2023學(xué)年第一學(xué)期初三數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量調(diào)研試卷

（考試時間：100分鐘滿分：150分）

考生注意：

1.本試卷含三個大題，共25題.答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草

稿紙、本調(diào)研卷上答題一律無效

2.除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙相應(yīng)位置上寫出證明或計算的主

要步驟

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【每小題只有一個正確選項，在答題紙相應(yīng)題

號的選項上用25鉛筆正確填涂】

1.在Rt^ABC中，ZC=90°,如果/A=a，BC=a,那么AC等于（）

aa

A.a-tancifB.a?cotcifC.--------D.--------

sinacosa

2.下列關(guān)于拋物線丁=2爐+%一3的描述正確的是（）

A.該拋物線是上升的B.該拋物線是下降的

C.在對稱軸的左側(cè)該拋物線是上升的D.在對稱軸的右側(cè)該拋物線是上升的

3.已知點C在線段A3上，且滿足那么下列式子成立的是（）

AAC君-1?AC75-1小BCV5-1「BC3-75

BC2AB2AB2AC2

4.已知。為非零向量，且匕=—3a，那么下列說法錯誤的是（）

A.a=-；bB.1可=3同C.A+3a=0D.b//a

5.如果點D、E分別在AABC的兩邊AB、AC±,下列條件中可以推出DE〃BC的是（）

AD2CE_2AD_2DE2

A.---==—B.——-f———

BD3AE3AB3BC3

AB3EC1AB_4AE4

C.----——D.——一,—=——

AD2AD3EC3

6.已知在.ABC與A'B'C中，點、D、?！謩e在邊3C、BC上,（點。不與點3、C重合，點。C不與點

B'、C重合）.如果△ADC與△ADC'相似，點4。分別對應(yīng)點A、D',那么添加下列條件可以證明&A6C

與，A'3'C'相似是（）

①AD,AD'分別是一A5C與/AB'C的角平分線；

②AO、AO'分別是,ABC與,AB'C的中線；

③AD.AD'分別是「ABC與；AB'C的高.

A.①②B.②③C.①③D.①②③

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【在答題紙相應(yīng)題號后的空格內(nèi)直接填寫答

案】

7.如果5x=3y（x,y均不為零），那么x:（x+y）的值是.

8.式子2cos300-tan45°的值是.

9.已知線段a=3cm,b=4cm,那么線段a、b的比例中項等于cm.

10.若兩個相似三角形的周長比為2：3,則它們的面積比是.

11.如圖，AB//CD//EF,如果AC:CE=2:3,6分=10,那么線段。尸的長是

12.二次函數(shù)/（x）=G：2+bx+c圖像上部分點的坐標滿足下表：那么〃_5）=

X-3-2-101

“X)-3-2-3-6-11

13.已知向量q與單位向量e方向相反，且卜|=3,那么°=（用向量e的式子表示）

14.已知一條斜坡的長度為13米，高度為5米，那么該斜坡的坡度為.

15.如圖，在ABC中，AD是上的高，且5c=5,AD=3,矩形的頂點尸、G在邊BC上，頂點

E、H分別在邊AB和AC上，如果EH=2EF，那么EH=.

16.如圖，在_A3C中，/B4C=90°,點G是JL5C的重心，聯(lián)結(jié)G4、GC,如果AC=3,AG=j,那么

ZGCA的余切值為.

A

BC

17.我們把頂角互補兩個等腰三角形叫做友好三角形.在_ABC中，A3=AC=10,點。、E都在邊上,

AD=AE=5,如果ABC與VADE是友好三角形，那么的長為.

18.如圖，在矩形A3CD中，AD=8,AB=4,AC是對角線，點p在邊5C上，聯(lián)結(jié)OP,將△0PC沿著直線

OP翻折，點。的對應(yīng)點。恰好落在ZvlDC內(nèi)，那么線段班的取值范圍是.

三、解答題(本大題共7題，滿分78分)【將下列各題的解答過程，做在答題紙的相應(yīng)位置上】

19.已矢口拋物線y=2尤2+4x+l.

(1)用配方法把y=2尤2+以+1化為y=a(x+〃z)2+左的形式，并寫出該拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐

標；

(2)如果將該拋物線上下平移，得到新的拋物線經(jīng)過點(1,4),求平移后的拋物線的頂點坐標.

20.在平行四邊形A3CD中，點E是的中點，BE、AC相交于點尸.

(1)設(shè)AB=a,AD=Z?,試用以。表示EF；

(2)先化簡，再求作：(2a+b)—|(2a+b)(直接作在圖中).

21.如圖，在四邊形A3CD中，ZBAD=9Q°,ACLBC,DE±AC,垂足為點E,AC=4,DE=3.

A

(1)求值；

(2)3D交AC于點尸，如果tan/8AC=工，求。下的長.

2

22.小明為測量河對岸大樓的高度，利用量角器和鉛錘自制了一個簡易測角儀，如圖1所示.

測量方法：如圖2,人眼在尸點觀察所測物體最高點C,量角器零刻度線上A3兩點均在視線PC上，將鉛錘懸

掛在量角器中心點0.當鉛錘靜止時，測得視線PC與鉛垂線0D所夾的角為戊，且此時的仰角為夕.

實踐操作：如圖3,小明利用上述工具測量河對岸垂直于水平地面的大樓所的高度.他先站在水平地面的點〃

處，視線為GE,此時測角儀上視線與鉛垂線的夾角為60°；然后他向前走10米靠近大樓站在水平地面的點R

處，視線為QE，此時測角儀上視線與鉛垂線的夾角為45°.

問題解決:

(1)請用含a的代數(shù)式表示仰角夕;

(2)如果GH、QR、所在同一平面內(nèi)，小明的眼晴到水平地面的距離為1.6米，求大樓ER的高度.(結(jié)果保

留根號)

23.如圖，在中，點。,E分別是5CAD的中點，且AD=AC，連接CE并延長交A3于點尸.

(1)證明：_ABCs二ECD；

(2)證明：BF=AEF.

24.已知拋物線y=gx2+bx+c與X軸交于A、3兩點(點A在點B的左側(cè))，與>軸交于點C,直線y=-x—6

(1)求拋物線的表達式;

(2)點p在線段AC下方的拋物線上，過點P作的平行線交線段AC于點。，交》軸于點E.

①如果C、尸兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，聯(lián)結(jié)。/，當DFLCF時，求NPDF的正切值；

②如果尸D:DE=3:5,求點尸的坐標.

1A

25.已知&ABC中，ZABC=2ZC,5G平分/ABC,AB=8,AG=—，點。，E分別是邊5C,AC±

3

的點(點。不與點3,C重合)，且NADE=NA3C,AD,BG相交于點R.

圖1備用圖備用圖

(1)求5C的長;

(2)如圖1,如果BF=2CE,求3/：GF的值;

(3)如果VADE是以AD為腰的等腰三角形，求6D長.

2023學(xué)年第一學(xué)期初三數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量調(diào)研試卷

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【每小題只有一個正確選項，在答題紙相應(yīng)題

號的選項上用25鉛筆正確填涂】

1.在Rt^ABC中，ZC=90°,如果/那么AC等于（）

aa

A.a-tancrB.a?cotcifC.D.---------

sinacosa

【答案】B

【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力.

畫出圖形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可.

【詳解】解：cot?=——，

BC

AC=BC-cot?=a-cota,

故選：B.

4V,

2.下列關(guān)于拋物線y=2爐+x-3的描述正確的是（）

A.該拋物線是上升的B.該拋物線是下降的

C.在對稱軸的左側(cè)該拋物線是上升的D.在對稱軸的右側(cè)該拋物線是上升的

【答案】D

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)拋物線的解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可

以判斷各個選項中的說法是否正確.

【詳解】解：?.?拋物線y=2/+無一3,

：.a=2>0,在對稱軸左側(cè)，該拋物線下降，在對稱軸右側(cè)上升，故選項A、B、C均錯誤，不符合題意，選項D

正確，符合題意；

故選：D.

3.已知點。在線段A5上，且滿足4。2=3。./皿，那么下列式子成立的是（）

人ACA/5-1dAC45-1°BC石-1「BC3-75

BC2AB2AB2AC2

【答案】B

【分析】本題考查黃金分割、解一元二次方程，把A5當作已知數(shù)求出AC,求出6C,再分別求出各個比值，根

據(jù)結(jié)果判斷即可.

詳解】解：令A(yù)C=x,AB=a(a>0),則BC=a—x,

AC2=3C-AB可變形為f=(a-x)-a,

整理，得無之+公-々2=0,

A=?2-4xlx(-〃2)=5々2>0,

-a±-a±小a

解得x=

22

邊長為正數(shù),

(A/5-1)4Z

?—a+a

-％=----a-x-a---------

2222

即BC—AB,

AC_K.AB

75-11+V5

,故A選項錯誤;

BC~3-75:3-亞一2

---AD

2

括-I4D「

AC異1,故B選項正確;

AB~AB2

1

3-乖AB

BC=^A、3—6,故C選項錯誤;

AB~AB2

3—^/5

-3-石_布-1痂n

――-―/=--------―/=——--,故D選項錯厭;

ACV5-1?V5-12

------A4n

2

故選B.

4.已知a為非零向量，且匕=—3a，那么下列說法錯誤的是（

17B.忖=3同

A.a——bC.b+3a=0D、b"a

3

【答案】C

【分析】本題考查了實數(shù)與向量相乘，向量的相關(guān)定義，根據(jù)其運算法則進行計算即可求解.

【詳解】解：Aa為非零向量，且b=—3a，二。=一；萬，正確，故本選項不符合題意;

B.Ta為非零向量，且匕=—3〃，???忖=3同,正確，故本選項不符合題意;

C.為非零向量，且b=-3a，，人+3a=0，原說法錯誤，故本選項符合題意;

D.為非零向量，且b=-3a，，b〃a，故本選項不符合題意;

故選：C.

5.如果點D、E分另IJ在AABC的兩邊AB、AC上，1二列條件中可以推出DE〃:BC的是（)

AD2CE2AD2DE2

A.-----=一，,----二—B.-----=-，------=-

BD3AE3AB3BC3

AB3EC1AB4AE4

C.-----=一,----=——D.-----=-，------=-

AD2AE2AD3EC3

【答案】C

AF）AFABAC

【分析】根據(jù)各個選項的條件只要能推出一=——或——二——，即可得出△ADEs/^ABC,推出NADE=NB,

ABACADAE

根據(jù)平行線的判定推出即可.

詳解】解:

BD3AE3

?DF2

B、根據(jù)白土=*和——=_,不能推出DE〃:BC,故本選項錯誤;

AB3BC3

EC1

C、?'---=—,

AE2

.AC3

??一，

AE2

..AB_3

?AD"2)

.ABAC

"AD~AE

VZA=ZA,

/.AABC^AADE,

.-.ZADE=ZB,

：.DE//BC,故本選項正確;

AR4AP4

D、根據(jù)——=一和一=—，不能推出DE〃:BC,故本選項錯誤；

AD3EC3

故選C.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是推出AABCS/^ADE.

6.已知在.ABC與A'B'C中，點。、。’分別在邊5GBC上,（點。不與點3、C重合，點。C不與點

B\。'重合）.如果△ADC與△AD'C'相似，點4。分別對應(yīng)點A、D',那么添加下列條件可以證明

與，A'8'C'相似的是（）

①AD.AD'分別是，ABC與,AB'C的角平分線；

②AD.AD'分別是一ABC與‘AB'C的中線；

③AD.AD'分別是.ABC與/AB'C的高.

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】A

【分析】本題考查添加條件證明三角形相似,根據(jù)AADC與△ADC相似,可得ZC=ZC,ZDAC=ZD'AC,

scDC

再根據(jù)相似三角形的判定方法逐項判斷即可.

ACD'C

【詳解】解：AADC與△ADC'相似，點4。分別對應(yīng)點A、D',

ACDC

ZC=NC',ADAC=ZD'AC,——=------,

A'CD'C

①A￡>、A￡>'分別是與/AB'C的角平分線時：ZBAC=2ZDAC,ZB'AC=2ZD'AC,

■■■ZBAC^ZBAC'，

又NC=NC,

.._ABC^AB'C；故①正確；

②AD、AD分別是，ABC與‘AB'C'的中線時，BC=2DC,B'C=2D'C,

BCDC

~B；C~D'C'

ACBC

A'C~BV'

又，NC=NC',

..ABC^AB'C；故②正確;

③AO、A￡>'分別是,ABC與‘A'B'C的高時，現(xiàn)有條件不足以證明,ABCs。AB'C,故③錯誤；

綜上可知，添加①或②時，可以證明一ABC與A'3'C'相似

故選A.

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【在答題紙相應(yīng)題號后的空格內(nèi)直接填寫答

案】

7.如果5x=3y（x,y均不為零），那么x:（%+y）的值是.

3

【答案】

【分析】本題考查的是比例的基本性質(zhì)，令x=3a,則y=5。,然后化簡整理即可求得.令1=3a,貝Uy=5a，,

x:(x+y)=3：(3+5)=3:8,即可作答.

【詳解】解：根據(jù)題意，可令x=3〃，貝1Jy=5〃，

因止匕，x:(x+y)=3a：(3Q+5〃)=3Q8Q=3：8.

3

故答案為：—.

8

8.式子2cos300-tan45°的值是.

【答案】6—1##—1+g

【分析】直接將特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可解答.

【詳解】解：2cos30。—tan45°=2x3—1=0—1.

2

故答案為：V3-1.

【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的混合運算，牢記特殊角的三角函數(shù)值成為解答本題的關(guān)鍵.

9.已知線段a=3cm,b=4cm,那么線段a、b的比例中項等于cm.

【答案】2G

【詳解】試卷分析：根據(jù)線段的比例中項的定義列式計算即可得解.

?線段a=3cm,b=4cm,

，線段a、b的比例中項二43x4=2百cm.

故答案為2君.

考點：比例線段.

10.若兩個相似三角形的周長比為2：3,則它們的面積比是.

【答案】4:9

【詳解】解：：兩個相似三角形的周長比為2：3,

???這兩個相似三角形的相似比為2：3,

.??它們的面積比是4：9.

故答案為：4：9.

考點：相似三角形性質(zhì).

11.如圖，AB//CD//EF,如果4。：。石=2:3,3/=10,那么線段的長是

AB

ETF\~

【答案】6

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理結(jié)合比例解答即可.

【詳解】解：；AB〃CD〃EF,AC:CE^2:3,

.BDAC_2

"DF~CE~3

?：BF=10

3

DF=lOx—=6.

5

故答案為6.

【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，靈活應(yīng)用平行線分線段成比例定理列出比例式是解答本題的關(guān)鍵.

12.二次函數(shù)/（力=加+/ZX+C圖像上部分點的坐標滿足下表：那么/（-5）=.

-3-2-101

"%)-3-2-3—6-11

【答案】-11

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式.也考查了拋物線的

對稱性.利用表中數(shù)據(jù)確定拋物線的對稱軸，然后根據(jù)拋物線的對稱性求解.

【詳解】解：利用表中數(shù)據(jù)得拋物線的對稱軸為直線x=-2,

所以x=—5和x=l時的函數(shù)值相等，

即當x=—5時，y的值為一H.

故答案為：—11.

13.已知向量q與單位向量"方向相反，且卜1=3,那么「=（用向量"的式子表示）

【答案】-3e

【分析】此題考查了平面向量的知識，由向量q與單位向量e方向相反，且同=3,根據(jù)單位向量與相反向量的知

識，即可求得答案.

【詳解】解：???向量a與單位向量2方向相反，且:/|=3,

a=—3e-

故答案為：一3e-

14.己知一條斜坡的長度為13米，高度為5米，那么該斜坡的坡度為.

【答案】1:2.4

【分析】本題考查坡度，先利用勾勾股定理求出水平距離，然后利用公式計算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，AB=13,AE=5,

BE=y/AB2-AE2=A/132-52=12，

；?斜坡的坡度為i=AE:6E=5:12=1:2.4,

故答案為：1:2.4.

15.如圖，在一ABC中，A￡>是上的高，且3C=5,A￡>=3,矩形EEGH的頂點/、G在邊上，頂點

E、〃分別在邊AB和AC上，如果石H=2石/，那么石"=.

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，通過四邊形EPGH為矩形推出E"BC,因此

與兩個三角形相似，將A"視為，AEH的高，可得出AM:=:6C,再將數(shù)據(jù)代入計算是

本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)AD與EH交于點M.

BDGC

?.?四邊形跳是矩形,

EHBC,

：.AEH^,ABC,

：AM和AD分另°是,AEH和-ABC的高,

AM:AD=EH:BC,DM=EF,

：.AM^AD-DM^AD-EF=3-EF,

?/EH=2EF,

3-EF2EF

代入可得:

35

解得EF=S，

.J5_30

1111

30

故答案為：—.

16.如圖，在一ABC中，/B4c=90°,點G是，RC的重心，聯(lián)結(jié)G4、GC,如果AC=3,AG=~,那么

3

ZGCA的余切值為

【答案】I

3

【分析】延長CG交A5于F過G作GDLAC于G,直線。G交于E,證明VOCEsyACB,得

*=隼，同理可得“=色2=空=紅，即有匹=生，根據(jù)G為.ABC的重心，AC=3,得

DE=2,設(shè)tanZACG=%,根據(jù)勾股定理列式計算AG=^AD1+DG2=+1=|可得答案.

【詳解】解：過G作GD_LAC于G,延長Cb交A3于點尸，如圖:

A

?：GD±AC,ZBAC=90°,

；.DE〃AB，ZCDE=ZBAC=90°,

■：ZDCE=ZACB,

：..DCG^ACF,

.CDDGCG

'*AC-AF-CF(

：G為4ABe的重心，

.CDDGCG2

"AC-AF-CF-3'

?/AC=3,

：.CD=2,AD=1,

：.DG=VAG2-AD2=-,

3

4

則在直角三角形COG中，,DG32,

CD23

故答案為：—

3

【點睛】本題考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，難度較大，綜合性

較強，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形.

17.我們把頂角互補的兩個等腰三角形叫做友好三角形.在中，AB=AC=10,點￡)、E都在邊上,

AD=AE=5,如果ABC與VADE是友好三角形，那么的長為

【答案】875

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似

三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程.如圖，過過點A作AF13。于點E證明推出

A]~)APJ~)F51

---===—=—,設(shè)DF=EF=x,這AF=2x,3尸=4x,構(gòu)建方程求解.

ABFBAF102

【詳解】解：如圖，過點A作于點孔

A

：.DF=EF,BF=FC,ZBAF=ZCAF,ZDAF=ZEAF,

?：ZBAC+ZDAE=18Q°,

：.2ZBAF+2ZDAF=180°,

：.ZBAF+ZDAF=90°,

,：ZBAF+ZB=90°,

/.ZDAF=ZB，

:ZAFD=ZAFB=90°,

:?_FA￡D_FBA,

.ADAFDF5_1

"AB~FB~AF^10~2,

設(shè)。產(chǎn)=所=%，這AF=2x,BF=4x,

,?*AB2=AF2+BF2，

.,JO?=（2x）2+（4x）2,

x=V5（負根已經(jīng)舍去），

BC=2BF=8x=86

故答案為：8A/5.

18.如圖，在矩形A3CD中，">=8,人8=4,4。是對角線，點尸在邊5。上，聯(lián)結(jié)OP,將△0PC沿著直線

OP翻折，點。的對應(yīng)點。恰好落在八位?。內(nèi)，那么線段嚴的取值范圍是.

【分析】本題考查矩形的折疊問題，相似三角形的判定和性質(zhì)等，計算出點。恰好落在A。邊上，以及點。恰好落

在AC邊上時5F的值，即可得出線段6P的取值范圍.

【詳解】解：當點。的對應(yīng)點。恰好落在A。邊上時，如圖:

AQD

由折疊的性質(zhì)知CD=Q。，CP=QP,ZPQD=ZPCD=90°,

又矩形ABCD中，ZADC=90°,

，四邊形QDCP是正方形，

CP=CD=AB=4,

BP=BC-CP=AD-CP=8-4=4；

當點C的對應(yīng)點Q恰好落在AC邊上時，如圖，

由折疊的性質(zhì)知尸

ZPDC+ZACD=90°,

又.矩形ABCD中，ZADC=90°,

ZCAD+ZACD=90°,

■■ZPDC=ZCAD,

又*ZPCD=ZCDA=90°,

PDCs：.CAD,

PCCDPC4

——=——，即Bn——=-,

CDAD48

.PC=2,

BP=BC—PC=8—2=6,

■■■線段BP的取值范圍是4<BP<6.

故答案為：4<BP<6.

三、解答題(本大題共7題，滿分78分)【將下列各題的解答過程，做在答題紙的相應(yīng)位置上】

19.已知拋物線y=2f+4x+l.

(1)用配方法把y=2f+4x+l化為y=a(x+m)2+左的形式，并寫出該拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐

標;

(2)如果將該拋物線上下平移，得到新的拋物線經(jīng)過點(1,4),求平移后的拋物線的頂點坐標.

【答案】(1)該拋物線的開口向上，對稱軸是直線x=-1,頂點坐標為(T,T)

(2)(-1,-4)

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，掌握二次函數(shù)

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)利用配方法把一般式化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

(2)設(shè)平移后的拋物線解析式為y=2(x+l)2—1+左，代入點(1,4),求得上的值即可求解.

【小問1詳解】

解：y=2x2+4x+l

=2(X2+2X+1)-2+1

=2(X+1)2-1,

...該拋物線的開口向上，對稱軸是直線x=—1,頂點坐標為

【小問2詳解】

設(shè)平移后的拋物線解析式為y=2(x+l)2-1+k,

???新的拋物線經(jīng)過點(L4),

???4=2x22—1+左，

解得％=_3,

平移后的拋物線解析式為y=2(x+-4,

???平移后的拋物線的頂點坐標是(-L-4).

20.在平行四邊形ABCZ)中，點￡是4。的中點，BE、AC相交于點尸.

(1)設(shè)AB=a,AD=b,試用a、b表不EF；

(2)先化簡，再求作：(2〃+b)—3(2]+人)(直接作在圖中).

【答案】(1)—a—b

36

(2)—d----b,見詳解

2

【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理和平面向量，

(1)根據(jù)題意得和=進一步得到一二—,則EF=T704+45,代入向量即可.

BCFB312)

(2)化解得—。一；6,將對應(yīng)線段代入得到—(AB+AE),過點E作EG〃A3,則AE=BG，

—d—b=GA,連接G4即可.

2

【小問1詳解】

解：?..四邊形A3CD為平行四邊形，

AD//BC,BC=AD,

：.AFEsCFB,

AEEF

則nl---=----,

BCFB

:點E是AD的中點，

AE=-AD,

2

則EF」FB,

2

：.EFEA+AB\=--DA+AB\,

233、>3^2)

'：AB=a,AD=b,

...EsF=—|——b+a=—1t/——1,b.

3(2J36

【小問2詳解】

331

(2a+b)—](2a+/7)=2〃+b—3d——Z?——d—―/?,

,/AB=a,AD=b,

-a--b=-AB--AD=-AB-AE=-(AB+AE],

22VJ

過點E作EG〃A3,則AE=BG，

：.-a-^b=-(AB+AE^=-^AB+=-AG=GA,如圖，G4即為所求.

21.如圖，在四邊形A3CD中，440=90°,AC±BC,DE±AC,垂足為點E,AC=4,DE=3.

(2)3D交AC于點尸，如果tan/BAC=,，求。下的長.

2

【答案】(1)3:4

(2)CF=1

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定、解直角三角形：

(1)根據(jù)ZBAD=9Q°,AC±BC,DELAC,得ZAED=ZACB=90°,ZEAD=ZABC,證明

AAED^ABCA,結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，得AD：AB的值；

(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)且tan/R4C=g,得BC=2,AE=1.5,再證明上6cbs二。跖，列式代數(shù)計算，

即可作答.

【小問1詳解】

解：VZBAD=9Q°,ACLBC,DELAC

ZAED=ZACB=90°,ABAC+ZDAE=90°=ZBAC+ZABC

：.ZEAD=ZABC,

：.AAED^ABCA

則AD:AB=OE:AC=3:4

【小問2詳解】

解：如圖：

A

,：AAED^ABCA,tw^BAC=-

2

.BC_1BC

ABAC=ZADE,

,*AC-2^2

BC=2,

AEAEi

tanNADE=---

ED2

得AE=1.5,

：.EC=AC-AE=4-1.5=2.5,

VAC±BC,DELAC,

/.ZBCF=ZDEF=90°,

■:ZBFC=ZDFE,

：.BCFs.DEF,

即BC-CF

即-----

DE~EF

?2一CF

"3^2.5-CF

解得CR=1.

22.小明為測量河對岸大樓的高度，利用量角器和鉛錘自制了一個簡易測角儀，如圖1所示.

測量方法：如圖2,人眼在尸點觀察所測物體最高點C,量角器零刻度線上A3兩點均在視線PC上，將鉛錘懸

掛在量角器的中心點。.當鉛錘靜止時，測得視線PC與鉛垂線0D所夾的角為a,且此時的仰角為少.

實踐操作：如圖3,小明利用上述工具測量河對岸垂直于水平地面的大樓所的高度.他先站在水平地面的點”

處，視線為GE,此時測角儀上視線與鉛垂線的夾角為60°；然后他向前走10米靠近大樓站在水平地面的點R

處，視線為QE,此時測角儀上視線與鉛垂線的夾角為45°.

問題解決：

(1)請用含戊的代數(shù)式表示仰角夕；

(2)如果G"、QR、在同一平面內(nèi)，小明的眼晴到水平地面的距離為1.6米，求大樓所的高度.(結(jié)果保

留根號)

【答案】(1)，=9。°—。

(2)(5百+6.6)米

【分析】本題考查了解直角三角形-仰角俯角問題，列代數(shù)式，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線

是解題的關(guān)鍵.

(1)延長0。交PK于L根據(jù)題意可得：OLLPK,從而可得：ZOLP=90°,然后利用直角三角形的兩個

銳角互余進行計算，即可解答；

(2)延長GQ交所于點根據(jù)題意可得：GM±EF,GH=QR=MF=16米,GQ=HR=10米,然后

設(shè)石M=x米，分別在Rt_EGM和Rt.中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出GM和的長，從而列出關(guān)

于x的方程，進行計算即可解答.

【小問1詳解】

解：如圖：延長0D交PK于L

由題意得：OL±PK,

NO"=90°,

NPOD=cc,

：.ZOPL=90°-APOD=90°—a,

.?.，=90°—。；

【小問2詳解】

解：延長GQ交所于點

E

圖3

由題意得：GM±EF,GH=QR=MF=1.6m,GQ=HR=10m,

設(shè)=x米，

在Rt-￡GM中，ZGEM=60°,

GM=EM-tan60°=瓜（米），

在EQM中，ZQEM=45°,

QM=EM-tan^50=x（米），

?：GM-QM=GQ,

V3x-x=10

解得：x=5百+5

EM=[6+5)米，

石/=9+9=5』+5+1.6=36+6.6)米，

大樓EF的高度為(573+6.6)米.

23.如圖，在一ABC中，點。,后分別是3CAD的中點，且AD=AC，連接CE并延長交A3于點尸.

(1)證明：,ABC^.ECD；

(2)證明：BF=4EF.

【答案】(1)見解析(2)見解析

【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)：

(1)根據(jù)等邊對等角可得N田C=NACB,再證這組夾角的兩邊成比例即可;

Hnor)ipgApi

(2)作。H〃CF交AB于點H,可證-BHDs,AFE^AHD,推出-=—=-，進而

BFCrCDCZrlL)AL)2

可得FC=4即,再根據(jù)ABCs二DC￡得出NEBCu/FCB,推出CF=5尸，等量代換可證5尸=4EF.

【小問1詳解】

證明：AD=AC，

ZADC=ZACD>即NEDC=NACB，

又點￡>,E分別是3CAD的中點，

DC=-CB,ED=-AD=-AC,

222

,DCED\

"CB-AC-2'

.ACED

'*CB-DC'

_ABCS_ECD；

【小問2詳解】

證明：如圖，作。/〃C尸交A5于點〃，

ZBHD=ZBFC,ZBDH=ZBCF；ZAFE=ZAHD,ZAEF=ZADH,

BHDsBFC,AFES,AHD,

又點￡>,E分別是3cA。的中點，

,HD_BD_1FE_AE_1

FCBC~2'HD-A。-2'

FC=2HD,HD=2FE,

：.FC=4EF,

由(1)得:ABC^,ECD,

?.ZABC=ZECD,即NFBCuNPCB,

.CF=BF,

BF=4EF.

24.已知拋物線丁=；必+法+。與X軸交于A、3兩點(點A在點B的左側(cè))，與>軸交于點C,直線y=-x—6

經(jīng)過點A與點C.

（1）求拋物線的表達式；

（2）點P在線段AC下方的拋物線上，過點P作的平行線交線段AC于點O,交>軸于點E.

①如果C、尸兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，聯(lián)結(jié)小，當DFLCF時，求NPD廠的正切值；

②如果尸D:DE=3:5,求點尸的坐標.

【答案】（1）y=-x2+2x-6

2

（2）①g②,3，?]

【分析】（1）先由一次函數(shù)求出A（-6,0）,C（-6,0）,再運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，即可作答.

（2）①依題意，得。F_LCF,PEBC,ZPDF=ZACB,根據(jù)角的等量代換，即NPDF=NOCB,先求出

點B的坐標.ZPDF的正切值等于tanZOCB=-=-=-；

OC63

②先表達出d?一6，°一斤+/'）一>一6P>~P2+2p-6j,EN=-p~--p,

I2)84

EM=-3。再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定，列式化簡計算，即可作答.

【小問1詳解】

解：???直線y=-x—6經(jīng)過點A與點C

則當尤=0,y=—6；y=0,x=-6

：.A（-6,0）,C（-6,0）

c=-6,

0=18—6b+c,

c=-6

解得

b=2

【小問2詳解】

解：①如圖：

VA（-6,0）,C（-6,0）,且C、尸兩點關(guān)于拋物線y=gx?+2x—6的對稱軸對稱,

貝|]xF=-4

DF//y軸

則NEDC=NOC4

過點P作BC的平行線交線段AC于點。，交y軸于點E.

PEBC,ZPDF=ZACB

則ZPDF=ZOCB

1,

?：y=-x12+2x-6x軸交于A、3兩點(點A在點B的左側(cè)),

1,/

0——x+2x—6

2

?=X=-6,x=2

：.8(2,0)

；ZPDF=ZOCB

則ZPDF的正切值等于tanZOCB=-=-=-；

OC63

②設(shè)+—BC的解析式為y=g+〃

.,.把C(0,—6),6(2,0)代入y=mx+〃

〃=—6

得

0=2m+n

n=-6

解得《

m=3

:過點P作平行線交線段AC于點。，交y軸于點E

設(shè)PE的解析式為y=3尤+6

把P]pXp1+2p-()\\^Ky=3x+b

1

得b=-p9-p-6

2

，,

y=c3x+—1p~-p-6

1

令x=0,y=-p9'-p-6

即E10?—p~-p—6

y=-x-6

當《12

y=3x+-p-p-6

121

解得X=—-P+—P

84

111

則把尤=一-p2+%p代入y=3x+]p_9_p_6

121,

得丫=一——P-6

.84

：.D\--p2+-p,-p2--p-6

\8484

:過點P作軸，過點。作。NJ_y軸,

EDNjEPM

.EN_DE

'EM~EP

?/PD;DE=3:5

：.EN：EM=5R

D^-^p2+^pXp2-^p-6^,P^p,^p2+2p-6^

：.EN=^p2-p-6-^p2-^p-6^=^p2-^p,EM=^p2-p-6-[^p2+2p-6^=-3p

33

：.-p2--p：-3p=5：8

解得Pi=。，Pi=-3

..?點P在線段AC下方的拋物線上，

Pi=O(舍去)

p——3.

1,

把p=-3代入y=—p"+2p-6

1cc-92415

y=—x9—2x3—6=--------二—

222