專題14角、相交線與平行線（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)1角、鐘面角、方向角】 1【考點(diǎn)2對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角】 3【考點(diǎn)3補(bǔ)角、余角】 3【考點(diǎn)4同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角】 4【考點(diǎn)5角的和差】 5【考點(diǎn)6角的大小比較】 7【考點(diǎn)7點(diǎn)到直線的距離】 8【考點(diǎn)8相交線與平行線】 9【考點(diǎn)9平行公理及其推論】 10【考點(diǎn)10平行線的判定與性質(zhì)】 12【要點(diǎn)1角的概念】定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．【要點(diǎn)2角的表示方法】表示方法A圖例A記法適用范圍用三個(gè)大寫字母表示BOBOAOB或BOA任何情況下都適應(yīng).表示端點(diǎn)的字母必須寫在中間.用一個(gè)大寫字母表示AAA以這個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的角只有一個(gè).用數(shù)字表示111任何情況下都適用.但必須在靠近頂點(diǎn)處加上弧線表示角的范圍，并注上數(shù)字或希臘字母.【要點(diǎn)3鐘表上有關(guān)夾角問題】鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問題．【要點(diǎn)4方向角】在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．【考點(diǎn)1角、鐘面角、方向角】【例1】（2022·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，同時(shí)能用三個(gè)字母和一個(gè)字母表示的角是（

）A．∠1 B．∠2 C．∠A和∠D D．∠A和∠C【變式1-1】（2022·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，PA，PB表示以P為起點(diǎn)的兩條公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏東56°，則這兩條公路的夾角∠APB＝_____°．【變式1-2】（2022·遼寧撫順·一模）鐘面角是指時(shí)鐘的時(shí)針與分針?biāo)傻慕?，則當(dāng)時(shí)間為4：30時(shí)鐘面角為___________°.【變式1-3】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考一模）6×6的方格圖中，按要求作格點(diǎn)三角形ABC．（1）在圖1中，作等腰直角△ABC，使得∠BAC=45°；（畫出一個(gè)即可）（2）在圖2中，作鈍角△ABC，使得∠BAC=45°．【考點(diǎn)2對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角】【例2】（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）下列圖形中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是()A． B． C． D．【變式2-1】（2022·廣東·統(tǒng)考中考模擬）∠α與∠β互為補(bǔ)角，同時(shí)又是對(duì)頂角，則它們兩邊所在的直線（）A．互相垂直 B．互相平行 C．既不垂直也不平行 D．不能確定【變式2-2】（2022·上海·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，∠B與∠A互為鄰補(bǔ)角，且∠B=2∠A，那么∠A為________度．【變式2-3】（2022·陜西西安·西安市中鐵中學(xué)?？既＃┬∶靼岩桓敝苯侨前灏慈鐖D所示的方式擺放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30A．180° B．210° C．360°【考點(diǎn)3補(bǔ)角、余角】【例3】（2022·陜西西安·統(tǒng)考三模）已知∠1=50°，則∠1的余角的補(bǔ)角的度數(shù)是（

）A．60° B．140° C．40° D．130°【變式3-1】（2022·廣西·中考真題）如圖擺放一副三角板，直角頂點(diǎn)重合，直角邊所在直線分別重合，那么∠BAC的大小為______【變式3-2】（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）42°15'的余角是______．【變式3-3】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖，CA⊥BE于點(diǎn)A，AD⊥BF于點(diǎn)D，則下列說法中正確的是（）A．∠α的余角只有∠B B．∠α的補(bǔ)角是∠DACC．∠α與∠ACF互補(bǔ) D．∠α與∠ACF互余【考點(diǎn)4同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角】【例4】（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線l1，l2被直線l3所截，則（）A．∠1和∠2是同位角 B．∠1和∠2是內(nèi)錯(cuò)角C．∠1和∠3是同位角 D．∠1和∠3是內(nèi)錯(cuò)角【變式4-1】（2022·青?！そy(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）.從左至右依次表示（

）A．同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角B．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角C．對(duì)頂角、同位角、同旁內(nèi)角D．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角【變式4-2】（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）下列圖中∠1和∠2是同位角的是

（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②【變式4-3】（2022·福建三明·統(tǒng)考中考模擬）如圖，圖中的同位角的對(duì)數(shù)是（

）A．4 B．6 C．8 D．12【要點(diǎn)5角的和、差關(guān)系】如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．【要點(diǎn)6角平分線】從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=12∠【考點(diǎn)5角的和差】【例5】（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將一幅三角板按照如圖1所示的位置放置在直線EF上，現(xiàn)將含30°角的三角板OCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，在這個(gè)過程中．（1）如圖2，當(dāng)OD平分∠AOB時(shí)，試問OC是否也平分∠AOE，請(qǐng)說明理由．（2）當(dāng)OC所在的直線平分∠AOB時(shí)，求∠AOD的度數(shù)；（3）試探究∠BOC與∠AOD之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式5-1】（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOC=75°，∠1=25°，則∠2的度數(shù)是（

）A．25° B．30° C．40° D．50°【變式5-2】（2022·湖南婁底·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）入射光線和平面鏡的夾角為40°，轉(zhuǎn)動(dòng)平面鏡，使入射角減小10°，反射光線與入射光線的夾角和原來相比較將（

）A．減小40° B．減小10° C．減小20° D．不變【變式5-3】（2022·湖北隨州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)問題解決往往經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)猜想——探索歸納——問題解決的過程，下面結(jié)合一道幾何題來體驗(yàn)一下.【發(fā)現(xiàn)猜想】（1）如圖①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC為∠BOD的角平分線，則∠AOC的度數(shù)為；.【探索歸納】（2）如圖①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC為∠BOD的角平分線.猜想∠AOC的度數(shù)（用含m、n的代數(shù)式表示），并說明理由.【問題解決】（3）如圖②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射線OB繞點(diǎn)O以每秒20°逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OC繞點(diǎn)O以每秒10°順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OD繞點(diǎn)O每秒30°順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，三條射線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一條射線與直線OA重合時(shí)，三條射線同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，其中一條射線是另外兩條射線夾角的角平分線？【要點(diǎn)7角的比較與運(yùn)算】角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．【考點(diǎn)6角的大小比較】【例6】（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，記∠ABF＝α，∠FCH＝β，∠DGE＝γ，則（

）A．β＜α＜γ B．β≤γ＜α C．α＜γ＜β D．α＜β＜γ【變式6-1】（2022·廣西百色·統(tǒng)考一模）若∠P=25°12′,∠Q=25.12°,∠R=25.2°，則下列結(jié)論正確的是(A．∠P=∠Q B．∠P=∠RC．∠Q=∠R D．∠P=∠Q=∠R【變式6-2】（2022·山東淄博·統(tǒng)考二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，那么∠DAC與∠ACB的大小關(guān)系為：∠DAC_____∠ACB．【變式6-3】（2022·陜西西安·?？家荒＃┚€段AB與射線AP有一公共端點(diǎn)A．(1)用直尺和圓規(guī)作出AB的中點(diǎn)M；(不寫作圖方法)(2)用直尺和圓規(guī)作出以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的∠ABQ，使∠ABQ=∠PAB，且BQ與AP相交于點(diǎn)C.(不寫作圖方法)(3)聯(lián)結(jié)CM，用量角器測(cè)量∠AMC和∠BMC的度數(shù)，你認(rèn)為∠AMC和∠BMC的大小關(guān)系如何？【考點(diǎn)7點(diǎn)到直線的距離】【例7】（2022·北京·校考模擬預(yù)測(cè)）下列圖形中，線段AD的長表示點(diǎn)A到直線BC的距離的是（

）A． B．C． D．【變式7-1】（2022·吉林松原·?？家荒＃┬∶鲄⒓犹h(yuǎn)比賽，他從地面踏板P處起跳落到沙坑中，兩腳后跟與沙坑的接觸點(diǎn)分別為A，B，小明未站穩(wěn)一只手撐到沙坑C點(diǎn)，則跳遠(yuǎn)成績(jī)測(cè)量正確的圖是（）A． B．C． D．【變式7-2】（2022·北京·統(tǒng)考中考模擬）點(diǎn)A在直線m外，點(diǎn)B在直線m上，A、B兩點(diǎn)的距離記作a，點(diǎn)A到直線m的距離記作b，則a與b的大小關(guān)系是(

)A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)≤b C．a(chǎn)≥b D．a(chǎn)<b【變式7-3】（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考模擬）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝22，CD＝2，點(diǎn)P在四邊形ABCD的邊上，若點(diǎn)P到BD的距離為32，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為____【考點(diǎn)8相交線與平行線】【例8】（2022·河北石家莊·石家莊市第四十一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在同一平面內(nèi)．經(jīng)過直線l外一點(diǎn)O有四條直線①②③④，借助直尺和三角板判斷，與直線l平行的是（

）A．① B．② C．③ D．④【變式8-1】（2022·河北保定·統(tǒng)考二模）在同一平面內(nèi)，兩條直線可能的位置關(guān)系是（

）A．平行、相交或垂直 B．相交 C．平行或相交 D．平行【變式8-2】（2022·福建廈門·統(tǒng)考一模）兩條直線相交所成的四個(gè)角中，下列說法正確的是（）A．一定有一個(gè)銳角B．一定有一個(gè)鈍角C．一定有一個(gè)直角D．一定有一個(gè)不是鈍角【變式8-3】（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）下面關(guān)于平行線的說法中，正確的個(gè)數(shù)是（

）①在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線必平行②在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段必平行③在同一平面內(nèi)，不平行的兩條直線必相交④在同一平面內(nèi)，不平行的兩條線段必相交A．0 B．2 C．3 D．4【要點(diǎn)8平行公理及其推論】①經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行.②如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.【考點(diǎn)9平行公理及其推論】【例9】（2022·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)校考一模）已知直線AB∥CD．(1)如圖1，直接寫出∠ABE，∠CDE和∠BED之間的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖2，BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．(3)若點(diǎn)E的位置如圖3所示，BF，DF仍分別平分∠ABE，∠CDE，請(qǐng)直接寫出∠BFD和∠BED的數(shù)量關(guān)系．【變式9-1】（2022·江蘇鹽城·校考一模）如圖，將一副三角板和一張對(duì)邊平行的紙條按如圖方式擺放兩個(gè)三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個(gè)頂點(diǎn)在紙條的另一邊上，則∠1的度數(shù)是（

）A．30° B．25° C．20° D．15°【變式9-2】（2022·江蘇泰州·靖江市靖城中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，AB∥EF，設(shè)∠C＝90°，那么x，y，z的關(guān)系式為______．【變式9-3】（2022·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC．（∠ABD的度數(shù)大于90°小于120°）（1）求證：∠BED=90°；（2）若點(diǎn)F為射線BE上一點(diǎn)，∠EDF=α，∠ABF的角平分線BG與∠CDF的角平分線DG交于點(diǎn)G，試用含α的式子表示∠BGD的大??；（3）延長BE交CD于點(diǎn)H，點(diǎn)F為線段BH上一動(dòng)點(diǎn)，∠ABF鄰補(bǔ)角的角平分線與∠CDF鄰補(bǔ)角的角平分線DG交于點(diǎn)G，探究∠BGD與∠BFD之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論：．（題中所有的角都是大于0°小于180°的角）【要點(diǎn)9平行線的判定與性質(zhì)】1.平行線的判定方法①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.②兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則這兩條直線平行.2.平行線的性質(zhì)①兩條平行被第三條直線所截同位角相等.簡(jiǎn)單說成兩直線平行同位角相等.②兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯(cuò)角相等.簡(jiǎn)單說成兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等.③兩條平行線被第三條直線所截同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡(jiǎn)單說成兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).【考點(diǎn)10平行線的判定與性質(zhì)】【例10】（2022秋·全國·八年級(jí)期末）如圖1，直線MN與直線AB、CD分別交于點(diǎn)E、F，∠MEB+∠NFD=180°．(1)試判斷直線AB與直線CD的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，∠BEF與∠EFD的角平分線交于點(diǎn)P，EP與CD交于點(diǎn)G，點(diǎn)H是MN上一點(diǎn)，且GH⊥EG，求證：PF∥(3)如圖3，在（2）的條件下，連接PH，T是GH上一點(diǎn)，使∠PHT=∠HPT，作PQ平分∠EPT，問∠HPQ的大小是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，說明理由．【變式10-1】（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是圓O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點(diǎn)D的切線交AC于點(diǎn)E，∠EAD＝25°，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°【變式10-2】（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）已知矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，連接BE,CE,OE，且BE=CE．(1)如圖1，求證：△BEO≌△CEO；(2)如圖2，設(shè)BE與AC相交于點(diǎn)F，CE與BD相交于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作AC的平行線交BE的延長線于點(diǎn)G，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中的四個(gè)三角形（△AEF除外），使寫出的每個(gè)三角形的面積都與△AEF的面積相等．【變式10-3】（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中，∠ACB=90°，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BD，DC，延長DC到點(diǎn)E(1)如圖1，延長BC到點(diǎn)F，使得CF=BC，連接AF，EF，若AF⊥EF，求證：BD⊥AF；(2)連接AE，交BD的延長線于點(diǎn)H，連接CH，依題意補(bǔ)全圖2，若AB2=AE2+B專題14角、相交線與平行線（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)1角、鐘面角、方向角】 1【考點(diǎn)2對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角】 4【考點(diǎn)3補(bǔ)角、余角】 6【考點(diǎn)4同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角】 8【考點(diǎn)5角的和差】 10【考點(diǎn)6角的大小比較】 15【考點(diǎn)7點(diǎn)到直線的距離】 18【考點(diǎn)8相交線與平行線】 21【考點(diǎn)9平行公理及其推論】 23【考點(diǎn)10平行線的判定與性質(zhì)】 30【要點(diǎn)1角的概念】定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．【要點(diǎn)2角的表示方法】表示方法A圖例A記法適用范圍用三個(gè)大寫字母表示BOBOAOB或BOA任何情況下都適應(yīng).表示端點(diǎn)的字母必須寫在中間.用一個(gè)大寫字母表示AAA以這個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的角只有一個(gè).用數(shù)字表示111任何情況下都適用.但必須在靠近頂點(diǎn)處加上弧線表示角的范圍，并注上數(shù)字或希臘字母.【要點(diǎn)3鐘表上有關(guān)夾角問題】鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問題．【要點(diǎn)4方向角】在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．【考點(diǎn)1角、鐘面角、方向角】【例1】（2022·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，同時(shí)能用三個(gè)字母和一個(gè)字母表示的角是（

）A．∠1 B．∠2 C．∠A和∠D D．∠A和∠C【答案】D【分析】根據(jù)角的表示方法以及具體要求回答即可．【詳解】解：∠A、∠C能夠用一個(gè)字母表示，也能夠用三個(gè)字母表示，以B為頂點(diǎn)的角有3個(gè)，不能用一個(gè)字母表示，點(diǎn)D為頂點(diǎn)的角有2個(gè)，不能用一個(gè)字母表示．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是角的表示方法，掌握角的表示方法是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2022·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，PA，PB表示以P為起點(diǎn)的兩條公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏東56°，則這兩條公路的夾角∠APB＝_____°．【答案】90【分析】根據(jù)題意可得∠APC＝34°，∠BPC＝56°，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：如圖：由題意得：∠APC＝34°，∠BPC＝56°，∴∠APB＝∠APC＋∠BPC＝90°，故答案為：90．【點(diǎn)睛】本題考查了方向角，熟練掌握方向角的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·遼寧撫順·一模）鐘面角是指時(shí)鐘的時(shí)針與分針?biāo)傻慕?，則當(dāng)時(shí)間為4：30時(shí)鐘面角為___________°.【答案】45【分析】根據(jù)分針每分鐘轉(zhuǎn)360°60=6°【詳解】解：∵分針每分鐘轉(zhuǎn)360°60=6°∴當(dāng)時(shí)間為4：30時(shí)鐘面角為6°×30?0.5°×4×60+30故答案為：45．【點(diǎn)睛】本題主要考查了鐘面角的計(jì)算，熟知時(shí)針和分針每分鐘走的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考一模）6×6的方格圖中，按要求作格點(diǎn)三角形ABC．（1）在圖1中，作等腰直角△ABC，使得∠BAC=45°；（畫出一個(gè)即可）（2）在圖2中，作鈍角△ABC，使得∠BAC=45°．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；（2）根據(jù)題意作出圖形即可．【詳解】（1）如圖1，所示，△ABC即為所求；（2）如圖2，所示，△ABC即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)的作圖．關(guān)鍵是根據(jù)題意，由網(wǎng)格的特點(diǎn)確定三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)C．【考點(diǎn)2對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角】【例2】（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）下列圖形中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是()A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義，兩條直線相交后所得的只有一個(gè)公共頂點(diǎn)且兩個(gè)角的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角，進(jìn)而得出答案．【詳解】利用對(duì)頂角的定義可得出：符合條件的只有C，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角的概念，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，如：兩條直線相交，有一個(gè)公共頂點(diǎn)．反向延長線等．【變式2-1】（2022·廣東·統(tǒng)考中考模擬）∠α與∠β互為補(bǔ)角，同時(shí)又是對(duì)頂角，則它們兩邊所在的直線（）A．互相垂直 B．互相平行 C．既不垂直也不平行 D．不能確定【答案】A【詳解】∵∠α與∠β是對(duì)頂角，∴∠α=∠β，又∵∠α與∠β互補(bǔ)，∴∠α+∠β=180°，可求∠α=90°.故選A.【變式2-2】（2022·上?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，∠B與∠A互為鄰補(bǔ)角，且∠B=2∠A，那么∠A為________度．【答案】60【分析】設(shè)∠A=x，則∠B=2x，然后根據(jù)領(lǐng)補(bǔ)角的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)∠A=x，則∠B=2x根據(jù)題意得，x+2x=180°，解得：x=60°，∴∠A=60°，故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題主要考查領(lǐng)補(bǔ)角的定義及一元一次方程的解法，熟練掌握領(lǐng)補(bǔ)角的定義及一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·陜西西安·西安市中鐵中學(xué)?？既＃┬∶靼岩桓敝苯侨前灏慈鐖D所示的方式擺放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30A．180° B．210° C．360°【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠2+∠3=90°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，對(duì)頂角相等可得∠α+∠β=∠2+∠D+∠3+∠F，即可求解．【詳解】解：如圖，∵∠C=∠F=90∴∠2+∠3=90°，∵∠α=∠1+∠D，∠β=∠4+∠F，∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F=∠2+∠D+∠3+∠F=∠2+∠3+30°+90°=210°，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)，對(duì)頂角相等是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)3補(bǔ)角、余角】【例3】（2022·陜西西安·統(tǒng)考三模）已知∠1=50°，則∠1的余角的補(bǔ)角的度數(shù)是（

）A．60° B．140° C．40° D．130°【答案】B【分析】先根據(jù)余角的定義求出∠1的余角，再根據(jù)補(bǔ)角的定義解答．【詳解】解：∵∠1=50°，∴∠1的余角是40°，∵40°的補(bǔ)角是180°－40°=140°，∴∠1的余角的補(bǔ)角的度數(shù)是140°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了余角和補(bǔ)角的定義，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握二者的概念是解題關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·廣西·中考真題）如圖擺放一副三角板，直角頂點(diǎn)重合，直角邊所在直線分別重合，那么∠BAC的大小為______【答案】135°##135度【分析】根據(jù)三角板及其擺放位置可得∠BAO=180°=∠BAC+∠OAC,∠OAC=45°，求解即可．【詳解】∵∠BAO=180°=∠BAC+∠OAC,∠OAC=45°，∴∠BAC=180°?45°=135°，故答案為：135°．【點(diǎn)睛】本題考查了求一個(gè)角的補(bǔ)角，即兩個(gè)角的和為180度時(shí)，這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）42°15'的余角是______．【答案】47°45'【分析】根據(jù)余角及補(bǔ)角的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：42°15'的余角是90故答案為：47°45'．【點(diǎn)睛】本題考查的是余角及補(bǔ)角的定義，如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說這兩個(gè)角互為余角，如果兩個(gè)角的和等于180°，就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角．【變式3-3】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖，CA⊥BE于點(diǎn)A，AD⊥BF于點(diǎn)D，則下列說法中正確的是（）A．∠α的余角只有∠B B．∠α的補(bǔ)角是∠DACC．∠α與∠ACF互補(bǔ) D．∠α與∠ACF互余【答案】C【分析】根據(jù)題意CA⊥BE于點(diǎn)A，AD⊥BF于點(diǎn)D，結(jié)合圖形可得∠α的余角與補(bǔ)角，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】∵CA⊥BE于A，AD⊥BF于D，∴∠B+∠α=∠DAC+∠α=90°，所以A不正確；∴∠α+∠DAE=180°，所以B也不正確；∵∠DAC+∠ACD=∠DAC+∠α=90°，∴∠ACD=∠α，∵∠ACD+∠ACF=180°，∴∠ACF與α互補(bǔ)．故C正確，D不正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義，直角三角形的兩銳角互余，掌握余角與補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)4同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角】【例4】（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線l1，l2被直線l3所截，則（）A．∠1和∠2是同位角 B．∠1和∠2是內(nèi)錯(cuò)角C．∠1和∠3是同位角 D．∠1和∠3是內(nèi)錯(cuò)角【答案】C【分析】?jī)蓷l直線a、b被第三條直線c所截，在截線c的同旁，被截兩直線a、b的同一側(cè)的角（都在左側(cè)或者都在右側(cè)），把這樣的兩個(gè)角稱為同位角；根據(jù)定義分別判斷即可．【詳解】解：∠1和∠2既不是同位角，也不是內(nèi)錯(cuò)角，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；∠1和∠3是同位角，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，掌握同位角的邊構(gòu)成“F”形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z”形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·青?！そy(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）.從左至右依次表示（

）A．同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角B．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角C．對(duì)頂角、同位角、同旁內(nèi)角D．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角【答案】D【分析】?jī)蓷l線a、b被第三條直線c所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方，把這種位置關(guān)系的角稱為同位角；兩個(gè)角分別在截線的異側(cè)，且夾在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為內(nèi)錯(cuò)角；兩個(gè)角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為同旁內(nèi)角．據(jù)此作答即可．【詳解】解：根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念，可知第一個(gè)圖是同位角，第二個(gè)圖是內(nèi)錯(cuò)角，第三個(gè)圖是同旁內(nèi)角．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，解題的關(guān)鍵是掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，并能區(qū)別它們．【變式4-2】（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）下列圖中∠1和∠2是同位角的是

（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②【答案】D【分析】根據(jù)同位角的定義，即兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角．對(duì)每個(gè)圖進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①圖中∠1和∠2是同位角，符合題意；②圖中∠1和∠2是同位角，符合題意；③圖中∠1和∠2不是同位角，不符合題意；④圖中∠1和∠2不是同位角，不符合題意；圖中是同位角的是①②．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了同位角的定義，掌握基本概念是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·福建三明·統(tǒng)考中考模擬）如圖，圖中的同位角的對(duì)數(shù)是（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】D【詳解】試題分析：根據(jù)同位角的定義可以得出圖中有12對(duì)同位角.考點(diǎn)：同位角的定義【要點(diǎn)5角的和、差關(guān)系】如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．【要點(diǎn)6角平分線】從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=12∠【考點(diǎn)5角的和差】【例5】（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將一幅三角板按照如圖1所示的位置放置在直線EF上，現(xiàn)將含30°角的三角板OCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，在這個(gè)過程中．（1）如圖2，當(dāng)OD平分∠AOB時(shí)，試問OC是否也平分∠AOE，請(qǐng)說明理由．（2）當(dāng)OC所在的直線平分∠AOB時(shí)，求∠AOD的度數(shù)；（3）試探究∠BOC與∠AOD之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）OC平分∠AOE，理由見解析；（2）∠AOD=67.5°；（3）∠AOD+∠BOC=135°或∠BOC?∠AOD=135°或∠AOD+∠BOC=225°，理由見解析．【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義求出∠AOD的度數(shù)，從而可得∠AOC，再根據(jù)互補(bǔ)角的定義可得∠AOE的度數(shù)，由此即可得；（2）先根據(jù)角平分線的定義求出∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)角的和差即可得；（3）設(shè)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為α，分0<α≤45°、45°<α≤90°和90°<α≤180°三種情況，分別根據(jù)角的和差即可得．【詳解】（1）OC平分∠AOE，理由如下：∵OD平分∠AOB，且∠AOB=45°，∴∠AOD=1∵∠COD=90°，∴∠AOC=∠COD?∠AOD=90°?22.5°=67.5°，又∵∠AOB=45°，∴∠AOE=180°?∠AOB=135°，∴∠AOC=1即OC平分∠AOE；（2）當(dāng)OC所在的直線平分∠AOB時(shí)，由角平分線的定義得：∠AOC=1則∠AOD=∠AOC?∠COD=157.5°?90°=67.5°；（3）設(shè)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為α，則0<α≤180°，由題意，分以下三種情況：①當(dāng)0<α≤45°時(shí)，∠AOD在∠AOB內(nèi)部，則∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠BOD+∠COD，=∠AOB+∠COD，=45°+90°，=135°，②當(dāng)45°<α≤90°時(shí)，∠AOD在∠AOB外部，且∠BOC<180°，則∠BOC?∠AOD=∠AOB+∠AOD+∠COD?∠AOD，=∠AOB+∠COD，=45°+90°，=135°，③當(dāng)90°<α≤180°時(shí)，∠AOD+∠BOC+∠AOB+∠COD=360°，則∠AOD+∠BOC=360°?∠AOB?∠COD，=360°?45°?90°，=225°，綜上，∠AOD+∠BOC=135°或∠BOC?∠AOD=135°或∠AOD+∠BOC=225°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、角的和差、互補(bǔ)角、旋轉(zhuǎn)的定義，較難的是題（3），根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的取值范圍，正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOC=75°，∠1=25°，則∠2的度數(shù)是（

）A．25° B．30° C．40° D．50°【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠BOD=75°，之后根據(jù)∠1=25°，即可求出∠2．【詳解】解：由題可知∠BOD=∠AOC=75°，∵∠1=25°，∴∠2=∠BOD?∠1=75°?25°=50°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)頂角和角的和與差，掌握對(duì)頂角相等是解決問題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·湖南婁底·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）入射光線和平面鏡的夾角為40°，轉(zhuǎn)動(dòng)平面鏡，使入射角減小10°，反射光線與入射光線的夾角和原來相比較將（

）A．減小40° B．減小10° C．減小20° D．不變【答案】C【分析】要知道入射角和反射角的概念：入射光線與法線的夾角，反射角是反射光線與法線的夾角，在光反射時(shí)，反射角等于入射角．【詳解】解：入射光線與平面鏡的夾角是40°，所以入射角為90°?40°=50°．根據(jù)光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也為50°，所以入射光線與反射光線的夾角是100°．入射角減小10°，變?yōu)?0°?10°=40°，所以反射角也變?yōu)?0°，此時(shí)入射光線與法線的夾角為80°．則反射光線與入射光線間的夾角和原來比較將減小20°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了有關(guān)角的計(jì)算，首先要熟記光的反射定律的內(nèi)容，搞清反射角與入射角的關(guān)系，特別要掌握反射角與入射角的概念，它們都是反射光線和入射光線與法線的夾角．【變式5-3】（2022·湖北隨州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)問題解決往往經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)猜想——探索歸納——問題解決的過程，下面結(jié)合一道幾何題來體驗(yàn)一下.【發(fā)現(xiàn)猜想】（1）如圖①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC為∠BOD的角平分線，則∠AOC的度數(shù)為；.【探索歸納】（2）如圖①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC為∠BOD的角平分線.猜想∠AOC的度數(shù)（用含m、n的代數(shù)式表示），并說明理由.【問題解決】（3）如圖②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射線OB繞點(diǎn)O以每秒20°逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OC繞點(diǎn)O以每秒10°順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OD繞點(diǎn)O每秒30°順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，三條射線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一條射線與直線OA重合時(shí)，三條射線同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，其中一條射線是另外兩條射線夾角的角平分線？【答案】（1）85°；（2）∠AOC＝m+n2；理由見解析；（3）經(jīng)過137，【分析】（1）根據(jù)∠AOD、∠AOB、∠BOD之間的關(guān)系，求出∠BOD的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)算出∠BOC的度數(shù)，再計(jì)算∠AOC即可解決問題.（2）根據(jù)∠AOD、∠AOB、∠BOD之間的關(guān)系，用m、n表示出∠BOD的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)用m、n的代數(shù)式表示出∠BOC，最后再表示出∠AOC即可解決問題.（3）根據(jù)各角之間存在的數(shù)量關(guān)系，設(shè)經(jīng)過x秒時(shí)，分別用x將∠DOA、∠COA、∠BOA表示出來，然后分四類情況討論，根據(jù)角平分線的性質(zhì)列出方程，解決即可.【詳解】（1）85°；（2）∵∠AOB＝m，∠AOD＝n∴∠BOD＝n－m∵OC為∠BOD的角平分線∴∠BOC＝∴∠AOC＝+m＝（3）設(shè)經(jīng)過的時(shí)間為x秒，則∠DOA＝120°－30x；∠COA＝90°－10x；∠BOA＝20°+20x；①當(dāng)在x＝之前，OC為OB，OD的角平分線；30－20x＝70－30x，x1＝4（舍）；②當(dāng)x在和2之間，OD為OC，OB的角平分線；－30+20x＝100－50x，x2＝；③當(dāng)x在2和之間，OB為OC，OD的角平分線；70－30x＝－100+50x，x3＝；④當(dāng)x在和4之間，OC為OB，OD的角平分線；－70+30x＝－30+20x，x4＝4.答：經(jīng)過，，4秒時(shí)，其中一條射線是另外兩條射線夾角的平分線.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)，理清各個(gè)角之間存在的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程.【要點(diǎn)7角的比較與運(yùn)算】角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．【考點(diǎn)6角的大小比較】【例6】（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，記∠ABF＝α，∠FCH＝β，∠DGE＝γ，則（

）A．β＜α＜γ B．β≤γ＜α C．α＜γ＜β D．α＜β＜γ【答案】A【分析】根據(jù)網(wǎng)格線得出∠FBG＜45°，進(jìn)而判斷出α＞90°；再由網(wǎng)格線得出∠DGF=45°，∠EGH=45°，進(jìn)而求出γ=90°，最后由網(wǎng)格線得出∠MCH＜45°，∠BCF=45°，進(jìn)而判出β＜90°，即可得出結(jié)論．【詳解】解：由圖知，∠FBG＜45°，∴α=∠ABF=180°-45°-∠FBG＞90°；由圖知，∠DGF=45°，∠EGH=45°，∴γ=∠DGE=180°-∠DGF-∠EGH=180°-45°-45°=90°，由圖知，∠MCH＜45°，∠BCF=45°，∴β=∠FCH=180°-∠BCF-∠MCH=180°-45°-∠MCH＜90°，∴β＜γ＜α，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了角的比較，網(wǎng)格線的特點(diǎn)，平角的定義，掌握網(wǎng)格線的特點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022·廣西百色·統(tǒng)考一模）若∠P=25°12′,∠Q=25.12°,∠R=25.2°，則下列結(jié)論正確的是(A．∠P=∠Q B．∠P=∠RC．∠Q=∠R D．∠P=∠Q=∠R【答案】B【分析】根據(jù)小單位化大單位除以進(jìn)率,可得答案.【詳解】解:∠P=25°12′=25.2°,∠R=25.2°所以B選項(xiàng)是正確的.【點(diǎn)睛】本題考查角的大小比較．關(guān)鍵是將單位統(tǒng)一，即度、分、秒的換算.【變式6-2】（2022·山東淄博·統(tǒng)考二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，那么∠DAC與∠ACB的大小關(guān)系為：∠DAC_____∠ACB．【答案】>【分析】由平行線的性質(zhì)可知∠CAE=∠ACF，由角的大小比較方法可知∠BCF<∠GCF=∠DAE，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵AE//CF，∴∠CAE=∠ACF，∵∠BCF<∠GCF=∠DAE，∵∠DAC=∠CAE+∠DAE，∠ACB=∠ACF+∠BCF，∴∠DAC>∠ACB，故答案為：>．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角的大小比較方法，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022·陜西西安·校考一模）線段AB與射線AP有一公共端點(diǎn)A．(1)用直尺和圓規(guī)作出AB的中點(diǎn)M；(不寫作圖方法)(2)用直尺和圓規(guī)作出以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的∠ABQ，使∠ABQ=∠PAB，且BQ與AP相交于點(diǎn)C.(不寫作圖方法)(3)聯(lián)結(jié)CM，用量角器測(cè)量∠AMC和∠BMC的度數(shù)，你認(rèn)為∠AMC和∠BMC的大小關(guān)系如何？【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)相等【分析】（1）分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于12AB的長為半徑，在線段AB的上方和下方分別畫弧，交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)，與線段AB的交點(diǎn)就是中點(diǎn)（2）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法，即可作出∠ABQ=∠PAB，找到點(diǎn)C的位置；（3）用量角器測(cè)量∠AMC和∠BMC的度數(shù)，會(huì)發(fā)現(xiàn)兩角的度數(shù)相等．（1）如圖所示，點(diǎn)M即為所求；（2）如圖所示：∠ABQ即為所求；（3）用量角器測(cè)量可知：∠AMC=90°，∠BMC=90°，所以∠AMC和∠BMC的大小相等．【點(diǎn)睛】本題考查了用圓規(guī)和直尺的基本尺規(guī)作圖方法、角的大小比較，熟練掌握作圖步驟和方法是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)7點(diǎn)到直線的距離】【例7】（2022·北京·?？寄M預(yù)測(cè)）下列圖形中，線段AD的長表示點(diǎn)A到直線BC的距離的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離．【詳解】解：A．AD與BC不垂直，故線段AD的長不能表示點(diǎn)A到直線BC距離，不合題意；B．AD⊥BC于D，則線段AD的長表示點(diǎn)A到直線BC的距離，符合題意；C．AD與BC不垂直，故線段AD的長不能表示點(diǎn)A到直線BC距離，不合題意；D．AD與BC不垂直，故線段AD的長不能表示點(diǎn)A到直線BC距離，不合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離的定義，注意從直線外一點(diǎn)引一條直線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做垂線段．【變式7-1】（2022·吉林松原·?？家荒＃┬∶鲄⒓犹h(yuǎn)比賽，他從地面踏板P處起跳落到沙坑中，兩腳后跟與沙坑的接觸點(diǎn)分別為A，B，小明未站穩(wěn)一只手撐到沙坑C點(diǎn)，則跳遠(yuǎn)成績(jī)測(cè)量正確的圖是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由于C點(diǎn)到踏板最近，則C點(diǎn)到踏板的垂線段的長為跳遠(yuǎn)成績(jī)．【詳解】解：跳遠(yuǎn)成績(jī)應(yīng)該為身體與沙坑的接觸點(diǎn)中到踏板的垂線段長的最小值．由于C點(diǎn)到踏板最近，所以C點(diǎn)到踏板的垂線段的長為跳遠(yuǎn)成績(jī)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段最短，點(diǎn)到直線的距離，掌握垂線的定義以及垂線段最短是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·北京·統(tǒng)考中考模擬）點(diǎn)A在直線m外，點(diǎn)B在直線m上，A、B兩點(diǎn)的距離記作a，點(diǎn)A到直線m的距離記作b，則a與b的大小關(guān)系是(

)A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)≤b C．a(chǎn)≥b D．a(chǎn)<b【答案】C【分析】分兩種情況：①a和b構(gòu)成一個(gè)直角三角形，且a是斜邊，b是直角邊，所以a＞b；②若B是垂足時(shí)，a=b．【詳解】如圖，a是斜邊，b是直角邊，∴a＞b，若點(diǎn)A、點(diǎn)B所在直線垂直直線m，則a=b，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，明確點(diǎn)到直線的距離是這點(diǎn)到直線的垂線段的長度，屬于基礎(chǔ)題．【變式7-3】（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考模擬）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝22，CD＝2，點(diǎn)P在四邊形ABCD的邊上，若點(diǎn)P到BD的距離為32，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為____【答案】2．【分析】考查A點(diǎn)到BD的距離，設(shè)這個(gè)距離為x，可以通過解直角三角形求出x，若x＞32，則存在2個(gè)點(diǎn)滿足，若x=32，則存在1個(gè)點(diǎn)滿足，若x＜【詳解】過點(diǎn)A作AE⊥BD于E，過點(diǎn)C作CF⊥BD于F，∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝22，CD＝2，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠CDF＝90°﹣∠ADB＝45°，∵sin∠ABD＝AEAB∴AE＝AB?sin∠ABD＝22?sin45°＝22×22＝所以在AB和AD邊上有符合P到BD的距離為32的點(diǎn)2∵sin∠CDF＝CFCD∴CF＝CD?sin∠CDF＝2×22＝1所以在邊BC和CD上沒有到BD的距離為32總之，P到BD的距離為32的點(diǎn)有2故答案是：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三機(jī)形，求A，C兩點(diǎn)到BD的距離【考點(diǎn)8相交線與平行線】【例8】（2022·河北石家莊·石家莊市第四十一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在同一平面內(nèi)．經(jīng)過直線l外一點(diǎn)O有四條直線①②③④，借助直尺和三角板判斷，與直線l平行的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】由過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，即可得到答案．【詳解】解：經(jīng)過刻度尺平移測(cè)量，③符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線，利用了平行線的性質(zhì)：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．【變式8-1】（2022·河北保定·統(tǒng)考二模）在同一平面內(nèi)，兩條直線可能的位置關(guān)系是（

）A．平行、相交或垂直 B．相交 C．平行或相交 D．平行【答案】C【分析】根據(jù)在同一平面內(nèi)，兩條直線可能的位置關(guān)系求解即可，注意垂直是相交的特殊情況．【詳解】解：在同一平面內(nèi)，兩條直線可能的位置關(guān)系是平行或相交．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系，掌握同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022·福建廈門·統(tǒng)考一模）兩條直線相交所成的四個(gè)角中，下列說法正確的是（）A．一定有一個(gè)銳角B．一定有一個(gè)鈍角C．一定有一個(gè)直角D．一定有一個(gè)不是鈍角【答案】D【詳解】試題解析：因?yàn)閮蓷l直線相交，分為垂直相交和斜交，故分兩種情況討論：①當(dāng)兩直線垂直相交時(shí)，四個(gè)角都是直角，故A、B錯(cuò)誤；②當(dāng)兩直線斜交時(shí)，有兩個(gè)角是銳角，兩個(gè)角是鈍角，所以C錯(cuò)誤；綜上所述，D正確．故選D．【變式8-3】（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）下面關(guān)于平行線的說法中，正確的個(gè)數(shù)是（

）①在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線必平行②在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段必平行③在同一平面內(nèi)，不平行的兩條直線必相交④在同一平面內(nèi)，不平行的兩條線段必相交A．0 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)平面內(nèi)直線和線段的位置關(guān)系判斷．【詳解】在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線必平行，不平行的兩條直線必相交，線段則不一定，故①③正確。故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查在同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系，需要注意②和④說的是線段．【要點(diǎn)8平行公理及其推論】①經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行.②如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.【考點(diǎn)9平行公理及其推論】【例9】（2022·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)?？家荒＃┮阎本€AB∥CD．(1)如圖1，直接寫出∠ABE，∠CDE和∠BED之間的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖2，BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．(3)若點(diǎn)E的位置如圖3所示，BF，DF仍分別平分∠ABE，∠CDE，請(qǐng)直接寫出∠BFD和∠BED的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)∠ABE+∠CDE=∠BED；(2)∠BFD=1(3)2∠BFD+∠BED=360°，理由見解析【分析】（1）過點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）由角平分線的定義得∠ABF=12∠ABE（3）過點(diǎn)E作EG//CD，由平行線的性質(zhì)得∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，結(jié)合第（1）題的結(jié)論與角平分線的定義得(1)證明：∠ABE+∠CDE=∠BED，理由如下：如圖1，過點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠2=∠BED，即∠ABE+∠CDE=∠BED；(2)證明：∠BFD=1∵BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，∴∠ABF=12∠ABE∴∠ABF+∠CDF=1由（1）得，∠BFD=∠ABF+∠CDF=1又∵∠BED=∠ABE+∠CDE，∴∠BFD=1(3)證明：2∠BFD+∠BED=360°，理由如下：如圖3，過點(diǎn)E作EG//∵AB//CD，∴AB//∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，由（1）知，∠BFD=∠ABF+∠CDF，又∵BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，∴∠ABF=12∠ABE∴∠BFD=1∴2∠BFD+∠BED=360°．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行公理的推理，平行線的性質(zhì)定理與角平分線的定義，添加輔助線，掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2022·江蘇鹽城·?？家荒＃┤鐖D，將一副三角板和一張對(duì)邊平行的紙條按如圖方式擺放兩個(gè)三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個(gè)頂點(diǎn)在紙條的另一邊上，則∠1的度數(shù)是（

）A．30° B．25° C．20° D．15°【答案】D【分析】先根據(jù)平行公理的推論可得AB//EF//CD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得【詳解】如圖，過點(diǎn)E作AB由題意得：AB∴AB∴∠CEF=∠2=30°,∠AEF=∠1又∵∠CEF+∠AEF=∠AEC=45°∴30°+∠1=45°解得∠1=15°故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行公理的推論、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟記平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式9-2】（2022·江蘇泰州·靖江市靖城中學(xué)校考一模）如圖，AB∥EF，設(shè)∠C＝90°，那么x，y，z的關(guān)系式為______．【答案】y=90°-x+z．【分析】作CG//AB，DH//EF，由AB//EF，可得AB//CG//HD//EF，根據(jù)平行線性質(zhì)可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可證∠y=∠z+90°-∠x即可．【詳解】解：作CG//AB，DH//EF，∵AB//EF，∴AB//CG//HD//EF，∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z∵∠BCD＝90°∴∠1+∠2=90°，∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，∴∠y=∠z+90°-∠x．即y=90°-x+z．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)，利用輔助線畫出準(zhǔn)確圖形是解題關(guān)鍵．【變式9-3】（2022·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC．（∠ABD的度數(shù)大于90°小于120°）（1）求證：∠BED=90°；（2）若點(diǎn)F為射線BE上一點(diǎn)，∠EDF=α，∠ABF的角平分線BG與∠CDF的角平分線DG交于點(diǎn)G，試用含α的式子表示∠BGD的大小；（3）延長BE交CD于點(diǎn)H，點(diǎn)F為線段BH上一動(dòng)點(diǎn)，∠ABF鄰補(bǔ)角的角平分線與∠CDF鄰補(bǔ)角的角平分線DG交于點(diǎn)G，探究∠BGD與∠BFD之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論：．（題中所有的角都是大于0°小于180°的角）【答案】（1）見解析；（2）∠BGD=90°?α2；（3）【分析】（1）由AB∥CD可得∠ABD+∠BDC=180°，由角平分線的定義和等量代換可得∠EBD+∠EDB=90°，進(jìn)一步即可根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理證得結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)G在AB、CD之間時(shí)，如圖2，由（1）的結(jié)論和角平分線的定義可推出2∠1+2∠CDG=90°－α，過點(diǎn)G作GH∥AB，由平行線的性質(zhì)可得∠BGD=∠1+∠CDG，進(jìn)一步即可推出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)G在AB、CD下方時(shí)，如圖3，同樣的方法解答即可；（3）如圖4，過點(diǎn)F、G分別作FN∥AB、GM∥AB，則AB∥GM∥FN∥CD，由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得∠BFD=∠3+∠5，∠BGD=∠4+∠6，然后利用角的和差整理變形即得結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC=180°，∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∴∠EBD=1∴∠EBD+∠EDB=1∴∠BED=90°；（2）當(dāng)點(diǎn)G在AB、CD之間時(shí)，如圖2，∵∠EBD+∠EDB=90°，∠ABD+∠BDC=180°，∴∠ABE+∠EDC=90°，即∠ABE+α+∠FDC=90°，∵BG平分∠ABE，DG平分∠CDF，∴∠ABE=2∠1，∠CDF=2∠CDG，∴2∠1+2∠CDG=90°－α，過點(diǎn)G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠1=∠2，∠HGD=∠CDG，∴∠BGD=∠2+∠HGD=∠1+∠CDG=90°?α2當(dāng)點(diǎn)G在AB、CD下方時(shí)，如圖3，同理可得：∠ABE+∠EDC=90°，即∠ABE+α－∠FDC=90°，∵BG平分∠ABE，DG平分∠CDF，∴∠ABE=2∠1，∠CDF=2∠CDG，∴2∠1－2∠CDG=90°－α，過點(diǎn)G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠1=∠2，∠HGD=∠CDG，∴∠BGD=∠2－∠HGD=∠1－∠CDG=90°?α2綜上，∠BGD=90°?α2（3）如圖4，過點(diǎn)F、G分別作FN∥AB、GM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GM∥FN∥CD，∴∠3=∠BFN，∠5=∠DFN，∠4=∠BGM，∠6=∠DGM，∴∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠3+∠5，∠BGD=∠BGM+∠DGM=∠4+∠6，∵BG平分∠FBP，DG平分∠FDQ，∴∠4=1∴∠BFD+∠BGD=∠3+∠5+∠4+∠6=∠3+∠5+1=180°+=180°+1整理得：∠BFD+2∠BGD=360°．故答案為：∠BFD+2∠BGD=360°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)、平行公理的推論、角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和等知識(shí)，具有一定的難度，正確添加輔助線、熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【要點(diǎn)9平行線的判定與性質(zhì)】1.平行線的判定方法①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.②兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則這兩條直線平行.2.平行線的性質(zhì)①兩條平行被第三條直線所截同位角相等.簡(jiǎn)單說成兩直線平行同位角相等.②兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯(cuò)角相等.簡(jiǎn)單說成兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等.③兩條平行線被第三條直線所截同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡(jiǎn)單說成兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).【考點(diǎn)10平行線的判定與性質(zhì)】【例10】（2022秋·全國·八年級(jí)期末）如圖1，直線MN與直線AB、CD分別交于點(diǎn)E、F，∠MEB+∠NFD=180°．(1)試判斷直線AB與直線CD的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，∠BEF與∠EFD的角平分線交于點(diǎn)P，EP與CD交于點(diǎn)G，點(diǎn)H是MN上一點(diǎn)，且GH⊥EG，求證：PF∥(3)如圖3，在（2）的條件下，連接PH，T是GH上一點(diǎn)，使∠PHT=∠HPT，作PQ平分∠EPT，問∠HPQ的大小是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，說明理由．【答案】(1)平行，理由見解析(2)見解析(3)不發(fā)生變化，一直是45°【分析】（1）根據(jù)對(duì)頂角相等和等量代換，得出∠AEF+∠CFE=180°，進(jìn)而根據(jù)平行線的判定得出結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)，得出∠EPF=90°，則EG⊥PF．又GH⊥EG，得出PF∥（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換可知∠FPH=∠HPT，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠QPT=12∠EPT，進(jìn)而得出∠HPQ=12（【詳解】（1）解：AB∥CD，理由如下：∵∠MEB+