2024屆上海市上海大學(xué)市北附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知展開式中的常數(shù)項(xiàng)是4與10的等差中項(xiàng)，則a的值為（）A． B．2 C． D．2．曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B．或 C． D．或3．定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，對(duì)，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．4．將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個(gè)單位長度，則所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．5．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要條件C．充分條件 D．既不充分也不必要條件6．觀察下列各式：，則的末四位數(shù)字為（）A．3125 B．5625 C．0625 D．81257．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（）A．2 B． C．1 D．8．袋中有大小和形狀都相同的個(gè)白球、個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中每次取一個(gè)球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是（）A． B． C． D．9．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，1AC＝AA1＝BC＝1．若二面角B1－DC－C1的大小為60°，則AD的長為（）A．2B．3C．1D．210．設(shè)隨機(jī)變量，若，則（）A． B． C． D．11．若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的解析式可能是（）A．f(x)=3cosx B．f(x)=x312．“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．____．14．已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若不等式的解集非空，求實(shí)數(shù)的取值范圍．15．若復(fù)數(shù)滿足(1+i)z=1+i3，則z的模等于16．不等式的解集是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù),（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（2）記的最小值為，求的最大值．18．（12分）已知圓C經(jīng)過點(diǎn),且圓心C在直線上，又直線與圓C相交于P,Q兩點(diǎn).（1）求圓C的方程；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.19．（12分）已知正四棱柱的底面邊長為2，.（1）求該四棱柱的側(cè)面積與體積；（2）若為線段的中點(diǎn)，求與平面所成角的大小.20．（12分）隨著智能手機(jī)的普及，各類手機(jī)娛樂軟件也如雨后春筍般涌現(xiàn).如表中統(tǒng)計(jì)的是某手機(jī)娛樂軟件自2018年8月初推出后至2019年4月底的月新注冊(cè)用戶數(shù)，記月份代碼為（如對(duì)應(yīng)于2018年8月份，對(duì)應(yīng)于2018年9月份，…，對(duì)應(yīng)于2019年4月份），月新注冊(cè)用戶數(shù)為（單位：百萬人）（1）請(qǐng)依據(jù)上表的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，判斷月新注冊(cè)用戶與月份線性相關(guān)性的強(qiáng)弱；（2）求出月新注冊(cè)用戶關(guān)于月份的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)2019年5月份的新注冊(cè)用戶總數(shù).參考數(shù)據(jù)：，，.回歸直線的斜率和截距公式：，.相關(guān)系數(shù)（當(dāng)時(shí)，認(rèn)為兩相關(guān)變量相關(guān)性很強(qiáng).）注意：兩問的計(jì)算結(jié)果均保留兩位小數(shù)21．（12分）（1）求過點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸截距相等的直線的方程；（2）已知直線和圓相交，求的取值范圍.22．（10分）求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求出展開式中的常數(shù)項(xiàng)的值，由常數(shù)項(xiàng)是4與10的等差中項(xiàng)，求得的值【題目詳解】由題意得，令，解得．又因?yàn)?與10的等差中項(xiàng)為7，所以，即，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】試題分析：設(shè)，或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義3、D【解題分析】由題知問題等價(jià)于函數(shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集．當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)及對(duì)勾函數(shù)的圖象及性質(zhì)，得此時(shí)，由，可得，當(dāng)時(shí)，．則在的值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，則有，解得，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，則有，解得．綜上所述，可得的取值范圍為．故本題答案選．點(diǎn)睛：求解分段函數(shù)問題應(yīng)對(duì)自變量分類討論，討論的標(biāo)準(zhǔn)就是自變量與分段函數(shù)所給出的范圍的關(guān)系，求解過程中要檢驗(yàn)結(jié)果是否符合討論時(shí)的范圍．討論應(yīng)該不重復(fù)不遺漏．4、D【解題分析】分析：依據(jù)題的條件，根據(jù)函數(shù)的圖像變換規(guī)律，得到相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用誘導(dǎo)公式化簡，可得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意，將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到的函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)的解析式為，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)的解析式為，故選D.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)圖像的變換問題，在求解的過程中，需要明確伸縮變換和左右平移對(duì)應(yīng)的規(guī)律，影響函數(shù)解析式中哪一個(gè)參數(shù)，最后結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡即可得結(jié)果.5、A【解題分析】

分析兩個(gè)命題的真假即得，即命題和．【題目詳解】為真，但時(shí)．所以命題為假．故應(yīng)為充分不必要條件．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查充分必要條件判斷，充分必要條件實(shí)質(zhì)上是判斷相應(yīng)命題的真假：為真，則是的充分條件，是的必要條件．6、C【解題分析】

根據(jù)，分析次數(shù)與末四位數(shù)字的關(guān)系，歸納其變化規(guī)律求解.【題目詳解】因?yàn)?，觀察可知的末四位數(shù)字3125，的末四位數(shù)字5625，的末四位數(shù)字8125，的末四位數(shù)字0625，又，則的末四位數(shù)字為0625.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)列中的歸納推理，還考查了理解辨析推理的能力，屬于中檔題.7、B【解題分析】

由，可得，則函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，據(jù)此可得，結(jié)合函數(shù)的周期性與奇偶性，即可求解．【題目詳解】根據(jù)題意，函數(shù)滿足，則有，則函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，則，又由函數(shù)為奇函數(shù)，則，則，即；故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題設(shè)條件，求得函數(shù)的周期是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

分別計(jì)算第一次取到白球的概率和第一次取到白球且第二次取到白球的概率，根據(jù)條件概率公式求得結(jié)果.【題目詳解】記“第一次取到白球”為事件，則記“第一次取到白球且第二次取到白球”為事件，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率的求解問題，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略抽取方式為不放回的抽取，錯(cuò)誤的認(rèn)為每次抽到白球均為等可能事件.9、A【解題分析】如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，設(shè)AD＝a，則D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0，a)，CD＝(1,0，a)，CB設(shè)平面B1CD的一個(gè)法向量為m＝(x，y，z)．則CB1?m=0得m＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一個(gè)法向量為n(0,1,0)，則由cos60°＝m?n|m|?|n|，得1a2+2＝1210、A【解題分析】

根據(jù)對(duì)立事件的概率公式，先求出，再依二項(xiàng)分布的期望公式求出結(jié)果【題目詳解】，即，所以，，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)分布的期望公式，記準(zhǔn)公式是解題的關(guān)鍵．11、A【解題分析】

求出導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)的符合題意．【題目詳解】A中f'(x)=-3sinx為奇函數(shù)，B中f'(x)=3x2+2x非奇非偶函數(shù)，C中f'(x)=2故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查函數(shù)的奇偶性．解題關(guān)鍵是掌握奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這個(gè)性質(zhì)．12、C【解題分析】

根據(jù)充分必要條件的定義結(jié)合復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而得到答案．【題目詳解】若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則解得，故“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限”的充要條件.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了充分必要條件，考查了復(fù)數(shù)的與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

分別求得和的值，相加求得表達(dá)式的結(jié)果.【題目詳解】由于表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓的上半部分，故..故原式.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用幾何意義計(jì)算定積分的值，考查定積分的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.14、（1）；（2）.【解題分析】

（1）討論范圍去掉絕對(duì)值符號(hào)，再解不等式.（2）將函數(shù)代入不等式化簡，再利用絕對(duì)值三角不等式得到不等式右邊的最小值，轉(zhuǎn)化為存在問題求得答案.【題目詳解】解：（1），∴或或，解得：或或無解，綜上，不等式的解集是（，）．（2）（當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），因?yàn)椴坏仁浇饧强眨?，∴，∴或，即或，∴?shí)數(shù)的取值范圍是．【題目點(diǎn)撥】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值三角不等式，存在問題，題型比較綜合，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.15、1【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡復(fù)數(shù)z，由此能求出|z|．【題目詳解】∵復(fù)數(shù)滿足(1+i)z=1+i∴z=1+∴|z|=1．故答案為1．【題目點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的摸這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯(cuò)，造成不必要的失分.16、【解題分析】分析：把不等式化為同底的不等式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解．詳解：原不等式可以化為，所以，故或者，不等式的解集為，填．點(diǎn)睛：一般地，對(duì)于不等式，（1）如果，則原不等式等價(jià)于；（2）如果，則原不等式等價(jià)于.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單減區(qū)間為，單增區(qū)間（2）【解題分析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；（2）由（1）可得的最小值，作為的函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，同樣利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系確實(shí)單調(diào)性后得最大值，只是確定的零點(diǎn)時(shí)，要先確定的單調(diào)性，然后才能說明零點(diǎn)的唯一性．【題目詳解】（1），單減區(qū)間為，單增區(qū)間．（2）由（1），容易得到在上單調(diào)遞減，時(shí)，，時(shí)，，所以在單增，單減，【題目點(diǎn)撥】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，一般由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間．要注意有時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)不易確定，可能還要對(duì)求導(dǎo)，以確定的單調(diào)性及零點(diǎn)有存在性．18、（1）；（2）0【解題分析】(1)設(shè)圓心C(a，a)，半徑為r.因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)A(－2,0)，B(0,2)，所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2，所以圓C的方程是x2＋y2＝4.(2)因?yàn)椤ぃ?×2×cos〈，〉＝－2，且與的夾角為∠POQ，所以cos∠POQ＝－，∠POQ＝120°，所以圓心C到直線l：kx－y＋1＝0的距離d＝1，又d＝，所以k＝0.19、（1），（2）【解題分析】試題分析：⑴根據(jù)題意可得：在中，高∴⑵過作，垂足為，連結(jié)，則平面，∵平面，∴∴在中，就是與平面所成的角∵，∴，又是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴在中∴∴考點(diǎn)：線面角，棱柱的體積點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是對(duì)于幾何體體積公式以及空間中線面角的求解的表示，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）月新注冊(cè)用戶與月份的線性相關(guān)性很強(qiáng)；（2）10.06百萬【解題分析】

（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)和相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式，計(jì)算出相關(guān)系數(shù)，由此判斷出“月新注冊(cè)用戶與月份的線性相關(guān)性很強(qiáng)”.（2）根據(jù)回歸直線方程計(jì)算公式，計(jì)算出回歸直線方程，并利用回歸直線方程預(yù)測(cè)出2019年5月份的新注冊(cè)用戶總數(shù).【題目詳解】（1）由題意得，，，，，故.因?yàn)?，所以月新注?cè)用戶與月份的線性相關(guān)性很強(qiáng).（2）由（1），，所以回歸方程為，令，得，即2019年5月份新注冊(cè)用戶預(yù)測(cè)值為10.06百萬人.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查相關(guān)系數(shù)的計(jì)算，考查回歸直線方程的計(jì)算，考查利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.21、(1)或；(2).【解題分析】

（1）分類討論，當(dāng)直線截距存在時(shí)，設(shè)出截距式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑，即可求得.【題目詳解】（1）當(dāng)直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，此時(shí)直線方程為；當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為因?yàn)橹本€過點(diǎn)，故可得，此時(shí)直線方程為.故滿足題意的直線方程為或.（2）因?yàn)橹本€和圓相交，故可得圓心到直線的距離小于半徑，即，解得.即的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線方程的求解，以及根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求參數(shù)范