第一章行列式第一節(jié)二階與三階行列式第二節(jié)n

階行列式第三節(jié)行列式的性質(zhì)第四節(jié)行列式的按行（列）展開第五節(jié)克萊姆法則

一、二階行列式

二、三階行列式

三、小結(jié)第一節(jié)二階與三階行列式用消元法解二元線性方程組一、二階行列式方程組的解為由方程組的四個(gè)系數(shù)確定.

由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表定義即主對(duì)角線副對(duì)角線對(duì)角線法則二階行列式的計(jì)算若記對(duì)于二元線性方程組系數(shù)行列式則二元線性方程組的解為注意

分母都為原方程組的系數(shù)行列式.例1解二、三階行列式定義記（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.(1)沙路法三階行列式的計(jì)算

列標(biāo)行標(biāo)(2)對(duì)角線法則注意

紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)．說(shuō)明：對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式。例２解按對(duì)角線法則，有例3解方程左端

二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的.對(duì)角線法則二階與三階行列式的計(jì)算三、小結(jié)第二節(jié)

n階行列式

一、排列的逆序數(shù)及對(duì)換

二、n階行列式的定義

三、計(jì)算幾個(gè)特殊的行列式

四、n階行列式的另一種定義

五、小結(jié)一、排列的逆序數(shù)及對(duì)換定義1由1，2，…，n組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n級(jí)排列（也叫做這

n個(gè)元素的一個(gè)全排列）。如：31245就是一個(gè)5級(jí)排列。例1

寫出所有的3級(jí)排列：123132213231312321可見，第一個(gè)位置有3種選擇，第二個(gè)位置有2種選擇，第三個(gè)位置有1種選擇，所以所有的3級(jí)排列一共有容易得出，n級(jí)排列一共有n!個(gè)。而在

n級(jí)排列中，123…n這個(gè)排列具有自然順序，稱為一個(gè)自然排列或標(biāo)準(zhǔn)排列。個(gè)。顯然，所有的5級(jí)排列一共有5！=120個(gè)。定義2在一個(gè)排列中，如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小次序相反，即前面的數(shù)比后面的數(shù)大，就稱它們構(gòu)成一個(gè)逆序。一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)就稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)。如：排列2431中，21，41，31，43均為逆序，則排列的逆序數(shù)為4。定義3逆序數(shù)是奇數(shù)的排列稱為奇排列；逆序數(shù)是偶數(shù)或0的排列稱為偶排列。如：2431是偶排列；31425中有3個(gè)逆序，是奇排列。逆序數(shù)的求法為：在一個(gè)n級(jí)排列中，依次考慮每個(gè)數(shù)后面比它小的數(shù)有幾個(gè)，如第i個(gè)元素后比它小的數(shù)有ti

個(gè)，則此排列的逆序數(shù)為例2求35421的逆序數(shù)。解3之后比3小的有2個(gè)，5之后比5小的有3個(gè)，4之后比4小的有2個(gè)，2之后比2小的有1個(gè)，于是逆序數(shù)為定義4把一個(gè)排列中的某兩個(gè)元素位置對(duì)調(diào)，而其它的元素不動(dòng)，就得到了另一個(gè)排列，這種變換就稱為一個(gè)對(duì)換。如：排列35421中的5與2對(duì)換，就得到新排列32451。定理1任何一個(gè)排列經(jīng)過一次對(duì)換，排列改變奇偶性。即奇排列經(jīng)過一次對(duì)換變成偶排列，偶排列經(jīng)過一次對(duì)換變成奇排列。如：2431（逆序數(shù)為4，偶排列）2134（逆序數(shù)為1，奇排列）定理2全部n級(jí)排列中，偶排列與奇排列各占一半，都是（n

≥2）個(gè)。如果全部n

級(jí)排列中奇排列有p

個(gè)，偶排列有q

個(gè)，所有的排列都經(jīng)過一次同樣的對(duì)換（對(duì)換相同的兩個(gè)數(shù)），則奇排列變成了偶排列（即p≥

q

），偶排列變成了奇排列（即q≥

p

），所以p=q。定理3任何一個(gè)n

級(jí)排列都可以經(jīng)過k

次對(duì)換變成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)排列，且k

的奇偶性與原排列相同。（k

不唯一，但奇偶性不變）三階行列式說(shuō)明（1）三階行列式共有6項(xiàng)，即3!項(xiàng)。（2）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積。二、n

階行列式的定義（3）每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列的三個(gè)元素的下標(biāo)排列。例如列標(biāo)排列312的逆序數(shù)為列標(biāo)排列132的逆序數(shù)為偶排列奇排列定義由此，我們可以推廣到n

階行列式情形。表示對(duì)所有的n

級(jí)排列求和。說(shuō)明1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的；2、n階行列式是n!項(xiàng)的代數(shù)和；3、n

階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列n

個(gè)元素的乘積；5、一階行列式|a|=a

不要與絕對(duì)值相混淆；4、的符號(hào)為三、計(jì)算幾個(gè)特殊的行列式

例3

計(jì)算對(duì)角行列式（1）（2）解設(shè)，則其中t

是排列n(n-1)(n-2)…321的逆序數(shù)，所以于是例4

計(jì)算上（下）三角行列式同理，下三角行列式即上三角行列式四、n

階行列式的另一種定義定理

n階行列式也可以定義為其中t

為行標(biāo)排列p1

p2…pn

的逆序數(shù)，表示對(duì)所有的n

級(jí)排列求和。1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的。2、n

階行列式共有n!項(xiàng)，每項(xiàng)都是位于不同行、不同列的n

個(gè)元素的乘積，正負(fù)號(hào)由下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定。五、小結(jié)第三節(jié)

行列式的性質(zhì)

一、性質(zhì)

二、應(yīng)用舉例

三、小結(jié)行列式DT

稱為行列式D

的轉(zhuǎn)置行列式。

記利用行列式的定義來(lái)計(jì)算行列式是非常復(fù)雜的，所以我們要討論行列式的性質(zhì)。行列式D的轉(zhuǎn)置行列式也可以記為D′。一、性質(zhì)說(shuō)明行列式中行與列具有同等的地位，因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立，反之亦然。性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。如：性質(zhì)2互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零。如：將行列式D

中相同的兩行互換，其形式不變，但應(yīng)變號(hào)，于是有D=-

D

，即D=0。

性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)

k，等于用數(shù)

k乘此行列式。推論行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面。性質(zhì)４行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零。如：性質(zhì)5若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和則它等于下面兩個(gè)行列式之和性質(zhì)６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變。例如例1二、應(yīng)用舉例計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算ri+krj

把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值。解例2計(jì)算例3計(jì)算例4計(jì)算解從第四行開始，后行減前行（這里用到把幾個(gè)運(yùn)算寫在一起的省略寫法，注意各個(gè)運(yùn)算次序不能顛倒，這是因?yàn)楹笠淮芜\(yùn)算是作用在前一次運(yùn)算的結(jié)果上的緣故）－－－－－三、小結(jié)在計(jì)算行列式時(shí)，可以利用行列式的性質(zhì)簡(jiǎn)化行列式（常常是化為上三角或者下三角行列式），再計(jì)算結(jié)果。簡(jiǎn)化過程就是利用性質(zhì)對(duì)行列式的行與列進(jìn)行變換。1、行列式的各性質(zhì)與推論；2、利用性質(zhì)計(jì)算行列式：行列式中行與列具有同等的地位，行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立。第四節(jié)

行列式的按行（列）展開

一、余子式與代數(shù)余子式二、按行（列）展開法則三、小結(jié)例如一、余子式與代數(shù)余子式定義在n

階行列式中，把元素aij

所在的第i

行和第j

列劃去后，留下來(lái)的n－1階行列式叫做元素aij

的余子式，記作Mij

。叫做元素aij

的代數(shù)余子式。例如引理一個(gè)n

階行列式，如果其中第i

行所有元素除aij

外都為零，那末這行列式等于aij

與它的代數(shù)余子式的乘積，即D=aij

Aij

。例如二、行列式按行（列）展開法則定理1n階行列式等于它的任意一行的元素與自己的代數(shù)余子式的乘積之和，即同樣，也等于它的任意一列的元素與自己的代數(shù)余子式的乘積之和，即僅看右邊的n

個(gè)乘積中，對(duì)于任何一項(xiàng)aik

Aik

來(lái)說(shuō)，Aik

的展開式是行列式D

中除去第i行第k

列的所有的不同行不同列的元素乘積的代數(shù)和，共有(n－1)!項(xiàng)，所以aik

Aik

就是行列式D

的展開式中含有aik

的(n－1)!項(xiàng)。當(dāng)k

從1取到n

時(shí)，正好是行列式D

的展開式中的n!項(xiàng)。利用行列式的展開定理，可以把行列式進(jìn)行降階計(jì)算，一般可以選擇含零較多的行或列，再利用行列式的性質(zhì)把選定的行或列化成只含一個(gè)非零元素，這樣展開后就可以直接把高一階的行列式變成了一個(gè)低一階的行列式來(lái)計(jì)算。例1

計(jì)算行列式

×(-a)例2

計(jì)算行列式例3

計(jì)算行列式例4

計(jì)算行列式解從第四行開始，后行減前行的2倍。這里用到把幾個(gè)運(yùn)算寫在一起的省略寫法，注意各個(gè)運(yùn)算次序不能顛倒，這是因?yàn)楹笠淮芜\(yùn)算是作用在前一次運(yùn)算的結(jié)果上的緣故?！粒ǎ?）×（－2）×（－2）

×（－4）×（－4）這是一個(gè)4階范德蒙行列式。而對(duì)于一般的n

階范德蒙行列式，有下面結(jié)果：證明時(shí)可采用數(shù)學(xué)歸納法。定理2n階行列式中任一行（列）中的元素與另外一行（列）相應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和為零，即當(dāng)i≠j

時(shí)，綜合定理1、2，就得到了有關(guān)代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：

1.行列式按行（列）展開法則是把高階行列式的計(jì)算化為低階行列式計(jì)算的重要工具。三、小結(jié)第五節(jié)

克萊姆法則

一、克萊姆法則

二、重要定理

三、小結(jié)設(shè)線性方程組則稱此方程組為非

齊次線性方程組;此時(shí)稱方程組為齊次線性方程組。非齊次與齊次線性方程組的概念一、克萊姆法則如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的階行列式，即那么線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以表為證明在把個(gè)方程依次相加，得由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知,于是當(dāng)時(shí),方程組有唯一的一個(gè)解由于方程組與方程組等價(jià),故也是方程組的解.如：三元線性方程組的系數(shù)行列式記或記即得得則三元線性方程組的解為:二、重要定理定理1

如果非齊次線性方程組的系數(shù)行列式D≠0，則方程組一定有解，且解是唯一的。定理2如果非齊次線性方程組無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零。齊次線性方程組的相關(guān)定理：定理3如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式D≠0則齊次線性方程組沒有非零解。定理4如果齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式必為零。有非零解。系數(shù)行列式例1

用克萊