任意四邊形、梯形與相似模型

板塊一任意四邊形模型

任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝴蝶定理”）:

①S1:S2=:S,或者S|X&=S?X54②AO:OC=(5+S?):(S4+)

蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑.通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊

形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系.

【例1】圖中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對角線把它分成了4個小三角形，其中2個小三角形

的面積分別是6公頃和7公頃.那么最大的一個三角形的面積是多少公頃？

【考點】任意四邊形模型【難度】2星【題型】解答

【解析】在ABE,CDE中有NAEB=NCED,所以ABE,CDE的面積比為（AEx&3）:（CEx￡>￡）.同

理有ADE,BCE的面積比為（AEx￡>E）:（BExEC）.所以有SABExSCDE=SADExSBCE，也就是

說在所有凸四邊形中，連接頂點得到2條對角線，有圖形分成上、下、左、右4個部分，有：上、

下部分的面積之積等于左右部分的面積之積.即S.曉6=5A0EX7,所以有ABE與ADE的面枳

比為7:6,SABE=——x39=21公頃，S=——x39=18公頃.

ABE6+7AADDEE6+7

顯然，最大的三角形的面積為21公頃.

【答案】21

【例2】如圖，某公園的外輪廓是四邊形A8CQ,被對角線AC、BQ分成四個部分，△A08面積為1平方

千米，△BOC面積為2平方千米，△C。。的面積為3平方千米，公園由陸地面積是6.92平方千

米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？

【考點】任意四邊形模型【難度】2星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】小數(shù)報

［解析］根據(jù)蝴蝶定理求得SAAOD=3xl+2=1.5平方千米，公園四邊形ABCD的面積是1+2+3+1.5=7.5平

方千米，所以人工湖的面積是7.5-6.92=0.58平方千米

【答案】0.58

【例3】一個矩形分成4個不同的三角形（如右圖），綠色三角形面積占矩形面積的15%,黃色三角形的面

積是21平方厘米.問：矩形的面積是多少平方厘米？

【考點】任意四邊形模型【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第7題

【解析】黃色三角形與綠色三角形面積之和是矩形面積的50%,而綠色三南形面積占矩形面積的15%,所以

黃色三角形面積占矩形面積的50%—15%=35%已知黃色三角形面積是21平方厘米，所以矩形面

積等于21?35%=60（平方厘米）

【答案】60

【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成4個三角形，其中三個三角形的面積已知，求：⑴三角形8GC的面

積；⑵AG:GC=?

【考點】任意四邊形模型【難度】2星【題型】解答

【解析】⑴根據(jù)蝴蝶定理,

SflCCx1=2x3,那么Sace=6；

⑵根據(jù)蝴蝶定理,AG:GC=(l+2):(3+6)=l:3.

【答案】1:3

［例4］四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點。（如圖所示）.如果三角形A8D的面積等于三角形BC。的

面積的1,且AO=2,DO=3,那么C。的長度是。。的長度的倍.

3

【考點】任意四邊形模型【難度】3星【題型】填空

【解析】在本題中，四邊形A8CC為任意四邊形，對于這種'‘不良四邊形“，無外乎兩種處理方法：⑴利用已

知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；⑵通過畫輔助線來改造不良四邊形.看到題目中給出條

件28=1:3，這可以向模型一蝴蝶定理靠攏，于是得出一種解法?又觀察題目中給出的已

知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個中介來改

造這個“不良四邊形”，于是可以作AH垂直83于”，CG垂直83于G,面積比轉(zhuǎn)化為高之比.再

應(yīng)用結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結(jié)果.請老師注意比較兩種解法，使學(xué)

生體會到蝴蝶定理的優(yōu)勢，從而主觀上愿意掌握并使用蝴蝶定理解決問題.

解法一：*.?AO:OC=SMBD:SSBDC=1:3,；.OC=2x3=6,OC:。力=6:3=2:1.

解法二：作于〃，。6,8。于6.

,-^abd=^cd,：.AH^CG,：.AO^^CO,：.OC=2x3=6,

OC:OD=6:3=2:1.

【答案】2倍

【例5】如圖，平行四邊形ABC。的對角線交于。點，XCEF、XOEF、△。。尸、△80E的面積依次是

2、4、4和6.求：⑴求△OCT?'的面積；⑵求AGCE的面積.

D

o

【考點】任意四邊形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】⑴根據(jù)題意可知，△BC。的面積為2+4+4+6=16,那么△BCO和△CDO的面積都是16+2=8,

所以△OCF的面積為8-4=4；

(2)由于△BC。的面積為8,△BOE的面積為6,所以△OCE的面積為8-6=2,

根據(jù)蝴蝶定理，EG:FG=SACOR:SACOF=2:4=1:2,所以S&g：：SKGCF=EG:FG=1:2,

11?

那么&GC￡=立下皿=§x2=§.

2

【答案】-

3

［例6］如圖相鄰兩個格點間的距離是1,則圖中陰影三角形的面積為.

：XL：,：心〃

??????''//???

CC

【考點】任意四邊形模型【難度】4星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】清華附中，入學(xué)測試題

4

【解析】連接AD、CD、BC.則可根據(jù)格點面積公式，可以得到A48C的面積為：1+2一1=2,A4CD的

2

34

面積為：3+萬一1=3.5,A4BD的面積為：2+］-1=3.所以80:0。=5徵的=2:3.5=4:7,

4412

所以S^BO=4+7*SMBD=x3=打.

12

【答案】—

11

【鞏固】如圖，每個小方格的邊長都是1,求三角形A8C的面積.

【考點】任意四邊形模型【難度】4星【題型】解答

【解析】因為)且BD〃CE,所以S^,=-

B￡:CE=2:5,D4:AC=2:5,RC2?5Sc,l￡DzDf<l-r-=-7x2=—7.

【答案】—

7

【例7】如圖，邊長為1的正方形ABC。中，BE=2EC,CF=FD,求三角形AEG的面積.

【考點】任意四邊形模型【難度】4星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】人大附中考題

【解析】連接EF.

因為BE=2EC,CF=FD,所以S40M=（gxgx；）S川⑦=

因為5AA根據(jù)蝴蝶定理，AG:GF=1：1=6:1,

所以S.GD=6S&GDF=亍SMDF=亍XaSAZJCO=五SABCD,

1322

所以5MC￡=^MED.S.GD=SABCD=亍§ABCD二亍，

2

即三角形AEG的面積是t.

7

【答案】-

7

【例8】如圖，長方形ABC。中，BE:EC=2:3DF:FC=l:2,三角形OFG的面積為2平方厘米,求長

方形ABCD的面積.

【考點】任意四邊形模型

【解析】連接AE,FE.

3111

因為陽EC=2:3,8■:爪=1：2,所以S四=(/^辨長方形皿=而S長方形詆”

因為S.=：S長方…，4G:GF=g:卡=5:1,所以S.=5S8.=10平方厘米，所以S

12平

方厘米.因為5"。=1s長力所以長方形ABCO的面積是72平方厘米.

八ruTtz/UJLZ?/

【答案】72

【例9】如圖，已知正方形A5CQ的邊長為10厘米,E為AD中點,尸為CE中點，G為3F中點,求三

角形BQG的面積.

【考點】任意四邊形模型

【解析】設(shè)如與CE的交點為。，連接BE、DF.

由蝴蝶定理可知EO:OC=S:S,而5—o=-S.5?ED=，S所以

HoFnDKCI）gn匚"/*BDCvLD/?~2ABCD

EO:OC=SBED-.SBCD=1:2,故EO=&EC.

由于尸為CE中點，所以EF=LEC,故EO:EF=2:3,FO:EO=l:2.

2

由蝴蝶定理可知S:Smi=FO:EO=l:2,所以BED=3ABCD,

那么,=」S=-LS=-LX1C*1C=625（平方厘米）.

DrIJ]6八口LIJ]6

【答案】6.25

【例10］如圖，在AABC中，已知M、N分別在邊AC、BC上，8M與AN相交于。，若AAOM、AABO和

A80N的面積分別是3、2、1,則AMNC的面積是.

【考點】任意四邊形模型【難度】4星【題型】填空

【解析】這道題給出的條件較少，需要運用共邊定理和蝴蝶定理來求解.

40MXSgoz_3x13

根據(jù)蝴蝶定理得S^ON

22

設(shè)S^ON=X，根據(jù)共邊定理我們可以得

3+-

—2-3+2,解得X=22.5.

“l(fā)+3+x

2

【答案】22.5

【例11］正六邊形A444AA的面積是2009平方厘米,耳坊坊為紜線分別是正六邊形各邊的中點；那么

圖中陰影六邊形的面積是,.平方厘米.

【考點】任意四邊形模型【難度】4星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】迎春杯，6年級。初賽

【解析】如圖，設(shè)紇&與與人的交點為。，則圖中空白部分由6個與504一樣大小的三角形組成，只要求

出了AA20A3的面積，就可以求出空白部分面積，進而求出陰影部分面積.

連接4A、線片、B內(nèi)?

設(shè)的耳線的面積為則蝴4瓦，面積為“1”，的人線面積為“2“，那么線面積為的人線的

2倍，為“4"，梯形A4AA的面積為2x2+4x2=12,A&B6A的面積為“6"，的面積為2.

根據(jù)蝴蝶定理，B1O=A,O=SW6：SW6=1:6,故%

121

所以S"網(wǎng)：s檢形達欣=?。?2:1:7，即AA0A的面積為梯形A44A面積的7,故為六邊形

113

4aA4AA面積的點，那么空白部分的面積為正六邊形面積的=x6=］,所以陰影部分面積為

2009x(l-1

1148（平方厘米）.

【答案】1148

【例12］如圖，ABC。是一個四邊形，M、N分別是48、C。的中點.如果△ASM、△與△OSN的面

積分別是6、7和8,且圖中所有三角形的面積均為整數(shù)，則四邊形A3CO的面積為.

【考點】任意四邊形模型【難度】5星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級組，決賽，12題

【解析】連接MN、AC、BD.

由于M是A3的中點，所以與的面積相等，而AM7B比2MsW的面積大1,所以AMSN

比&MTN的面積大1：又由于N是CO的中點，所以AOMN的面積與ACMN的面積相等，那么XCTN

的面積比ADSN的面積大1,所以ACTN的面積為9.

假設(shè)AMTN的面積為“，則AA/SN的面積為。+1.根據(jù)幾何五大模型中的蝴蝶定理，可知&4SQ的

面積為，ABTC的面積為與.

a+1a

要使這兩個三角形的面積為整數(shù)，a可以為1,3或7.

由于A4ZW的面積為AABZ）面積的一半，A8CN的面積為ABC。面積的一半，所以MDM與ABCN

的面積之和為四邊形ABCD面積的一半，所以A4DW與ABCN的面積之和等于四邊形BMDN的面

積，即：

48,63八°,0e4863?，

-------F64-----i~9=7+a+a+l+8,----------1=2n+1.

a+\aa+1a

將a=l、3、7分別代入檢驗，只有a=7時等式成立，所以AMTN的面積為7,\MSN、AASD、ABTC

的面積分別為8、6、9.

四邊形A8CD的面積為（6+7+8+9）x2=60.

小結(jié)：本題中“且圖中所有三角形的面積均為整數(shù)”這個條件是多余的.

【答案】60

【例13】已知ABC。是平行四邊形，BC:CE=3:2,三角形ODE的面積為6平方厘米。則陰影部分的面積

是平方厘米。

【考點】任意四邊形模型【難度】4星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級，第五題

【解析】連接AC。由于ABC。是平行四邊形，BC:CE=3:2,所以CE:A￡>=2:3,根據(jù)梯形蝴蝶定理，

所以SAOC=6（平方厘米），S.8=9（平

方厘米），又.8=6+9=15（平方厘米），陰影部分面積為6+15=21（平方厘米）。

【答案】21

【例14】正方形ABCD邊長為6厘米，AE=LAC,CF=-BC?三角形DEF的面積為平方厘米。

33

【考點】任意四邊形模型【難度】4星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級，初賽，第13題

【解析】為AE=」AC,所以三角形ADE的面積為三角形ACD的1,即正方形ABCD的,乂1=」。因為

33236

11912

AE=-AC,CF=18C,所以三角形CEF的面積為三角形ABC面積的W,所以四邊形ABFE

33339

271771

的面積是三角形ABC面積的1一±=±,即正方形面積的上x」='-,因為CF=±BC,所以三角形

9929183

DCF的面積是正方形面積的，L,所以三角形￡>石尸的面積是正方形面積的1-1x2-工=』，

23661818

即62X』=10（平方厘米）。

18

【答案】10

【例15］如圖4,在三角形45c中，已知三角形AOE、三角形OCE、三角形5。的面積分別是89、28、

26,那么三角形O8E的面積是_______。

【考點】任意四邊形模型【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級，復(fù)賽，第8題，5分

【解析】根據(jù)題意可知，5^=5^0￡+5^=89+28=117,所以B￡>:AO=:=26：117=2:9,

2227

那么S^BE:S^E=8r>:AO=2:9，故5ADfit-=89x-=（90-l）xj=20--=19-.

【答案】19-

9

任意四邊形、梯形與相似模型

mm

板塊一任意四邊形模型

任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝴蝶定理”）:

①S|§=S$：S或者SIXSLSZXS4②AO:OC=(S1+S2)G+S3)

蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑.通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊

形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系.

【例16】圖中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對角線把它分成了4個小三角形，其中2個小三角形

的面積分別是6公頃和7公頃.那么最大的一個三角形的面積是多少公頃？

【例17］如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABC￡>,被對角線AC、8。分成四個部分，△408面積為1平方

千米，△BOC面積為2平方千米，△CO。的面積為3平方千米，公園由陸地面積是6.92平方千

米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？

【例18】一個矩形分成4個不同的三角形（如右圖），綠色三角形面積占矩形面積的15%,黃色三角形的面

積是21平方厘米.問：矩形的面積是多少平方厘米？

【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成4個三角形，其中三個三角形的面積已知，求：⑴三角形8GC的面

積；（2）AG:GC=?

［例19］四邊形ABC。的對角線AC與8。交于點。（如圖所示）.如果三角形/WQ的面積等于三角形8CO的

面積的1，且A0=2,。。=3,那么CO的長度是。。的長度的倍.

3

A.D

0

BB

【例20］如圖，平行四邊形ABC。的對角線交于。點，/\CEF、△OEF、△。。尸、△BOE的面積依次是

2、4、4和6.求：⑴求△OCT的面積；⑵求aGCE的面積.

【例21】如圖相鄰兩個格點間的距離是1,則圖中陰影三角形的面積為

【鞏固】如圖，每個小方格的邊長都是1,求三角形ABC的面積.

K

【例22］如圖，邊長為1的正方形中，BE=2EC:,CF=FD,求三角形AEG的面積.

A..DA.D

sH

BECBEC

【例23］如圖，長方形ABC￡＞中，BE:EC=2:3,DF:FC=1:2,三角形DFG的面積為2平方厘米，求長

方形ABC。的面積.

BECBJEC

【例24]如圖，已知正方形A2C。的邊長為10厘米,E為A3中點，尸為CE中點，G為BF中點,求三

角形BDG的面積.

【例25】如圖，在AABC中，已知M、N分別在邊AC、BC上，8W與AN相交于。，若AAOM、AABO和

A8ON的面積分別是3、2、1,則的面積是.

【例26】正六邊形A&AA1AA.的面積是2009平方厘米,耳與4名&線分別是正六邊形各邊的中點；那么

圖中陰影六邊形的面積是平方厘米.

【例27】如圖，A8C。是一個四邊形，M、N分別是AB、C￡＞的中點.如果AASM、AMS與AOSN的面

積分別是6、7和8,且圖中所有三角形的面積均為整數(shù)，則四邊形ABCZ）的面積為.

C

【例28】已知ABC。是平行四邊形，BC:CE=3:2,三角形OCE的面積為6平方厘米。則陰影部分的面積

是平方厘米。

【例29】正方形ABCD邊長為6厘米，AE=1AC,CF=1BC?三角形DEF的面積為平方厘米。

33------

【例30］如圖4,在三角形48c中，已知三角形4DE、三角形OCE、三角形的面積分別是89、28、

26,那么三角形O5E的面積是________。

一年級（上）

一.準(zhǔn)備課

1.數(shù)一數(shù)

2.比多少

二.位置

1.上、下、前、后

2.左、右

三.1—5的認(rèn)識和加減法

1.1—5的認(rèn)識

2.比多少

3.第幾

4.分和合

5.加法

6.減法

7.0

四.認(rèn)識圖形（一）

認(rèn)識圖形

五.6—10的認(rèn)識和加減法

1.6和7

2.8和9

3.10

4.連加、連減、加減混合

六.11—20各數(shù)的認(rèn)識

1.11—20各數(shù)的認(rèn)識

2.10加幾、十幾加幾和相應(yīng)的減法

七.認(rèn)識鐘表

認(rèn)識鐘表

八.20以內(nèi)的進位加法

1.9加幾

2.8、7、9加幾

3.5、4、3、2力口幾

4.解決問題

一年級（下）

一.認(rèn)識圖形（二）

認(rèn)識圖形

二.20以內(nèi)的退位減法

1.十幾減9

2.十幾減8、7、6

3.十幾減5、4、3、2

4.解決問題

三.分類與整理

分類與整理

四.100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識

1.數(shù)數(shù)、數(shù)的組成

2.數(shù)的順序、比較大小

3.解決問題

4.整十?dāng)?shù)加一位數(shù)及相應(yīng)的減法

五.認(rèn)識人民幣

1.認(rèn)識人民幣

2.簡單的計算

六.100以內(nèi)的加法和減法（一）

1.整十?dāng)?shù)加、減整十?dāng)?shù)

2.兩位數(shù)加一位數(shù)、整十?dāng)?shù)

3.兩位數(shù)減一位數(shù)、整十?dāng)?shù)

4.解決問題

七.找規(guī)律

1.找規(guī)律（一）

2.找規(guī)律（二）

二年級（上）

一.長度單位

1.厘米和米

2.線段

-.100以內(nèi)的加法和減法（二）

L加法

2減法

3.連加、連減和加減混合

三.角的初步認(rèn)識

1.認(rèn)識角

2.認(rèn)識直角

3.認(rèn)識鈍角和銳角

四.表內(nèi)乘法（一）

1.乘法的初步認(rèn)識

2.5的乘法口訣

3.2、3、4的乘法口訣

4.6的乘法口訣

五.觀察物體（一）

觀察物體（一）

六.表內(nèi)乘法（二）

7、8、9的乘法口訣

七.認(rèn)識時間

認(rèn)識時間

八.數(shù)學(xué)廣角一搭配（一）

數(shù)學(xué)廣角一搭配（一）

二年級（下）

一.數(shù)據(jù)收集整理

數(shù)據(jù)收集整理

二.表內(nèi)除法（一）

1.除法的初步認(rèn)識

2.用2-6的乘法口訣求商

3.解決問題

三.圖形的運動（一）

1.軸對稱圖形

2.平移和旋轉(zhuǎn)

四.表內(nèi)除法（二）

1.用7、8、9的乘法口訣求商

2.解決問題

五.混合運算

混合運算

六.有余數(shù)的除法

1.有余數(shù)的除法的意義和計算

2.解決問題

七.萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識

1.1000以內(nèi)數(shù)的識

2.10000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識

3.整百、整千數(shù)加減法

八.克和千克

克和千克

九.數(shù)學(xué)廣角一推理

生活中的推理

三年級（上）

一.時、分、秒

1.秒的認(rèn)識

2.時間的計算

二.萬以內(nèi)的加法和減法（一）

1.口算兩位數(shù)加減兩位數(shù)

2.幾百兒十加減幾百幾十

3.三位數(shù)加減三位數(shù)的估算

三.測量

1.毫米、分米的認(rèn)識

2.千米的認(rèn)識

3.噸的認(rèn)識

四.萬以內(nèi)的加法和減法（二）

1.加法

2.減法

五.倍的認(rèn)識

倍的認(rèn)識

六.多位數(shù)乘一位數(shù)

1.口算乘法

2.筆算乘法

3.含0的乘法

4.估算與解決問題

七.長方形和正方形

1.四邊形

2.周長、長方形和正方形周長

八?分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識

1?分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（一）

2.分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（二）

3.分?jǐn)?shù)的簡單計算

4.分?jǐn)?shù)的簡單應(yīng)用

九.數(shù)學(xué)廣角一一集合

集合思想

三年級（下）

-位置與方向（一）

1認(rèn)識東、南、西、北四個方向

2認(rèn)識東北、東南、西北、西南四個方向

二除數(shù)是一位數(shù)的除法

1口算除法

2一位數(shù)出兩、三位數(shù)的筆算除法

3商的中間或末尾有0的筆算除法

4用估算解決問題

三復(fù)式統(tǒng)計表

復(fù)式統(tǒng)計表

四兩位數(shù)乘兩位數(shù)

1口算乘法

2筆算乘法

五面積

1面積和面積單位

2長方形、正方形面積的計算

3面積單位間的進率

六.年、月、日

1年、月、日

224時計時法

七小數(shù)的初步認(rèn)識

1認(rèn)識小數(shù)

2簡單的小數(shù)加、減法

八數(shù)學(xué)廣角一一搭配（二）

數(shù)學(xué)廣角一一搭配（二）

四年級（上）

一大數(shù)的認(rèn)識

1億以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識（一）

2億以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識（二）

3數(shù)的產(chǎn)生、十進制計數(shù)法和億以上數(shù)的認(rèn)識

4計算工具的認(rèn)識、算盤和計算器

51億有多大

二公頃和平方千米

1認(rèn)識公頃

2認(rèn)識平方千米

三角的度量

1線段、直線、射線和角

2角的度量

3角的分類

4畫角

四三位數(shù)乘兩位數(shù)

1筆算乘法（一）

2筆算乘法（二）

五平行四邊形和梯形

1平行與垂直

2平行四邊形和梯形

六除數(shù)是兩位數(shù)的除法

1口算除法

2筆算除法（一）

3筆算除法（二）

4筆算除法（三）

5筆算除法（四）

6商的變化規(guī)律

七條形統(tǒng)計圖

條形統(tǒng)計圖

八數(shù)學(xué)廣角一一優(yōu)化

數(shù)學(xué)廣角一一優(yōu)化

四年級（下）

-四則運算

1加減法的意義和各部分間的關(guān)系

2乘除法的意義和各部分間的關(guān)系

3括號

二觀察物體（二）

觀察物體（二）

三運算定律

1加法運算定律

2乘法運算定律

四小數(shù)的意義和性質(zhì)

1小數(shù)的意義和讀寫法

2小數(shù)的性質(zhì)和大小比較

3小數(shù)點移動引起小數(shù)大小的變化

4小數(shù)與單位換算

5小數(shù)的近似數(shù)

五三角形

1三角形的特性

2三角形的分類

3三角形的內(nèi)角和

六小數(shù)的加法和減法

I小數(shù)加減法

2小數(shù)加減混合運算

3整數(shù)加法運算定律推廣到小數(shù)

七圖形的運動（二）

1軸對稱

2平移

八平均數(shù)與條形統(tǒng)計圖

1平均數(shù)

2復(fù)式條形統(tǒng)計圖

九數(shù)學(xué)廣角一一雞兔同籠

數(shù)學(xué)廣角一雞兔同籠

五年級（上）

一小數(shù)乘法

1小數(shù)乘整數(shù)

2小數(shù)乘小數(shù)

3積的近似數(shù)

4整數(shù)乘法

二位置

位置

三小數(shù)除法

1除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法

2一個數(shù)除以小數(shù)

3商的近似數(shù)

4循環(huán)小數(shù)

5用計算器探索規(guī)律

6解決問題

四可能性

事件發(fā)生的可能性

五簡易方程

1用字母表示數(shù)

2方程的意義及等式的性質(zhì)

3解方程

4實際問題與方法

六多邊形的面積

1平行四邊形的面積

2三角形的面積

3梯形的面積

4組合圖形的面積

七數(shù)學(xué)廣角——植樹問題

數(shù)學(xué)廣角一一植樹問題

五年級（下）

-觀察物體（三）

觀察物體（三）

二因數(shù)與倍數(shù)

1因數(shù)和倍數(shù)

22、5、3的倍數(shù)的特征

3質(zhì)數(shù)和合數(shù)

三長方體和正方體

1長方體和正方體的認(rèn)識

2長方體和正方體的表面積

3長方體和正方體的體積

4體積單位間的進率

5容積和容積單位

四分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)

1分?jǐn)?shù)的意義

2真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)

3分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

4約分

5通分

6分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化

五圖形的運動（三）

圖形的運動（三）

六分?jǐn)?shù)的加法和減法

1同分母分?jǐn)?shù)加減法

2異分母分?jǐn)?shù)加減法

3分?jǐn)?shù)加減混合運算

七折線統(tǒng)計圖

折線統(tǒng)計圖

八數(shù)學(xué)廣角一一找次品

數(shù)學(xué)廣角一一找次品

六年級（上）

-分?jǐn)?shù)乘法

1分?jǐn)?shù)乘法

2小數(shù)乘分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)混合運算

3解決問題

二位置與方向（二）

位置與方向

三分?jǐn)?shù)除法

1倒數(shù)的認(rèn)識

2分?jǐn)?shù)除法

3分?jǐn)?shù)四則混合運算

4分?jǐn)?shù)應(yīng)用題

四比

1比的意義

2比的基本性質(zhì)

3比的應(yīng)用

五圓

1圓的認(rèn)識

2圓的周長

3圓的面積

4扇形

六百分?jǐn)?shù)（一）

1百分?jǐn)?shù)的意義和寫法

2百分?jǐn)?shù)與小數(shù)、分?jǐn)?shù)的互化

3用百分?jǐn)?shù)解決問題

七扇形統(tǒng)計圖

扇形統(tǒng)計圖

八數(shù)學(xué)廣角一一數(shù)與形

六年級（下）

一負數(shù)

負數(shù)

二百分?jǐn)?shù)（二）

1折扣

2成數(shù)

3稅率

4利率

三圓柱與圓錐

1圓柱

2圓錐

四比例

1比例的意義和基本性質(zhì)

2正比例和反比例的意義

3比例的應(yīng)用

五數(shù)學(xué)廣角一一鴿巢問題

數(shù)學(xué)廣角一一鴿巢問題

小學(xué)五年級數(shù)學(xué)上冊復(fù)習(xí)教學(xué)知識點歸納總結(jié)

第一單元小數(shù)乘法

1、小數(shù)乘整數(shù)：

@意義——求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算。

如：1.5X3表示求3個1.5的和的簡便運算（或1.5的3倍是多少）。

@計算方法：先把小數(shù)擴大成整數(shù)；按整數(shù)乘法的法則算出積；再看因數(shù)

中一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位點上小數(shù)點。

2、小數(shù)乘小數(shù)：

@意義—就是求這個數(shù)的幾分之幾是多少。

如:1.5X0.8就是求1.5的十分之八是多少（或求1.5的1.8倍是多少）。

@計算方法：先把小數(shù)擴大成整數(shù)；按整數(shù)乘法的法則算出積；再看因數(shù)

中一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位點上小數(shù)點。

注意：按整數(shù)算出積后，小數(shù)末尾的。要去掉，也就是把小數(shù)化簡；位

數(shù)不夠時，要用0占位。

3、規(guī)律：

［一個數(shù)（0除外）乘大于1的數(shù)，積比原來的數(shù)大；

I一個數(shù)（0除外）乘小于1的數(shù)，積比原來的數(shù)小。

4、求近似數(shù)的方法一般有三種：

⑴四舍五入法；⑵進一法；⑶去尾法

5、計算錢數(shù)，保留兩位小數(shù)，表示計算到分；保留一位小數(shù)，表示計算

到角。

6、小數(shù)四則運算順序和運算定律跟整數(shù)是一樣的。

7、運算定律和性質(zhì)：

?加法：

-加法交換律：a+b=b+a

Y

、加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

@減法：

"a-b-c=a-(b+c)

Y

1a-(b+c)=a-b-c

@乘法：

(乘法交換律：aXb=bXa

<乘法結(jié)合律：(aXb)Xc=aX(bXc)

、乘法分配律：(a+b)Xc=aXc+bXc[(a-b)Xc=aXc-bXc】

@除法:

"a4-b4-c=a4-（bXc）

1a4-（bXc）=a+b+c

第二單元位置

1、數(shù)對：由兩個數(shù)組成，中間用逗號隔開，用括號括起來。括號里面的

數(shù)由左至右分別為列數(shù)和行數(shù)，即“先列后行”。

2、作用：一組數(shù)對確定唯——個點的位置。經(jīng)度和緯度就是這個原理。

例：在方格圖（平面直角坐標(biāo)系）中用數(shù)對（3,5）表示（第三列，第

五行）。

注：（1）在平面直角坐標(biāo)系中X軸上的坐標(biāo)表示列，y軸上的坐標(biāo)表示

行。如：數(shù)對（3,2）表示第三列，第二行。

（2）數(shù)對（X,5）的行號不變，表示一條橫線，（5,Y）的列號不變，

表示一條豎線。（有一個數(shù)不確定，不能確定一個點）

2、圖形左右平移行數(shù)不變；圖形上下平移列數(shù)不變。

第三單元小數(shù)除法

1、小數(shù)除法的意義：已知兩個因數(shù)的積與其中的一個因數(shù)，求另一個因

數(shù)的運算。

如：0.6+0.3表示已知兩個因數(shù)的積0.6與其中的一個因數(shù)0.3,求另

一個因數(shù)的運算。

2、小數(shù)除以整數(shù)的計算方法：小數(shù)除以整數(shù)，按整數(shù)除法的方法去除。

商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小數(shù)點對齊。整數(shù)部分不夠除，商0,點上小數(shù)點。

如果有余數(shù)，要添0再除。

3、除數(shù)是小數(shù)的除法的計算方法：先將除數(shù)和被除數(shù)擴大相同的倍數(shù)，

使除數(shù)變成整數(shù)，再按“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”的法則進行計算。

注意：如果被除數(shù)的位數(shù)不夠，在被除數(shù)的末尾用0補足。

4、在實際應(yīng)用中，小數(shù)除法所得的商也可以根據(jù)需要用“四舍五入”法

保留一定的小數(shù)位數(shù)，求出商的近似數(shù)。

5、除法中的變化規(guī)律：

①商不變：被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù)（0除外），商不變。

②除數(shù)不變，被除數(shù)擴大，商隨著擴大。

③被除數(shù)不變，除數(shù)縮小，商擴大。

6、循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，從某一位起，一個數(shù)字或者幾個數(shù)字

依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做循環(huán)小

數(shù)。

?循環(huán)節(jié)：一個循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字。如