第十一章隨機(jī)變量與數(shù)字特征一、隨機(jī)變量二、離散型隨機(jī)變量及其概率分布三、連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布四、數(shù)字特征經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征一、隨機(jī)變量的概念 在隨機(jī)試驗(yàn)中，由于隨機(jī)因素的作用，試驗(yàn)的結(jié)果有多個（甚至是無窮多個）。如果對于試驗(yàn)的每一個可能結(jié)果（也就是一個樣本點(diǎn)），都讓其對應(yīng)著一個實(shí)數(shù)X，這樣X是一個隨著試驗(yàn)結(jié)果不同而變化的變量，稱它為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量一般用希臘字母、、···或大寫拉丁字母X、Y、Z···等表示。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征例1從0，1，2，······，9十個數(shù)字中任取一個。用X

表示取得的數(shù)字,X所有可能取的值為：0，1，2，3，······，9X

就是一個隨機(jī)變量。X的所有可能取值為：0,1,2,···,k,···X是一個隨機(jī)變量。例2一個局域網(wǎng)中在一小時內(nèi)上網(wǎng)的人數(shù)X。例3用X表示電腦的使用壽命其可能的取值為[0,+

)X是一個隨機(jī)變量，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征二、離散型隨機(jī)變量 如果一個隨機(jī)變量的所有可能的取值只有有限個或雖有無窮多個可能的值，但這些值可以無遺漏地一個接一個地排列出來（即可列的），則稱隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量.如例1、例2中的隨機(jī)變量X都是離散型隨機(jī)變量。例3中的隨機(jī)變量X就不是離散型隨機(jī)變量。1、離散型隨機(jī)變量及其分布律經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征對離散型隨機(jī)變量，首先列出它的所有可能取的值xi，其次要分別求出以怎樣的概率取其中的每一個數(shù)。稱為X的概率分布簡稱分布律，一般用下表表示Xx1x2····

xn····

p

p1p2····

pn····

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征滿足如下兩個性質(zhì)：Xx1x2····

xn····

p

p1p2····

pn····

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征例1設(shè)已知離散型隨機(jī)變量

的概率分布為：求其中的常數(shù)a.解：解得a=0.6,a=-0.9-10123

p（舍去）經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征例2重復(fù)獨(dú)立地拋擲一顆骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)4向上為止，求拋擲次數(shù)X的分布律。解：···Xp123…k……經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征例3拋擲一枚勻稱的骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為X。（1）.求X的分布律；（2）.求“點(diǎn)數(shù)不小于3”的概率；（3）求“點(diǎn)數(shù)不超過3”的概率.解：（1）124356（2）Xp經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征例3拋擲一枚勻稱的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為X。（3）求“點(diǎn)數(shù)不超過3”的概率；（3）124356XpP1041；2（1）經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征2、幾種常用的離散型分布設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p用X表示在n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征（1）、二項(xiàng)分布若一個隨機(jī)變量X的概率分布律是：稱這樣的隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記為X

B(n,p)用X表示n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則

X服從二項(xiàng)分布B(n,p)，其中p是事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率。Xp經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征例4醫(yī)生對5人作某疫苗接種試驗(yàn)，已知對試驗(yàn)呈陽性的概率為p=0.45，且各人的反應(yīng)相互獨(dú)立，若以X記反應(yīng)為陽性的人數(shù)。（1）寫出X的分布律；（2）求恰有3人反應(yīng)為陽性的概率；（3）求至少有2人反應(yīng)為陽性的概率。解觀察一個人對接種疫苗的反應(yīng)看成是一次試驗(yàn)。用X表示5次這樣的試驗(yàn)中反應(yīng)為陽性的人數(shù)。則X服從二項(xiàng)分布，即XB(5,0.45)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征(1)Xp由于XB(5,0.45)（2）恰有3人反應(yīng)為陽性的概率。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征至少有2人反應(yīng)為陽性的概率例4（3）求至少有2人反應(yīng)為陽性的概率。XB(5,0.45)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征(2)、泊松分布若隨機(jī)變量X的概率分布為：稱X服從泊松分布，記為X～

P()Xp經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征例5設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)是

的泊松分布，且已知，求。解：由于X～P(

)，且則解得=2所以經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征解：由于X～P(10)，所求概率為例6設(shè)每分鐘到達(dá)某交通收費(fèi)站的汽車數(shù)X是隨機(jī)變量，且，求在一分鐘內(nèi)到達(dá)收費(fèi)站的汽車數(shù)不超過3輛的概率?！玃10514經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征三、連續(xù)型隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X，存在非負(fù)函數(shù)f(x)，有1、連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布密度則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱函數(shù)f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù)。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征密度函數(shù)f(x)的性質(zhì)：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征概率的計(jì)算概率就是面積值作為連續(xù)型隨機(jī)變量X注意如下特性：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征例1設(shè)隨機(jī)變量X有概率密度則稱X服從區(qū)間[a，b]上的均勻分布（常用分布），試求常數(shù)A。解由密度函數(shù)的性質(zhì)可得：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征例2設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求（1）.系數(shù)A；（2）.P(-2<X<3)解（1）（2）P1141;7(機(jī))經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征2、正態(tài)分布若隨機(jī)變量X的概率密度為：則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為

X~N(，

2)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征特別地，若隨機(jī)變量X的概率密度為則稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為

X~N(0，1

)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征例3設(shè)隨機(jī)變量X~N(3,42)，求：解（1）經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征例3設(shè)隨機(jī)變量X~N(3,42)，求：P11510(機(jī))經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、數(shù)學(xué)期望例設(shè)有10個學(xué)生的某考試成績分別是66，76，80，92，80，52，80，76，80，92。則他們的平均成績?yōu)椋海?）、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征 現(xiàn)在我們把每一個同學(xué)的成績分別寫在10個相同的球上，這樣就得到10個帶有數(shù)字的球。 我們做隨機(jī)試驗(yàn)：在這10個寫有數(shù)字的球中，隨機(jī)地任取一個球，用X表示所取得的球上的數(shù)字，則X是一個離散型隨機(jī)變量。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征由數(shù)據(jù)66，76，80，92，80，52，80，76，80，92觀察：Xp且X是個離散型隨機(jī)變量，其概率分布律為：5266768092平均成績?yōu)椋航?jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：定義：離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX就是X的平均值Xp經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征例1：離散型隨機(jī)變量X的概率分布是：求它的數(shù)學(xué)期望EX.解：XP經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征例2：設(shè)想有這樣一種博彩游戲，博彩者將本金1元壓注在1到6的某個數(shù)字上，然后擲三顆骰子，若所壓的數(shù)字出現(xiàn)n次（n=1，2，3），則博彩者贏n元，否則沒收1元本金，試問這樣的游戲規(guī)則對博彩者是否公平？解：設(shè)1元本金所帶來的贏利為X

元，則X的分布為：XP-1123經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征平均贏利為EXXPXP經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征（2）、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為定義：連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望EX就是X的平均值經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征例3：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度是（2）.求X落在（-1，1）內(nèi)的概率；（3）.求X的數(shù)學(xué)期望E(X)。（1）.求常數(shù)C；解：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征由概率密度函數(shù)與概率的關(guān)系可得：例3：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度是（2）.求X落在（-1，1）內(nèi)的概率；經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征由數(shù)學(xué)期望的定義可知：例3：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度是（3）.求X的數(shù)學(xué)期望E(X)。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布其數(shù)學(xué)期望P1231(第一問)7(1)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征（3）數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)1、E(C)=C性質(zhì)2、E(aX+b)=aE(X)+b經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征例4設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X0123p0.40.30.20.1求E(X)，E(3X+2).解P1231(第3問)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征2、方差（1）定義：設(shè)X是一個隨機(jī)變量，若E[X-E(X)]2

存在，則稱E[X-E(X)]2為X的方差，記為D(X)。（2）計(jì)算(只要求連續(xù)型)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—(九)隨機(jī)變量及數(shù)字特征例5設(shè)X在[a