2.2排列數(shù)公式[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)排列數(shù)公式Anm＝______________________＝__________(m≤n狀元隨筆(1)排列的定義中包含兩個(gè)基本內(nèi)容：一是取出元素，二是按一定順序排列．(2)一個(gè)排列就是完成一件事情的一種方法，不同的排列就是完成一件事情的不同方法．(3)兩個(gè)排列相同，需要滿足兩個(gè)條件：一是元素完全相同，二是元素的排列順序相同．4Anm表示一個(gè)數(shù)，且An5Ann＝n！，[基礎(chǔ)自測(cè)]1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)由于排列數(shù)的階乘式是一個(gè)分式，所以其化簡(jiǎn)的結(jié)果不一定是整數(shù)．()(2)若Anm＝10×9×8×7×6，則n＝10，m＝6.((3)n?。?×2×3×…×(n－1)×n.()(4)某班從8名運(yùn)動(dòng)員中選取4名參加4×100米接力賽，有A84種不同的參賽方案．(2．90×91×92×…×100可以表示為()A.A10010B.A3．若A2n3＝10An3，則nA．6B．7C．8D．94．3名男生和3名女生排成一排，男生不相鄰的排法有______種．題型一排列數(shù)的計(jì)算例1(1)已知An+12-An2＝A．4B．5C．6D．7(2)計(jì)算：A95+方法歸納排列數(shù)的計(jì)算方法(1)排列數(shù)的計(jì)算主要是利用排列數(shù)的乘積公式進(jìn)行，應(yīng)用時(shí)注意：連續(xù)正整數(shù)的積可以寫成某個(gè)排列數(shù)，其中最大的是排列元素的總個(gè)數(shù)，而正整數(shù)(因式)的個(gè)數(shù)是選取元素的個(gè)數(shù)，這是排列數(shù)公式的逆用．(2)應(yīng)用排列數(shù)公式的階乘形式時(shí)，一般寫出它們的式子后，再提取公因式，然后計(jì)算，這樣往往會(huì)減少運(yùn)算量．跟蹤訓(xùn)練11A76-A．12B．24C．30D．362A66題型二排列的應(yīng)用角度1特殊元素或特殊位置問題例2六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？(1)甲不站右端，也不站左端；(2)甲、乙站在兩端；(3)甲不站左端，乙不站右端．狀元隨筆對(duì)于“人站隊(duì)”問題，由于有順序，所以是排列問題，又由于安排甲、乙時(shí)有限制，所以這又是有限制條件的排列問題，應(yīng)先考慮特殊元素甲、乙或特殊位置左、右兩端，再考慮其他的情況．方法歸納特殊元素或特殊位置問題一般從以下三種思路考慮：(1)以元素為主考慮，即先安排特殊元素，再安排其他元素；(2)以位置為主考慮，即先安排特殊位置，再安排其他位置；(3)用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．以上三種思路可以簡(jiǎn)化如圖．當(dāng)限制條件有兩個(gè)或兩個(gè)以上時(shí)，若互不影響，則直接按分步解決；若相互影響，則先分類，然后在每一類中再分步解決．跟蹤訓(xùn)練2從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4×100m接力賽，甲不能跑第一棒和第四棒，問共有________種參賽方案．()A．120B．240C．300D．360角度2相鄰問題例3已知A，B，C，D，E共5名同學(xué)，按下列要求排列，分別求出滿足條件的排列方法數(shù)．(1)把這5名同學(xué)安排到5個(gè)空位上，且A，B必須相鄰；(2)把這5名同學(xué)安排到5個(gè)空位上，且A，B必須相鄰，C，D，E也必須相鄰；(3)把這5名同學(xué)安排到排成一排的6個(gè)空位中的5個(gè)空位上，且A，B必須相鄰．狀元隨筆(1)符合“捆綁法”的要求，可直接利用“捆綁法”解題；(2)由于A，B必須相鄰，C，D，E也必須相鄰，可考慮將二者各自視為整體，先對(duì)這兩個(gè)整體進(jìn)行排列，再對(duì)整體內(nèi)部進(jìn)行排列；(3)先把同學(xué)和座位“綁到一起”，進(jìn)行排列，然后把剩余的空位插到中間．“捆綁法”主要用于解決元素相鄰的問題，解題思路是先整體，后局部．由第(2)題可知，只要是相鄰元素問題，即使是受多個(gè)相鄰條件限制的排列問題，都可以采用“捆綁法”解題．方法歸納解決“相鄰”問題用“捆綁法”．將n個(gè)不同的元素排成一排，其中k個(gè)元素排在相鄰位置上，求不同排法的種數(shù)，具體求解步驟如下：(1)先將這k個(gè)元素“捆綁”在一起，看成一個(gè)整體；(2)把這個(gè)整體當(dāng)作一個(gè)元素與其他元素一起排列，其排列方法有An(3)“松綁”，即將“捆綁”在一起的元素內(nèi)部進(jìn)行排列，其排列方法有Ak(4)根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，符合條件的排法有An跟蹤訓(xùn)練3某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有()A．504種B．960種C．1008種D．1108種角度3不相鄰問題例4已知A，B，C，D，E五名同學(xué)，按下列要求進(jìn)行排列，求所有滿足條件的排列方法數(shù)．(1)把5名同學(xué)排成一排且A，B不相鄰；(2)把5名同學(xué)排成一排且A，B都不與C相鄰；(3)把5名同學(xué)安排到排成一排的6個(gè)空位中的5個(gè)空位上，且A，B不相鄰．狀元隨筆(1)由于要求A，B不相鄰，先將無限制條件的C，D，E排列好，然后將不相鄰的A，B插入已經(jīng)排好的同學(xué)之間及兩端，也可用間接法進(jìn)行計(jì)算．(2)先排不受限制的D，E，然后按要求將不相鄰的A，C插入已經(jīng)排好的同學(xué)之間或兩端，再按要求把B插入已經(jīng)排好的同學(xué)之間或兩端．(3)可以采用間接法進(jìn)行計(jì)算，即先不考慮限制條件進(jìn)行排列，然后減去不符合條件的排列方法數(shù)；也可用直接法，先排A，B，C，D，E，再對(duì)A，B相鄰和不相鄰進(jìn)行分類討論．方法歸納解決不相鄰問題用“插空法”．將n個(gè)不同的元素排成一排，其中k個(gè)元素互不相鄰(k≤n－k＋1)，求不同排法的種數(shù)，具體求解步驟如下：(1)將沒有不相鄰要求的元素共(n－k)個(gè)排成一排，其排列方法有An(2)將要求兩兩不相鄰的k個(gè)元素插入(n－k＋1)個(gè)空隙中，相當(dāng)于從(n－k＋1)個(gè)空隙中選出k個(gè)分別分配給兩兩不相鄰的k個(gè)元素，其排列方法有An(3)根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，符合條件的排法種數(shù)為An跟蹤訓(xùn)練46把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A．144B．120C．72D．24角度4定序問題例5(1)用1，2，3，4，5，6，7組成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，若1，3，5，7的順序一定，則有________個(gè)七位數(shù)符合條件．(2)將A，B，C，D，E這5個(gè)字母排成一列，要求A，B，C在排列中的順序?yàn)椤癆，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)．這樣的排列方法有________種(用數(shù)字作答)．方法歸納解決“定序”問題用“倍縮法”．有(m＋n)個(gè)元素排成一列，其中m個(gè)元素之間的先后順序確定不變，將這(m＋n)個(gè)元素排成一列，有A固定其他是我們需要的，因此共有A跟蹤訓(xùn)練5《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》(第二季)亮點(diǎn)頗多，十場(chǎng)比賽每場(chǎng)都有一首特別設(shè)計(jì)的開場(chǎng)詩(shī)詞，在聲光舞美的配合下，百人團(tuán)齊聲朗誦，別有韻味．若《將進(jìn)酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另確定的兩首詩(shī)詞排在后六場(chǎng)，且《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后，則后六場(chǎng)的排法有()A．144種B．288種C．360種D．720種易錯(cuò)辨析忽略排列的有序性致錯(cuò)例68人站成前后兩排，每排4人，其中甲、乙兩人必須在前排，丙在后排，則共有________種排法．解析：先排甲、乙，有A故不同排法共有A42·A答案：5760【易錯(cuò)警示】易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得求解本題時(shí)容易出現(xiàn)下列兩種錯(cuò)解．錯(cuò)解一：甲、乙兩人在前排，前排還少2人，從余下5人(不含丙)中選2人排在前排，有A法，故不同排法共有A52·錯(cuò)解二：甲、乙兩人在前排，有A22種排法，再?gòu)挠嘞?人(不含丙)中選2人排在前排，有A52種排法；其余4人(含丙)在后排，有A4排列問題中，若對(duì)元素的位置沒有要求，則各元素間是有順序之分的，解題時(shí)要時(shí)刻把握這一“原則”．[課堂十分鐘]1．信號(hào)兵用3種不同顏色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信號(hào)有()A．1種B．3種C．6種D．27種2．從a，b，c，d，e五人中選2人分別參加數(shù)學(xué)和物理競(jìng)賽，但a不能參加物理競(jìng)賽，則不同的選法有()A．16種B．12種C．20種D．10種3．6本不同的書擺放在書架的同一層上，要求甲、乙兩本書必須擺放在兩端，丙、丁兩本書必須相鄰，則不同的擺放方法有()A．24種B．36種C．48種D．60種4．把5件不同產(chǎn)品擺成一排．若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種．5．用1，2，3，4，5，6，7這7個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(1)這些四位數(shù)中偶數(shù)有多少個(gè)？(2)這些四位數(shù)中大于6500的有多少個(gè)？2．2排列數(shù)公式新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)n[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(1)×(2)×(3)√(4)√2．解析：由排列數(shù)公式可知原式為A100答案：B3．解析：因?yàn)锳2n3＝10An3，所以n≥3，n所以有2n·(2n－1)·(2n－2)＝10n·(n－1)·(n－2)，即2(2n－1)＝5(n－2)，解得：n＝8.故選C.答案：C4．解析：3名女生先排好，有A33種排法，讓答案：144題型探究·課堂解透例1解析：1An+12-An2＝n(n＋1)－n(n－1)＝10，化簡(jiǎn)得2n＝解析：方法一A95+A94A106方法二A95+A94A方法三A95+A94A106答案：(1)B(2)3跟蹤訓(xùn)練1解析：1A76-A65A54解析：原式＝A66-A66+A55＝5答案：(1)D(2)120例2解析：(1)方法一(位置分析法)因?yàn)榧撞徽咀笥覂啥?，故先從甲以外?個(gè)人中任選兩人站在左右兩端，有A有A44方法二(元素分析法)因?yàn)榧撞荒苷咀笥覂啥?，故先讓甲排在除左右兩端之外的任一位置上，有A數(shù)原理知，共有A41方法三(間接法)在排列時(shí)，我們對(duì)6個(gè)人不考慮甲站的位置全排列，有A有A66(2)方法一(元素分析法)首先考慮特殊元素，讓甲、乙先站兩端，有A22種站法；再讓其他方法二(位置分析法)首先考慮兩端兩個(gè)位置，由甲、乙去站，有A22種站法；再考(3)方法一(間接法)甲在左端的站法有A55種，乙在右端的站法有方法二(直接法)從元素甲的位置進(jìn)行考慮，可分兩類：第1類，甲站右端有A55種站法；第跟蹤訓(xùn)練2解析：方法一從人(元素)的角度考慮，優(yōu)先考慮甲，分以下兩類：第1類，甲不參賽，有A第由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的參賽方案共有A54+2A方法二從位置角度考慮，優(yōu)先考慮第一棒和第四棒，則這兩棒可以從除甲外的5人中選2人，有A由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒參賽方案共有A52A方法三(間接法)不考慮甲的約束條件，有A64種安排方法，甲跑第一棒或第四棒有2A53答案：B例3解析：(1)第一步，把A，B這2名同學(xué)看作一個(gè)整體，和C，D，E共四個(gè)元素進(jìn)行排列，其排列方法有A第三步，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，符合題意的排列方法有A44·(2)第一步，把A，B這2名同學(xué)看作一個(gè)整體，把C，D，E這3名同學(xué)看成一個(gè)整體，故這兩個(gè)整體排成一列的方法有A對(duì)第三步，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，符合題意的排列方法有A22·A(3)第一步，先看成A，B，C，D，E這5名同學(xué)帶著座位排列，而且滿足A，B相鄰的要求，由(1)可知，其排列方法有48種；第二步，把剩下的1個(gè)空位往已經(jīng)坐好的5名同學(xué)中間(包括兩端)插空，且不能插在A，B之間，其排列方法有A51種；第三步，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，符合題意的排列方法有48·A5跟蹤訓(xùn)練3解析：依題意，滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天的方案共有A22A66＝1440(種)，其中滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在10月1日值班的方案共有A22A55＝240(種)；滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丁排在10月7日值班的方案共有A22A55＝240(種)因此，滿足題意的方案共有1440－2×240＋48＝1008(種)．故選C.答案：C例4解析：(1)方法一第一步，先排不受限制的同學(xué)C，D，E，其排列方法有A33種．第二步，由于已經(jīng)排好的C，D，E間(包括兩端)形成了4個(gè)空，把有限制條件(不相鄰)的同學(xué)A，B插到這4個(gè)空中，其排列方法有A42種．由分方法二先不考慮A，B不相鄰這個(gè)限制條件，把5名同學(xué)全排列有A55種排列方法，其中A，(2)第一步，先排不受限制的同學(xué)D，E，其排列方法有A22種．第二步，由于已經(jīng)排好的D，E之間(包括兩端)形成了3個(gè)空，把有限制條件(不相鄰)的同學(xué)A，C插到這3個(gè)空中，共有排列方法A32種．第三步，由于已經(jīng)排好的A，C，D，E之間(包括兩端)形成了5個(gè)空，但由于B不能與C相鄰，所以把B插入已經(jīng)排好的A，C，D，E中時(shí)只有3種選擇，其排列方法有A3(3)方法一(間接法)先不考慮A，B不相鄰這個(gè)限制條件，把5名同學(xué)安排到6個(gè)空位中的5個(gè)空位上，其排列方法有AB相鄰的排列方法有A22A方法二(直接法)先排A，B，C，D，E，再將剩余的空位插到中間．①當(dāng)A，B不相鄰時(shí)，由(1)知，其排列方法有72種，然后把剩余的空位插入到已經(jīng)排好的排列中，有6種插入的方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，其排列方法有6×72＝432(種)；②當(dāng)A，B相鄰時(shí)，其排列方法有A插入方法只有1種，故其排列方法有A44·A22×1＝跟蹤訓(xùn)練4解析：先把三把椅子隔開擺好，它們之間和兩端共有4個(gè)位置，再把三人帶椅子插在這四個(gè)位置中，共有A43＝24答案：D例5解析：(1)若1，3，