概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙江大學(xué)盛驟匯報(bào)人：AA2024-01-19課程簡介與目標(biāo)概率論基本概念隨機(jī)變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)參數(shù)估計(jì)方法假設(shè)檢驗(yàn)原理及應(yīng)用方差分析與回歸分析初步課程總結(jié)與展望課程簡介與目標(biāo)01研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支，包括隨機(jī)事件、隨機(jī)變量、隨機(jī)過程等基本概念和性質(zhì)。以概率論為基礎(chǔ)，研究如何從數(shù)據(jù)中獲取有用信息并作出科學(xué)推斷的數(shù)學(xué)分支，包括參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、回歸分析等內(nèi)容。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概述數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論03要求學(xué)生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，能夠熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行推導(dǎo)和計(jì)算。01掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、理論和方法，能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題。02培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和邏輯思維能力，提高學(xué)生的數(shù)據(jù)處理和分析能力。課程目標(biāo)與要求《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》（浙江大學(xué)盛驟等編，高等教育出版社）教材《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》（茆詩松等編，高等教育出版社）、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》（吳喜之編，高等教育出版社）等。參考書目教材及參考書目概率論基本概念0201在一定條件下并不總是發(fā)生，也不總是不發(fā)生的事件。隨機(jī)事件02描述隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，取值范圍在0到1之間。概率03非負(fù)性、規(guī)范性、可加性。概率的性質(zhì)隨機(jī)事件與概率123每個(gè)樣本點(diǎn)等可能出現(xiàn)，且樣本空間有限。古典概型樣本點(diǎn)無限，但可借助幾何度量（如長度、面積、體積等）來描述概率。幾何概型主要在于樣本空間的大小和等可能性原則的應(yīng)用。兩者區(qū)別古典概型與幾何概型事件的獨(dú)立性兩個(gè)事件相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)其中一個(gè)事件的發(fā)生不影響另一個(gè)事件的發(fā)生概率。條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系若兩事件相互獨(dú)立，則它們的條件概率等于各自的無條件概率之積。條件概率在給定某事件發(fā)生的條件下，另一事件發(fā)生的概率。條件概率與獨(dú)立性隨機(jī)變量及其分布03隨機(jī)變量定義及性質(zhì)隨機(jī)變量定義隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，它將樣本空間中的每個(gè)樣本點(diǎn)映射到一個(gè)實(shí)數(shù)。隨機(jī)變量性質(zhì)隨機(jī)變量具有可測性、分布函數(shù)性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望和方差等性質(zhì)。其中，分布函數(shù)完全描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性。010203二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布是一種離散型概率分布，描述了在n次獨(dú)立重復(fù)的伯努利試驗(yàn)中成功次數(shù)的概率分布。其中，每次試驗(yàn)成功的概率為p，失敗的概率為1-p。泊松分布泊松分布是一種描述稀有事件的離散型概率分布，常用于描述在給定時(shí)間間隔或給定區(qū)域內(nèi)某一事件發(fā)生的次數(shù)。泊松分布的參數(shù)λ表示單位時(shí)間或單位面積內(nèi)隨機(jī)事件的平均發(fā)生率。幾何分布幾何分布描述了在伯努利試驗(yàn)中首次成功所需試驗(yàn)次數(shù)的概率分布。其中，每次試驗(yàn)成功的概率為p，失敗的概率為1-p。常見離散型隨機(jī)變量分布常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布指數(shù)分布指數(shù)分布是一種描述連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布，常用于描述等待時(shí)間、壽命等隨機(jī)現(xiàn)象。其概率密度函數(shù)呈指數(shù)衰減形式，參數(shù)λ表示單位時(shí)間內(nèi)事件發(fā)生的次數(shù)。正態(tài)分布正態(tài)分布是一種連續(xù)型概率分布，具有廣泛的應(yīng)用。其概率密度函數(shù)呈鐘形曲線，形狀由均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ決定。正態(tài)分布具有許多重要性質(zhì)，如可加性、穩(wěn)定性等。均勻分布均勻分布是一種連續(xù)型概率分布，描述了在某個(gè)區(qū)間內(nèi)隨機(jī)變量取值的概率。在均勻分布中，每個(gè)小區(qū)間內(nèi)的取值概率相等。數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)04研究對象的全體個(gè)體組成的集合，通常用一個(gè)概率分布來描述?？傮w從總體中隨機(jī)抽取的一部分個(gè)體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)。樣本樣本中包含的個(gè)體數(shù)目，通常用n表示。樣本容量總體與樣本概念介紹統(tǒng)計(jì)量樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)包括無偏性、有效性和一致性等，用于評(píng)價(jià)統(tǒng)計(jì)量的優(yōu)劣。常用統(tǒng)計(jì)量除了樣本均值和樣本方差外，還包括樣本矩、樣本峰度、樣本偏度等。統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)卡方分布用于描述樣本方差的分布情況，在總體方差已知且樣本容量足夠大時(shí)使用。F分布用于描述兩個(gè)總體方差的比值，在兩個(gè)獨(dú)立正態(tài)總體方差的比較中使用。t分布用于描述樣本均值與總體均值的差異程度，在總體方差未知且樣本容量較小時(shí)使用。抽樣分布樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布，描述了統(tǒng)計(jì)量在多次抽樣中的分布情況。中心極限定理當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，樣本均值的抽樣分布近似于正態(tài)分布，無論總體分布是什么形狀。抽樣分布定理參數(shù)估計(jì)方法05矩估計(jì)法用樣本矩作為總體矩的估計(jì)量，適用于總體分布形式已知但參數(shù)未知的情況。最大似然估計(jì)法根據(jù)樣本觀測值出現(xiàn)的概率最大原則來估計(jì)總體參數(shù)，適用于總體分布形式已知但參數(shù)未知的情況。貝葉斯估計(jì)法基于貝葉斯定理，利用先驗(yàn)信息和樣本信息對總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的方法。點(diǎn)估計(jì)方法VS根據(jù)樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)包含總體參數(shù)的區(qū)間，并給出該區(qū)間包含總體參數(shù)的可信程度。容忍區(qū)間法根據(jù)樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)包含總體參數(shù)的區(qū)間，同時(shí)考慮區(qū)間寬度和可信度兩個(gè)因素。置信區(qū)間法區(qū)間估計(jì)方法無偏性估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)，即估計(jì)量在多次抽樣下的平均值等于總體參數(shù)真值。有效性對于同一總體參數(shù)的兩個(gè)無偏估計(jì)量，有更小方差的估計(jì)量更有效。一致性隨著樣本量的增加，估計(jì)量的值逐漸接近總體參數(shù)的真值。評(píng)價(jià)估計(jì)量好壞標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)檢驗(yàn)原理及應(yīng)用06在一次試驗(yàn)中，小概率事件幾乎不可能發(fā)生。根據(jù)這一原理，可以對總體分布或總體參數(shù)作出某種假設(shè)，然后通過樣本信息來判斷假設(shè)是否成立。小概率原理在假設(shè)檢驗(yàn)中，可能會(huì)犯兩類錯(cuò)誤：第一類錯(cuò)誤是棄真錯(cuò)誤，即原假設(shè)為真時(shí)拒絕原假設(shè)；第二類錯(cuò)誤是取偽錯(cuò)誤，即原假設(shè)為假時(shí)接受原假設(shè)。需要合理控制這兩類錯(cuò)誤的概率。兩類錯(cuò)誤假設(shè)檢驗(yàn)基本思想Z檢驗(yàn)當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知時(shí)，可以使用Z檢驗(yàn)對單個(gè)正態(tài)總體均值進(jìn)行檢驗(yàn)。Z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。t檢驗(yàn)當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)，可以使用t檢驗(yàn)對單個(gè)正態(tài)總體均值進(jìn)行檢驗(yàn)。t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從t分布，其自由度與樣本量有關(guān)。單個(gè)正態(tài)總體均值檢驗(yàn)兩個(gè)正態(tài)總體均值檢驗(yàn)當(dāng)兩個(gè)總體相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布時(shí)，可以使用兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)對兩個(gè)總體均值是否有顯著差異進(jìn)行推斷。兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)當(dāng)兩個(gè)總體存在配對關(guān)系時(shí)（如前后測量、對照實(shí)驗(yàn)等），可以使用配對樣本t檢驗(yàn)對兩個(gè)總體均值是否有顯著差異進(jìn)行推斷。配對樣本t檢驗(yàn)符號(hào)檢驗(yàn)是一種非參數(shù)檢驗(yàn)方法，用于推斷兩個(gè)配對樣本的中位數(shù)是否有顯著差異。該方法僅考慮觀測值的符號(hào)，而不考慮其大小。秩和檢驗(yàn)是另一種非參數(shù)檢驗(yàn)方法，用于推斷兩個(gè)獨(dú)立樣本的中位數(shù)是否有顯著差異。該方法首先對觀測值進(jìn)行排序并賦予秩次，然后計(jì)算各樣本的秩和并進(jìn)行比較。符號(hào)檢驗(yàn)秩和檢驗(yàn)非參數(shù)檢驗(yàn)方法簡介方差分析與回歸分析初步07方差分析基本概念方差分析是一種用于研究不同因素對實(shí)驗(yàn)結(jié)果影響的統(tǒng)計(jì)方法，通過比較不同組間的方差來推斷各因素對結(jié)果的影響是否顯著。方差分析原理方差分析基于假設(shè)檢驗(yàn)的思想，通過構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量，比較組間方差與組內(nèi)方差的大小，從而判斷因素對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響是否顯著。方差分析應(yīng)用方差分析在科研、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如比較不同藥物對疾病的治療效果、評(píng)估不同投資策略的風(fēng)險(xiǎn)收益等。方差分析原理及應(yīng)用回歸方程求解根據(jù)最小二乘法原理，通過求解損失函數(shù)最小化問題，可以得到回歸系數(shù)的估計(jì)值，從而建立一元線性回歸模型?；貧w模型檢驗(yàn)建立回歸模型后，需要進(jìn)行模型的檢驗(yàn)，包括擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)等，以確保模型的可靠性和準(zhǔn)確性。一元線性回歸模型定義一元線性回歸模型描述了一個(gè)因變量與一個(gè)自變量之間的線性關(guān)系，通過最小二乘法求解回歸系數(shù)，得到回歸方程。一元線性回歸模型建立多元線性回歸模型簡介多元線性回歸模型在經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如預(yù)測股票價(jià)格、評(píng)估疾病風(fēng)險(xiǎn)等。多元線性回歸模型應(yīng)用多元線性回歸模型描述了一個(gè)因變量與多個(gè)自變量之間的線性關(guān)系，通過最小二乘法求解回歸系數(shù)，得到多元線性回歸方程。多元線性回歸模型定義與一元線性回歸模型類似，多元線性回歸模型的建立也包括回歸系數(shù)的求解和模型的檢驗(yàn)。不同的是，多元線性回歸模型需要考慮自變量之間的共線性問題。多元線性回歸模型建立課程總結(jié)與展望08隨機(jī)變量及其分布詳細(xì)講解了離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的概念及其分布，如二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布等。方差分析與回歸分析講解了方差分析的基本原理和方法，以及一元和多元線性回歸模型的建立與檢驗(yàn)。數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)介紹了總體與樣本、統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布等基本概念，以及參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)推斷方法。概率論基本概念包括事件、概率、條件概率、獨(dú)立性等概念，以及概率的加法、乘法等基本性質(zhì)。課程重點(diǎn)內(nèi)容回顧系統(tǒng)學(xué)習(xí)按照課程安排，循序漸進(jìn)地學(xué)習(xí)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)，確保掌握扎實(shí)。多做練習(xí)通過大量的習(xí)題練習(xí)，加深對知識(shí)點(diǎn)的理解和記憶。理論與實(shí)踐相結(jié)合將所學(xué)的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問題中，提高分析和解決問題的能力。交流與討論與同學(xué)和老師多交流，分享學(xué)習(xí)心得和體會(huì)，共同進(jìn)步。學(xué)習(xí)方法建議