知識精講2024年高考二輪復(fù)習(xí)五含指數(shù)、對數(shù)函數(shù)形式的變形知識精講遍覽全國高考導(dǎo)數(shù)大題,含有指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等形式的超越函數(shù)是命題熱點,但是這類問題學(xué)生往往不知從何下手.如果求導(dǎo),不僅導(dǎo)函數(shù)復(fù)雜,而且很多時候還不能解決問題.其實,這類問題的一般思路是利用條件,對其進(jìn)行變形,構(gòu)造新函數(shù),通過對新函數(shù)的研究解決問題,對學(xué)生而言,講能聽懂,但如何對這類超越函數(shù)、方程或不等式進(jìn)行合理變形,再構(gòu)造新函數(shù),將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化與簡化卻不是很清楚.其實這是有規(guī)律可循的,可利用結(jié)構(gòu)和形式的特點進(jìn)行變形與轉(zhuǎn)化.經(jīng)研究,含指數(shù)、對數(shù)函數(shù)形式的超越函數(shù)、方程、不等式的處理方法,有兩個層次:一是若單獨含有指數(shù)或?qū)?shù),運用好“指數(shù)找朋友,對數(shù)單獨走”的變形原理;二是若指對混合形式,從數(shù)和形的角度有四種方法:形的角度是切線放縮、數(shù)的角度有分離指對,凹凸反轉(zhuǎn)和指對同構(gòu).不分離指對時,虛設(shè)隱零點.這是解這類題目的思維與靈魂所在.本講以高考題為主,探討含有指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)類型的超越函數(shù)的五大變形技巧,并對此類問題作展現(xiàn)和剖析,對解題方法作研究和總結(jié).同時,我們也哀心希望讀者在閱讀學(xué)習(xí)過程中,以文中內(nèi)容為引,能對數(shù)學(xué)的研究有初步的了解,今后能自主探索數(shù)學(xué)的無窮奧秘.單一含有指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)不等式的變形技巧5.1指數(shù)找朋友,對數(shù)單獨走研究密鑰1.在證明或處理含對數(shù)函數(shù)的不等式時,通常要將對數(shù)型的函數(shù)“獨立分離”出來,這樣再對新函數(shù)求導(dǎo)時,就不含對數(shù)了,只需一次就可以求出它的極值點,從而避免了多次求導(dǎo).這種相當(dāng)于讓對數(shù)函數(shù)“孤軍奮戰(zhàn)”的變形過程,我們形象地稱之為“對數(shù)單獨走”.例如,由f(x)ln?x+2.在證明或處理含指數(shù)函數(shù)的不等式時,通常要將指數(shù)型的函數(shù)“結(jié)合”起來,即讓指數(shù)型的函數(shù)乘以或除以一個多項式函數(shù),這樣再對新函數(shù)求導(dǎo)時,只需一次就可以求出它的極值點,從而避免了多次求導(dǎo).這樣相當(dāng)于讓指數(shù)函數(shù)尋找“合作伙伴”的變形過程,我們形象地稱之為“指數(shù)找朋友”.例如,由ex+f例5.1已知函數(shù)f(x)=ex?1?x?分析思路一:函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)為0得到分類討論的節(jié)點,然后分別討論;思路二:按照“指數(shù)找朋友”的策略對不等式變形處理,研究轉(zhuǎn)化后函數(shù)的單調(diào)性與極值.解析解法一(分類討論):由f'(x)=ex?1?2ax,又ex?x+1,所以f'又ex?x+1,可得e?因為x?0,所以1?e?x?0,故當(dāng)x∈(0,ln?2a)時,f'(x解法二(指數(shù)找朋友):因為ex?x+1,所以當(dāng)a?0令F(x)=e?x1+(1)當(dāng)0<a?12時,F((2)當(dāng)a>12時,因為F(x)在綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為?∞,1變式1:已知函數(shù)f(x)=ex+a分析?遇到f(x)ex解析f(x)?設(shè)函數(shù)g(g(1)若2a+1?0,即a??12,當(dāng)x∈(0,2)時,g'(x)>0,所以(2)若0<2a+1<2,即?12<當(dāng)x∈(2a+1,2)時,g'(x)>0,所以g(x)在(0,2a+1),(2,+∞)上單調(diào)遞減,在(2a(3)若2a+1?2,即a?由于0∈7?e24,12綜上所述,a的取值范圍是7?e評注解決形如f(x)ex例5.2若不等式xln?x?a(分析：根據(jù)“對數(shù)單獨走”的原則,不等式等價于ln?x?a(x解析a(x?1)(1)當(dāng)a?1時,f'(x)=x?（2）當(dāng)a>1時,令f'(x)=0,則x=a綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是(?∞,1].評注上述解法優(yōu)勢在于將ln?x變式1:已知f(x)=xln?x,若分析→若令函數(shù)g(x)=xln?x?ax2?2a,首先注意到g(1)?0,可知解析.令函數(shù)g(x)=ln?x?ax?由于g(1)=?a?2a,當(dāng)a因為g'(x)=1x?a+2ax2所以g(x)min=g?含有l(wèi)n?x,ex混合形式的5.2從數(shù)與形看變形轉(zhuǎn)化1. 從數(shù)的觀點看:分而治之與合而殲之含指、對數(shù)混合形式的不等式證明之所以難,其根本原因在于指數(shù)與對數(shù)是水火不容的,其導(dǎo)函數(shù)的零點一般不可求,因此常分離ex和ln?x以便于求導(dǎo),但分離還不足以解決所有問題,常需要與幕函數(shù)配對,將ex與含有幕函數(shù)的代數(shù)式配對為f(x),將ln?x與含有幕函數(shù)的代數(shù)式配對為g(x),將ex與ln?x分離在兩邊,也使兩部分f(2.從形的觀點看:切線放縮指對混合型的不等式恒成立問題最基本的方法當(dāng)屬參變量分離,把問題轉(zhuǎn)化為求指對混合型函數(shù)的最值問題,多數(shù)情況下會遇到隱零點問題,求解過程麻煩,若能抓住函數(shù)的特點恰當(dāng)變形,用相應(yīng)的切線不等式放縮求出函數(shù)的最值,就能很巧妙地回避隱零點代換的麻煩。例5.3證明:ex分析思路一(分而治之):含指數(shù)、對數(shù)函數(shù)形式的不等式證明常分離指、對函數(shù),分離ex和ln?x后思路二(合而殲之):不分離ex和ln?x,由于對ex?ln?x求導(dǎo)后ex?1x另外,本題也可以使用切線不等式放縮來證明.解析數(shù)與形的數(shù)學(xué)觀來分析和求解.解法一(數(shù)的觀點:分而治之):分離ex和ln?x,即令f1(x)=ex?f2'(x)=1x?1=1?xx,函數(shù)f也可在不等式ex>ln?x+2兩邊同除以令g1(x)=exx,g2(x)=ln?x+2x,則g'1(x)=ex?解法二(數(shù)的觀點:合而殲之.虛設(shè)零點,設(shè)而不求,整體代換):令g(x)=ex?ln?x,則g'(x)=ex?1x,顯然g'(x)單調(diào)遞增,且易知g'因為x0≠1且x0>0,所以解法三(形的觀點:切線放縮):由經(jīng)典不等式ex?x+1,ln?x評注解法三的幾何直觀是切線分割.如圖所示.在證明本題時,因為ex>x+1,ln?5.3凹凸反轉(zhuǎn)含指、對數(shù)混合形式的不等式,其對應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)零點不可求時,我們可以將不等式拆分,轉(zhuǎn)化為證明f(x)?這是分而治之的解題策略,從結(jié)論的形態(tài)上來說叫做凹凸反轉(zhuǎn),拆分的兩個函數(shù)的凹凸性剛好相反.在給定區(qū)間上,凹函數(shù)能找到最小值,凸函數(shù)能找到最大值,且這個最小值大于最大值.注:在不同的教材中,凹凸函數(shù)的定義不統(tǒng)一,在本書中,凹函數(shù)指形態(tài)下凹的函數(shù),凸函數(shù)指形態(tài)上凸的函數(shù).實現(xiàn)凹凸反轉(zhuǎn)的關(guān)鍵就是如何分離,分離的原則一般是考慮指對分離,即指數(shù)函數(shù)和多項式函數(shù)的組合與對數(shù)函數(shù)和多項式函數(shù)的組合分開.另外我們最好熟練掌握一些常見的指對和多項式組合函數(shù)的圖像,便于我們分拆函數(shù).例5.4已知函數(shù)f(x)=分析函數(shù)中既有ex,又有l(wèi)n?x,而且還是分式的形式,給求導(dǎo)帶來極大的困難,為此考慮分離函數(shù),將ex與ln?x分離在不等式兩邊,即解析由于x+1ex今g(x)=1?x?xln?x,則g'(x)=?2?ln?x,可知g令t(x)=exx+11+e?2,則t'綜上所述,1?x?x評注本題函數(shù)形式復(fù)雜,既有指數(shù)函數(shù),又有對數(shù)函數(shù),此時我們可以采用分離函數(shù)的方法,將原本不便求導(dǎo)、隱零點無法利用的函數(shù),分拆為兩個易求導(dǎo),且可以求出被佔的形式,從而破解這道高考壓軸題。變式1:已知函數(shù)f(x)=分析(1)當(dāng)1?x?x(2)當(dāng)1?x?xln?x>0時,注意到當(dāng)x>0時,ex>1+綜上可知,f(例5.5已知函數(shù)f(x)=另部以函數(shù)中既有ex,又有l(wèi)n?x,而且有分式的形式,求導(dǎo)以后結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜,為此考慮將exexln?x+2ex?1x猜想(x證明:令g(x)=xln?x,則g'所以g(x)在0,e?1令t(x)=xe?x?2e,則t'(x)=e所以g(x)?g(解法二(不等式放縮):由ln?x?x?1得ln?x因此ln?1x?1ex,?ln?評注遇到難題,不要自亂陣腳,往往越是復(fù)雜的題目,其解題思路越是清楚.本題函數(shù)形式復(fù)雜多樣,直接求導(dǎo)研究極值走不通.為此,我們自然想到分離函數(shù)法.變式1.已知函數(shù)f(x)=ex2解析因為x>0,則需證ex?ln?設(shè)?(x)=ln?由?'(x)<0得0<x<1e,由?'(x)>0得x>設(shè)φ(x)=?由φ'(x)>0得0<x<1,由φ'(x)<0得x>1,則φ因為?(x)和φ(x)不同時為零,所以(2)已知函數(shù)f(x)=4分析拆分為兩個函數(shù)使其凹凸性相反,且凹函數(shù)能找到最小值,凸函數(shù)能找到最大值.若是無法實現(xiàn)凹凸反轉(zhuǎn),還得變形,以產(chǎn)生凹凸性相反.解析(1)要證明2ex?2令?(x)=2ex?2x2令g(x)=ln?xx,則g'(x)=1?ln?xx2=0若本題在不等式2ex?2(2)f(令g(x)=可知g'(x)在(0,2)上小于0,在(2,+∞)上大于0,所以g(x)令t(x)=ln?xx,則t'所以t(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)綜上所述,有g(shù)(x)?e?1解后反思拆分函數(shù)實現(xiàn)凹凸反轉(zhuǎn)的再思本題中分離函數(shù)后,左右兩側(cè)的4ex?3和xln?x不便比較,為此左右兩側(cè)同時除以x問題1:為什么要分離函數(shù)?最正常最本質(zhì)的解法,難道不是研究f'(x),得出極值點,求出問題2:分離函數(shù)后,為什么想到左右同時除以x2，為什么不是左右同時加上一個數(shù),或者減去一個數(shù)?為什么是除以x2,而不是除以x3問題3:我們將此題進(jìn)行一般化處理,將4e?3視為a(a>0),就有aex?x問題4:問題的最終形式，如果f(x)=meax?下面依次來回答這些問題。對于問題1,我們不妨先按照最正常,最本質(zhì)的解法,來做一遍.f(x)=4這里出現(xiàn)了兩個大障礙:(1)f'(x(2)f'(x)的零點為隱零點,設(shè)為x0（其實這也啟示了我們,隱零點的設(shè)而不求法,只能在其滿足的等式較為簡單時有用,一旦等式稍為復(fù)雜,例如這里,4e所以問題1解決了,我們暫時無法證明f(對于問題2,我們先看分離后的形式,4ex?3但現(xiàn)在,(xln?x事實上,這是由于高等數(shù)學(xué)中階的概念,xln?x的階大于x但小于x1+r,這里r為任意一個給定的正實數(shù),簡而言之,就是當(dāng)所以,這就解釋了為什么想到除以x2,因為這樣xln?xx2在處理形如xαex設(shè)常數(shù)k∈R,n>0,那么函數(shù)f(x)=ln?設(shè)常數(shù)m>0,那么函數(shù)g(x)=exxm(x>0)現(xiàn)在再看問題3,我們便可以理解,要使a更小,關(guān)錚就在于aex>xln?x的兩湠除以x1+的冪次的選擇,對此,我們可以進(jìn)行研究aex由ln?xxr'=xr?1?所以,任意r>0,只要a>(1+r)1+rrer+2研究(1+r)1+rr今g((注:xx的導(dǎo)數(shù)為xx(1+ln?x),方法為令t(x易知(1+ln?x)(x?1)?x綜上,用分離函數(shù)的方法,能得出a的最好下界,為g(由于已經(jīng)有了問題3的經(jīng)驗,問題4也就不難了,簡要分析如下:meax?xbln?x>0?meωxx?所以只需m(于題得出結(jié)論：給定正實數(shù)a,b,對任意的r>0,只要m5.4設(shè)而不求隱零點含指數(shù)、對數(shù)混合形式的不等式證明之所以難,其根本原因在于指數(shù)與對數(shù)是“水火不容”的,其導(dǎo)函數(shù)的零點一般不可求,我們稱此種情況為“零點不可求一隱零點”問題,隱零點雖然不能求出,但是有價值,令導(dǎo)函數(shù)值為0,利用這一等式,將隱零點代回到原函數(shù)中后,我們往往可以進(jìn)行整體代換,將不便操作的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù),轉(zhuǎn)化為我們熟悉并容易把握的幕函數(shù).用隱零點轉(zhuǎn)化上要注意三點:1. 隱零點對應(yīng)的方程這個方程的目的是作為中間橋梁去轉(zhuǎn)化求最值,一般有三種形式：(1)冪函數(shù)、指數(shù)混合；(2)幕函數(shù)、對數(shù)混合;(3)指數(shù)、對數(shù)混合.前兩者直接利用隱零點的方程將指、對舉上轉(zhuǎn),但對于第3種形式,不能直接將指數(shù)、對數(shù)向冪函數(shù)的方向上轉(zhuǎn)化,如何實現(xiàn)指數(shù)、對數(shù)形式向晎函數(shù)形式轉(zhuǎn)化,第了種形式需要進(jìn)行同構(gòu)降階,如隱零,點對應(yīng)方程為x02ex0+ln?x0=0?x0ex還有一類情況也需要注意操作的方法:若隱零點對應(yīng)的方程是含參數(shù)的情形,要運用處理代數(shù)問題的一般方法:消參.消參是將二元(含隱零點x02. 隱零點所在的區(qū)間隱零點雖不能直接解出,但對隱零點區(qū)間的估計是證明不等式的關(guān)鍵,常需要根據(jù)所證明的目標(biāo)對隱零點的區(qū)間作合理的限定.3.轉(zhuǎn)化路徑:指、對冪上轉(zhuǎn)指、對冪上轉(zhuǎn),即將指數(shù)和對數(shù)形式向冪函數(shù)轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化的本質(zhì)在于將指、對復(fù)雜形式轉(zhuǎn)化為熟悉且易于求導(dǎo)的冪函數(shù)形式.例5.7已知函數(shù)f(x)=分析不分離ex和ln?x,由于對f(x)=解析f'(x所以x+1>0,令g(x而g12=e?2<0,g(1)=e?1>0,所以g(x)在12,1上有一個零點x0,結(jié)合單調(diào)性,可知g(x)僅有這一個零,點,則又f(x)評注本題中零點滿足ex0=1x0,兩邊取對數(shù),即變式.已知函數(shù)f(x)=(1)求實數(shù)a的取值范圍;(2)求證:fx【解析】f'(x)=exx(i)當(dāng)a?0時,g'((ii)當(dāng)a>0時,令g'(x)=0,解得x=ln?12a若g(x)有2個不同實根,則g且當(dāng)0<a<12時,ln?1當(dāng)x>?ln?(2a)時,e令a(ξ+1)=2,得ξ=2a?1.以下證明2a?1在(?ln?2a,+∞)上,即證2a?1+ln?2綜上所述,若f(x)有兩個極值點,則a(2)由(1)知f(x)有極值點x1,x2,x1<ln?12a<又m'(x)=12ex(x?1)+ex2=xe5.5切線放縮切線放縮就是根據(jù)凹凸性,把函數(shù)恰當(dāng)變形,用相應(yīng)的切線不等式放縮求出函數(shù)的最值或證明不等式,常用的切線放縮及其衍生放縮公式為ex?1.利用切線放縮求函數(shù)最值含指對混合形式的不等式通過等價變形、取對數(shù)等方法變化形式,然后利用兩個重要的切線不等式ex?x其中,常見的同構(gòu)變形有xx例5.8運用切線放縮,求函數(shù)最值.(1)函數(shù)f((2)函數(shù)f((3)已知函數(shù)f(x)=xe【分析】觀察函數(shù)形式,發(fā)現(xiàn)函數(shù)解析式或通分后出現(xiàn)常見的變形形式,如xex,x2【解析】(1)f(x)=ex(2)f(x)=x2(3)f(x)=xexg(x)=ex?2因此,a=2.切線放縮解不等式恒成立問題利用切線放縮解不等式恒成立時參數(shù)的取值范圍問題,多將指數(shù)、對數(shù)、無理根式等統(tǒng)一到一階冪函數(shù)的形式,即轉(zhuǎn)化為曲線與直線的位置關(guān)系,難點是尋找切線放縮的位置,移動曲線或切線找到那個重合處的分界點(臨界點),通常于端點處進(jìn)行放縮,使得問題得以簡化.例5.9運用切線放縮,求解下列不等式恒成立問題.(1)已知函數(shù)f(x)=xbex?a(2)若對任意的x∈(0,+∞),e2(3)已知x3e2x?1?【分析】對于指、對混合型的不等式恒成立問題,通常參變量分離,把問題轉(zhuǎn)化為求指、對混合型函數(shù)的最值問題,運用切線放縮ex【解析】(1)在f(x)?0?因為ex+bln?x(2)依題意,e2x?a?又e2x+ln?x?2x+ln?x+1(當(dāng)且僅當(dāng)2(3)分離自變量和參變量.m?x3e2x?3ln?x?1x=3.切線放縮證明不等式切線法證明不等式是從“形”的角度入手思考問題,將所證的不等式轉(zhuǎn)化為相應(yīng)曲線與直線、曲線與曲線的位置關(guān)系問題，利用切線實現(xiàn)分而治之的策略.(1)曲直模型:利用切線型不等式進(jìn)行放縮，證明函數(shù)f(x)(2)曲曲模型:利用公切線隔離法,證明兩個函數(shù)圖像分別在它們切線的上方或下方,適用于凹函數(shù)與凸函數(shù)且它們的凹凸性相反的問題(拆成兩個函數(shù)).當(dāng)兩函數(shù)有斜率相同的切線,這是切線放縮的本質(zhì)，引入一個中間量,分別證明兩個不等式成立,然后利用不等式的傳遞性就可以了.這個方法的難點在于合理拆分函數(shù),尋找它們鈄率相等的切線隔板。例5.10設(shè)函數(shù)f(x)=emx【分析】本題思路較多,可根據(jù)參數(shù)的范圍進(jìn)行放縮消掉參數(shù),然后利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)放縮為其切線來證明;也可利用一些常用不等式的結(jié)論來證明,或通過設(shè)隱零點的方法得證.【解析】證法一(指數(shù)切線放縮)：f(x)=證法二(對數(shù)切線放縮):f(又ln?x?x?1,則ln?e所以f(證法三(常用不等式的放縮):利用例5.3所證明的不等式,即ex所以emx證法四(合而殲之,隱零點):f'令f'x0=0得mx0emx又emx0=1變式1:已知函數(shù)f(x)=【分析】函數(shù)f(x)中有e【解析】f(x)的定義域為(0,+∞).由經(jīng)典不等式ln?x?1?ex和【評注】高考命題人為了掩蓋經(jīng)典不等式的痕跡,往往會作一系列的變形,比如本題中,用2x來替換x,從而隱藏真實的結(jié)構(gòu),來考查同學(xué)們的解題能力.那么越是遇到此類形式復(fù)雜的問題,其實思路越是清晰,只要把相關(guān)的經(jīng)典不等式及引申,一一嘗試,很快就能發(fā)現(xiàn)哪條是正確的道路.比如本題,我們需要的是ln?2x??,也就是得將ln?2x縮小,那么只有5.6指數(shù)對數(shù)同構(gòu)用同構(gòu)法解題,除了要有同構(gòu)法的思想意識外,對觀察能力及代數(shù)式變形能力的要求也是比較高的,正所謂,同構(gòu)解題,觀察第一!以下是同構(gòu)函數(shù)的常見模型.1.“指”“對”跨階想同構(gòu),同左同右取對數(shù)同構(gòu)基本模式:(1)積型:同右:ealn?同左:aea取對數(shù):a+ln?a如:2x說明:在對“積型”進(jìn)行同構(gòu)時,取對數(shù)是最快捷的,同構(gòu)出的函數(shù),其單調(diào)性一看便知.(2)商型:同左:eaa同右:ea取對數(shù):a?ln?a(3)和差型:同左:ea±a同右:ea±ln?e如:eax2.“無中生有”去同構(gòu),湊好形式是關(guān)鍵,湊常數(shù)或湊參數(shù),如有必要湊變量(1)aeax>ln?x?同乘x(無中生有)ax(2)ex>aln?(ax?a)?a(3)ax>log說明:由于ax>log如:1aex+1>ln?a(x3.同構(gòu)放縮需有方,“切放”同構(gòu)一起上(1)放縮也是一種能力,利用切線放縮,往往需要局部同構(gòu).切線放縮是對同構(gòu)思想方法的一個靈活運用.另外需注意,利用切線放縮如同用均值不等式,只要取等號的條件成立即可.(2)掌握常見放縮（注意取等號的條件，以及常見變形）(1)ex?(變形:xex(2)ln?xln?xln?x?說明:xex=ex+ln?x同構(gòu)變形在不等式恒成立問題中應(yīng)用很廣，恒成立問題有很大一部分題目是命題者利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出來的,那么我們只要找到函數(shù),無疑就是找到了題目的命門.在尋找函數(shù)時,進(jìn)行分組整理是一種常見的變形，如果整理(即同構(gòu))后不等式兩邊具有結(jié)構(gòu)的一致性,則可構(gòu)造函數(shù),然后利用此函數(shù)的單調(diào)性解題.例5.11若對任意x>0,恒有aeax+1?2【分析】以觀察不等式形式,需“無中生有”兩邊同乘以x,將不等式變形為積型同構(gòu)模型axeax+1【解析】Maeax+1令f(x)=(x+1)ln?x,則f'(x)=ln?x+x+1x令g(x)=2ln?x故實數(shù)a的最小值為2e變式1若x∈0,1e時,關(guān)于x的不等式ax【解析】由ax3e上述不等式對于a?0當(dāng)a>0時,構(gòu)造函數(shù)f(x)=xex,x>0,f令g(當(dāng)0<x<e時,g'(x又0<x<1e,則g(x)變式2對任意x>0,不等式2ae2x【分析】將指對分列兩側(cè),不等式變形為積型同構(gòu)模型2xe2【解析】2a?2設(shè)f(x)=x+ln?x,由于f(x)為增函數(shù),所以由f(2x)?fln?xa,得例5.12已知函數(shù)f((1)當(dāng)a=2時,若f(x)的一條切線垂直于(2)若f(x)?0【分析】(1)證明該切線為x軸即證切線方程為y=0,為此用設(shè)而不求也就是隱零點的方法得出一個關(guān)于該切點橫坐標(biāo)x0的方程,代入切線方程化簡即可;(2)把不等式變形整理,根據(jù)恒成立得出【解析】(1)當(dāng)a=2時,ff令f'x0=0得ex曲線y=f(x)在點x0,fx0處的切線方程為(2)解法一(同構(gòu),經(jīng)典不等式放縮):若f(x)?0,得xex?a?2ln?x+2ln?2?2?0,得12xex?a?ln?x+ln?2?1?0下面證明當(dāng)a>2時,f(x)?0不恒成立,取此時fx綜上所述,a的取值范圍為(?∞,2].解法二(分離參數(shù)):由?x?0,f(xg'令g'x0=0,得x令u(x)=xex(x>0),u'因為g'(x)=ex?2x2ln?g(x)min=g2ln?x故g(x)min=gx訓(xùn)練訓(xùn)練1.已知函數(shù)f(x)=xeax?1?ln?x?A.1B.?C.0D.?2.已知x∈(0,+∞),不等式ax+eax?ln?xA.1B.2C.0D.13.已知x0是方程x3ex?4+2ln?A.3B.4C.5D.64.已知ex>x2?2ax+15.已知當(dāng)x?1時,x2ln?x?6.設(shè)函數(shù)f(x)=1+ln?(x+1)x7.已知函數(shù)f((1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(2)求證:ex8.證明:xe9.證明:當(dāng)x>1時,e10.當(dāng)x∈(1,+∞)時,證明:不等式x11.已知函數(shù)f((1)求函數(shù)f(x)的圖像在(0,(2)判斷直線l與函數(shù)g(12.已知函數(shù)f((1)設(shè)x=0是f(x(2)在(1)的條件下,f(x)?(3)當(dāng)m?2時,證明:f1.【解析】f(x)=xeax?1令g(x)=1?ln?xx,則g'2.【解析】設(shè)f(x)=不等式ax+eax?ln?x+x變形為ax+eax當(dāng)0<x<e時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;x>e時,g3.【解析】x3設(shè)f(x)=由f(3ln?x+x?4)=f(ln?x)4.【解析】ex>x2?2(1)a=?12,當(dāng)0<x<1時,g'(