2024屆高三下學期開學摸底考（新高考七省地區(qū)專用）02數(shù)學一、單項選擇題1．過點且與直線垂直的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】直線的斜率為，故所求直線的斜率為，所以，過點且與直線垂直的直線方程是，即.故選：C.2．一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為，若該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是眾數(shù)的倍，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】由題意該組數(shù)據(jù)共7個數(shù)，,故第60百分位數(shù)為從小到大第5個數(shù)，又眾數(shù)為4，故，故該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故選：B3．設是等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由等差數(shù)列片段和性質(zhì)知：是等差數(shù)列.由，可設，則，于是依次為，所以，所以.故選：B.4．如圖，圓錐形容器的高為3厘米，圓錐內(nèi)水面的高為1厘米，若將圓錐容器倒置，水面高為，下列選項描述正確的是（

）A．的值等于1 B．C．的值等于2 D．【答案】D【解析】設圓錐形容器的底面積為S，未倒置前液面的面積為，則，所以，則水的體積為；設倒置后液面面積為，則，則水的體積為，解得.故選：D.5．在平面直角坐標系中，已知圓，若圓上存在點，使得，則正數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設，則由，得到，整理得到，又點在圓上，所以與圓有交點，又的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以，解得，故選：D.6．《紅海行動》是一部現(xiàn)代海軍題材影片，該片講述了中國海軍“蛟龍突擊隊”奉命執(zhí)行撤僑任務的故事．撤僑過程中，海軍艦長要求隊員們依次完成六項任務，并對任務的順序提出了如下要求：重點任務必須排在前三位，且任務、必須排在一起，則這六項任務的不同安排方案共有A．240種 B．188種 C．156種 D．120種【答案】D【解析】當E,F排在前三位時，=24,當E,F排后三位時，=72，當E,F排3，4位時，=24，N=120種，選D.7．已知函數(shù)在上存在最值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，因為，則，因為函數(shù)在上存在最值，則，解得，當時，，因為函數(shù)在上單調(diào)，則，所以其中，解得，所以，解得，又因為，則．當時，；當時，；當時，．又因為2，因此的取值范圍是．故選：C．8．設橢圓的左、右焦點分別為、，是橢圓上一點，，，則橢圓離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設，，由橢圓的定義可得，，可設，可得，即有，①由，可得，即為，②由，可得，令，可得，即有，由，可得，即，則時，取得最小值；或4時，取得最大值.即有，得.故選：C.二、多項選擇題9．設z，，是復數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BC【解析】若，設，所以，則不一定為，故A錯誤；若，設，所以，則不一定為，故B正確；若，設，，則，，故C正確；若，設，，，，所以，即，不一定為，故D錯誤；故選：BC.10．已知，則（

）A．，使得B．若，則C．若，則D．若，，則的最大值為【答案】BD【解析】對于A中，若，可得因為，可得，解得，又因為時，，所以方程無解，所以A錯誤；對于B中，因為，可得，所以，又因為，所以，則，所以B正確；對于C中，由，則，所以C錯誤；對于D中，因為，可得，且，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最大值為，所以D正確.故選：BD.11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)值域為B．函數(shù)是增函數(shù)C．不等式的解集為D．【答案】ACD【解析】對于A，令，又因為在上遞增，所以，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，的值域為R，故A正確；對于B，因為在上遞增，在上遞減，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，為減函數(shù)，故B錯誤；對于C，因為的定義域為，且,，所以為奇函數(shù)，且在上為減函數(shù)，不等式等價于即，等價于，解得，故C正確；對于D，因為且，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題12．已知集合，，則.【答案】【解析】由題意，，又又由于，又，故故答案為：13．已知向量的夾角為，，則，．【答案】2【解析】由向量的夾角為，且，得，所以．因為，，所以．故答案為：2，.14．若存在正實數(shù)滿足，則的最大值為．【答案】【解析】存在正實數(shù)滿足，不等式兩邊同除以得，令，則，即，令，則，令，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，故在處取得極大值，也是最大值，故，即，綜上，，解得，故，，故，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，故當時，取得極大值，也是最大值，最大值為.故答案為：.四、解答題15．設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.(1)求；(2)證明：.(1)解：函數(shù)的定義域為.將代入，解得，即，由切線方程，則切線斜率.故，解得.(2)證明：由(1)知，從而等價于.設函數(shù)，則.所以當時，，當時，.故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而在上的最小值為.設函數(shù)，從而在上的最大值為.故，即.16．如圖，平面平面，四邊形為矩形，為正三角形，，為的中點.

(1)證明：平面平面；(2)已知四棱錐的體積為，求點到平面的距離.(1)證明：一方面：因為為正三角形且為的中點，所以（三線合一），又因為平面平面且平面平面，并注意到平面，所以由面面垂直的性質(zhì)可知平面，又因為平面，所以由線面垂直的性質(zhì)可知；另一方面：由題意不妨設，則，因為為正三角形且為的中點，所以，，所以，且，注意到與均為銳角，所以，不妨設，

因為，所以，即.綜合以上兩方面有且，注意到，平面，平面，所有由線面垂直的判定有平面，又因為平面，所以平面平面.(2)解：由(1)可知平面，則點到平面的距離即為的長度，一方面梯形的面積為，，所以有四棱錐的體積為，另一方面由題可知四棱錐的體積為，結(jié)合以上兩方面有，解得，因為，所以，由（1）可知，所以，所以，所以.17．已知甲、乙兩支登山隊均有n名隊員，現(xiàn)有新增的4名登山愛好者將依次通過摸出小球的顏色來決定其加入哪支登山隊，規(guī)則如下：在一個不透明的箱中放有紅球和黑球各2個，小球除顏色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山愛好者從箱中不放回地摸出1個小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1個放入箱中；接著由下一名新增登山愛好者摸出1個小球后，再放入完全相同的紅球和黑球各1個，如此重復，直至所有新增登山愛好者均摸球和放球完畢．新增登山愛好者若摸出紅球，則被分至甲隊，否則被分至乙隊．(1)求三人均被分至同一隊的概率；(2)記甲，乙兩隊的最終人數(shù)分別為，，設隨機變量，求．解：(1)三人均被分至同一隊，即三人同分至甲隊或乙隊，記事件“被分至甲隊”，事件“被分至甲隊”，事件“被分至甲隊”，當即將摸球時，箱中有2個紅球和2個黑球，則被分至甲隊即摸出紅球的概率為；當被分至甲隊時，箱中有2個紅球和3個黑球，則被分至甲隊即摸出紅球的概率為；當均被分至甲隊時，箱中有2個紅球和4個黑球，則被分至甲隊即摸出紅球的概率為；所以，則，同理知：新增登山愛好者均被分至乙隊的概率也為，所以三人均被分至同一隊的概率為.(2)解：由題設，可能取值為，為新增的4名登山愛好者被分至同一隊，則，為新增的4名登山愛好者中有3名均被分至同一隊，其余1名被分至另一隊，設新增的第名登山愛好者被單獨分至甲隊或乙隊，則，，，，所以，為新增的4名登山愛好者中各有2名被分至甲隊和乙隊，則，所以.18．在平面直角坐標系中，已知雙曲線的浙近線方程為分別是雙曲線的左?右頂點.(1)求的標準方程；(2)設是直線上的動點，直線分別與雙曲線交于不同于的點，過點作直線的垂線，垂足為，求當最大時點的縱坐標.解：(1)雙曲線的漸近線方程為，即，依題意，，所以的標準方程為.(2)由(1)知，，設，顯然直線不垂直于軸，否則由雙曲線的對稱性，點在軸上，不符合題意；設直線，由消去得，有，則，于是，由三點共線得直線的斜率滿足，同理，由三點共線得，消去，得，即，整理得，即，則，因此或，若，又，得，結(jié)合，從而，即，不成立，即，因此，滿足，則直線恒過點，點在以為直徑的圓上，當與重合時，最大，此時軸，，所以當最大時，點的縱坐標為.19．已知無窮數(shù)列滿足，其中表示x，y中最大的數(shù)，表示x，y中最小的數(shù).(1)當，時，寫出的所有可能值；(2)若數(shù)列中的項存在最大值，證明：0為數(shù)列中的項；(3)若，是否存在正實數(shù)M，使得對任意的正整數(shù)n，都有？如果存在，寫出一個滿足條件的M；如果不存在，說明理由.(1)解：由，，若，則，即，此時，當，則，即；當，則，即；若，則，即，此