七、應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論

(Stateofstressandtheoryofstrength)1.

二向應(yīng)力狀態(tài)、主應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)——一點(diǎn)處不同方位截面上應(yīng)力的集合應(yīng)力分析的目的——確定一點(diǎn)應(yīng)力的變化規(guī)律與極值應(yīng)力二向應(yīng)力狀態(tài)——一對(duì)面上應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)τxτy

y

xτxτy

y

x（1）斜截面上的應(yīng)力單元體平衡

正——外法向

正——順時(shí)針

正——逆時(shí)針σx、

σy、

τx=τy表示

σα、τα？yxατyτxσααταnt

x

y斜截面上的應(yīng)力確定極值應(yīng)力（2）應(yīng)力圓應(yīng)力平面(

,

)，應(yīng)力平面上點(diǎn)的坐標(biāo)——截面上的應(yīng)力值應(yīng)力隨截面方位的變化應(yīng)力平面上的圓——（Mohr）應(yīng)力圓圓心，半徑B(

x,x)(

,

)A1A2(

y,-

y)2

2

0

Co

（3）主應(yīng)力應(yīng)力圓上，點(diǎn)A1對(duì)應(yīng)截面上的正應(yīng)力最大，點(diǎn)A2對(duì)應(yīng)截面上的正應(yīng)力最小——主平面主平面上的切應(yīng)力為零，極值正應(yīng)力——主應(yīng)力(principalstress)

1

2

x>

y時(shí)，

1截面——0，x>0——0<0；x<0——0>0

2截面——90+0

x<

y時(shí)，反之點(diǎn)B對(duì)應(yīng)截面上的切應(yīng)力最大極值切應(yīng)力所在截面與主平面成45o主平面相互垂直思考：通過(guò)求極值分析主平面、主應(yīng)力、最大切應(yīng)力及其關(guān)系

分析單向應(yīng)力狀態(tài)與純剪切應(yīng)力狀態(tài)

兩個(gè)相互垂直截面上正應(yīng)力之和的不變性解：構(gòu)件中某點(diǎn)處于二向應(yīng)力狀態(tài)，已知單元體各面上的應(yīng)力。試求：(1)斜截面

=30上的應(yīng)力；(2)主應(yīng)力大小；(3)畫(huà)出主平面的位置與主應(yīng)力的方向。(1)

截面上例7-1.160MPa80MPa

(3)主平面、主應(yīng)力方位(2)主應(yīng)力

0

1

2直桿橫截面為邊長(zhǎng)a＝40mm、b＝5mm的矩形，兩端受軸向拉力F作用試，測(cè)得與軸線成

=45截面上的切應(yīng)力

=150MPa。試求力F的大小。解：取單元體

截面上力F，例7-2.

桿拉伸，橫截面上正應(yīng)力某點(diǎn)處于二向應(yīng)力狀態(tài)，已知兩截面上的應(yīng)力

A、

B、

A，夾角

。試求切應(yīng)力

B與主應(yīng)力。解：-(180

-

)

面上，應(yīng)力

B、B，例7-3.xy

A

B

A

B

取上面法線為x軸解得主應(yīng)力思考：P241-7-1，2，3，習(xí)題7-1，5練習(xí)：P244-習(xí)題7-3，7，8(d)思考：

<90

時(shí)，

A=B=A=0應(yīng)力狀態(tài)

=90

時(shí)，

<180

，

>180

時(shí)，又如何？2.三向應(yīng)力狀態(tài)單元體獨(dú)立的應(yīng)力分量——

x、y、z、xy=yx、xz=zx、

yz=zy存在三對(duì)相互垂直的主平面，主應(yīng)力

1

2

3應(yīng)力平面上的應(yīng)力圓xyz

x

xy

z

y

yx

xz

yz

zx

zy包含兩個(gè)主應(yīng)力的平面上應(yīng)力——應(yīng)力圓的點(diǎn)斜截面上的應(yīng)力——應(yīng)力圓所圍成區(qū)域中的點(diǎn)所在截面與

1、

3的主平面成45°已知一個(gè)主平面上的主應(yīng)力時(shí)，三向應(yīng)力狀態(tài)二向應(yīng)力狀態(tài)確定主平面、主應(yīng)力及最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力

1

3

2ACo

DBE

1

2

3

max思考：小長(zhǎng)方體與單元體應(yīng)力的區(qū)別已知單元體各面上的應(yīng)力如圖所示，試求主應(yīng)力、最大切應(yīng)力及其方位。解：該平面上的應(yīng)力決定另二個(gè)主應(yīng)力——主應(yīng)力20202040(MPa)xyz例7-4.方位，最大切應(yīng)力：注：應(yīng)力和不變性，不變

1

2

3

0

max3.應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系——廣義胡克定律點(diǎn)的應(yīng)力與應(yīng)變的對(duì)應(yīng)關(guān)系各向同性、線彈性、小變形假設(shè)下，廣義胡克定律：正應(yīng)力只引起正應(yīng)變，切應(yīng)力只引起同一平面內(nèi)的切應(yīng)變疊加法x方向的正應(yīng)變

x、

y、

z—

x、

y、

z，

xy、

xz、

yz—

xy、

xz、

yz同理，二向應(yīng)力狀態(tài)切應(yīng)變由應(yīng)變表示應(yīng)力x、y、z為主平面方向時(shí)，

1、

2、

3為極值正應(yīng)變——主應(yīng)變

1

2

3相應(yīng)的切應(yīng)變?yōu)榱憬猓和?-4題，E＝210GPa，

＝0.25。試求三個(gè)坐標(biāo)方向的正應(yīng)變與主應(yīng)變。例7-5.正應(yīng)變主應(yīng)變注：應(yīng)變和不變性主應(yīng)變與主應(yīng)力次序?qū)?yīng)應(yīng)力為零≠應(yīng)變?yōu)榱憬猓豪?-6.二向應(yīng)力狀態(tài)，設(shè)0°方向—x，90°方向—y設(shè)45°方向—x1，135°方向—y1又主應(yīng)力矩形截面桿，橫截面邊長(zhǎng)a=10mm、b=20mm，受軸向拉力F作用，測(cè)得表面B點(diǎn)處

方向的正應(yīng)變

=3.25×10-4，

=30

，E=210GPa，

=0.25。試求力F值。解：例7-7.FF

直桿軸向拉伸，點(diǎn)B處于單向應(yīng)力狀態(tài)

與90

+

方向的正應(yīng)力

方向正應(yīng)變力F，邊長(zhǎng)為a的立方體，放入寬為a+

(

<<a)

的剛性槽，上面作用均布力，合力為F，方塊碰到槽壁，方塊的彈性模量為E，泊松比為

。試求其主應(yīng)力、主應(yīng)變。解：（不計(jì)摩擦）Fxyz例7-8.立方塊受力、變形均勻，看作單元體方塊碰到槽壁的條件相應(yīng)鋼板厚δ＝6mm，兩個(gè)垂直方向受拉，正應(yīng)力為

x=150MPa，

y=55MPa，E=210GPa，

=0.25，。試求板厚變化

。解：，厚度方向正應(yīng)變思考：P241-7-4，5，6，7，8習(xí)題7-13練習(xí)：P246-習(xí)題7-15(a)，16(a)，18，21，22厚度改變例7-9.板中各處應(yīng)力狀態(tài)相同，變形均勻三個(gè)彈性常數(shù)的關(guān)系單元體的體積變化：體應(yīng)變用應(yīng)力表示

1

3

2a2a1a3思考：拉壓桿與扭轉(zhuǎn)軸的體積變化分離應(yīng)力成產(chǎn)生體積改變與形狀改變兩部分4.應(yīng)變能密度在線彈性、小變形假設(shè)下，應(yīng)變能與外力作用順序無(wú)關(guān)——按同一比例加載單元體應(yīng)變能應(yīng)變能密度

x

y

z

x

xy

z

y

yx

xz

yz

zx

zyx、y、z為主平面方向時(shí)將應(yīng)力分成產(chǎn)生體積改變與形狀改變兩部分體積改變能密度(

1,

2,

3)(

m,

m

,

m)+(

1-

m

,

2-

m

,

3-

m

)平均正應(yīng)力思考：通過(guò)單元體兩組截面上的應(yīng)力，分別計(jì)算純剪切應(yīng)力狀態(tài)與單向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能密度，并證明三個(gè)彈性常數(shù)的關(guān)系式形狀改變能密度5.基本強(qiáng)度理論、相當(dāng)應(yīng)力材料失效的基本形式——脆性斷裂、塑性屈服有關(guān)的因素——材料性質(zhì)、應(yīng)力狀態(tài)第一類強(qiáng)度理論：失效類型——脆斷破壞假說(shuō)——最大拉應(yīng)力達(dá)到極值注意：

1>0強(qiáng)度條件（1）第一強(qiáng)度理論——最大拉應(yīng)力理論（2）第二強(qiáng)度理論——最大拉應(yīng)變理論失效類型——脆斷破壞假說(shuō)——最大拉應(yīng)變達(dá)到極值注意：形式上更完善，但用于三向拉應(yīng)力情況不合理強(qiáng)度條件第二類強(qiáng)度理論：（3）第三強(qiáng)度理論——最大切應(yīng)力理論失效類型——屈服失效假說(shuō)——最大切應(yīng)力達(dá)到極值強(qiáng)度條件注：僅考慮了一個(gè)極值切應(yīng)力（4）第四強(qiáng)度理論——形狀改變能密度理論失效類型——屈服失效

假說(shuō)——形狀改變能密度達(dá)到極值注：考慮到三個(gè)極值切應(yīng)力，但形式較復(fù)雜強(qiáng)度條件應(yīng)力狀態(tài)分析主應(yīng)力相當(dāng)應(yīng)力統(tǒng)一形式

r相當(dāng)應(yīng)力第一類強(qiáng)度理論第一強(qiáng)度理論

r1=

1第二強(qiáng)度理論

r2=

1-v(

2+

3)第二類強(qiáng)度理論第三強(qiáng)度理論

r3=

1-

3第四強(qiáng)度理論6.基本強(qiáng)度理論的應(yīng)用影響材料失效類型的因素——材料性質(zhì)、應(yīng)力狀態(tài)（1）脆性材料、非三向壓應(yīng)力狀態(tài)下，脆斷破壞，可用第一或第二強(qiáng)度理論（2）脆性材料、三向壓應(yīng)力狀態(tài)下，屈服失效，可用第三或第四強(qiáng)度理論，

極限應(yīng)力的試驗(yàn)有所不同（3）塑性材料、非三向拉應(yīng)力狀態(tài)下，屈服失效，可用第三或第四強(qiáng)度理論（4）塑性材料、三向拉應(yīng)力狀態(tài)下，脆斷破壞，可用第一或第二強(qiáng)度理論，

極限應(yīng)力的試驗(yàn)有所不同構(gòu)件上某點(diǎn)單元體各面的應(yīng)力如圖所示，試分別按各強(qiáng)度理論計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力（

=0.25）。解：主應(yīng)力5070（MPa）例7-10.相當(dāng)應(yīng)力偏安全偏安全利用純剪切應(yīng)力狀態(tài)，分析許用切用力與許用正應(yīng)力的關(guān)系。解：（1）塑性材料第四強(qiáng)度理論正應(yīng)力比較切應(yīng)力強(qiáng)度條件得例7-11.純剪切應(yīng)力狀態(tài)，切應(yīng)力為

略小于前者，偏安全（2）脆性材料第二強(qiáng)度理論比較切應(yīng)力強(qiáng)度條件得小于前者，偏安全第一強(qiáng)度理論第三強(qiáng)度理論簡(jiǎn)支梁，AB=2.5m，AC=BD=0.42m。工字型截面尺寸h=280mm，h1=252.6mm，b=122mm，

=8.5mm。受力F=200kN，[

]=170MPa，[

]=100MPa。試按第四強(qiáng)度理論校核其強(qiáng)度。解：ACDBFF200200FS(kN)84M

(kN·m)例7-12.