2023-2024學(xué)年北京市朝陽區(qū)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量監(jiān)測

模擬試題

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題

目要求的一項(xiàng).

1.已知集合/={-1,0』，3={尤eN|無<3},那么集合等于（）

A.[-1,3）B.{0,1,2}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}

2.設(shè)命題尸:*eR,x+120,則「尸為（）

A.Vx€R,x+1>0B.3xGR,x+1<0

C.VxGR,x+1<0D.R,x+1>0

3.設(shè)集合4=*|-1?%<2},8={劃1<研，若AcBwO,則〃的取值范圍是（）

A.—1<Q?2B.tz>2C.〃2—1D.Q〉—1

4.已知>=/（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x20時(shí)，了=/a）圖象如圖所示，則下列關(guān)系正確

B-/⑶>/■⑴>/(-2)

C./⑴>〃3)>/(-2)

D./(-2)>/(1)>/(3)

5.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間(0,+勸上單調(diào)遞減的是()

2i

A.y=-xB.y_%2C.y=x~'D.y=x

6.已知。，仇ceR,且a>b,則下列不等式一定成立的是()

A.a2>b2B.—<7-C.a\c\>b\c\D.c-a<c-b

ab

7.設(shè)xeR,則是—2|<1"的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.從2015年到2020年，某企業(yè)通過持續(xù)的技術(shù)革新來降低其能源消耗，到了2020年該企業(yè)單

位生產(chǎn)總值能耗降低了20%.如果這五年平均每年降低的百分率為x,那么x滿足的方程是()

A.5%=0.2B.5(1-尤)=0.8C.爐=0.2D.(l-x)5=0.8

9.函數(shù)f(x)=ax2+(a-3)x+l在區(qū)間[-1,+8)上是遞減的,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[-3,0)B.(-oo,-3]

C.[-2,0]D.[-3,0]

10.設(shè)/(x)為定義在R上的函數(shù)，函數(shù)/(x+1)是奇函數(shù).對于下列四個(gè)結(jié)論：

①〃1)=0;

②/(I)=-/(l+x)；

③函數(shù)“X)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；

④函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱;

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡上.

11.函數(shù)了="三的定義域是.

x-l

12.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x(l+x),則/(-1)=.

[l

13.函數(shù)/(x)=xx'>1"的最大值為.

—x2+2,x<1

14.函數(shù)"X)的定義域?yàn)?。，給出下列兩個(gè)條件：

①對于任意國,％e。，當(dāng)國片超時(shí)，總有

②f(x)在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).

請寫出一個(gè)同時(shí)滿足條件①②的函數(shù)/⑴，則/(》)=.

15.已知函數(shù)/1(無)=]"2給出下列四個(gè)結(jié)論：

[一次-2x,x<a.

①存在實(shí)數(shù)使函數(shù)/(%)為奇函數(shù);

②對任意實(shí)數(shù)。，函數(shù)既無最大值也無最小值；

③對任意實(shí)數(shù)。和左，函數(shù)y=/a)+l總存在零點(diǎn)；

④對于任意給定的正實(shí)數(shù)機(jī)，總存在實(shí)數(shù)。，使函數(shù)/(x)在區(qū)間(-1,⑼上單調(diào)遞減.其中所有正確

結(jié)論的序號是.

三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.設(shè)集合/={x|a-l<x<2a+3},不等式——2x-8<0的解集為8.

(1)當(dāng)”=1時(shí)，求ZcB,ADB,'/；

(2)當(dāng)/=3時(shí)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

4

17.設(shè)函數(shù)/(x)=x+-+3

X

(1)求函數(shù)/(無)的圖像與直線y=2無交點(diǎn)的坐標(biāo)：

(2)當(dāng)尤e(O,+s)時(shí)，求函數(shù)的最小值

(3)用單調(diào)性定義證明：函數(shù)/(x)在(2,+8)上單調(diào)遞增.

18.已矢口函數(shù)/(x)=a/-2〃x-3.

⑴若。=1,求不等式/(力士0的解集;

⑵己知a>0,且/(x"0在艮口)上恒成立，求a的取值范圍；

(3)若關(guān)于x的方程/(x)=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根為，X］,求的取值范圍.

19.已知函數(shù)"x)=x?+7"x-2："+l(meR).

(1)若加=2,求函數(shù)在區(qū)間［-2,1］上的最大和最小值；

⑵解不等式〃x)<2x+l.

20.設(shè)某商品的利潤只由生產(chǎn)成本和銷售收入決定.生產(chǎn)成本。(單位：萬元)與生產(chǎn)量x(單位:

千件)間的函數(shù)關(guān)系是C=3+x；銷售收入S(單位：萬元)與生產(chǎn)量x間的函數(shù)關(guān)系是

'18

3xH-----1-5,0<x<6

S=<x-8.

14,x>6

(I)把商品的利潤表示為生產(chǎn)量X的函數(shù)；

(II)為使商品的利潤最大化，應(yīng)如何確定生產(chǎn)量？

/、\x,xGP

21.設(shè)函數(shù)/(x)={“其中尸，河是非空數(shù)集.記/(P)={y[y=/(x)，]￡尸}，XM)=b4y=

I—X,XE.M

f(x),x￡M}.

(I)若尸=[0,3],Af=(-oo,-1),求次P)UHM；

(II)若尸n“=0,且大x)是定義在R上的增函數(shù)，求集合尸，M；

(III)判斷命題“若PU峪尺，則{的真假，并加以證明.

1.c

【分析】先求出B集合，再根據(jù)并集合的運(yùn)算求出兩個(gè)集合的并集.

【詳解】3={xeN|無＜3}={0,1,2},所以ZUB{T,0,l,2},

故選：C

2.C

特稱命題的否定是全稱命題，先否定量詞，再否定結(jié)論.

【詳解】命題尸HxeR,尤+120,則-1P為：VxeR,x+l＜0

故選：C

3.D

【分析】根據(jù)/C3W0,由集合A,B有公共元素求解.

【詳解】集合/={》|-14》＜2},3={刈》＜。},

因?yàn)镹cBW0,

所以集合A,B有公共元素，

所以。＞—1.

故選：D

4.A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到/（-2）=/（2）,再結(jié)合當(dāng)x20時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，即可求

解.

【詳解】由題意，函數(shù)了=/（尤）是定義在&上的偶函數(shù)，可得/（-2）=/■⑵，

又由當(dāng)xNO時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以/。）＞（2）＞/（3）,

所以/⑴＞/（一2）＞〃3）.

故選：A.

5.C

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性對各個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可.

【詳解】對A,?.?函數(shù)y=的圖象關(guān)于V軸對稱，

故了=一x2是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對B,???函數(shù)了=「的定義域?yàn)椋邸悖?"）不關(guān)于原點(diǎn)對稱，

故V一爐是非奇非偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對C,???函數(shù)y=x-的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

故y=x-是奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞減，故C正確；

對D,?.,函數(shù)y=x3的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

故>=/是奇函數(shù)，但在(0,+向上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

6.D

對A,B,C,利用特殊值即可判斷，對D,利用不等式的性質(zhì)即可判斷.

【詳解】解：對A,令a=l,b--2,此時(shí)滿足但/<〃，故A錯(cuò)；

對B,令。=1,6=-2,此時(shí)滿足。>占，但故B錯(cuò)；

ab

對C,若c=0,a>b,則Q|c\=b\cI，故C錯(cuò)；

對D,'：a>b

—a<—b,

則C-Q<C-6,故D正確.

故選：D.

7.A

【分析】先解不等式，再根據(jù)兩個(gè)解集包含關(guān)系得結(jié)果.

LW1?.?|x-2|<l.-.-l<x-2<l,l<x<3,X(l,2)1(1,3),所以“l(fā)<x<2”是“卜-2|<1"的充分不

必要條件，選A.

充分、必要條件的三種判斷方法.

1.定義法：直接判斷“若？則牙’、“若q則〃”的真假.并注意和圖示相結(jié)合，例如“？=才’為真，

則。是q的充分條件.

2.等價(jià)法：利用pnq與非qn非？，qn〃與非非/。oq與非qo非？的等價(jià)關(guān)系，對

于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法.

3.集合法：若AUB,則A是8的充分條件或5是A的必要條件；若人=8,則A是8的充要條

件.

8.D

根據(jù)題設(shè)逐年列出生產(chǎn)總值能耗后可得正確的選擇.

【詳解】設(shè)2015年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗為。，則2016年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗a(l-x),

2017年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗。(1-x)2,2018年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗a(l-x)3,

2019年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗-無曠，2020年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗a(l-x)5,

由題設(shè)可得。(1-尤丫=0.80即=0.8,

故選：D.

9.D

【詳解】當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-3x+l顯然成立，

fa<0,

當(dāng)"0時(shí)，需］--3.，解得-3Wa<0,

綜上可得?3Sa0O.

【誤區(qū)警示】本題易忽視a=0這一情況而誤選A,失誤的原因是將關(guān)于x的函數(shù)誤認(rèn)為是二次函數(shù).

10.C

令g(x)=〃x+l),①：根據(jù)g(o)=o求解出/⑴的值并判斷；②：根據(jù)g(x)為奇函數(shù)可知

g(-x)=-g(x),化簡此式并進(jìn)行判斷；根據(jù)y=/(x+l)與7=/(x)的圖象關(guān)系確定出“X)關(guān)于

點(diǎn)對稱的情況，由此判斷出③④是否正確.

【詳解】令g(x)=〃x+l),

①因?yàn)間(x)為尺上的奇函數(shù),所以g⑼=〃0+1)=0,所以〃1)=0,故正確;

②因?yàn)間(x)為R上的奇函數(shù)，所以g(-x)=-g(x),所以f(-x+l)=-/(x+l),即

/(1)=_/(1+X),故正確；

因?yàn)閥=/(x+i)的圖象由，=/(x)的圖象向左平移一個(gè)單位得到的，

又y=/(x+i)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，故③錯(cuò)誤④正確，

所以正確的有：①②④，

故選：C.

結(jié)論點(diǎn)睛：通過奇偶性判斷函數(shù)對稱性的常見情況：

(1)若/(X+。)為偶函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x對稱；

(2)若/(尤+。)為奇函數(shù)，則函數(shù)V=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(。,0)成中心對稱.

11.且無W1}

【分析】求使函數(shù)有意義的X的范圍即為定義域，逐項(xiàng)求解即可.

fx+l＞0

【詳解】解：由題意得,C，解得X2T且中1,

[x—l,0

故函數(shù)的定義域?yàn)閧xl尤且XW1}.

故{x|x2-l且XH1;

12.-2

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合/(-1)=-7'(1),代入即可求解.

【詳解】由函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)尤＞0時(shí)，/(x)=x(l+x),

則〃T)=-"1)=TX(1+1)=-2.

故答案為.-2

13.2

【分析】求出函數(shù)在每一段的最大值，再進(jìn)行比較，即可得答案；

【詳解】當(dāng)尤＞1時(shí)，函數(shù)〃x)=工為減函數(shù)，

所以/(X)在X=1處取得最大值為〃1)=1；

當(dāng)尤＜1時(shí)，易知函數(shù)/(x)=-/+2在x=0處取得最大值為/(0)=2.

故函數(shù)/(》)的最大值為2.

故2.

本題考查分段函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14./(》)=：

根據(jù)題意寫出一個(gè)同時(shí)滿足①②的函數(shù)/(x)即可.

【詳解】解：易知：在(-鞏0)上單調(diào)遞減，(0,+8)上單調(diào)遞減，

故對于任意國,％e。，當(dāng)國片超時(shí)，總有/(不)3/(9)；

且/(x)=:在其定義域(-叫0)D(0,+s)上不單調(diào).

故答案為./（X）=：

15.①②④

分別作出4=0,。＞0和a＜0的函數(shù)/（幻的圖象，由圖象即可判斷①②③④的正確性，即可得正

確答案.

如上圖分別為。=0,。＞0和。＜0時(shí)函數(shù)/（幻的圖象,

x2-2x,x>0

對于①：當(dāng)。=0時(shí),〃x)=

—x2-2x,x<0

/（X）圖象如圖1關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以存在。=0使得函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，故①正確；

對于②：由三個(gè)圖知當(dāng)xf-8時(shí)，yf-co,當(dāng)xf+oo時(shí)，＞—+00,所以函數(shù)/（X）既無最大值

也無最小值；故②正確；

對于③：如圖2和圖3中存在實(shí)數(shù)《使得函數(shù)y=圖象與歹=一人沒有交點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)

y=/（x）+K沒有零點(diǎn)，所以對任意實(shí)數(shù)。和無，函數(shù)y=/（x）+左總存在零點(diǎn)不成立；故③不正確

對于④：如圖2,對于任意給定的正實(shí)數(shù)機(jī)，取。=加+1即可使函數(shù)/（X）在區(qū)間（-1,〃。上單調(diào)遞

減，故④正確；

故①②④

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是分段函數(shù)圖象，涉及二次函數(shù)的圖象，要討論。=0,。＞0和。＜0

即明確分段區(qū)間，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可研究分段函數(shù)的性質(zhì).

16.⑴={尤[0<x<4},A^JB={x\-2<x<5],4/={尤|xV0或x25}

(2)a<-4^-l<a<|

【分析】(1)根據(jù)條件，先求出集合42,再借助數(shù)軸即可求出結(jié)果;

(2)根據(jù)/=分/=0和/H0兩種情況討論，即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)由/-2x-8<0,得到-2〈尤<4,即8={x|-2<x<4},

當(dāng)“=1時(shí)，4={x[0<x<5},

"A"

上1xv

-2045

由圖知，4n5={x[0<x<4},A<JB=[x\-2<x<5],\A={x|x<0^x>5}.

(2)因?yàn)?=8,當(dāng)/=0,BPa-1>2?+3,得到4,滿足題意，

fci—12—21

Aw0,即。〉一4,由/uB,得到L/得到一1?。<一,

—[2tz+3<42

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為aV-4或

17.(1)(4,8)或(一1,一2)(2)7(3)證明見解析.

4

(1)由XH---H3=2x解出方程可得答案.

(2)利用均值不等式》+±+322、0+3可得答案.

XVX

(3)由定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟即可證明.

4

【詳解】(1)由x+—+3=2x,BPx2-3x-4=0,解得％=4或%=—1

x

所以函數(shù)/(X)的圖像與直線歹=2%交點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,8)或(-1,-2)

4I4

⑵當(dāng)x〉0時(shí)，/()=x+-+3>2%—+3=7

xxVx

4

當(dāng)且僅當(dāng)x=—,即x=2時(shí)，取得等號.

所以當(dāng)%￡(0,+8)時(shí),函數(shù)/(%)的最小值為7.

⑶任取為,％2>2,且占<%2

則/(%)-/(七)=%2+/+3

-^+―+3

I4

=(X-X)+4^1~X^

二（%2一再）+21

xxx2

二(%2-%)]

I玉％.x{x2

由國,％2>2,且再<%2，貝!]玉%2>4,x2-xx>0

所以西馬_4>0,則（%2_周嚴(yán)24>0

XxX2

所以〃%）-/（占）>0,gp/（x2）>/（%,）

所以函數(shù)/（x）在（2,+⑹上單調(diào)遞增

思路點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，證明函數(shù)的單調(diào)性和利用單調(diào)性解不等式.證明函

數(shù)的單調(diào)性的基本步驟為：

（1）在給定的區(qū)間內(nèi)任取變量外,z,且設(shè)網(wǎng)<%.

（2）作差/（占）-）卜2）變形，注意變形要徹底，變形的手段通常有通分、因式分解、配方、有理化

等.

（3）判斷符號，得出了（再），/仁）的大小.

（4）得出結(jié)論.

18.（1）何尤V-1或x23}

⑵[l,+oo）

⑶（2,4）

【分析】（1）由題意得V一2%-320,求解即可得出答案；

（2）函數(shù)/（工）=--26-3=姑-1）2-"35>0）,可得二次函數(shù)/⑴圖象的開口向上，且對稱軸為

X=l,題意轉(zhuǎn)化為/'（刈感》。，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得出答案；

（3）利用一元二次方程的根的判別式和韋達(dá)定理，即可得出答案.

【詳解】（1）當(dāng)。=1時(shí)，/（x）=x2-2x-3,

/(x)NO,即/-2%-320，解得xV-1或x23,

不等式的解集為｛小W-1或x23｝；

(2)/(x)=ax2-lax-3=?(x-l)2-?-3(a>0),xG［3,+oo)

則二次函數(shù)/(x)圖象的開口向上，且對稱軸為x=l,

.??AX)在［3,+的)上單調(diào)遞增，,尤)ma=/(3)=3。-3,

/(x)>0it［3,+00)上恒成立,轉(zhuǎn)化為/(x)^20,

???3。-320,解得故實(shí)數(shù)。的取值范圍為［1,+功；

(3)關(guān)于x的方程=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根再廣2,

2

Vf(x)=ax-2ax-3,+x2>0,XjX2>0,

A=4(22+12a>0

「?aw0且<國+工2=2〉0,角星得a<—3,

3

西**2=---->0

、a

.X；+%2=(/+%2)—2X]/=4H---,

令g(a)=4+9(a<-3),

a

g(。)在(-8,-3)上單調(diào)遞減，

，一e(—2,0),g(a)G(2,4),

a

故才+4的取值范圍為(2,4).

19.(1)最大值為0,最小值為-4

(2)答案見解析

【分析】(1)當(dāng)優(yōu)=2時(shí)，可得/■(X)=X2+2X-3,結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解;

(2)把不等式轉(zhuǎn)化為/+(加-2)x-2加<0,結(jié)合一元二次不等式的解法，即可求解.

【詳解】(1)解：當(dāng)機(jī)=2時(shí)，可得/(無)=f+2尤一3,

則函數(shù)V=/(x)表示開口向上的拋物線，且對稱軸為》=-1,

所以函數(shù)了=/(x)在［-2,-1］上單調(diào)遞減，在［-1,1］上單調(diào)遞增,

所以，當(dāng)x=-l時(shí)，函數(shù)/(X)取得最小值，最小值為/■(-!)=-4,

又因?yàn)?(-2)=-3,/(1)=0,所以函數(shù)的最大值為0,

綜上可得，函數(shù)了=/(x)的最大值為0,最小值為-4.

(2)解：由不等式/(x)<2x+1,即/+-2加+1<2x+1,

即不等式—+(m-2)x-2m=(x+m)(x-2)<0,

當(dāng)冽=-2時(shí)，不等式即為(工-2)2<0,此時(shí)不等式的解集為空集；

當(dāng)-冽<2時(shí)，即加〉-2時(shí)，不等式的解集為-加<x<2；

當(dāng)-加>2時(shí)，即加<-2時(shí)，不等式的解集為2<%<-冽，

綜上可得：當(dāng)加=-2時(shí)，不等式的解集為空集；

當(dāng)加〉-2時(shí)，不等式的解集為(-加,2)；當(dāng)冽<-2時(shí)，不等式的解集為(2,-冽).

，18

2%H-----F2,0<x<6

20.(I)y=jx-8；(II)確定為5千件時(shí)，利潤最大.

11—x,x>6

⑴用銷售收入減去生產(chǎn)成本即得利潤；

(II)分段求出利潤函數(shù)的最大值可得生產(chǎn)產(chǎn)量.

']8

3xH-----\~5—(3+%),0<%<6

【詳解】⑴設(shè)利潤是了(萬元)，則y=s-c=x-8,

14-(3+x),x>6

，18

2xH------F2,0<%<6

y=yx-8；

11-x,x>6

189.

(II)0<x<6時(shí)，y=2xH-----F2=—2[(8—x)H-----]+18,