★牛吃草問題

①牛吃草問題的數(shù)量關(guān)系

牛吃草問題又被稱為消長問題。典型的牛吃草問題通常假設(shè)草的生

長速度是固定不變的，已知不同頭數(shù)的牛吃光同一片草場的時間，求若

干頭牛吃光這片草場的時間或若干天吃光這片草場的牛數(shù)。

牛吃草問題通常會涉及以下兩個數(shù)量關(guān)系：

吃草總量=原有草量+新長草量

牛的總數(shù)=原草牛數(shù)+長草牛數(shù)

草場里的草可分為兩類:原有草和新長草。吃草的牛也可分為兩類:

吃原草的牛（簡稱原草牛）和吃新長草的牛（簡稱長草牛）?？梢岳蒙鲜?/p>

兩個數(shù)量關(guān)系來解決基礎(chǔ)的牛吃草問題。

②牛吃草問題的解題步驟

牛吃草問題得以解決的前提條件是每頭牛單位時間內(nèi)吃的草量是

相同的。需要特別正意的是,若干頭牛一定時間內(nèi)的吃草總量與草場同

樣時間的草總量是相等的。解題時要先求出長草速度，然后解得原草量

數(shù)，最后回答問題。完成上述三步，主要用到以下四個公式：

（1）長草速度=總草量差+總時間差

（2）原草量數(shù)=總草量數(shù)一長草速度X吃草時間

（3）吃草時間=原草量數(shù)+（牛的總數(shù)一長草牛數(shù)）

（4）牛的總數(shù)=原草量數(shù)?吃草時間+長草牛數(shù)

第一個公式里的總草量差和總時間差,可以根據(jù)題目中的兩組條件

求出。應(yīng)用第二個公式時,可根據(jù)兩組條件中的一個即可求解,要選取較

小的、好計算的那組條件。這四個公式可以概括為一個核心公式：

原草量數(shù)=（牛的總數(shù)一長草牛數(shù)）X吃草時間。掌提了這個公式就可以

解決典型的牛吃草問題了。

③牛吃草問題的核心思想

由于牛在吃草的過程中草是不斷生長的，所以解決牛吃草問題的重

點是從變化中找到不變量。草場上原有的草是不變的，新長的草雖然在

變化,但由于是勻速生長,所以每天新長出的草量應(yīng)該是不變的。正是基

于這個不變量,才能夠?qū)С錾厦娴乃膫€基本公式，并應(yīng)用解題步驟解決

變型的牛吃草問題。

例題1

一片草地，草勻速生長。該草地可供14頭牛吃30天,或供20頭

牛吃20天。那么該片草地原來有多少草？

【點撥】假設(shè)1頭牛1天吃1份草，那么兩種情況下牛的吃草總量

分別是多少份?對比下，能求出什么量？

練習(xí)1

牛小頓自制了一個大自然生態(tài)模擬圈，該生態(tài)模擬圈內(nèi)的資源可以

自動勻速增長,它可供20只小昆蟲生活10天,或供30只小昆蟲生活6

天。為了保證該生態(tài)模擬圈平衡發(fā)展，牛小頓最多能在里面養(yǎng)多少只昆

蟲？

例題2

一片草地,草勻速生長該草地可供70頭牛吃3周，或供40頭牛吃8

周。這片草地可供多少頭牛吃1周？

【點撥】學(xué)習(xí)完例題1后,此題的長草速度如何計算呢?能夠計算出

原有的草量嗎？

練習(xí)2

牧場上有一片勻速生長的草地可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9

周，那么原有的草可供多少頭牛吃18周？

例題3

由于天氣逐漸轉(zhuǎn)冷，牧場上的草不僅不生長，反而以固定的速度減

少。照這樣計算,某塊草地上的草可供20頭牛吃5天,或供15頭牛吃6

天。請問這塊草地可供多少頭牛吃10天？

【點撥】本題屬于減草問題，其實質(zhì)與長草問題沒有區(qū)別。根據(jù)前

兩道例題,該題中的減草速度和原草量分別是多少呢？

練習(xí)3

由于天氣逐漸轉(zhuǎn)冷,牧場上的草每天以固定的速度減少。經(jīng)計算,牧

場上的草可供20頭牛吃5天,或供16頭牛吃6天。那么該片牧場上的

草可供11頭牛吃幾天？

例題4

一片草地,草勻速生長。該草地可供18頭牛吃30天,或供20頭牛

吃24天。有群牛在該草地吃了5天后,有2頭牛死亡,余下的牛又吃了5

天將草吃完。請問這群牛原來有多少頭？

【點撥】此題可先求出長草速度和原草量，以及這群牛一共吃了多

少天。由此可以求出總的吃草量是多少嗎？

練習(xí)4

一片草地,草勻速生長,這片草地可供12頭牛吃10天或供14頭牛

吃6天如果開始放進(jìn)草地的牛為20頭,吃完一天后牽走了10頭,剩下的

牛在牧場吃兒天能將草吃完？

例題5

J博士的實驗室內(nèi)有一個水槽，水槽有1根注水管和6根排水管。打

開注水管后，水不停地勻速流入水槽。若干分鐘后,J博士想把水排出。

如果將排水管全部打開,3分鐘可以將水排光:如果只打開3根排水管,5

分鐘可以將水排光。如果J博士同時打開4根排水管,多少分鐘后可以

將水排光？

【點撥】本題為半吃草問題的另一種變型題目，關(guān)鍵是找到與

“草”和“?！毕鄬?yīng)的量。原水量和每根排水管的排水速度可以計算

出來嗎？

練習(xí)5

水庫原有一定的存水量，河水每天以均勻的速度入庫。5臺同樣的抽

水機(jī)連續(xù)工作20天可將河水抽干、6臺同樣的抽水機(jī)連續(xù)工作15天可

將河水抽干。若要求6天將河水抽干,需要多少臺同樣的抽水機(jī)？

★課間分享

牛吃草問題

17世紀(jì)英國偉大的科學(xué)家牛頓提出了牛吃草問題:假設(shè)一片草地的

草生長速度固定不變,不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地的天數(shù)不同。求若

干頭牛吃這片草地可以吃多少天。

例如:一牧場上有一片青草,每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10

頭牛吃20天,或供15頭牛吃10天。這片牧草可供25頭牛吃多少天？

解題方法:假設(shè)1頭牛1天吃的草為1份,那么10頭牛20天吃200

份草,草被吃完15頭牛10天吃150份,草也被吃完。前者吃掉的總草量

是200份,后者吃掉的總草量是150份。前者吃掉的是原有的草加20天

新長出的草，后者吃掉的是原有的草加10天新長出的草。

200-150=50（份），20-10=10（天），說明牧場10天長草50份，1天長草5

份也就是說,5頭牛專吃新長出來的草剛好吃完,5頭牛以外的牛吃的草

就是牧場上原有的草由此得出，牧場上原有草為（10-5）X20=100（份）或

（15-5）義10=100（份）

已知原有草100份,每天新長出草5份。當(dāng)有25頭牛時,其中的5

牛頭專吃新長出來的草,剩下的20頭吃原有的草,吃完需100-20=5（天）,

因此這片草地可供25頭牛吃5天。

還有很多問題與牛吃草問題類似,如漏水問題（某船從船底勻速向

內(nèi)滲水，同時船內(nèi)人員向外舀水）、抽水問題（某水庫河水勻速流入，同時

用抽水機(jī)向外排水）以又及生活中的檢票問題（某人去公園排隊檢票,前

面已經(jīng)有人在等候，同時排隊的人不斷增加）等這些問題都可以用牛吃

草問題的解題思路來解決,有興趣的同學(xué)不妨試一試。

★課后作業(yè)

①一片草地,草勻速生長。該草地可供13頭牛吃30天,或供19頭牛吃

20天。這片草地每天新長的草可供1頭牛吃多少天？

②一片草地,草勻速生長。該草地可供15頭牛吃20天,或供60只羊吃

12天。另外1頭牛每天的食草量相當(dāng)于3只羊每天的吃草量。原有的草

可供多少頭牛吃1天？

③一片牧場,草勻速生長。該牧場可供16頭牛吃30天,或供18頭牛吃

24天。那么該牧場上的草可供48頭牛吃多少天？

④一片草地,草勻速生長。該草地可供10頭牛吃12天,或供9頭牛吃16

天。有4頭牛在這片草地吃了6天后又增加了若干頭牛,6天后將草吃完,

那么增加了多少頭牛？

⑤安小珊在園博會入口處排隊檢票時發(fā)現(xiàn)，檢票開始前的若干分鐘已經(jīng)

有游客開始排隊，并且之后每分鐘來的游客人數(shù)一樣多。入口處若同時

開3個檢票口，21分鐘后隊伍消失：若同時開7