第01講有限樣本空間與隨機事件目標導航目標導航課程標準課標解讀了解隨機現(xiàn)象與隨機試驗的特點；理解樣本點、樣本空間的概念，會求所給試驗的樣本點和樣本空間；理解隨機事件、必然事件、不可能事件的概念，會判斷某一事件的性質(zhì).通過本節(jié)課的學習，要求在理解概念的基礎(chǔ)上，會判斷事件的性質(zhì)，能準確的求隨機事件的樣本空間，能準確選擇恰當?shù)姆椒ǎ信e法、樹狀圖法、列表法）分析隨機實驗的樣本空間.知識精講知識精講知識點1．隨機試驗(1)定義：把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗．(2)特點：①試驗可以在相同條件下重復進行；②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果．2．樣本點和樣本空間(1)定義：我們把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間．(2)表示：一般地，我們用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點．如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．3．事件的分類(1)隨機事件：①我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．②隨機事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．③在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生．(2)必然事件：Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件．(3)不可能事件：空集?不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱?為不可能事件．【即學即練1】從6個籃球、2個排球中任選3個球，則下列事件中，是必然事件的是.A．3個都是籃球 B．至少有1個是排球C．3個都是排球 D．至少有1個是籃球【答案】D【解析】從6個籃球、2個排球中任選3個球，顯然必有一個籃球，根據(jù)這個事實對四個選項逐一判斷.【詳解】解析：從6個籃球、2個排球中任選3個球，A，B是隨機事件，C是不可能事件，D是必然事件，故選D.【點睛】本題考查了對必然事件的理解.解題的關(guān)鍵是對問題的隱含事實的認識.【即學即練2】在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取3件產(chǎn)品，其中不可能事件為（

）A．3件都是正品 B．至少有1件次品C．3件都是次品 D．至少有1件正品【答案】C【解析】【分析】根據(jù)隨機事件、不可能事件、必然事件即可得出結(jié)果.【詳解】25件產(chǎn)品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品.故選：C【即學即練3】同時擲兩枚大小相同的骰子，用（x，y）表示結(jié)果，記事件A為“所得點數(shù)之和小于5”，則事件A包含的樣本點數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本事件概念即可求解.【詳解】因為事件A＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）}，共包含6個樣本點.故選：D.【即學即練4】下列事件中，隨機事件的個數(shù)是（

）①2022年8月18日，北京市不下雨；②在標準大氣壓下，水在4℃時結(jié)冰；③從標有1，2，3，4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡垼?號簽；④，則的值不小于0．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)各項的描述，判斷隨機事件、必然事件、不可能事件，進而確定隨機事件的個數(shù).【詳解】①2022年8月18日，北京市不下雨，隨機事件；②在標準大氣壓下，水在4℃時結(jié)冰，不可能事件；③從標有1，2，3，4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，恰?號簽，是隨機事件；④，則的值不小于0，必然事件；∴隨機事件有①、③.故選：B【即學即練5】下列事件:①當x是實數(shù)時,;②某班一次數(shù)學測試,及格率低于;③從分別標有這十個數(shù)字的紙團中任取一個,取出的紙團中標的數(shù)字是偶數(shù);④體育彩票某期的特等獎號碼.其中是隨機事件的是(

)A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】C【解析】根據(jù)隨機事件的定義,逐項檢驗,即可求得答案.【詳解】對于①,當x是實數(shù)時,,方程:無解,故①不可能事件.對于②,某班一次數(shù)學測試,及格率低于是隨機事件.對于③,從分別標有這十個數(shù)字的紙團中任取一個,取出的紙團中標的數(shù)字是偶數(shù)是隨機事件.對于④,體育彩票某期的特等獎號碼是隨機事件.故隨機事件為:②③④故選:C.【點睛】本題考查了判斷事件是否為隨機事件,解題的關(guān)鍵是掌握隨機事件的定義,考查了分析能力,屬于基礎(chǔ)題.【即學即練6】給出下列四個命題：①“三個球全部放入兩個盒子，其中必有一個盒子有一個以上的球”是必然事件；②“當x為某一實數(shù)時，可使x2≤0”是不可能事件；③“明天天津市要下雨”是必然事件；④“從100個燈泡(含有10個次品)中取出5個，5個全是次品”是隨機事件．其中正確命題的個數(shù)是（

）A．0 B．1C．2 D．3【答案】C【解析】利用必然事件的概念可以判斷①是正確的命題，③是偶然事件，利用不可能事件的概念判斷②正確，利用隨機事件的概念判斷④正確.【詳解】對于①，三個球全部放入兩個盒子，有兩種情況：1+2和3+0，故必有一個盒子有一個以上的球，所以該事件是必然事件，①正確；對于②，x=0時x2=0，所以該事件不是不可能事件，②錯誤；對于③，“明天天津市要下雨”是偶然事件，所以該事件是隨機事件，③錯誤；對于④，“從100個燈泡(含有10個次品)中取出5個，5個全是次品”，發(fā)生與否是隨機的，所以該事件是隨機事件，④正確．故正確命題有2個.故選：C．【即學即練7】從1，2，3，…，10這10個數(shù)中，任取3個數(shù)，那么“這3個數(shù)的和不大于9”這一事件包含的樣本點的個數(shù)是（

）A．4 B．5C．6 D．7【答案】D【解析】【分析】利用列舉法可得事件包含的樣本點的個數(shù)．【詳解】樣本空間為{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，2，6)，(1，3，4)，(1，3，5)，(2，3，4)}，樣本點個數(shù)為7.故選：D【即學即練8】（1）一批小麥種子全部發(fā)芽是________事件；（2）某人投籃3次，投中4次是________事件．【答案】

隨機

不可能【解析】【分析】根據(jù)隨機事件和不可能事件的概念求解即可.【詳解】種子發(fā)芽是隨機的，故是隨機事件；投籃3次，不可能中4次，是不可能事件；故答案為：隨機；不可能.【即學即練9】在200件產(chǎn)品中，有192件一級品，8件二級品，則下列事件：①“在這200件產(chǎn)品中任意選9件，全部是一級品”；②“在這200件產(chǎn)品中任意選9件，全部都是二級品”；③“在這200件產(chǎn)品中任意選9件，不全是一級品”.其中________是隨機事件；________是不可能事件.(填上事件的編號)【答案】

：①③

：②【解析】【分析】根據(jù)隨機事件、不可能事件的定義即可得出結(jié)果.【詳解】解析：因為二級品只有8件，故9件產(chǎn)品不可能全是二級品，所以②是不可能事件.故答案為：①③；②【即學即練10】從含有件次品的件產(chǎn)品中任取件，觀察其中次品數(shù)，其樣本空間為______．【答案】【解析】【分析】分析取出的件產(chǎn)品的次品個數(shù)即可求解.【詳解】由分析可知取出的件產(chǎn)品的次品個數(shù)為，，，，，所以樣本空間為，故答案為：.【即學即練11】現(xiàn)有10個同類產(chǎn)品，其中7個是正品，3個是次品.有以下事件：從這10個產(chǎn)品中任意抽取4個產(chǎn)品，①4個產(chǎn)品都是正品；②至少有1個次品；③4個產(chǎn)品都是次品；④至少有1個正品.其中隨機事件為________，不可能事件為________，必然事件為________.（填序號）【答案】

①②

③

④【解析】【分析】事件不可能發(fā)生為不可能事件，事件必然發(fā)生為必然事件，有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生，為隨機事件.【詳解】10個同類產(chǎn)品，其中7個是正品，3個是次品.，從中任意抽取4個產(chǎn)品，則至少有一個是正品，故④為必然事件，而不可能4個產(chǎn)品都是次品，故③為不可能事件，可能會4個產(chǎn)品都是正品，可能會至少有1個次品，所以①②是隨機事件故答案為：①②；③；④【即學即練12】一只口袋內(nèi)裝有5個大小相同的球，白球3個，黑球2個，從中一次摸出2個球．(1)共有多少個樣本點？(2)“2個都是白球”包含幾個樣本點？【答案】(1)10個；(2)3個.【分析】(1)將袋中的5個求分白球、黑球編號，用列舉法寫出所有可能結(jié)果即可得解.(2)利用(1)寫出摸出的2個球都是白球結(jié)果即可得解.【解析】(1)用1，2，3表示3個白球，用a，b表示2個黑球，則從袋中一次摸出2個球的不同結(jié)果：(1，2)，(1，3)，(1，a)，(1，b)，(2，3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)，所以共10個樣本點.(2)由(1)知，“2個都是白球”含有的結(jié)果是：(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3個樣本點.能力拓展能力拓展考法01隨機現(xiàn)象的判定【典例1】以下現(xiàn)象是隨機現(xiàn)象的是（）A．標準大氣壓下，水加熱到100℃，必會沸騰B．長和寬分別為a，b的矩形，其面積為C．走到十字路口，遇到紅燈D．三角形內(nèi)角和為180°【答案】C【解析】【分析】對每一個選項逐一分析判斷得解.【詳解】A.標準大氣壓下，水加熱到100℃，必會沸騰,是必然事件；B.長和寬分別為a，b的矩形，其面積為，是必然事件；C.走到十字路口，遇到紅燈，是隨機事件；D.三角形內(nèi)角和為180°，是必然事件.故選C【點睛】本題主要考查必然事件、隨機事件的定義與判斷，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.【典例2】以下現(xiàn)象不是隨機現(xiàn)象的是（

）A．拋擲一枚硬幣，出現(xiàn)反面 B．某人買彩票中獎C．標準大氣壓下，水加熱到 D．明天下雨【答案】C【解析】根據(jù)隨機現(xiàn)象的概念逐一判斷即可得解.【詳解】由隨機現(xiàn)象的概念可知A、B、D都是隨機現(xiàn)象，C為確定性現(xiàn)象.故選：C.【點睛】本題考查了隨機現(xiàn)象的概念，屬于基礎(chǔ)題.【典例3】有下面的試驗：①如果a，b∈R，那么a?b=b?a；②某人買彩票中獎；③實系數(shù)一次方程必有一個實根；④在地球上，蘋果抓不住必然往下掉；其中必然現(xiàn)象有（）A．① B．④ C．①③ D．①④【答案】D【解析】【詳解】如果a，b∈R，那么一定有a?b=b?a，故①是必然現(xiàn)象．某人買彩票中獎，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故②是隨機現(xiàn)象．③實系數(shù)一次方程必有一個實根，這有可能發(fā)生，也可能不發(fā)生（如實系數(shù)方程0x=5沒有實數(shù)根），故③是隨機現(xiàn)象．在地球上，蘋果抓不住必然往下掉，這必然發(fā)生，故④是必然現(xiàn)象，故選D．【典例4】判斷下列現(xiàn)象是必然現(xiàn)象還是隨機現(xiàn)象.（1）擲一個質(zhì)地均勻的骰子出現(xiàn)的點數(shù)；________.（2）行人在十字路口看到的交通信號燈的顏色；________.（3）在10個同類產(chǎn)品中，有8個正品、2個次品，從中任意抽出2個檢驗的結(jié)果.________.【答案】

隨機現(xiàn)象

隨機現(xiàn)象

隨機現(xiàn)象【解析】【分析】由隨機現(xiàn)象和必然現(xiàn)象的定義判斷．【詳解】（1）擲一個質(zhì)地均勻的骰子其點數(shù)有可能出現(xiàn)1~6，點數(shù)是不能確定的；因此是隨機現(xiàn)象.（2）行人在十字路口看到交通信號燈的顏色有可能是紅色，有可能是黃色，也有可能是綠色，故是隨機現(xiàn)象.（3）抽出的2個產(chǎn)品中有可能全部是正品，也有可能是一個正品一個次品，還有可能是兩個次品，故是隨機現(xiàn)象.故答案為（1）隨機現(xiàn)象；（2）隨機現(xiàn)象；（3）隨機現(xiàn)象．【點睛】本題考查必然現(xiàn)象和隨機現(xiàn)象的概念．事件出現(xiàn)的結(jié)果是不確定的，則為隨機現(xiàn)象，必定發(fā)生的則為必然現(xiàn)象．考法02隨機事件的判定：【典例5】給出下列四個命題:①“三個球全部放入兩個盒子，其中必有一個盒子有一個以上的球”是必然事件；②“當為某一實數(shù)時，可使”是不可能事件；③“明天蘭州要下雨”是必然事件；④“從100個燈泡中取出5個，5個都是次品”是隨機事件.其中正確命題的序號是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②【答案】C【解析】根據(jù)必然事件、不可能事件和隨機事件的概念，結(jié)合題意逐一判斷即可.【詳解】①“三個球全部放入兩個盒子，其中必有一個盒子有一個以上的球”一定發(fā)生，是必然事件，①正確；②“當為某一實數(shù)時，可使”不可能發(fā)生，沒有哪個實數(shù)的平方小于0，是不可能事件，②正確；③“明天蘭州要下雨”是隨機事件，故③錯；④“從100個燈泡中取出5個，5個都是次品”有可能發(fā)生，有可能不發(fā)生，是隨機事件，故④正確.故選：C.【點睛】本題考查了必然事件、不可能事件和隨機事件的概念，屬于基礎(chǔ)題.【典例6】在200件產(chǎn)品中，192有件一級品，8件二級品，則下列事件：①在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是一級品；②在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是二級品；③在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，不全是一級品；④在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，至少一件是一級品．其中的隨機事件有（

）A．①③ B．③④ C．②④ D．①②【答案】A【解析】【分析】按照隨機事件、必然事件、不可能事件的定義一一判斷.【詳解】由于在200件產(chǎn)品中，192有件一級品，8件二級品，則①“在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是一級品”，這件事可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故是隨機事件．②“在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是二級品”，這件事根本不可能發(fā)生，故是不可能事件．③“在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，不全是一級品”，這件事可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故是隨機事件．④“在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，其中不是一級品的件數(shù)小于100”，是一定要發(fā)生的事件，故是必然事件故選：A．【典例7】在10件同類商品中，有8件紅色的，2件白色的，從中任意抽取3件，下列事件是隨機事件的是（）A．3件都是紅色 B．3件都是白色C．至少有1件紅色 D．有1件白色【答案】AD【解析】根據(jù)隨機事件定義，結(jié)合題意即可判斷.【詳解】在10件同類商品中，有8件紅色的，2件白色的，從中任意抽取3件，對于A，抽取3件有可能都是紅色，也有可能出現(xiàn)白色，所以A是隨機事件；對于B，因為只有2件是白色，所以不可能出現(xiàn)3件是白色，即B為不可能事件，所以B不是隨機事件，對于C，因為只有2件是白色，所以取出的3件中至少有1件是紅色，所以C為必然事件，所以C不是隨機事件，對于D，抽出3件中白色可能有0，1，2三種可能，所以有1件白色是隨機事件，即D為隨機事件，綜上可知，隨機事件為AD，故選：AD.【點睛】本題考查了隨機事件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.考法03事件的性質(zhì)判定【典例8】從含有10件正品、2件次品的12件產(chǎn)品中，任意抽取3件，則必然事件是（）A．3件都是正品 B．3件都是次品C．至少有1件次品 D．至少有1件正品【答案】D【解析】【分析】根據(jù)隨機事件、不可能事件以及必然事件的定義對選項中的事件逐一判斷即可.【詳解】從10件正品，2件次品，從中任意抽取3件A:3件都是正品是隨機事件，B：3件都是次品不可能事件,C:至少有1件次品是隨機事件,D：因為只有兩件次品，所以從中任意抽取3件必然會抽到正品，即至少有一件是正品是必然事件，故選D.【點睛】本題主要考查了隨機事件、不可能事件、必然事件的定義與應用，意在考查對基本概念掌握的熟練程度，屬于基礎(chǔ)題.【典例9】下列事件：①一個口袋內(nèi)裝有5個紅球，從中任取一球是紅球；②拋擲兩個骰子，所得點數(shù)之和為9；③（）；④方程有兩個不相等的實數(shù)根；⑤巴西足球隊在下屆世界杯足球賽中奪得冠軍.其中隨機事件的個數(shù)為（

）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)事件的定義判定．【詳解】①③是必然事件；②⑤是隨機事件；④是不可能事件.故選B.【點睛】本題考查事件的定義，考查必然事件、隨機事件、不可能事件的概念，屬于基礎(chǔ)題．【典例10】下列事件中不可能事件的個數(shù)為（

）①拋一塊石塊下落；②如果，那么；③沒有水分，種子能發(fā)芽；④某電話機在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫；⑤在標準大氣壓下且溫度低于時，冰融化．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)必然事件、隨機事件、不可能事件的定義判斷即可．【詳解】①②是必然事件，④是隨機事件，③⑤是不可能事件．所以不可能事件的個數(shù)為2．故選：B．【典例11】下列事件是隨機事件的是（）①當時，；②當，有解；③當，關(guān)于x的方程在實數(shù)集內(nèi)有解；④當時，.A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】C【解析】根據(jù)隨機事件的概念對四個事件分別進行分析即可得到結(jié)論。【詳解】對于①，由于時，恒成立，故事件①為必然事件；對于②，由于無實數(shù)根，故事件②為不可能事件；對于③，當，關(guān)于的方程在實數(shù)集內(nèi)可能有解，也可能無解，故事件③為隨機事件；對于④，當時，可能成立，也可能不成立，故事件④為隨機事件，綜上，事件③④為隨機事件.故選：C.【點睛】本題考查對隨機事件概念的理解，是基礎(chǔ)題?！镜淅?2】已知非空集合，且集合是集合的真子集，則下列命題為真命題的是（

）A．“若，則”是必然事件 B．“若，則”是不可能事件C．“若，則”是隨機事件 D．“若，則”是必然事件【答案】ACD【解析】利用集合間的基本關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為元素與集合的關(guān)系，即可得答案.【詳解】對A，符合真子集的定義，故A正確；對B，“若，則”也可能成立，故B錯誤；對C，“若，則成立，也可能，故C正確；對D，“若，則”，由文氏圖可以理解，故D正確；故選：ACD.【點睛】本題考查利用集合間的關(guān)系，判斷事件的類型，考查對概念的理解.考法04求樣本點與樣本空間：寫樣本空間的關(guān)鍵是找樣本點，具體有三種方法：（1）列舉法：適用樣本點個數(shù)不是很多，可以把樣本點一一列舉出來的情況，但列舉時必須按一定的順序，要做到不重不漏.（2）列表法：適用于試驗中包含兩個或兩個以上的元素，且試驗結(jié)果相對較多的樣本點個數(shù)的求解問題，通常把樣本歸納為“有序?qū)崝?shù)對”，也可用坐標法，列表法的優(yōu)點是準確、全面、不易遺漏.（3）樹狀圖法：適用較復雜問題中的樣本點的探求，一般需要分步(兩步及兩步以上)完成的結(jié)果可以用樹狀圖進行列舉.【典例13】有4張卡片，上面分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的所有基本事件數(shù)為（）A．2 B．3C．4 D．6【答案】C【解析】【分析】從從這4張卡片中隨機抽取2張卡片，取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)包括的結(jié)果，可以通過列舉得到．【詳解】由題意知，從從這4張卡片中隨機抽取2張卡片，取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)包括，，，共有四種結(jié)果，故選C．【點睛】本題考查排列組合的實際問題，這是一個最簡單的組合數(shù)問題，在解題時，注意這里是一次抽取兩張，不用考慮順序．【典例14】一個家庭有兩個小孩兒,則可能的結(jié)果為()A．{(男,女),(男,男),(女,女)}B．{(男,女),(女,男)}C．{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}D．{(男,男),(女,女)}【答案】C【解析】【詳解】隨機試驗的所有結(jié)果要保證等可能性.兩小孩兒有大小之分,所以(男,女)與(女,男)是不同的結(jié)果,故選C.【典例15】袋中有5只球，其中有3只紅球，編號為1，2，3，有2只黃球，編號為4，5.現(xiàn)從中任意取一只球，試驗A：觀察顏色；試驗B：觀察號碼.試驗A的樣本空間為_______________________.試驗B的樣本空間為_______________________.【答案】

紅，黃

【解析】【分析】由樣本空間的定義即可求解.【詳解】解：由題意，試驗A的樣本空間為紅，黃；試驗B的樣本空間為.故答案為：紅，黃；.【典例16】拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，寫出試驗的樣本空間【解析】擲兩枚硬幣，第一枚硬幣可能的基本結(jié)果用x表示，第二枚硬幣可能的基本結(jié)果用y表示，那么試驗的樣本點可用(x，y)表示，于是，試驗的樣本空間{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}如果我們用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，那么樣本空間還可以簡單表示為如圖所示，畫樹狀圖可以幫助我們理解例3的解答過程【典例17】在0，1，2，…，9這10個數(shù)字中任意選取一個，寫出試驗的樣本點和樣本空間.【答案】見解析【解析】【分析】利用樣本點和樣本空間的定義進行求解即可.【詳解】在0，1，2，…，9這10個數(shù)字中任意選取一個，試驗的樣本點為：0，1，2，3,4，5，6，7，8，9；樣本空間.【典例18】已知集合，，從兩個集合中各取一個元素構(gòu)成點的坐標．(1)寫出這個試驗的樣本空間；(2)求這個試驗樣本點的總數(shù)；(3)寫出“得到的點是第一象限內(nèi)的點”這一事件所包含的樣本點；(4)說出事件所表示的實際意義．【答案】(1)答案見解析；(2)；(3)；(4)得到的點是第三象限內(nèi)的點.【分析】（1）將樣本點一一列出在花括號內(nèi)可得樣本空間；（2）由樣本空間可得樣本點的個數(shù)；（3）找出橫縱坐標都大于的樣本點即可；（4）根據(jù)事件中樣本點的坐標可得實際意義.【解析】(1)樣本空間為(2)由知這個試驗樣本點的總數(shù)為.(3)得到的點是第一象限內(nèi)的點”這一事件所包含的樣本點為.(4)事件表示得到的點是第三象限內(nèi)的點.【典例19】樹形圖（TreeDiagram）是一種有層次地枚舉各種可能情況的可視化方法.樹形圖有助于我們直觀地探求某些樣本空間.例如，考察有兩個孩子的家庭，記“從中任意抽取一個家庭，兩個孩子是一男一女”為事件A.我們畫出如圖所示的樹形圖，可知樣本空間{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，事件{（男，女），（女，男）}.試用樹形圖的方法分析下列習題一只不透明的口袋內(nèi)裝有大小相同的3個球，且分別標有1，2，3三個號碼.記“從袋中不放回地抽取2個球，第一個球的號碼是1”為事件A，“從袋中不放回地抽取2個球，第二個球的號碼是2”為事件B.試分別寫出，A，B及AB所包含的樣本點.【答案】=，，，【解析】【分析】利用樹狀圖把情況列出來，再根據(jù)樹狀圖寫出，A，B及AB所包含的樣本點.【詳解】樣本空間=，事件，事件，事件分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列現(xiàn)象中，是隨機現(xiàn)象的有（

）①在一條公路上，交警記錄某一小時通過汽車超過300輛.②若a為實數(shù)，則|a+1|≥0.③發(fā)射一顆炮彈，命中目標.④檢查流水線上一件產(chǎn)品，這件產(chǎn)品是次品.A．1個 B．2個C．3個 D．4個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)隨機現(xiàn)象和必然現(xiàn)象的定義判斷得解.【詳解】當a為實數(shù)時，|a+1|≥0恒成立，是必然現(xiàn)象，其余3個均為隨機現(xiàn)象.所以是隨機現(xiàn)象的有3個.故選：C2.“連續(xù)拋擲兩個質(zhì)地均勻的骰子，記錄朝上的面的點數(shù)”，該試驗的結(jié)果共有（

）.A．6種 B．12種 C．24種 D．36種【答案】D【解析】【分析】由第一次的點數(shù)和第二次的點數(shù)，組成一個事件，寫出所有可能即得．【詳解】試驗的全部結(jié)果為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36種.故選D．【點睛】本題考查樣本空間，解題時書寫樣本點時要注意有先后順序．3.下列事件中，是必然事件的是（

）A．對任意實數(shù)x，有x2≥0B．某人練習射擊，擊中10環(huán)C．從裝有1號，2號，3號球的不透明的袋子中取一球是1號球D．某人購買彩票中獎【答案】A【解析】【分析】根據(jù)必然事件的概念，考察必然發(fā)生的事件，即為所選項.【詳解】選項中的事件都不確定發(fā)生，因此都不是必然事件；A選項，當時，總有發(fā)生，是必然事件.故選：A.【點睛】本題考查必然事件的概念與判定，屬基礎(chǔ)題.4.下列事件：①任取三條線段，這三條線段恰好組成直角三角形；②從一個三角形的三個頂點各任畫一條射線，這三條射線交于一點；③實數(shù)a，b都不為0，但；④明年12月28日的最高氣溫高于今年12月28日的最高氣溫．其中為隨機事件的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【答案】C【解析】【分析】根據(jù)隨機事件概念逐一判斷，即可選擇.【詳解】任取三條線段，這三條線段不一定能組成直角三角形，所以①為隨機事件；從一個三角形的三個頂點各任畫一條射線，這三條射線不一定交于一點，所以②為隨機事件；因為當實數(shù)a，b都不為0時，所以③為不可能事件；明年12月28日的最高氣溫可能高于今年12月28日的最高氣溫，所以④為隨機事件；故選C．【點睛】本題考查隨機事件概念，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.5.袋中有大小、形狀相同的紅球、黑球各一個，現(xiàn)在有放回地隨機摸3次，每次摸取一個，觀察摸出球的顏色，則此隨機試驗的樣本點個數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】【分析】由題意一一列舉出基本事件即可得出選項.【詳解】因為是有放回地隨機摸3次，所以隨機試驗的樣本空間為Ω={(紅，紅，紅)，(紅，紅，黑)，(紅，黑，紅)，(紅，黑，黑)，(黑，紅，紅)，(黑，紅，黑)，(黑，黑，紅)，(黑，黑，黑)}.共8個.故選：D6.下列試驗能構(gòu)成事件的是（

）A．擲一次硬幣 B．標準大氣壓下，水燒至C．從100件產(chǎn)品中任取3件 D．某人投籃5次，恰有3次投中【答案】D【解析】【分析】根據(jù)事件可以分為必然事件、隨機事件和不可能事件即可判斷.【詳解】解：所謂事件，實際上就是在一定條件下所出現(xiàn)的某種結(jié)果．在一定條件下必然發(fā)生的事件，叫做必然事件．在一定條件下不可能發(fā)生的事件，叫做不可能事件．隨機事件在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機事件．，，三個選項不能劃分為三種事件的其中一個，故選：D．7.下列事件為確定事件的有（

）（1）在一標準大氣壓下，的水結(jié)冰（2）邊長為，的長方形面積為ab（3）拋一個硬幣，落地后正面朝上（4）平時的百分制考試中，小白的考試成績?yōu)?05分．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不可能事件、必然事件、隨機事件的概念進行逐一判斷即可得到答案.【詳解】（1）在一標準大氣壓下，的水結(jié)冰，這是不可能發(fā)生的事件，故是不可能事件．（2）邊長為，的長方形面積為，這是必然發(fā)生的事件，故是必然事件（3）拋一個硬幣，落地后正面朝上，這件事可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，屬于隨機事件．（4）平時的百分制考試中，小白的考試成績?yōu)?05分，這是不可能發(fā)生的事件，故是不可能事件．故選:A．8.下列事件中是隨機事件的個數(shù)有

（）①連續(xù)兩次拋擲兩個骰子，兩次都出現(xiàn)2點；②在地球上，樹上掉下的雪梨不抓住就往下掉；③某人買彩票中獎；④已經(jīng)有一個女兒，那么第二次生男孩；⑤在標準大氣壓下，水加熱到90℃是會沸騰．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)隨機事件就是在指定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，依據(jù)定義即可判斷，得到答案.【詳解】由題意，隨機事件就是在指定條件下，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，①連續(xù)兩次拋擲兩個骰子，兩次都出現(xiàn)2點可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，所以是隨機事件，②在地球上，樹上掉下的雪梨不抓住就往下掉，這是一定發(fā)生的事件，不是隨機事件；③某人買彩票中獎，此事可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，所以是隨機事件；④已經(jīng)有一個女兒，那么第二次生男孩，此事可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，所以是隨機事件；⑤在標準大氣壓下，水加熱到90℃是會沸騰，此事一定不發(fā)生，不是隨機事件.故選C.【點睛】本題主要考查了隨機事件，必然事件、不可能事件的概念及判斷，其中熟記隨機事件的基本概念是解答此類問題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.9.在10名學生中，男生有x名，現(xiàn)從10名學生中任選6人去參加某項活動：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①為必然事件，②為不可能事件，③為隨機事件，則x＝（）A．5 B．6 C．3或4 D．5或6【答案】C【解析】利用必然事件、不可能事件、隨機事件的性質(zhì)求解．【詳解】依題意知，10名同學中，男生人數(shù)少于5人，但不少于3人，故x=3或4．故選C【點睛】本題考查必然事件、不可能事件、隨機事件的性質(zhì)的靈活運用．10.下列事件：①任取這三條線段，這三條線段恰好組成直角三角形；②從一個三角形的三個頂點各任畫一條射線，這三條射線交于一點；③實數(shù)，都不為0，但；④明年12月28日的最高氣溫高于今年12月28日的最高氣溫.其中為隨機事件的是（

）A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【解析】根據(jù)隨機事件的基本概念，逐項判定，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，對于①中，任取三條線段，這三條線段可能組成直角三角形，也可能組不成直角三角形，故①為隨機事件；對于②中，從一個三角形的三個頂點各任畫一條射線，三條射線可能不相交、交于一點、交于兩點、交天三點，故②為隨機事件；對于③中，若實數(shù)，都不為，則一定不等于0，故③為不可能事件；對于④中，由于明天12月28還未到來，故明年12月28日的最高氣溫可能高于今年12月28日的最高氣溫，也可能低于今年12月28日的最高氣溫，還可能等于今年12月28日的最高氣溫，故④為隨機事件.故選：B.【點睛】本題主要考查了隨機事件基本概念及應用，其中解答中熟記隨機事件的基本概念，逐項判定是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11.下列事件是確定事件的是（

）A．2022年世界杯足球賽期間不下雨B．沒有水，種子發(fā)芽C．對任意，有D．拋擲一枚硬幣，正面向上【答案】B【解析】根據(jù)確定事件的定義判斷即可‘’【詳解】解：不可能事件和必然事件統(tǒng)稱確定事件，對于A，2022年世界杯足球賽期間不下雨時隨機事件；對于B，沒有水，種子發(fā)芽為不可能事件，即為確定事件；對于C，對任意，有，為隨機事件；對于D，拋擲一枚硬幣，正面向上，為隨機事件；故選：B【點睛】本題考查確定事件的概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.12.從1，2，3，4這4個數(shù)中，任取2個數(shù)求和，那么“這2個數(shù)的和大于4”包含的樣本點數(shù)為（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【解析】【分析】列出2個數(shù)的和大于4的樣本點即可求解．【詳解】從1，2，3，4這4個數(shù)中，任取2個數(shù)求和，則試驗的樣本空間為Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}.其中“這2個數(shù)的和大于4”包含的樣本點有：(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4個．故選：C.13.下列說法正確的是（）A．某人打靶，射擊10次，擊中7次，那么此人中靶的概率為0.7B．一位同學做擲硬幣試驗，擲6次，一定有3次“正面朝上”C．某地發(fā)行福利彩票，回報率為，有人花了100元錢買彩票，一定會有47元的回報D．概率等于1的事件不一定為必然事件【答案】D【解析】【分析】對四個命題分別進行判斷即可得出結(jié)論【詳解】，某人打靶，射擊次，擊中次，那么此人中靶的概率不一定為，是一個隨機事件，故錯誤，是一個隨機事件，一位同學做擲硬幣試驗，擲次，不一定有次“正面朝上”，故錯誤，是一個隨機事件，買這種彩票，中獎或者不中獎都有可能，但事先無法預料，故錯誤，正確，比如說在和之間隨機取一個實數(shù)，這個數(shù)不等于的概率是，但不是必然事件，故正確綜上所述，故選【點睛】本題考查了事件發(fā)生的概率問題、必然事件，只要按照其定義進行判定即可，較為簡單14.分別標有數(shù)字的張卡片，從這張卡片中隨機抽取張卡片，則取出的張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的取法數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】由題意知,從這4張卡片中隨機抽取2張卡片,取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)包括(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),共有4種結(jié)果.故選C.15.從個同類產(chǎn)品（其中個是正品，個是次品）中任意抽取個的必然事件是（）A．3個都是正品 B．至少有個是次品 C．個都是次品 D．至少有個是正品【答案】D【解析】【詳解】試題分析：在一定條件下一定發(fā)生的事件，叫做必然事件．從12件同類產(chǎn)品中，其中10件是正品，2件是次品，任意抽取3件，其中至少有一件是正品，故選D.考點：本題主要考查必然事件的概念．點評：在一定條件下一定發(fā)生的事件，叫做必然事件．題組B能力提升練1.（多選）在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取3件產(chǎn)品，其中不是隨機事件的是（

）A．3件都是正品 B．至少有1件次品C．3件都是次品 D．至少有1件正品【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)題意25件產(chǎn)品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，且至少有1件正品，即可得解.【詳解】25件產(chǎn)品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，則“3件都是次品”不是隨機事件，是不可能事件，又25件產(chǎn)品中只有2件次品，從中任取3件產(chǎn)品，則“至少有1件正品”為必然事件，而A，B是隨機事件，故選：CD2.（多選）袋中裝有標號分別為1，3，5，7的四個相同的小球，從中取出兩個，下列事件是樣本點的是（

）A．取出的兩球標號為3和7B．取出的兩球標號的和為4C．取出的兩球標號都大于3D．取出的兩球標號的和為8【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)樣本點的定義逐一判斷四個選項的正誤即可得正確選項.【詳解】對于A：取出的兩球標號為3和7是樣本點，故選項A正確；對于B：取出的兩球標號的和為4，指取出的兩球標號為1和3，是樣本點，故選項B正確；對于C：取出的兩球標號都大于3，指取出的兩球標號為5和7，是樣本點，故選項C正確；對于D：取出的兩球標號的和為8包括取出的兩球標號為1和7、3和5，是兩個樣本點，故選項D不正確；故選：ABC.3.（多選）已知集合是集合的真子集，下列關(guān)于非空集合，的四個命題：①若任取，則是必然事件：②若任取，則是不可能事件；③若任取，則是隨機事件；④若任取，則是必然事件．其中正確的命題是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)集合是集合的真子集，可知集合中的元素都在集合中，集合中存在元素不是集合中的元素，再根據(jù)隨機事件，必然事件，不可能事件的定義判斷即可求解.【詳解】因為集合是集合的真子集，所以集合中的元素都在集合中，集合中存在元素不是集合中的元素，作出其韋恩圖如圖：對于①：集合中的任何一個元素都是集合中的元素，任取，則是必然事件，故①正確；對于②：任取，則是隨機事件，故②不正確；對于③：因為集合是集合的真子集，集合中存在元素不是集合中的元素，集合中也存在集合中的元素，所以任取，則是隨機事件，故③正確；對于④：因為集合中的任何一個元素都是集合中的元素，任取，則是必然事件，故④正確；所以①③④正確，故選：ACD.4.(多選)下列事件是隨機事件的是（

）A．函數(shù)f(x)＝x2－2x＋a的圖象關(guān)于直線x＝1對稱B．某人給其朋友打電話，卻忘記了朋友電話號碼的最后一個數(shù)字，就隨意撥了一個數(shù)字，恰巧是朋友的電話號碼C．直線y＝kx＋6是定義在R上的增函數(shù)D．某人購買福利彩票一注，中獎500萬元【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)必然事件，隨機事件的特點，逐項判斷，求出二次函數(shù)的對稱軸；隨機撥了一個數(shù)字；的正負決定了函數(shù)的增減性；以及彩票的特點，買了一注就中獎；即可確定隨機事件和必然事件.【詳解】A.根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸為，可得f(x)＝x2－2x＋a圖像關(guān)于x＝1對稱，是必然事件；B.因為忘記最后一個數(shù)字，隨意撥了一個數(shù)字，故是隨機事件；C.因為的不確定，所以也有可能是減函數(shù)；D.彩票由很多張，買了一張中獎，當然是隨機事件；所以A為必然事件；B，C，D為隨機事件．故選：BCD5.先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子朝上的面的點數(shù)分別為x，y，則事件“朝上的面的點數(shù)x，y滿足log2xy＝1”包含的樣本點有_______________．【答案】(1，2)，(2，4)，(3，6)．【解析】【分析】利用列舉法求解.【詳解】先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子朝上的面的點數(shù)分別為x，y，則事件“朝上的面的點數(shù)x，y滿足log2xy＝1”包含的樣本點有(1，2)，(2，4)，(3，6)．故答案為：(1，2)，(2，4)，(3，6)．6.給出下列事件：①函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)；②小學生和張怡寧打乒乓球，張怡寧勝利；③一所學校共有998名學生，至少有3名學生的生日相同；④若集合，，滿足，，則；⑤在標準大氣壓下，河流在20℃時結(jié)冰；⑥從1，3，9中任選兩數(shù)相加，其和為偶數(shù)．其中屬于隨機事件的是______，屬于必然事件的是______，屬于不可能事件的是______（填序號）．【答案】

②

③④⑥

①⑤【解析】【分析】根據(jù)必然事件，隨機事件和不可能事件的概念逐項判定可得出結(jié)果.【詳解】①中函數(shù)應為單調(diào)減函數(shù)，說法不正確，故為不可能事件；②中可能張怡寧勝利也可能小學生勝利，故為隨機事件；③中998大于365的兩倍，說法正確，故為必然事件；根據(jù)集合的包含關(guān)系，④中說法正確，故為必然事件；⑤中的說法不正確，故為不可能事件；⑥中任意兩奇數(shù)和均為偶數(shù)，說法正確，故為必然事件.故答案為：②；③④⑥；①⑤.7.從1，2，3，4，5中隨機取三個不同的數(shù)，則其和為奇數(shù)這一事件包含的樣本點個數(shù)為___________.【答案】4【解析】【分析】直接列舉基本事件即可.【詳解】從1，2，3，4，5中隨機取三個不同的數(shù)有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10種情況，其中（1，2，4），（1，3，5），（2，3，4），（2，4，5）中三個數(shù)字之和為奇數(shù)，共有4種.故答案為：4.8.將一枚骰子擲兩次，若先后出現(xiàn)的點數(shù)分別為b，c，則方程x2+bx+c=0有實數(shù)根的樣本點個數(shù)為______.【答案】19【解析】【分析】先根據(jù)題中的條件可得，列出所有滿足條件的情況即可．【詳解】一枚骰子擲兩次，先后出現(xiàn)的點數(shù)構(gòu)成的樣本點共36個，其中方程有實根的充要條件為b2≥4ac，得的結(jié)果有：（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（4，3）（5，3）（6，3）（4，4）（5，4）（6，4）（5，5）（6，5）（5，6）（6，6）共19結(jié)果．故答案為：19C培優(yōu)拔尖練1.某轉(zhuǎn)盤被平均分成10份（如圖所示）.轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字.問題（1）設(shè)事件“轉(zhuǎn)出的數(shù)字是5”，事件A是必然事件、不可能事件還是隨機事件？（2）設(shè)事件“轉(zhuǎn)出的數(shù)字是0”，事件B是必然事件、不可能事件還是隨機事件？（3）設(shè)事件“轉(zhuǎn)出的數(shù)字x滿足，”，事件C是必然事件、不可能事件還是隨機事件？【答案】（1）隨機事件；（2）不可能事件；（3）必然事件.【解析】根據(jù)必然事件、不可能事件還是隨機事件的定義判斷：（1）可能發(fā)生也可能不發(fā)生，（2）不可能發(fā)生；（3）一定會發(fā)生．【詳解】（1）“轉(zhuǎn)出的數(shù)字是5”可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故事件A是隨機事件.（2）“轉(zhuǎn)出的數(shù)字是0”，即，不是樣本空間的子集，故事件B是不可能事件.（3），故事件C是必然事件.【點睛】本題考查必然事件、不可能事件還是隨機事件的概念.2.班里有18個男生，15個女生，其中一名女生叫小麗，從中任意抽取a人打掃衛(wèi)生．(1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范圍；(2)女生小麗被抽到是隨機事件，求a的取值范圍．【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）根據(jù)必然事件的定義得解；（2）根據(jù)隨機事件的定義得解.【解析】(1)班里有18個男生，15個女生，從中任意抽取a人打掃衛(wèi)生，女生被抽到是必然事件，所以.(2)班里有18個男生，15個女生，從中任意抽取a人打掃衛(wèi)生，女生小麗被抽到是隨機事件，所以，.3.同時轉(zhuǎn)動如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤①得到的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤②得到的數(shù)為y，結(jié)果為(x，y)．(1)寫出這個試驗的樣本空間；(2)求這個試驗的樣本點的總數(shù)；(3)“x+y=5”這一事件包含哪幾個樣本點？“x<3且y>1”呢？(4)“xy=4”這一事件包含哪幾個樣本點？“x=y”呢？【答案】(1)答案見解析；(2)16；(3)答案見解析；(4)答案見解析.【分析】(1)根據(jù)給定條件按兩個轉(zhuǎn)盤中的數(shù)字依順序不重不漏地寫出各對數(shù)即可得試驗的樣本空間.(2)利用(1)即可求出樣本空間中樣本點的總數(shù).(3)借助(1)的樣本空間即可寫出事件“x+y=5”、“x<3且y>1”的樣本點.(4)借助(1)的樣本空間即可寫出事件“xy=4”、“x=y”的樣本點.【解析】(1)Ω={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}.(2)由(1)知，樣本點的總數(shù)為16.(3)由(1)知，事件“x+y=5”包含以下4個樣本點：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(1，4)；事件“x<3且y>1”包含以下6個樣本點：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4).(4)由(1)知，事件“xy=4”包含以下3個樣本點：(1，4)，(2，2)，(4，1)；事件“x=y”包含以下4個樣本點：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4).4.連續(xù)擲3枚硬幣，觀察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面.（1）寫出對