第一章三角形的證明4角平分線第1課時角平分線的性質(zhì)與判定?

?

角平分線的性質(zhì)定理1.角平分線上的點到這個角的兩邊的距離_______.如圖，用數(shù)學語言表述：相等1234567891011121314∵∠1＝∠2，且MH⊥PA，______⊥_______，∴MH_______?MK.MKPB＝2.如圖，點P是∠AOC的平分線上一點，PD⊥OA，垂足為點D，且PD＝3，若PM⊥OC于點M，則PM＝（

B

）A.2B.3C.4D.5B12345678910111213143.【2023·上海長陽實驗學校期中】如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，S△ABD＝18，AB＝9，則DF的長是（

C

）A.6B.5C.4D.3C12345678910111213144.如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，且CD＝2cm.求AC的長.

1234567891011121314角平分線的判定定理5.已知點P是∠AOB內(nèi)一點，過點P作PN⊥OA于N，PM⊥OB于M，當點P到∠AOB兩邊的距離相等即_______＝____

時，點P在這個角的____________

?上.PNPM平分線12345678910111213146.小明同學只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線.如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線OP就是∠BOA的角平分線.”他這樣做的依據(jù)是（

A

）AA.在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上B.角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等C.三角形的三條高交于一點D.三角形三邊的垂直平分線交于一點12345678910111213147.如圖，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠DAB＝120°，則∠ACB的度數(shù)為（

C

）A.60°B.45°C.30°D.75°C1234567891011121314點撥：∵AD⊥DC，AB⊥BC，AB＝AD，∴CA平分∠BCD.

∵∠DAB＝120°，AD⊥DC，AB⊥BC，∴∠BCD＝360°－90°×2－120°＝60°，

12345678910111213148.如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，求證：點F在∠DAE的平分線上.1234567891011121314證明：如圖，過點F分別作AE，BC，AD的垂線FP，F(xiàn)M，F(xiàn)N，P，M，N分別為垂足.∵CF是∠BCE的平分線，∴FP＝FM.同理，F(xiàn)M＝FN.∴FP＝FN.又∵FP⊥AE，F(xiàn)N⊥AD，∴點F在∠DAE的平分線上.12345678910111213149.如圖，BP平分∠MBC，CP平分∠BCN，下列結論正確的是（

D

）A.∠MBP＝∠PB.BP∥ANC.若連接AP，則被BC平分D.點P到AM與到AN的距離相等D123456789101112131410.【2023·隨州】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D為AC上一點，若BD是∠ABC的平分線，則AD＝______?.5123456789101112131411.如圖，OA平分∠BOD，AC⊥OB于點C，且AC＝3，已知點A到y(tǒng)軸的距離是4，那么點A的坐標為_____________

.（－4，3）1234567891011121314點撥：如圖所示，過點A作AE⊥OD于點E，∵OA平分∠BOD，AE⊥OD，AC⊥OB，∴AE＝AC＝3.∵點A到y(tǒng)軸的距離是4，∴OE＝4.∵點A在第二象限，∴點A的坐標是（－4，3）.123456789101112131412.如圖，在四邊形ABDC中，DE⊥AB交AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，若BD＝CD，BE＝CF.下列結論：①AD平分∠BAC；②ED＝CD；③AC－AB＝2BE；④∠ABD＋∠C＝180°.其中正確的是_________

?.（填序號）①③④1234567891011121314點撥：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠CFD＝90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵BD＝CD，BE＝CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∠DBE＝∠C，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC，1234567891011121314∵∠ABD＋∠DBE＝180°，∴∠ABD＋∠C＝180°，在Rt△ADE和Rt△ADF中，∵DE＝DF，AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF，∴AC－AB＝AF＋CF－（AE－BE）＝AE＋BE－AE＋BE＝2BE，∴①③④正確.123456789101112131413.【2023·北京西城外國語學校期中】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB∥CF，過點B作BE⊥AC交CA的延長線于點E，BD⊥CF于點D，CD＝8，BD＝3，則△ABE的周長為_______

.111234567891011121314點撥：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠ABC，∴∠ACB＝∠BCD，∴CB平分∠ECF，∵BE⊥AC，BD⊥CF，∴BE＝BD＝3，

∴Rt△ECB≌Rt△DCB，∴CE＝CD＝8，∴△ABE的周長為AB＋BE＋AE＝AC＋BE＋AE＝CE＋BE＝8＋3＝11.123456789101112131414.我們知道角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.如圖①，已知∠AOB，OC是∠AOB的平分線，點P是OC上一點，PE⊥OB于E，PD⊥OA于D.求證：PE＝PD.分析：圖中有兩個直角三角形，分別是直角三角形POE和直角三角形POD.1234567891011121314請根據(jù)上述內(nèi)容，解答下列問題：（1）結合圖①，寫出“角平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程.

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