第三章測(cè)評(píng)(時(shí)間:120分鐘滿(mǎn)分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.已知a>b,則下列不等式①a2>b2,②1a<1b,③1A.0 B.1 C.2 D.3解析:取a=2,b=4,可知①②③均不成立.答案:D2.不等式(x+3)2<1的解集是()A.{x|x>2} B.{x|x<4}C.{x|4<x<2} D.{x|4≤x≤2}解析:原不等式可化為x2+6x+8<0,解得4<x<2.答案:C3.若變量x,y滿(mǎn)足約束條件y≤1,x+y≥0,xA.4 B.3 C.2 D.1解析:畫(huà)出約束條件表示的可行域如圖陰影部分,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x2y經(jīng)過(guò)x+y=0與xy2=0的交點(diǎn)A(1,1)時(shí),取到最大值3.故選B.答案:B4.已知關(guān)于x的不等式ax2+bx2>0的解集是-∞,-12∪13,+A.24 B.6 C.14 D.14解析:由已知得-ba=-12所以ab=24.答案:A5.設(shè)a>0,若關(guān)于x的不等式x+ax≥4在x∈(0,+∞)恒成立,則a的最小值為(A.4 B.2 C.16 D.1解析:因?yàn)閤>0,a>0,所以x+ax≥2a因此要使不等式恒成立,應(yīng)有2a≥4,所以a≥4,即a的最小值為4.答案:A6.不等式x2-x-6xA.{x|x<2或x>3}B.{x|x<2或1<x<3}C.{x|2<x<1或x>3}D.{x|2<x<1或1<x<3}解析:不等式可化為(x+2)(x3)(x1)>0,由穿針引線(xiàn)法(如圖)可得2<x<1或x>3.答案:C7.已知當(dāng)x∈(1,2)時(shí),不等式x2+mx+4>0有解,則m的取值范圍為()A.m>4 B.m<4C.m>5 D.m<5解析:記f(x)=x2+mx+4,則由二次函數(shù)的圖像知,當(dāng)f(1)>0或f(2)>0時(shí),不等式x2+mx+4>0在(1,2)上一定有解,即m+5>0或2m+8>0,解得m>5.故選C.答案:C8.(2017浙江高考)若x,y滿(mǎn)足約束條件x≥0,x+y-3≥0,A.[0,6] B.[0,4]C.[6,+∞) D.[4,+∞)解析:畫(huà)出約束條件x≥0,由目標(biāo)函數(shù)z=x+2y得直線(xiàn)l:y=12x+12當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,1)時(shí),z取最小值,zmin=2+2×1=4.又z無(wú)最大值,所以z的取值范圍是[4,+∞),故選D.答案:D9.已知a2+14c23=0,則c+2a的最大值是(A.23 B.26C.27 D.33解析:解法一:由a2+c243=0,得4a2+c2所以(2a+c)2=4a2+c2+2×2ac≤4a2+c2+4a2+c2=24,當(dāng)且僅當(dāng)2a=c=6時(shí)取等號(hào),則c+2a的最大值是26.解法二:由a2+14c23=0,可得13a2+112c令a=3cosα,c=23sinα,α∈R,可得c+2a=23sinα+23cosα=26sinα+π4答案:B10.若變量x,y滿(mǎn)足x+y+2≤0,x-y+4≥0,y≥aA.0 B.1 C.1 D.2解析:畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖所示,令z=2xy,則y=2xz.因?yàn)?xy的最大值為1,所以2xy=1與陰影部分的交點(diǎn)為陰影區(qū)域的一個(gè)頂點(diǎn),由圖像可知,當(dāng)直線(xiàn)2xy=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí),z取得最大值,由2x-y=-1答案:C11.已知在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個(gè)面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長(zhǎng)x(單位:m)的取值范圍是()A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]解析:矩形的一邊長(zhǎng)為xm,則其鄰邊長(zhǎng)為(40x)m,故矩形面積S=x(40x)=x2+40x,由S≥300得x2+40x≥300,即10≤x≤30.答案:C12.已知點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿(mǎn)足條件x≤1,y≤2,2x+y-2≥0.記yx+2的最大值為a,A.4 B.5C.7+43 D.8+43解析:線(xiàn)性約束條件表示的可行域?yàn)橹本€(xiàn)x=1,y=2,2x+y2=0圍成的三角形及其內(nèi)部,yx+2=y-0x+2可看作點(diǎn)(x,y),(2,0)連線(xiàn)的斜率,觀察圖形可知最大值a=1,x2+(y+3)2可看作兩點(diǎn)(x,y),(0,3)間距離的平方答案:B二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知m,n為實(shí)數(shù),若關(guān)于x的不等式x2+mx+n<0的解集為(1,3),則m+n的值為.

解析:由題意得,1,3為方程x2+mx+n=0的兩根,因此1+3=m,1×3=n?m=2,n=3,則m+n=5.答案:514.(2017江蘇高考)某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物600噸,每次購(gòu)買(mǎi)x噸,運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x的值是.

解析:一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為4x+600x×6=4x+900x≥4×2900=240,當(dāng)且僅當(dāng)x=900x,答案:3015.若函數(shù)f(x)=2x2+2ax-a-1解析:依題意得2x2+2ax-a1≥0恒成立,即x2+2axa≥0恒成立,因此Δ=4a2+4a答案:[1,0]16.若變量x,y滿(mǎn)足2x-y≤0,x-3y+5≥0,解析:根據(jù)約束條件作出可行域如圖.由z=log2(xy+5),得2z=xy+5,即y=x+52z,作直線(xiàn)l0:xy=0,當(dāng)直線(xiàn)l0過(guò)原點(diǎn)(0,0)時(shí),2z最大,即2z=5,此時(shí)z最大,所以當(dāng)x=y=0時(shí),zmax=log25.答案:log25三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(本小題滿(mǎn)分10分)設(shè)?(x)=16xx2+8(1)求?(x)的最大值.(2)證明:對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,恒有?(a)<b23b+214(1)解f(x)=16xx2+8當(dāng)且僅當(dāng)x=8x,x>0,所以?(x)的最大值為22.(2)證明b23b+214=當(dāng)b=32時(shí),b23b+214由(1)得,?(a)有最大值22.又因?yàn)?2<3,所以對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b都有?(a)<b23b+21418.(本小題滿(mǎn)分12分)已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足約束條件x≥0,y≤x,2x+y-9≤0,設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈,解作出約束條件x≥0,y≤x,2x+y-9≤0所對(duì)應(yīng)的可行域D(如圖陰影部分),直線(xiàn)聯(lián)立y=x,2x由斜率公式可得kAB=3-結(jié)合圖像可得,要使直線(xiàn)y=a(x+1)與區(qū)域D有公共點(diǎn),需使a≤34.所以a的取值范圍為-∞,19.導(dǎo)學(xué)號(hào)33194080(本小題滿(mǎn)分12分)一批救災(zāi)物資隨26輛汽車(chē)以xkm/h的速度勻速開(kāi)往400km處的地震災(zāi)區(qū),為安全起見(jiàn),每輛汽車(chē)的前后間距不得小于x202km,問(wèn)這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū),最少要用多少小時(shí)解設(shè)這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)需用yh,由題意可知,y相當(dāng)于最后一輛車(chē)行駛25×x202+400km所用的時(shí)間,所以y=25×x202+400x=25x202所以這些汽車(chē)以80km/h的速度勻速行駛時(shí),所需時(shí)間最少,最少時(shí)間為10h.20.導(dǎo)學(xué)號(hào)33194081(本小題滿(mǎn)分12分)已知不等式mx2+nx1m<0的解集為xx(1)求m,n的值;(2)解關(guān)于x的不等式(2a1x)(x+m)>0,其中a是實(shí)數(shù).解(1)依題意得m解得m=1,n=32(2)原不等式為(2a1x)(x1)>0,即[x(2a1)](x1)<0.①當(dāng)2a1<1,即a<1時(shí),2a1<x<1;②當(dāng)2a1=1,即a=1時(shí),不等式的解不存在;③當(dāng)2a1>1,即a>1時(shí),1<x<2a1.綜上,當(dāng)a<1時(shí),原不等式的解集為{x|2a1<x<1};當(dāng)a=1時(shí),原不等式的解集為?;當(dāng)a>1時(shí),原不等式的解集為{x|1<x<2a1}.21.(本小題滿(mǎn)分12分)某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目,根據(jù)預(yù)測(cè),甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%,可能的最大虧損率分別為30%和10%,投資人計(jì)劃投資金額不超過(guò)10萬(wàn)元.要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元,問(wèn)投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬(wàn)元,才能使可能的盈利最大?解設(shè)投資人用x萬(wàn)元投資甲項(xiàng)目,用y萬(wàn)元投資乙項(xiàng)目,盈利為z萬(wàn)元.由題意知x目標(biāo)函數(shù)z=x+0.5y.上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖,陰影部分(含邊界)即為可行域.作直線(xiàn)l0:x+0.5y=0,并作平行于直線(xiàn)l0的一組直線(xiàn)x+0.5y=z,z∈R,與可行域相交,其中有一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M,且與直線(xiàn)x+0.5y=0的距離最大,點(diǎn)M是直線(xiàn)x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交點(diǎn).解方程組x得x=4,y=6,此時(shí)zmax=4+0.5故當(dāng)x=4,y=6時(shí),z取得最大值.答:投資人用4萬(wàn)元投資甲項(xiàng)目、6萬(wàn)元投資乙項(xiàng)目,才能在確保虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元的前提下,使可能的盈利最大.22.導(dǎo)學(xué)號(hào)33194082(本小題滿(mǎn)分12分)某廠家擬在新年舉行大型的促銷(xiāo)活動(dòng),經(jīng)測(cè)算,當(dāng)某產(chǎn)品促銷(xiāo)費(fèi)用為x萬(wàn)元時(shí),銷(xiāo)售量t萬(wàn)件滿(mǎn)足t=52x+1(其中0≤x≤a23a+3,且a>0).現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷(xiāo)售量相等,已知生產(chǎn)該產(chǎn)品t萬(wàn)件還需投入成本(10+2t)萬(wàn)元(不含促銷(xiāo)費(fèi)用),產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為4+20t萬(wàn)元(1)將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷(xiāo)費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù);(2)促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大.解(1)由題意知,y=4+20t×t(10+2t)又t=52x+1,代入化簡(jiǎn)得y=204x+1+x(0≤x≤a23(2)當(dāng)1≤a23a+3,即a≥2或0<a≤1時(shí),y=214≤2124x+1當(dāng)且