7.2柱、錐、臺(tái)的體積1.一長方體過同一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別為2,6和9,則該長方體的體積為()A.7 B.8 C.36 D.63解析:設(shè)該長方體過同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長分別為a,b,c,由題意有ab則體積V=abc=abbcca=63,故選D.答案:D2.把半徑為R的半圓形紙片卷成一個(gè)圓錐,則所得圓錐的體積是()A.324πR3 B.38πR3 C.524πR3 D.5解析:設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為l,則l=R,2πr=12·2πR,∴r=R2.∴圓錐的高h(yuǎn)=3∴圓錐的體積V=13·πr2·h=324πR答案:A3.如圖所示為直三棱柱ABCA'B'C',它的高為3,底面為邊長是1的正三角形,則三棱錐B'ABC的體積為()A.14B.12C.36解析:∵BB'⊥平面ABC,∴VB'ABC=13S△ABC·BB'=13×34答案:D4.一空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.2π+23 B.4π+23 C.2π+233 D.4π解析:先根據(jù)三視圖得到幾何體的形狀,再根據(jù)柱體、錐體的體積公式計(jì)算即可.該幾何體是組合體,下面是底面直徑為2、高為2的圓柱,上面是底面邊長為2,側(cè)棱長為2的正四棱錐,該正四棱錐的高為3,所以該幾何體的體積為2π+13×(2)2×3=2π+2答案:C5.若圓柱的側(cè)面展開圖是長為12,寬為8的矩形,則這個(gè)圓柱的體積為()A.288π B.192π C.288π或解析:分兩種情況,①當(dāng)12為底面周長時(shí),有2πr=12,即r=6π,則V=π6π2×8②當(dāng)8為底面周長時(shí),有2πr=8,即r=4π則V=π4π2×12=答案:C6.棱長為a的正方體,連接相鄰面的中心,以這些線段為棱的八面體的體積為()A.a33 B.a34 C.解析:此八面體可分成上、下兩個(gè)全等的正四棱錐,底邊長為22a,高為a2,所以V=2×答案:C7.在棱長為1的正方體中,分別用過共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面去截該正方體,則截去8個(gè)三棱錐后,剩下的幾何體的體積是.

解析:V正方體8V三棱錐=18×13答案:58.已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形,該四棱錐的三視圖如圖所示(單位:m),則該四棱錐的體積為m3.

解析:由三視圖知四棱錐高為3,底面平行四邊形的底為2,高為1,因此該四棱錐的體積為V=13×(2×1)×3=2.故答案為2.答案:29.如圖所示,在多面體ABCDEF中,已知平面ABCD是邊長為4的正方形,且EF∥AB,EF=2,EF與平面AC的距離為3,則該多面體的體積是.

解析:方法一:如圖①,連接EB,EC.圖①四棱錐EABCD的體積為VEABCD=13×42×3=16∵AB=2EF,EF∥AB,∴S△EAB=2S△BEF.∴VFEBC=VCEFB=12VCABE=12VEABC=12×12∴V=VEABCD+VFEBC=16+4=20.方法二:如圖②,設(shè)G,H分別為AB,DC的中點(diǎn),則EG∥FB,EH∥FC,GH∥BC,得棱柱EGHFBC.圖②由題意,得VEAGHD=13S四邊形AGHD×3=13×4×4×12×3VEGHFBC=3VBEGH=3VEBGH=3×12VEGBCH=32VEAGHD=32×8∴V=VEAGHD+VEGHFBC=8+12=20.答案:2010.三棱錐的頂點(diǎn)為P,已知三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩互相垂直.若PA=2,PB=3,PC=4,求三棱錐PABC的體積.解如圖所示,在長方體中,PA,PB,PC兩兩互相垂直,顯然AP⊥平面BPC.∴AP是三棱錐APBC的高.∵S△BPC=12·BP·=12×3×4=∴V三棱錐PABC=V三棱錐APBC=13S△BPC·=13×6×2=411.一個(gè)圓臺(tái)的母線長為12cm,上、下底面的面積分別為4πcm2和25πcm2.(1)求此圓臺(tái)的體積;(2)求截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長.解(1)如圖所示,圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形ABCD,由上、下底面的面積分別為4πcm2,25πcm2得,上底面半徑O1A=2cm,下底面半徑OB=5cm,又腰長為12cm,∴圓臺(tái)的高h(yuǎn)=AM=122-(5-∴圓臺(tái)的體積V圓臺(tái)=13(S上+S上·S=13(4π+4π·25π+25=3915π(cm3).(2)延長圓臺(tái)的母線交于點(diǎn)S,則S為截得此圓臺(tái)的圓錐的頂點(diǎn),圓錐的軸截面如上圖.設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長為lcm,則由△SAO1∽△SBO,得l-解得l=20,即截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長為20cm.★12.有一塊扇形鐵皮OAB,∠AOB=60°,OA=72cm,要剪下來一個(gè)扇環(huán)ABCD,作圓臺(tái)形容器的側(cè)面,并且余下的扇形OCD內(nèi)剪下一塊與其相切的圓形使它恰好作為圓臺(tái)形容器的下底面(大底面).試求:(1)AD應(yīng)取多長?(2)容器的容積.解(1)如圖所示,設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑分別為r,R,AD=x,則OD=72x.由題意得2∴