7.3.2離散型隨機變量的方差回顧：1、離散型隨機變量的數(shù)學期望：2、數(shù)學期望的性質(zhì)：(1)E(X＋b)＝E(X)＋b，(2)E(aX)＝aE(X)，(3)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

1.通過具體實例，理解離散型隨機變量方差及標準差的概念與意義. 2.掌握方差的性質(zhì)，能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些簡單的實際問題.

問題1

從兩名同學中挑出一名代表班級參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學擊中目標靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表1和表2所示：應(yīng)該派哪名同學參賽？按什么標準選拔？X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.30.03知識點一：離散型隨機變量的方差和標準差E(X)=8；E(Y)=8.均值相等 評價射擊水平，除了要考慮擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度，下圖分別是X和Y的概率分布圖：乙同學的射擊成績更集中于8環(huán)，即乙同學的射擊成績更穩(wěn)定.思考：根據(jù)以前所學知識，樣本數(shù)據(jù)的離散程度是如何表示的？該如何定量刻畫隨機變量取值的離散程度？隨機變量的離散程度樣本數(shù)據(jù)的離散程度(樣本方差)所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”

可能取值與均值的“偏差平方的平均值”(隨機變量的方差)通過類比，可按如下步驟定義隨機變量的方差：(1)計算隨機變量的可能取值

xi與均值E(X)的偏差(xi-E(X))，i=1，2，3，...，n.(2)取偏差的平方：(xi-E(X))2，i=1，2，3，...，n.(3)偏差平方的加權(quán)平均

為避免正負偏差相互抵消則稱為隨機變量X的方差，有時也記為Var(X)，并稱為隨機變量X的標準差，記為.Xx1x2…xnPp1p2…pn概念生成設(shè)離散型隨機變量X的分布列如表所示: 隨機變量的方差和標準差度量了隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度.方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散.思考：通過計算方差和標準差，比較問題1中甲、乙成績的穩(wěn)定性.因為D(Y)<D(X)(等價地，)，所以隨機變量Y的取值相對更集中，即乙同學的射擊成績相對更穩(wěn)定.X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.30.03在方差計算中,利用下面的結(jié)論可以使計算簡化：解:拋擲散子所得點數(shù)X的分布列為P654321X例1

擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,求擲出的點數(shù)X的方差例2投資A、B兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表2所示：收益X/元-102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3表1表2(1)投資哪種股票的期望收益大？(2)投資哪種股票的風險較高？解：(1)股票A和股票B投資收益的期望分別為E(X)=(-1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1,E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1.因為E(X)>E(Y),所以投資股票A的期望收益較大.(2)股票A和股票B投資收益的方差分別為D(X)=(-1)2×0.1+02×0.3+22×2=1.29,D(Y)=02×0.3+12×0.4+22×0.3-12=0.6.因為E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以投資股票A比投資股票B的風險高.求離散型隨機變量X的方差的基本步驟：

歸納總結(jié)(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值；(2)求X取各個值的概率，寫出分布列；(3)根據(jù)分布列，由均值的定義求出E(X)；(4)根據(jù)方差的定義求出D(X).

A、B兩臺機床同時加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時，產(chǎn)出次品的概率如下表所示：問哪一臺機床加工質(zhì)量較好？次品數(shù)ξ10123概率P0.70.20.060.04次品數(shù)ξ20123概率P0.80.060.040.10練一練Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.

它們的期望相同，再比較它們的方差.

Dξ1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064,Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264.∴Dξ1<Dξ2

故A機床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好.解：思考：聯(lián)系以前所學知識，分析D(X+b)，D(aX)，D(aX+b)與D(X)分別有什么關(guān)系？與期望的性質(zhì)有何不同？ 離散型隨機變量X加上一個常數(shù)b，僅僅使X的值產(chǎn)生一個平移，不改變X與其均值的離散程度，方差保持不變，即

D(X+b)=D(X)因此，D(aX+b)=a2D(X)知識點二：離散型隨機變量的方差的性質(zhì)由

，可得

D(aX)=a2D(X)證明：練一練已知隨機變量的分布列為