4.2二項式系數(shù)的性質(zhì)新知初探·課前預(yù)習(xí)題型探究·課堂解透新知初探·課前預(yù)習(xí)

相等和

2n2n－1

√×××2．(1－2x)15的展開式中的各項系數(shù)和是(

)A．1

B．－1C．215

D．315解析：令x＝1得各項系數(shù)和為－1.答案：B3．若(1＋3x)n的展開式中，第3項的二項式系數(shù)為6，則第4項的系數(shù)為(

)A．4B．27C．36D．108

答案：D4．(2x－1)6展開式中各項系數(shù)的和為________；各項的二項式系數(shù)和為________．解析：令展開式左、右兩邊x＝1，得各項系數(shù)和為1；各二項式系數(shù)之和為26＝64.答案：1

64題型探究·課堂解透題型一楊輝三角例1

如下圖，它滿足：①第n行首尾兩數(shù)均為n；②表中的遞推關(guān)系類似楊輝三角，則第n行(n≥2)第二個數(shù)是多少？

方法歸納解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般方法是：觀察——分析，實驗——猜想結(jié)論——證明，要得出楊輝三角中的數(shù)字的諸多排列規(guī)律，取決于我們的觀察能力，注意觀察方法：橫看、豎看、斜看、連續(xù)看、隔行看，從多角度觀察(橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同)．跟蹤訓(xùn)練1

如圖所示，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第________行中從左至右第14與第15個數(shù)的比為2∶3.

答案：34

解析：由題意知2n＝32，得n＝5.令x＝1，可得展開式中各項系數(shù)的和為(3×12－1)5＝32.故選C.答案：C

答案：C

答案：C

答案：7

21

題型三二項展開式中系數(shù)和問題例3

已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.(1)求a1＋a2＋…＋a7；(2)求a1＋a3＋a5＋a7；(3)求|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.

狀元隨筆解決二項式系數(shù)和問題的思維過程如下：

跟蹤訓(xùn)練3

多項式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10.(1)求a0＋a1＋…＋a9＋a10的值；(2)求a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10的值；(3)求a0.解析：(1)令x＋1＝1，即x＝0，得0＝a0＋a1×1＋…＋a9×19＋a10×110，即a0＋a1＋…＋a9＋a10＝0.(2)令x＋1＝－1，即x＝－2，得(－2)3＋(－2)10＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10，即a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10＝1016.(3)令x＋1＝0，即x＝－1，得a0＝0.易錯辨析錯用二項式系數(shù)的性質(zhì)例4

(1＋2x)20的展開式中，x的奇次項系數(shù)的和與x的偶次項系數(shù)的和各是多少？

【易錯警示】易錯原因糾錯心得對于求系數(shù)和的問題，要注意用賦值法解決．奇、偶次項是針對x的指數(shù)而言，奇、偶數(shù)項是針對第幾項而言．[課堂十分鐘]1．楊輝三角如圖所示，楊輝三角中的第5行除去兩端數(shù)字1以外，均能被5整除，則具有類似性質(zhì)的行是(

)A．第6行B．第7行C．第8行D．第9行

答案：B2．在(a＋b)n的展開式中，第2項與第6項的二項式系數(shù)相等，則n＝(

)A．6B．7C．8D．9

答案：A3．若(x＋3y)n展開式的各項系數(shù)和等于(7a＋b)10展開式中的二項式系數(shù)之和，則n的值為(

)A．5

B．8C．10

D．15解析：(7a＋b)10展開式的二項式系數(shù)之和為210，令x＝1，y＝1，則由題意知，4n＝210，解得n＝5.答案：A