專題43二次函數(shù)中的相似三角形問題【題型演練】一、解答題1．（2022·山東濟南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，直線與x軸交于點，與y軸交于點B，拋物線經(jīng)過點A，B．(1)求點B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；(2)M為線段上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線及拋物線分別交于點P，N．若以B，P，N為頂點的三角形與相似，求點M的坐標(biāo)；(3)將拋物線在之間的部分記為圖象L，將圖象L在直線上方部分沿直線翻折，其余部分保持不動，得到一個新的函數(shù)圖象，記這個函數(shù)的最大值為a，最小值為b，若，請直接寫出t的取值范圍．【答案】(1)；(2)或(3)【詳解】（1）解：將代入得，解得，∴直線的解析式為，將代入得，∴點B坐標(biāo)為．

將代入得：，解得，∴拋物線的解析式為．（2）解：∵，∴當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，如圖，當(dāng)時，，∴點B，N關(guān)于拋物線對稱軸對稱，∵，∴拋物線對稱軸為直線，∵點B坐標(biāo)為，∴點N坐標(biāo)為，∴點M坐標(biāo)為；如圖，當(dāng)時，，作軸于點C，

設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，即，解得或0（舍去），∴點M坐標(biāo)為；綜上所述，點M坐標(biāo)為或；（3）解：∵，∴拋物線頂點坐標(biāo)為，∴翻折后頂點坐標(biāo)為，當(dāng)點A為最低點時，，解得，令，解得，∴．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握相似三角形的性質(zhì)，通過分類討論求解．2．（2022·河南鄭州·統(tǒng)考一模）已知，二次函數(shù)的圖象與軸交于A，兩點（點A在點

的左邊），與軸交于點，點A的坐標(biāo)為，且．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時，求二次函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？(3)設(shè)點與點關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱．在軸上是否存在點，使與相似，且與是對應(yīng)邊？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)函數(shù)的最大值為5，最小值為(3)存在，或【分析】（1）先求出點C的坐標(biāo)，得到點B的坐標(biāo)，再將點A、B的坐標(biāo)代入解析式計算即可；（2）將函數(shù)解析式化為頂點式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答即可；（3）存在點，設(shè)，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列得，代入數(shù)值求出m即可．【詳解】（1）二次函數(shù)的圖象與軸交于點，．，點在點的左邊，．又點A的坐標(biāo)為，由題意可得：，解得：．二次函數(shù)的解析式為．（2），二次函數(shù)頂點坐標(biāo)為，當(dāng)時，，

當(dāng)時，隨著的增大而減小，當(dāng)時，，當(dāng)時，隨著的增大而增大，當(dāng)時，．當(dāng)時，函數(shù)的最大值為5，最小值為．（3）存在點，如圖，設(shè)，，且與是相似三角形的對應(yīng)邊，，即：，解得：或，或．【點睛】此題考查了二次函數(shù)與圖形問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的對稱性，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，正確掌握二次函數(shù)的綜合知識是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東德州·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線經(jīng)過，，三點．(1)求出拋物線的解析式；

(2)P是拋物線在第一象限上的一動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)若拋物線上有一點D（點D位于直線AC的上方且不與點B重合）使得，直接寫出點D坐標(biāo)．【答案】(1)(2)存在，（2，1）(3)點的坐標(biāo)為（3，1）【分析】（1）把A、B、C坐標(biāo)代入解析式即可確定出解析式；（2）存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與△OAC相似，首先根據(jù)點P的位置求得點m的取值范圍，然后由相似三角形的兩種情況進行分類討論；（3）過D作y軸的平行線交AC于E．利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為．再利用三角形面積公式列式求解即可．【詳解】（1）解：∵該拋物線過點A（4，0），B（1，0），C（0，-2），∴將A（4，0），B（1，0），C（0，-2）代入解析式，得，解得，∴此拋物線的解析式為；（2）解：存在．如圖，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，

∵是拋物線段上一動點，∴，則點的縱坐標(biāo)為，當(dāng)時，，．又∵，∴①當(dāng)時，，即．解得，（舍去），∴P（2，1）；②當(dāng)時，，即．解得，（均不合題意，舍去）∴當(dāng)時，P（2，1）．綜上所述，符合條件的點P的坐標(biāo)為（2，1）；（3）解：如圖，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則點的縱坐標(biāo)為．

過D作y軸的平行線交AC于E．設(shè)直線AC解析式為，將A與C坐標(biāo)代入得：，解得：，∴直線的解析式為．∴點的坐標(biāo)為．∴，∴，∴又∵∴解得，，當(dāng)時，點與點重合，不符合題意，當(dāng)t=3時，y=1，∴點的坐標(biāo)為（3，1）．【點睛】此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．4．（2022·山東聊城·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線y=x2+bx+c的頂點D坐標(biāo)為（1，4），且與軸相交于A，B兩點點A在點B的左側(cè)，與y軸相交于點C，點E在x軸上方且在對稱軸左側(cè)的拋物線上運動，點F在拋物線上并且和點E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，作矩形EFGH，其中點G，H都在x軸上．

(1)求拋物線解析式；(2)設(shè)點F橫坐標(biāo)為m，①用含有m的代數(shù)式表示點E的橫坐標(biāo)為________（直接填空）；②當(dāng)矩形EFGH為正方形時，求點G的坐標(biāo)；③連接AD，當(dāng)EG與AD垂直時，求點G的坐標(biāo)；(3)過頂點D作DM⊥x軸于點M，過點F作FP⊥AD于點P，直接寫出△DFP與△DAM相似時，點F的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①；②點坐標(biāo)為；③點坐標(biāo)為（，0）(3)點坐標(biāo)為（，）【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)頂點式即可拋物線解析式；（2）①根據(jù)點F在拋物線上，設(shè)F（m，）（），則E（，），②由矩形為正方形，可得，列方程即可求解；③連接AD，當(dāng)EG與AD垂直時，證明Rt△GEH∽Rt△DAM，得出，列方程即可求解；（3）設(shè)AD交于，根據(jù)題意可得△DFQ為等腰三角形，則，求得直線的解析式為，繼而求得（，），根據(jù)，列方程即可求解．(1)解：由題意得：拋物線解析式為，即(2)

①設(shè)F（m，）（），則E（，），故答案為：；②矩形為正方形，，即，整理得（舍去），點坐標(biāo)為；③且軸，，∴Rt△GEH∽Rt△DAM，

即，，即，整理得，解得（舍去），點坐標(biāo)為（，0）；(3)F點坐標(biāo)為（，）．設(shè)AD交于，如圖，，．

∵△DFP與相似，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，而，∴△DFQ為等腰三角形，．設(shè)直線的解析式為，把，代入得，解得，直線的解析式為，當(dāng)時，，解得，則（，），，而，，而，，整理得，解得（舍去），點坐標(biāo)為（，）．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練運用已學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．5．（2022·遼寧丹東·校考一模）已知拋物線經(jīng)過點，，與x軸交于另一點C，連接．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，P是第一象限內(nèi)拋物線上一點，且，求直線的表達式；(3)在拋物線上是否存在點D，直線交x軸于點E，使與以A，B，C，E中的三點為頂點的三角形相似（不重合）？若存在，請直接寫出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；（2）令求拋物線與x軸的交點C的坐標(biāo)，作和的高線，根據(jù)面積相等可得，證明，則，根據(jù)三角函數(shù)列式可得P的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式；（3）先利用概率的知識分析A，B，C，E中的三點為頂點的三角形，有兩個三角形與有可能相似，即和，①當(dāng)與以A，B，C中的三點為頂點的三角形相似，如圖2，根據(jù)存在公共角，可得，列比例式可得E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求直線BE的解析式，與拋物線列方程組可得交點D的坐標(biāo)；②當(dāng)與以B，C、E中的三點為頂點的三角形相似，如圖3，同理可得結(jié)論．【詳解】（1）解：把點代入，得，解得：，∴拋物線的解析式為：；

（2）解：當(dāng)時，，解得：或4，∴，如圖1，過O作于E，過C作于F，設(shè)交x軸于G，∵，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，過P作軸于M，，∴，∴，∴，∴（舍），，∴，∴，設(shè)直線AP的解析式為，

∴，∴∴；（3）解：以A，B，C，E中的三點為頂點的三角形有共4個，其中重合，不符合條件，不能構(gòu)成三角形，∴當(dāng)與以A，B，C，E中的三點為頂點的三角形相似，存在兩個三角形：和，①當(dāng)與以A，B，C中的三點為頂點的三角形相似，如圖2，∵，∴，∴，∴，∴，∴∴，∵，∴由待定系數(shù)法可求的解析式為：，則，（舍），，

∴；②當(dāng)與以B，C、E中的三點為頂點的三角形相似，如圖3，此時E在C的左邊，∵，∴當(dāng)時，，∴，設(shè)，中，由勾股定理得：，∴，，，∴或，∵，或是鈍角，此時與以B，C、E中的三點為頂點的三角形不相似，如圖4，

∴；由待定系數(shù)法可求的解析式為：，，或0（舍）∴；同理可得E在C的右邊時，，∴，設(shè)，中，由勾股定理得：，∴，，，∴（舍）或，∵，∠BEC是鈍角，此時△ABE與以B，C、E中的三點為頂點的三角形不相似，綜上，點D的坐標(biāo)為或．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定，一元二次方程的解法，三角形面積以及勾股定理，分類討論是解（3）的關(guān)鍵．

6．（2022·山東濟南·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，已知A，B兩點坐標(biāo)分別是，，連接．(1)求拋物線的表達式；(2)將沿所在直線折疊，得到，點A的對應(yīng)點D是否落在拋物線的對稱軸上？若點D在對稱軸上，請求出點D的坐標(biāo)；若點D不在對稱軸上，請說明理由；(3)若點P是拋物線位于第二象限圖象上的一動點，連接交于點Q，連接BP，的面積記為，的面積記為，求的值最大時點P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)點不在拋物線的對稱軸上，理由見解析(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求得函數(shù)的表達式；（2）拋物線的表達式為，可證明，繼而可證，則將沿所在直線折疊，點D一定落在直線上，延長至D，使，過點D作軸交y軸于點E，可證，可得點D橫坐標(biāo)．則可判斷D點是否在拋物線對稱軸上；（3）先求出過點、的直線解析式，分別過A、P作x軸的垂線，利用解析式，用同一個字母m表示出P，N的坐標(biāo)，再證明，進而用m表示出的值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可以確定出的最大值，進而可確定出此時的P點坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵拋物線過點，，∴，

解得：，∴拋物線的表達式為．（2）解：點不在拋物線的對稱軸上，理由是：∵拋物線的表達式為，∴點坐標(biāo)為．∵，，∴．又∵，∴，∴，∴，∴．∴將沿所在直線折疊，點一定落在直線上，延長至，使，過點作軸交軸于點．又∵，∴，∴，則點橫坐標(biāo)為，∵拋物線的對稱軸為直線，∴點不在拋物線的對稱軸上．（3）解：設(shè)過點、的直線表達式為，

∵，，∴，解得：，∴過點、的直線解析式為．過點作軸的垂線交的延長線于點，∵當(dāng)時，，∴點坐標(biāo)為，∴．過點作軸的垂線交于點，設(shè)點坐標(biāo)為，則點坐標(biāo)為，∴，∵，∴，∴．若分別以、為底計算和的面積（同高不等底），則與的面積比為，即，∴．

∵，∴當(dāng)時，的最大值為，此時點坐標(biāo)為．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積的計算，二次函數(shù)中常見輔助線的作法，利用點的坐標(biāo)表示線段的長度，確定函數(shù)最值，關(guān)鍵在于作出垂線段利于用點的坐標(biāo)表示相關(guān)線段的長度．7．（2022·山東濟南·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，直線l與拋物線相交于兩點．(1)求出拋物線的解析式；(2)在坐標(biāo)軸上是否存在點D，使得是以線段為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；(3)點P是線段上一動點，（點P不與點A、B重合），過點P作，交第一象限內(nèi)的拋物線于點M，過點M作軸于點C，交于點N，若的面積滿足，求出的值，并求出此時點M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)存在，D點坐標(biāo)為或或(3)，M點坐標(biāo)為【分析】（1）利用待定系數(shù)法來求解；（2）分兩種情況來求解：點D在x軸上和點D在y軸上．當(dāng)點D在x軸上時，過點A作軸于點D，易求D點的坐標(biāo)；當(dāng)點D在y軸上時，設(shè)，在中利用勾股定理可求得d

的值，可的答案；（3）過P作于點F，易證，從而得到，在中和在中利用三角函數(shù)得出，設(shè)，則，利用和之間的面積關(guān)系，進而表示出M的坐標(biāo)，再根據(jù)M點在拋物線上求出a的值，進而得到答案．【詳解】（1）解：∵兩點在拋物線的圖像上，∴，解得，∴拋物線解析式為；（2）解：存在三個點滿足題意，理由如下：當(dāng)點D在x軸上時，如圖1，過點A作AD⊥x軸于點D，∵，∴D坐標(biāo)為；當(dāng)點D在y軸上時，設(shè)，則，且，∵是以為斜邊的直角三角形，∴，即，解得，或∴D點坐標(biāo)為或；綜上可知存在滿足條件的D點，其坐標(biāo)為或或；（3）解：如圖2，過P作于點F，

∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，設(shè)，則，在中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴M點坐標(biāo)為，又M點在拋物線上，代入可得，

解得或（舍去），，，∴點M的坐標(biāo)為．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像綜合問題，涉及三角函數(shù)的計算及相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，能夠熟練運用數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵．8．（2022·江蘇無錫·無錫市天一實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，拋物線與軸的一個交點為，與軸的交點為，對稱軸與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)點為軸正半軸上的一個動點，連接，過點作的垂線，與拋物線的對稱軸交于點，連接．①若與相似，求點的坐標(biāo)；②若點在軸正半軸上運動到某一位置時，有一邊與線段相等，并且此時有一邊與線段具有對稱性，我們把這樣的點稱為“對稱點”，請直接寫出“對稱點”的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①M點的坐標(biāo)為或；②M點的坐標(biāo)為或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法去求拋物線解析式；（2）①先求出拋物線的對稱軸為，作直線于點D，作于E，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)進行如下的分類討論即可：（1）當(dāng)時，（2）當(dāng)時進行求解即可；②先確定進行如下的分類討論即可：（1）當(dāng)時，（2）當(dāng)時，（3）當(dāng)時進行求解即可．【詳解】（1）將點，分別代入得，

解得，∴拋物線的解析式為；（2）①拋物線的對稱軸為直線，作直線于點D，作于E，∵，∴當(dāng)，即，∴，如圖1，∵，∴，∵，∴，∴，而，∴，此時M點的坐標(biāo)為，∴當(dāng)，即，∴，如圖2，同理可得，∴，而，∴，此時M點的坐標(biāo)為，綜上所述，M點的坐標(biāo)為或；

②∵，∴，當(dāng)時，，此時點M的坐標(biāo)為；當(dāng)時，點N與點P重合，則，∴，此時M點的坐標(biāo)為；當(dāng)時，在中，，∵，∴，即，解得，此時點M的坐標(biāo)為，綜上所述，M點的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；會靈活應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)進行幾何計算；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；會利用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．9．（2022·四川成都·成都市樹德實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與兩坐標(biāo)軸分別相交于三點．(1)求證：；

(2)點是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，過點作軸的垂線交于點，交軸于點．①求的最大值；②點是的中點，若以點為頂點的三角形與相似，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)見解析(2)①；②或．【分析】（1）分別計算三點的坐標(biāo)，再利用勾股定理求得的長，最后利用勾股定理逆定理解題；（2）①先解出直線的解析式，設(shè)，得出，由，得出利用二次函數(shù)的配方法求最值；②根據(jù)直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，解得的長，再證明，再分兩種情況討論以點為頂點的三角形與相似，結(jié)合相似三角形對應(yīng)邊成比例性質(zhì)解題即可．【詳解】（1）解：令，得，，令得，，，，，，，，，（2）①設(shè)直線的解析式為：，代入，得，，

，設(shè)，，，∴，∴，，，，，，，即的最大值為9；②點是的中點，在中，，即為等腰三角形，，，

，，，若以點為頂點的三角形與相似，則①，，又，，，，，，，，或，經(jīng)檢驗：不符合題意，舍去，②，又，，，，整理得，，，，或，同理：不合題意，舍去，

綜上所述，或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、二次函數(shù)的最值、解一元二次方程等知識，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．10．（2022·湖南株洲·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線與軸有兩個交點．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(點在原點的左邊，點在原點的右邊)，與軸的負半軸交于點，連接，且滿足，求拋物線的解析式；(3)如圖2，在（2）的條件下，直線，直線交拋物線于兩點(點在點的左邊)，直線交軸于點，直線交軸于點，設(shè)的縱坐標(biāo)分別為、，試問是否為定值？若是定值，求出其定值，若不是定值，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)是定值，．【分析】（1）根據(jù)拋物線與軸有兩個交點可知，求解即可；（2）根據(jù)題意可知，，得出，從而得出，求解根據(jù)得出的值，則解析式可得；（3）先根據(jù)二次函數(shù)解析式求出點的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線的解析式，設(shè)直線

的解析式，，，連立二次函數(shù)與一次函數(shù)可得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，過點D作軸于點，過點作軸于點，則可證明，則，即，解出的值，同理得出的值，相加即可．【詳解】（1）解：拋物線與軸有兩個交點，，解得，實數(shù)的取值范圍為；（2），，，，則，即，，，解得，，，則拋物線的解析式為；（3）是定值，理由如下：當(dāng)時，有，解得，，，設(shè)直線的解析式為：，則，解得：，直線的解析式為：，，

設(shè)直線的解析式，，，聯(lián)立得，則，過點D作軸于點，過點作軸于點，，∴，則，，解得，同理，則，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解直角三角形，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．11．（2022·黑龍江綏化·?？既＃┤鐖D，拋物線經(jīng)過三點．

(1)求出拋物線的解析式；(2)在直線上方的拋物線上有一點D，使得的面積最大，求出點D的坐標(biāo)；(3)P是直線x=1右側(cè)的拋物線上一動點，過P作軸，垂足為M，是否存在P點，使得以為頂點的三角形與相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為(2)(3)符合條件的點P為或．【分析】（1）本題需先根據(jù)已知條件，過C點，設(shè)出該拋物線的解析式為，再根據(jù)過兩點，即可得出結(jié)果．（2）先根據(jù)題意設(shè)出D點的橫坐標(biāo)和D點的縱坐標(biāo)，再過D作y軸的平行線交于E，再由題意可求得直線的解析式為，即可求出E點的坐標(biāo)，再利用面積公式列函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果即可．（3）首先判斷出存在，首先設(shè)出的坐標(biāo)，，再分兩種情況進行討論，當(dāng)時，當(dāng)時，再根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵該拋物線過點，∴可設(shè)該拋物線的解析式為．將代入，得

解得

∴此拋物線的解析式為

（2）如圖，設(shè)D點的橫坐標(biāo)為，則D點的縱坐標(biāo)為，過D作y軸的平行線交于E，而設(shè)直線為：∴解得：∴直線的解析式為．∴E點的坐標(biāo)為∴∴∴當(dāng)時，面積最大，此時

∴（3）存在．如圖，設(shè)P點的橫坐標(biāo)為m，則P點的縱坐標(biāo)為，當(dāng)時，，又∵，∴①當(dāng)，

∵C在拋物線上，∴∴，即解得（舍去），∴②當(dāng)時，△APM∽△CAO，即．解得（均不合題意，舍去）∴當(dāng)時，，如圖，當(dāng)時，，①或②，當(dāng)時，則，解得：（都不符合題意，舍去）當(dāng)時，則，解得：（不符合題意舍去）此時則，綜上所述，符合條件的點P為或．

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，函數(shù)圖象交點的求法等知識點，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．12．（2022·廣東深圳·深圳市寶安第一外國語學(xué)校?？既＃┮阎獟佄锞€：與軸交于點，過點與點的直線與交于點．(1)求直線的函數(shù)表達式；(2)如圖，若點為直線下方的上一點，求點到直線的距離的最大值；(3)如圖，將直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)后恰好經(jīng)過的頂點，沿射線的方向平移拋物線得到拋物線，的頂點為，兩拋物線相交于點設(shè)交點的橫坐標(biāo)為若，求的值．【答案】(1)y=x+2(2)(3)【分析】（1）先根據(jù)拋物線的函數(shù)表達式求出點A的坐標(biāo)，再將點A的坐標(biāo)和（1，3）代入y=kx+b，即可求出直線AB的函數(shù)表達式；（2）過點P作交直線AB于點Q，過點P作PM⊥AB，垂足為點M，易證△MPQ為等腰直角三角形，分別表示出點P和點Q的坐標(biāo)，求出PQ的最大值，當(dāng)PQ取最大值時PM也取最大值，（3）過點E作，交x軸于點P，過點D作DQ⊥PQ，垂足為Q，易證△APE～△DEQ，將點D的坐標(biāo)用m表示出來，根據(jù)即可求出m的值．（1）解：當(dāng)x=0時，，∴A（0，2），設(shè)直線AB的函數(shù)表達式為：y=kx+b，

把A（0，2）和（1，3）代入y=kx+b，，解得：，∴直線AB得函數(shù)表達式為：y=x+2．（2）將拋物線的函數(shù)表達式整理為一般式為：，如圖，過點P作交直線AB于點Q，過點P作PM⊥AB，垂足為點M，設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，），∵，∴點Q的橫坐標(biāo)為a，∵點Q在直線AB上，∴點Q的坐標(biāo)為（a，a+2），∴，整理得：，當(dāng)a=時，PQ有最大值，最大值為，∵直線AB與豎直方向得夾角為45°，∴∠MQP=45°，∴△MPQ為等腰直角三角形，∴PM=，當(dāng)PQ取最大值時，PM也取最大值，∴PM的最大值為：，（3）∵拋物線的函數(shù)表達式為：，∴頂點C（1，1），

設(shè)直線AC的函數(shù)表達式為：y=kx+b，將點C和點A的坐標(biāo)代入得：，解得：，∴直線AC的函數(shù)表達式為：y=-x+2，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為b，∵點D在直線AC上，∴點D的縱坐標(biāo)為-b+2，即D（b，-b+2），∴的函數(shù)表達式為：，E的橫坐標(biāo)為m，∵點E在拋物線上，∴點E的縱坐標(biāo)為：，∵點E也在拋物線上，∴點E的縱坐標(biāo)為：，∴=，整理得：解得：b=2m或b=1（舍），∴D（2m，-2m+2），過點E作，交x軸于點P，過點D作DQ⊥PQ，垂足為Q，∵∠AED=90°，∠EPA=90°，∴∠AEP+∠DEQ=90°，∠AEP+∠EAP=90°，∴∠DEQ=∠EAP，在△APE和△DEQ中，∠DEQ=∠EAP，∠APE=∠DQE，∴△APE～△DEQ，∴，

∵A（0，2），E（m，），D（2m，-2m+2），∴PE=m，EQ=m，DQ=，AP=，∴，整理得：，解得：或（舍）．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的性質(zhì)于判定，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容，根據(jù)函數(shù)的表達式將點的坐標(biāo)用同一個參數(shù)表示以及構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．13．（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖①、②，在平面直角坐標(biāo)系中，一邊長為2的等邊三角板CDE恰好與坐標(biāo)系中的△OAB重合，現(xiàn)將三角板CDE繞邊AB的中點G（G點也是DE的中點），按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°到△C′ED的位置．(1)直接寫出C′的坐標(biāo)，并求經(jīng)過O、A、C′三點的拋物線的解析式；(2)點P在第四象限的拋物線上，求△C′OP的最大面積；(3)如圖③，⊙G是以AB為直徑的圓，過B點作⊙G的切線與x軸相交于點F，拋物線上是否存在一點M，使得△BOF與△AOM相似？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，M的坐標(biāo)為：，，【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)經(jīng)過，，設(shè)出二次函數(shù)的交點式，將代入，求出二次函數(shù)解析式；

（2）過P作軸，交于Q，連接，求出的表達式，將P點的橫坐標(biāo)為m，則有：，，表示出△的面積，求出最大值即可；（3）根據(jù)三角形相似的判定，找出點M的位置，求出坐標(biāo)即可．(1)解：過點作⊥x軸，垂足為M，∵由題意可知△OAB和△C′DE是等邊三角形，∴，，∴，∴，，∴∴，∵，在拋物線上，故設(shè)拋物線的解析式，∴將代入：3a=，即a=，∴．(2)解：過P作軸，交于Q，連接，

∵設(shè)的表達式為：，且經(jīng)過點，∴，即∴的表達式為：，設(shè)P點的橫坐標(biāo)為m，則有：，，∴，∴∴△的最大面積為．(3)解：存在．∵BF與⊙G相切∴∠ABF＝90°∵∠BAF＝60°，AB=OA=2∴AF=4，OF=2，∵∠BOF＝180°－∠BOA=120°，∴△BOF為頂角為120°的等腰三角形①AO=AM=2時，點M與點重合，此時∠OAC’＝120°，滿足相似

∴M②OA=OM=2時，點M與點關(guān)于直線x=1對稱，此時∠AOM＝120°，滿足相似∴M③MO=MA時，點M為拋物線頂點（1，），此時tan∠AOM＝，∴∠AOM＝30°，滿足相似

∴M綜上∶M的坐標(biāo)為：，，．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與面積的綜合計算，二次函數(shù)與相似三角形的綜合問題，掌握二次函數(shù)的計算與幾何圖形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．14．（2022·內(nèi)蒙古包頭·包鋼第三中學(xué)校考三模）如圖，拋物線與軸交于點、，與軸交于點，聯(lián)結(jié)、．(1)求該拋物線的表達式及頂點的坐標(biāo)；(2)如果點在拋物線上，平分，求點的坐標(biāo)：(3)如果點在拋物線的對稱軸上，與相似．求點的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)

(3)(2，?2)或【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）作線段AB關(guān)于CB的對稱線段EB，連接CE，則可證得△ABC≌△EBC，則可得CB是∠ACE的平分線；則易得點E的坐標(biāo)，可求得直線CE的解析式，并與二次函數(shù)解析式聯(lián)立即可求得點P的坐標(biāo)；（3）分兩種情況考慮：∽；∽，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得點Q的坐標(biāo)．（1）解：把、代入中，得：，解得：，所求拋物線的解析式為，∵，∴頂點D的坐標(biāo)為(2，1)；（2）解：作線段AB關(guān)于CB的對稱線段EB，其中點E與點A是對稱點，連接CE，如圖．則∠EBC=∠ABC，EB=AB．在中，令x=0，則y=?3，即C(0，?3)，∴OC=3，∵，，∴OB=OC=3，OA=1，∴EB=AB=OB?OA=3?1=2．∵∠BOC=90°，∴∠ABC=45°，∴∠EBC=∠ABC=45°，∵AB=EB，BC=BC，∴△ABC≌△EBC，∴∠ACB=∠ECB，∴CB是∠ACE的平分線；∵∠ABE=∠ABC+∠EBC=90°，

即EB⊥AB，且EB=2，∴E的坐標(biāo)為(3，?2)；設(shè)直線CE的解析式為，把C、E兩點坐標(biāo)分別代入得：，解得：，即直線CE解析式為；由消去y并整理得：，解得：或x=0(舍去)，當(dāng)時，，即點P的坐標(biāo)為；（3）設(shè)拋物線對稱軸交x軸于點F，如圖，則F(2，0)．∴BF=1，由頂點D的坐標(biāo)得DF=1，即DF=BF∴∠BDF=∠ABC=45°．由勾股定理得DB=，．設(shè)點Q的坐標(biāo)為，則．①當(dāng)∽時，則，即，

∴，解得：，即點Q坐標(biāo)為(2，?2)；②當(dāng)∽時，則，即，∴，解得：即點Q坐標(biāo)為；綜上滿足條件的點Q的坐標(biāo)為(2，?2)或．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，涉及分類討論思想，綜合性較強，有一定的運算量，熟練運用這些知識是解題的關(guān)鍵．15．（2022·湖北襄陽·模擬預(yù)測）如圖，拋物線交軸于，兩點，與軸交于點連接，．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點為拋物線在第三象限的一個動點，軸于點，交于點，于點，當(dāng)?shù)拿娣e為時，求點的坐標(biāo)；(3)如圖，若為拋物線上一點，直線與線段交于點，是否存在這樣的點，使得以，，為頂點的三角形與相似．若存在，請求出此時點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，坐標(biāo)為或或或【分析】（1）把和的坐標(biāo)代入拋物線解析求出a和b即可求解；（2）求出直線的解析式為，設(shè)，則，由三角形面積可得出或，則可得出答案；（3）分兩種情況，①若，②若，由相似三角形的性質(zhì)可求出的長，求出點坐標(biāo)，聯(lián)立直線和拋物線的解析式可求出答案．【詳解】（1）解：∵拋物線y=a+bx-3交x軸于，兩點，∴，解得，∴該拋物線的解析式為；

（2）解：∵拋物線的解析式為，∴時，，∴，∴．∵，∴．∵，，∴，設(shè)直線AC的解析式為，∴，∴，∴直線AC的解析式為，設(shè)，則，∴，∴，∴，∴，∴或，∴或；（3）解：∵，，，∴，，，若以A，O，N為頂點的三角形與相似，可分兩種情況：①若，

∴，∴，∴，過點N作于點K，∴，∴，∴，∴直線ON的解析式為，∴，∴，∴或（；②若，∴，∴，∴，∴，同理ON的解析式為，

∴，∴，∴或．綜上所述，點Q的坐標(biāo)為或或或．【點睛】本題是二次函數(shù)壓軸題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、圖形面積計算、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)等相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．16．（2022·山西晉中·統(tǒng)考二模）已知拋物線與軸交于點、（點在點的左側(cè)），與軸交于點．(1)求點、的坐標(biāo)；(2)連接，若的中點為點，請你求經(jīng)過點和點的直線表達式；(3)設(shè)點與點關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱．在軸上是否存在點，使與相似，若存在，求出所有點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)(3)存在，或或或或或【分析】（1）直接根據(jù)解析式即可求出B，C的坐標(biāo)；（2）先根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出，再利用待定系數(shù)法，即可求解；

（3）根據(jù)點與點關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱．，可得，，設(shè)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解出方程即可得到點P的坐標(biāo)．（1）解：∵，令，得，∴，令，得，解得：，，∴；（2）解∶由（1）得，∵的中點為點，，∴點坐標(biāo)為，即，設(shè)直線的表達式為，由，得：，解得，∴直線的表達式為；（3）解：存在點，∵，∴拋物線的對稱軸為直線x=1，∵點與點關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱．，∴，，∵，∴，

根據(jù)題意得：，設(shè)，∴當(dāng)時，，∴，∴，即，解得：，，∴或．∴當(dāng)時，，∴，∴，即：，解得：，，，∴或或或．∴存在點坐標(biāo)為或或或或或【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2022·重慶沙坪壩·重慶一中校考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點、點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，且過點．

(1)求拋物線的表達式：(2)如圖1，點為直線上方拋物線上（不與重合）一動點，過點作軸，交于，過點作軸，交直線于，求的最大值及此時點的坐標(biāo)；(3)如圖2，將原拋物線沿軸向左平移1個單位得到新拋物線，點為新拋物線上一點，點為原拋物線對稱軸上一點，當(dāng)以點為頂點的四邊形為平行四邊形時，求點的坐標(biāo)，并寫出求其中一個點坐標(biāo)的解答過程．【答案】(1)(2)最大值為，(3)（1，3）或（1，-3）．【分析】（1）直接運用待定系數(shù)法求解即可；（2）利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可表達PE+BD的值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值；（3）分兩種情況：當(dāng)AC為平行四邊形ACNM的邊時，當(dāng)AC為平行四邊形ACNM的對角線時，分別利用點的平移和中點坐標(biāo)公式進行求解即可．（1）把代入得，解得，

∴拋物線的解析式為（2）對于令則，∴令則解得，∴∴設(shè)直線的解析式為把代入得，解得，，∴設(shè)直線的解析式為延長PD交x軸相交于點F，設(shè)∴∴∴，∵軸，軸，∴∠

∴∴，∴∴∵∴∴∴當(dāng)時，的最大值為，此時（3）∵∴該拋物線的對稱軸為直線將拋物線向左平移1個單位后的解析式為：若以為頂點的四邊形是平行四邊形有兩種情況；①以AC為邊，如圖，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：由圖可知，點A向右平移3個單位，再向下平移若干個單位，即可得到點N，∴將點C（0，3）向右平移3個單位，再向下平移若干個單位，可得到點M，

∴點M的橫坐標(biāo)為：0+3=3，當(dāng)時，∴設(shè)點，∵,∴,解得，∴點N的坐標(biāo)為或；②當(dāng)AC為平行四邊形的線時，∵∴AC的中點坐標(biāo)為：，即設(shè)，由中點坐標(biāo)公式得，∴，當(dāng)時，，∴∴∴∴點N（1，3），綜上，點N的坐標(biāo)為（1，3）或（1，-3）．

【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法示函數(shù)解析式，二次函數(shù)最值問題，中點坐標(biāo)公式，平行四邊形存在性等知識，包括分類討論思想等，（3）關(guān)鍵是進行正確的分類討論．18．（2022·四川綿陽·統(tǒng)考三模）如圖1，拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．(1)求拋物線解析式；(2)拋物線上是否存在點P，使得∠CBP＝∠ACO，若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；(3)如圖2，Q是△ABC內(nèi)任意一點，求的值．【答案】(1)(2)存在，(3)的值為1【分析】（1）設(shè)拋物線解析式為，代入A（－1，0），B（3，0），C（0，3）求解即可；（2）作，交于點，分兩種情況，在上方或下方，利用相似三角形的性質(zhì)，求得的坐標(biāo)，得到的解析式，聯(lián)立拋物線，即可求解；（3）作，則，得到，由題意可得：，同理可得，，即可求解．（1）解：設(shè)拋物線解析式為，代入A（－1，0），B（3，0），C（0，3），可得，解得

故拋物線解析式為；（2）解：存在，理由如下：作，交于點當(dāng)在上方時，作軸，連接并延長交拋物線于點，如下圖：由題意可得：，，，，則，∴為等腰直角三角形，∵∴∴，即解得∴，故設(shè)解析式為，則，解得即，聯(lián)立拋物線可得，，即解得，（舍去）則，當(dāng)在下方時，作軸，連接交拋物線于點，如下圖：

可得，此時設(shè)解析式為，則，解得即，聯(lián)立拋物線可得，，即解得，（舍去）則綜上所述，（3）解：，理由如下：作，如下圖：則，得到，

由題意可得：，同理可得，，∴．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行