﹣an﹣1≠0，所以eq\f(an＋1－an,an－an－1)＝2，即數(shù)列{an＋1﹣an}是以a2﹣a1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an＋1﹣an＝a2·2n﹣1，所以a6﹣a1＝a2﹣a1＋a3﹣a2＋a4﹣a3＋a5﹣a4＋a6﹣a5＝a2·20＋a2·21＋a2·22＋a2·23＋a2·24＝31a2＝2022，所以a2＝eq\f(2022,31).7．(多選)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1,4an＋1＝3an﹣n＋4，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)3＝eq\f(13,8)B．a(chǎn)3＝eq\f(29,8)C．{an＋n﹣8}是等比數(shù)列D．{an＋2}不可能是等比數(shù)列答案ACD解析∵a1＝1,4an＋1＝3an﹣n＋4，∴a2＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(13,8)，故A正確，B錯(cuò)誤；∵4an＋1＝3an﹣n＋4，∴an＋1＝eq\f(3,4)an﹣eq\f(1,4)n＋1，∴an＋1＋(n＋1)﹣8＝eq\f(3,4)an﹣eq\f(1,4)n＋1＋(n＋1)﹣8＝eq\f(3,4)an＋eq\f(3,4)n﹣6＝eq\f(3,4)(an＋n﹣8)，又∵a1＋1﹣8＝﹣6，∴數(shù)列{an＋n﹣8}是首項(xiàng)為﹣6，公比為eq\f(3,4)的等比數(shù)列，故C正確；∵a1＋2＝3，a2＋2＝eq\f(7,2)，a3＋2＝eq\f(29,8)，顯然(a2＋2)2≠(a1＋2)(a3＋2)，∴{an＋2}不可能是等比數(shù)列，故D正確．8．(多選)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝eq\f(an,2＋3an)(n∈N*)，則下列結(jié)論正確的是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋3))為等比數(shù)列B．{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,2n－1－3)C．{an}為遞增數(shù)列D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n項(xiàng)和Tn＝2n＋2﹣3n﹣4答案AD解析因?yàn)閍n＋1＝eq\f(an,2＋3an)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(2＋3an,an)＝eq\f(2,an)＋3，所以eq\f(1,an＋1)＋3＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋3))，且eq\f(1,a1)＋3＝4≠0，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋3))是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即eq\f(1,an)＋3＝4×2n﹣1，所以eq\f(1,an)＝2n＋1﹣3，可得an＝eq\f(1,2n＋1－3)，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確；因?yàn)閑q\f(1,an)＝2n＋1﹣3單調(diào)遞增，所以an＝eq\f(1,2n＋1－3)單調(diào)遞減，即{an}為遞減數(shù)列，故選項(xiàng)C不正確；eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n項(xiàng)和Tn＝(22﹣3)＋(23﹣3)＋…＋(2n＋1﹣3)＝(22＋23＋…＋2n＋1)﹣3n＝22×eq\f(1－2n,1－2)﹣3n＝2n＋2﹣3n﹣4.故選項(xiàng)D正確．9．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋3n，則a5＝________.答案405解析∵an＋1＝3an＋3n，∴eq\f(an＋1,3n＋1)﹣eq\f(an,3n)＝eq\f(1,3)，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,3n)))是等差數(shù)列，公差為eq\f(1,3)，又eq\f(a1,3)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(an,3n)＝eq\f(1,3)＋(n﹣1)×eq\f(1,3)＝eq\f(n,3)，∴an＝n·3n﹣1，a5＝5×34＝405.10．已知數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(3,2)，an＋1＝eq\f(3an,an＋3)，若cn＝eq\f(3n,an)，則cn＝____________.答案(n＋1)3n﹣1解析因?yàn)閍1＝eq\f(3,2)，an＋1＝eq\f(3an,an＋3)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋3,3an)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,an)，即eq\f(1,an＋1)﹣eq\f(1,an)＝eq\f(1,3)，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首項(xiàng)為eq\f(1,a1)＝eq\f(2,