2024屆福州市高三下2月份質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．已知點在拋物線上，則的焦點到其準(zhǔn)線的距離為（）A． B．1 C．2 D．43．已知是兩個不共線的向量，若與是共線向量，則（）A． B． C． D．4．在中，，則的面積為（）A．2 B． C．4 D．5．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知正方形的四個頂點都在橢圓上，橢圓的兩個焦點分別在邊和上，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．7．甲、乙、丙三個地區(qū)分別有的人患了流感，且構(gòu)成以1為公差的等差數(shù)列．已知這三個地區(qū)的人口數(shù)的比為，現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一人，在此人患了流感的條件下，此人來自甲地區(qū)的概率最大，則的可能取值為（）A．1.21 B．1.34 C．1.49 D．1.518．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若的圖象關(guān)于點對稱，且，則下列結(jié)論一定成立的是（）A． B．C． D．9．（多）已知等差數(shù)列的前項和為，則（）A．的最小值為1 B．的最小值為1C．為遞增數(shù)列 D．為遞減數(shù)列10．(多）在長方體中，為的中點，則（）A． B．平面C．點到直線的距離為 D．點到平面的距離為11．（多）通信工程中常用元數(shù)組表示信息，其中或．設(shè)表示和中相對應(yīng)的元素（對應(yīng)，）不同的個數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則存在5個5元數(shù)組，使得B．若，則存在12個5元數(shù)組，使得C．若元數(shù)組，則D．若元數(shù)組，則12．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，則______．13．底面半徑為2且軸截面為正三角形的圓錐被平行于其底面的平面所截，截去一個高為的圓錐，所得的圓臺的側(cè)面積為______．14．在平面直角坐標(biāo)系中，整點（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)）在第一象限，直線，與分別切于兩點，與軸分別交于兩點，則使得周長為的所有點的坐標(biāo)是______．15．（13分）已知函數(shù)是的零點．（1）求的值；（2）求函數(shù)的值域．16．（15分）如圖，四棱錐的底面為正方形，平面平面在上，且．（1）證明：平面；（2）若為的中點，且，求平面與平面夾角的余弦值．外向型內(nèi)向型男性4515女性201017．（15分）人的性格可以大體分為“外向型”和“內(nèi)向型”兩種，樹人中學(xué)為了了解這兩種性格特征與人的性別是否存在關(guān)聯(lián)，采用簡單隨機抽樣的方法抽取90名學(xué)生，得到如下數(shù)據(jù)：（1）以上述統(tǒng)計結(jié)果的頻率估計概率，從該校男生中隨機抽取2人、女生中隨機抽取1人擔(dān)任志愿者．設(shè)這三人中性格外向型的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．（2）對表格中的數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨立性檢驗，可以得出獨立性檢驗的結(jié)論是這兩種性格特征與人的性別沒有關(guān)聯(lián)．如果將表格中的所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來10倍，在相同的檢驗標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨立性檢驗推斷這兩種性格特征與人的性別之間的關(guān)聯(lián)性，得到的結(jié)論是否一致？請說明理由．附：參考公式：．0.10.050.012.7063.8416.63518．（17分）已知雙曲線，動直線與軸交于點，且與交于兩點，是的等比中項，．（1）若兩點位于軸的同側(cè)，求取最小值時的周長；（2）若，且兩點位于軸的異側(cè)，證明：為等腰三角形．19．（17分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求證：；（3）若且，求證：．2024屆福州市高三下2月份質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題參考答案1．A2．B3．D4．B5．D【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，所以，解得．故選D．6．C【解析】不妨設(shè)橢圓方程為，當(dāng)時，，所以，因為四邊形為正方形，所以，即，所以，所以，解得，因為，所以．7．D【解析】設(shè)事件分別為“此人來自甲、乙、丙三個地區(qū)”，事件分別為“此人患了流感，且分別來自甲、乙、丙地區(qū)”，事件為“此人患了流感”．由題可知，，所以，因為此人患了流感來自甲地區(qū)的概率最大，所以解得，故選D．8．C【解析】因為的圖象關(guān)于點對稱，所以的圖象關(guān)于原點對稱，即函數(shù)為奇函數(shù)，則，又，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以3是的一個周期；因為，故C正確；取符合題意的函數(shù)，則，所以，又，故2不是的一個周期，所以，排除B；因為不是函數(shù)的最值，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，所以，排除A；因為，所以排除D．9．【答案】ABC【解析】假設(shè)的公差為，由，所以，又，所以，所以．選項A：，故時的最小值為1，A正確；選項B：，令，所以，可知在區(qū)間單調(diào)遞增，所以時取得最小值1，B正確；選項C：，故為遞增數(shù)列，C正確；選項D：，因為，所以不是遞減數(shù)列，D錯誤．10．【答案】BC【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，易知，，，，，．選項A，，，所以A錯誤；選項B，顯然，可得平面，所以B正確；選項C，記直線的單位方向向量為，則，又，所以向量在直線上的投影向量為，則有到直線的距離為，故C正確；選項D，設(shè)平面的法向量為，由，可求得，又，所以點到平面的距離，故D錯誤．11．【答案】ACD【解析】選項A：滿足條件的數(shù)組共有個，故A正確；選項B：滿足條件的數(shù)組共有個，故B錯誤；選項C：設(shè)中對應(yīng)項同時為0的共有個，同時為1的共有個，從而對應(yīng)項一項為1與另一項為0的共有個，這里，從而，而，故C正確，同理D正確．12．13．14．【答案】或【解析】因為直線分別與相切于兩點，且直線分別與軸于兩點，所以，所以的周長為，所以，設(shè)，所以，因為為整點，所以點的坐標(biāo)為或．15．【解析】（1）由已知可得，解得，即，又，可得．（2）由，可得，其中，則當(dāng)時取得最小值時取得最大值2，故函數(shù)的值域為．16．（1）因為，所以平面，又平面，所以，又，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面（2）由（1）得平面，又平面，所以，因為，所以，因為平面平面，所以，又，所以，所以，由（1）知兩兩垂直，如圖，以點為原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．所以，顯然平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，則即取，則，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．17．（1）由統(tǒng)計結(jié)果可知，外向型男生在所有男生中占比為，外向型女生在所有女生中占比為，故從該校男生中隨機抽取一人為外向型男生的概率是，從該校女生中隨機抽取一人為外向型女生的概率是．則的所有可能取值為0，1，2，3．則，，所以．（2）零假設(shè)為：這兩種性格特征與人的性別無關(guān)聯(lián)．由所獲得的所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來10倍，可知依據(jù)的獨立性檢驗，可以推斷這兩種性格特征與人的性別有關(guān)聯(lián)，與原來的結(jié)論不一致，原因是每個數(shù)據(jù)擴(kuò)大為原來的10倍，相當(dāng)于樣本量變大為原來的10倍，導(dǎo)致推斷結(jié)論發(fā)生了變化．18．（1）因為動直線與軸交于點，因為的右焦點為，所以點為的右焦點設(shè)，因為兩點位于軸的同側(cè)，所以，因為是的等比中項，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)時，所以，所以軸，由解得，所以，所以，由雙曲線的定義得，所以，即的周長為36（2）設(shè)，由得，因為直線與交于兩點，所以且，由，可得，故，又兩點位于軸的異側(cè)，所以，所以，即，所以，解得，所以，所以，所以，不妨設(shè)點在第二象限，根據(jù)雙曲線定義，得，即解得，所以是等腰三角形．19．（1）的定義域為，，記，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減所