九年級數(shù)學(xué)測試卷一、選擇題（每題3分，共30分）1.從，，這三個(gè)實(shí)數(shù)中任選兩數(shù)相乘，所有積中小于2的有（）個(gè).A.0 B.1 C.2 D.32.對于實(shí)數(shù)，定義新運(yùn)算：，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍（）.A. B. C.且 D.且3.神舟十六號載人飛船于2023年5月30日從酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，隨后與天和核心艙對接形成組合體.空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙，假設(shè)“神十六”甲、乙、丙三名航天員從核心艙進(jìn)入問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙開展實(shí)驗(yàn)的機(jī)會(huì)均等，現(xiàn)在要從這三名航天員中選2人各進(jìn)入一個(gè)實(shí)驗(yàn)艙開展科學(xué)實(shí)驗(yàn)，則甲、乙兩人同時(shí)被選中的概率為（）.A. B. C. D.4.如圖，在菱形中，對角線，相交于點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，連接，若，，則的長為（）.A.4 B.3 C.2 D.15.某省加快新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換，促進(jìn)企業(yè)創(chuàng)新發(fā)展.某企業(yè)一月份的營業(yè)額是1000萬元，月平均增長率相同，第一季度的總營業(yè)額是3990萬元.若設(shè)月平均增長率是，那么可列出的方程是（）.A. B.C. D.6.已知：如圖，，，以為位似中心，按比例尺，把縮小，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）.A.或 B.或 C. D.7.圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形.若.，則的值為（）.圖1圖2A. B. C. D.8.如圖，拋物線經(jīng)過正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，，，點(diǎn)在軸上，則的值為（）.A. B. C. D.9.如圖，在網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則的值是（）.A. B. C. D.10.若函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)和在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）A. B. C. D.二、填空題（每小題3分，共15分）11.在函數(shù)中，自變量的取值范圍______.12.一個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)在軸正半軸上，且其對稱軸左側(cè)的部分是上升的，那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是______.13.一個(gè)僅裝有球的不透明布袋里只有6個(gè)紅球和個(gè)白球（僅有顏色不同）.若從中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為，則______.14.如圖，焊接一個(gè)鋼架，包括底角為37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，則共需鋼材約______m（結(jié)果取整數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：，，）15.與之間的函數(shù)關(guān)系可記為.例如：函數(shù)可記為.若對于自變量取值范圍內(nèi)的任意一個(gè)，都有，則是偶函數(shù)；若對于自變量取值范圍內(nèi)的任意一個(gè)，都有，則是奇函數(shù).例如：是偶函數(shù)，是奇函數(shù).若是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)______.三、解答題（本大題共8個(gè)小題，75分）16.（1）（5分）計(jì)算：.（2）（5分）化簡：.17.（9分）在5張相同的小紙條上，分別寫有語句：①函數(shù)表達(dá)式為；②函數(shù)表達(dá)式為；③函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱；④函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱；⑤函數(shù)值隨自變量增大而增大.將這5張小紙條做成5支簽，①、②放在不透明的盒子A中攪勻，③、④、⑤放在不透明的盒子B中攪勻.（1）從盒子A中任意抽出1支簽，抽到①的概率是______；（2）先從盒子A中任意抽出1支簽，再從盒子B中任意抽出1支簽.求抽到的2張小紙條上的語句對函數(shù)的描述相符合的概率.18.（9分）已知關(guān)于的一元二次方程（1）求證：無論為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求的值.19.（9分）如圖，在梯形中，點(diǎn)，分別在線段，上，且，（1）求證：（2）若，求證：20.（9分）桑梯是我國古代發(fā)明的一種采桑工具.圖1是明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪的桑梯，其示意圖如圖2所示，已知米，米，與的張角為，為保證安全，的調(diào)整范圍是，為固定張角大小的繩索.圖1圖2（1）求繩索長的最大值.（2）若時(shí)，求桑梯頂端到地面的距離.（參考數(shù)據(jù)：，，，最后結(jié)果精確到0.01米）21.（9分）小林同學(xué)不僅是一名籃球運(yùn)動(dòng)愛好者，還喜歡運(yùn)用數(shù)學(xué)知識對籃球比賽進(jìn)行技術(shù)分析，下面是他對定點(diǎn)投籃籃球飛行軌跡的分析.他利用激光跟蹤測高儀測量籃球運(yùn)動(dòng)中的高度.圖1所示拋物線的一部分是某次投籃訓(xùn)練中籃球飛行的部分軌跡，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.已知籃球每一次投出時(shí)的出手點(diǎn)到地面的距離都為2.25m.當(dāng)球運(yùn)行至點(diǎn)處時(shí)，與出手點(diǎn)的水平距離為2.5m，達(dá)到最大高度為3.5m.圖1圖2（1）求該拋物線的表達(dá)式.（2）若運(yùn)動(dòng)員的站立點(diǎn)距籃圈中心的水平距離為3.5m，籃圈中心距地面的高度為3.05m，試判斷該運(yùn)動(dòng)員本次投籃能否直接投中籃圈中心？若能，請說明理由；若不能，那么在保持投籃力度和方向（即籃球飛行的拋物線形狀不變）的情況下，求該運(yùn)動(dòng)員只要向前或向后移動(dòng)多少米，就能使籃球直接投中籃圈中心.22.（9分）閱讀下面方框內(nèi)的內(nèi)容，并完成相應(yīng)的任務(wù).小麗學(xué)習(xí)了方程、不等式、函數(shù)后提出如下問題：如何求不等式的解集？通過思考，小麗得到以下3種方法：方法1：方程的兩根為，，可得函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為、3，畫出函數(shù)圖像，觀察該圖像在軸下方的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)的范圍是不等式的解集.方法2：不等式可變形為，問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)與的圖像關(guān)系.畫出函數(shù)圖像，觀察發(fā)現(xiàn)：兩圖像的交點(diǎn)橫坐標(biāo)也是、3；的圖像在的圖像下方的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)的范圍是該不等式的解集.方法3：當(dāng)時(shí)，不等式一定成立；當(dāng)時(shí)，不等式變?yōu)?；?dāng)時(shí)，不等式變?yōu)?問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)與的圖像關(guān)系…任務(wù)：（1）不等式的解集為______；（2）3種方法都運(yùn)用了______的數(shù)學(xué)思想方法（從下面選項(xiàng)中選1個(gè)序號即可）；A.分類討論 B.轉(zhuǎn)化思想 C.特殊到一般 D.數(shù)形結(jié)合（3）請你根據(jù)方法3的思路，畫出函數(shù)圖像的簡圖，并結(jié)合圖像作出解答.23.（11分）【問題呈現(xiàn)】和都是直角三角形，，，，連接，，探究，的位置關(guān)系圖1圖2備用圖（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，直接寫出，的位置關(guān)系：______；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由.【拓展應(yīng)用】（3）當(dāng)，，時(shí)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使，，三點(diǎn)恰好在同一直線上，求的長.

九年級數(shù)學(xué)試卷答案一、選擇題（每題3分，共30分）1.C2.A3.B4.C5.B6.A7.A8.B9.C10.B二、填空題（每小題3分，共15分）11.12.（答案不唯一）13.914.2115.5三、解答題（本大題共8個(gè)小題，75分）16.（1）（5分）計(jì)算：解：原式……3分.……5分（2）（5分）化簡：解：原式……3分.……5分17.（1）；……2分（2）解：畫出樹狀圖：共有6種結(jié)果，抽到的2張小紙條上的語句對函數(shù)的描述相符合的有①、③和①、⑤和②、④共3種，7分∴抽到的2張小紙條上的語句對函數(shù)的描述相符合的概率為.……9分18.（1）證明：∵關(guān)于的一元二次方程，∴，，，∴，……3分∵，即，∴不論為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；……5分（2）解：∵，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∵，……7分∴，∴，整理，得，解得，，∴的值為或1.……9分19.（1）證明：∵，∴，……1分在和中，，∴，……3分∴.……4分（2）證明：∵，∴，∴，即，……5分在和中，，∴，∴，……7分由（1）已證：，∴，∴.……9分20.（1）解：由題意得：當(dāng)時(shí)，繩索的長最大，∵米，∴是等邊三角形，∴米，∴繩索長的最大值為1.5米；……3分（2）解：過點(diǎn)作，垂足為，∴，∵米，，……5分∴，∵米，∴（米）……7分在中，（米），答：桑梯頂端到地面的距離約為2.54米.……9分21.（1）解：根據(jù)題意，得，，且為拋物線的頂點(diǎn).設(shè)該拋物線的表達(dá)式為.……2分將代入，得，解得.∴該拋物線的表達(dá)式為.……4分（2）解：不能.……5分令，解得（舍去）或.……7分∴當(dāng)時(shí)，能直接投中籃圈中心A..故該運(yùn)動(dòng)員只要向后移動(dòng)0.5m就能使籃球直接投中籃圈中心A.……9分22.（1）解：如圖1，作的圖像，由方法1可知，不等式的解集為，……3分圖1（2）D；……5分（3）解：如圖2，作函數(shù)與的圖像，由圖像可得，的解集為，或，綜上，的解集為.……9分圖223.（1）解：∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；……2分（2）解：成立；……3分理由如下：∵，∴，∴，∵，