人教版初中數(shù)學八年級下冊18.2.2矩形的判定同步練習夯實基礎篇一、單選題：1．下列給出的判定中不能判定一個四邊形是矩形的是（

）A．有三個角是直角 B．對角線互相平分且相等C．對角線互相垂直且相等 D．一組對邊平行且相等，一個角是直角【答案】C【分析】利用矩形的判定方法即可對各選項進行判斷，得到符合題意的選項．【詳解】解：A、有三個角是直角的四邊形是矩形，該選項說法正確，不合題意；B、對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，該選項說法正確，不合題意；C、對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，該選項原說法錯誤，符合題意；D、一組對邊平行且相等，一個角是直角的四邊形是矩形，該選項說法正確，不合題意；故選：C．【點睛】此題考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；三個角都是直角的四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形，熟練掌握矩形的判定方法是解本題的關鍵．2．如圖，四邊形是平行四邊形，添加下列條件，能判定這個四邊形是矩形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由矩形的判定和平行四邊形的性質(zhì)分別對各個選項進行判斷即可；【詳解】解：A、四邊形是平行四邊形，，，，平行四邊形是矩形，故選項A符合題意；B、四邊形ABCD是平行四邊形，，，，，選項B不能判定這個平行四邊形為矩形，故選項B不符合題意；C、四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形，故選項C不符合題意；D、四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形，故選項D不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的判定是解題的關鍵．3．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點O作交AD于E，若，則AE的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】C【分析】根據(jù)矩形ABCD，得到AD=BC=8，∠ADC=90°，OA=OC，從而得證△AOE≌△COE，AE=CE，設AE=x，則EC=x，DE=8-x，利用勾股定理計算即可．【詳解】如圖，連接EC，∵矩形ABCD，，，∴AD=BC=8，AB=CD=4，∠ADC=90°，OA=OC，∵，∴∠AOE=∠COE=90°，∵OE=OE，∴△AOE≌△COE，AE=CE，設AE=x，則EC=x，DE=8-x，在Rt△DEC中，，∴，∴x=5，∴AE=5，故選C．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)，三角形全等，勾股定理是解題的關鍵．4．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AOB是等邊三角形，OEBD交BC于點E，CD＝2，則CE的長為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定證出平行四邊形是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，然后利用勾股定理可得，，最后根據(jù)線段和差即可得．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，是等邊三角形，，，平行四邊形是矩形，，，，，設，則，在中，，即，解得或（不符題意，舍去），，，故選：D．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題關鍵．5．如圖，在四邊形中，對角線，垂足為，點、、、分別為邊、、、的中點．若，，則四邊形的面積為（）A．48 B．24 C．32 D．12【答案】D【分析】有一個角是直角的平行四邊形是矩形．利用中位線定理可得出四邊形EFGH矩形，根據(jù)矩形的面積公式解答即可．【詳解】解：∵點E、F分別為四邊形ABCD的邊AD、AB的中點，∴EFBD，且EF=BD=3．同理求得EHACGF，且EH=GF=AC=4，又∵AC⊥BD，∴EFGH，F(xiàn)GHE且EF⊥FG．四邊形EFGH是矩形．∴四邊形EFGH的面積=EF?EH=3×4=12，即四邊形EFGH的面積是12．故選：D．【點睛】本題考查的是中點四邊形．解題時，利用了矩形的判定以及矩形的性質(zhì)，矩形的判定定理有：（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；（2）有三個角是直角的四邊形是矩形；（3）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形．6．如圖，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BD，BC，CA的中點，若四邊形EFGH是矩形，則四邊形ABCD需滿足的條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形中位線定理可得四邊形EFGH是平行四邊形，當，利用,可得即可證明四邊形EFGH是矩形．【詳解】解：∵點E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BD，BC，CA的中點，∴，且，且，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵四邊形EFGH是矩形，∴，即，∵，，∴，故選：A．【點睛】本題考查矩形的判定定理，三角形中位線的定義和性質(zhì)，關鍵是利用三角形中位線定理證明四邊形EFGH是平行四邊形，再利用推出．7．如圖，在直角三角形中，，，，點M是邊上一點（不與點A，B重合），作于點E，于點F，則的最小值是（

）A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6【答案】B【分析】根據(jù)題意可證四邊形ECFM是矩形，得EF=CM，再由垂線段最短得CM最短進而可得EF最短，最后進行計算即可．【詳解】連接CM，∵MEAC，MFBC，∴MEC=MFC=90°,∵C=90°，∴四邊形ECFM是矩形，∴EF=CM，當CMAB時，CM最短，如下圖：當CMAB，，∴，∵在RtABC中，=，∴，∴CM=2.4，∴CM的最小值是2.4，∴EF=CM=2.4，∴EF的最小值是2.4．故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定、垂線段最短定理和勾股定理，解決此題的關鍵是要找到CM最短時的情況．二、填空題：8.如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，欲使四邊形ABCD變成矩形，則還需添加______．（寫出一個合適的條件即可）【答案】AC=BD（答案不唯一）【分析】根據(jù)矩形的判定條件求解即可．【詳解】解：添加條件AC=BD，利用如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故答案為：AC=BD（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查了矩形的判定，熟知矩形的判定條件是解題的關鍵．9．一個木匠要制作矩形的踏板．他在一個對邊平行的長木板上分別沿與長邊垂直的方向鋸兩次，就能得到矩形踏板．理由是______．【答案】三個角都是直角的四邊形是矩形（或：“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”）【分析】使用矩形的判定定理，有三個角是直角的四邊形是矩形【詳解】因為木板的對邊平行，在進行兩次鋸開時都是沿著垂直于對邊的方向，所以會出現(xiàn)4個直角，有三個角是直角的四邊形是矩形．故答案是三個角是直角的四邊形是矩形．【點睛】本題考查矩形的判定，需要熟記矩形的判定定理并靈活運用．10．如圖，順次連接四邊形ABCD各邊中點得四邊形EFGH，要使四邊形EFGH為矩形，AC與BD應滿足的的條件是___________．【答案】【分析】連接，先根據(jù)三角形中位線定理、平行四邊形的判定可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定即可得．【詳解】解：如圖，連接，分別為的中點，，，四邊形為平行四邊形，要使平行四邊形為矩形，則，，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定、矩形的判定，熟練掌握三角形中位線定理是解題關鍵．11．如圖，，、、、分別為角平分線，則四邊形是__________．【答案】矩形【分析】首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明∠MPQ+∠NPQ＝90°，再證明四邊形PMQN是平行四邊形，然后根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形進行判定．【詳解】解：∵PM、PN分別平分∠APQ，∠BPQ，∴∠MPQ＝∠APQ，∠NPQ＝∠BPQ，∵∠APQ+∠BPQ＝180°，∴∠MPQ+∠NPQ＝90°，即∠NPM＝90°，∵AB∥CD，∴∠APQ＝∠PQD，∵QN平分∠PQD，∴∠PQN＝∠PQD，∴∠MPQ＝∠NQP，∴PM∥QN，同理QM∥PN，∴四邊形PMQN是平行四邊形，∵∠NPM＝90°，∴四邊形PMQN是矩形．故答案為：矩形．【點睛】此題主要考查了矩形的判定和平行線的性質(zhì)，解題關鍵是根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)得出90°角和平行四邊形．12．如圖，矩形ABCD中，BE⊥AC于點E，若∠ACB＝23°，則∠DBE＝_______度．【答案】44【分析】由矩形的性質(zhì)可知∠OBC=∠ACB=23°，則可求得∠AOB度數(shù)，由直角三角形的性質(zhì)可得∠DBE的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OB=OC，∴∠ACB=∠OBC=23°，∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC，∴∠DBE=44°．故答案為：44【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，利用矩形的對角線相等且平分求得∠OBC的度數(shù)是解題的關鍵．13．如圖，在面積為36的四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于點P，則DP的長是_____【答案】6【分析】作DE⊥BC，交BC延長線于E，如圖，則四邊形BEDP為矩形，再利用等角的余角相等得到∠ADP=∠CDE，則可利用“AAS”證明△ADP≌△CDE，得到DP=DE，S△ADP=S△CDE，所以四邊形BEDP為正方形，S四邊形ABCD=S正方形BEDP，根據(jù)正方形的面積公式得到DP2=36，易得DP=6．【詳解】如圖，作DE⊥BC，交BC延長線于E，∵DP⊥AB，ABC=90°，∴四邊形BEDP為矩形，∴∠PDE=90°，即∠CDE+∠PDC=90°，∵∠ADC=90°，即∠ADP+∠PDC=90°，∴∠ADP=∠CDE，在△ADP和△CDE中，∴△ADP≌△CDE，∴DP=DE，S△ADP=S△CDE，∴四邊形BEDP為正方形，S四邊形ABCD=S正方形BEDP，∴DP2=36，∴DP=6．故答案為6．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．也考查了正方形和矩形的性質(zhì)．本題的關鍵的作輔助線構造兩個全等的三角形．三、解答題：14．如圖，在中，，平分交于點D，分別過點A、D作、，與相交于點E，連接．(1)求證：；(2)求證：四邊形是矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)、證明四邊形為平行四邊形，即可得出答案；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出，，得出，，先證出四邊形是平行四邊形．再證明四邊形是矩形即可．【詳解】（1）證明：∵、，∴四邊形是平行四邊形，∴；（2）證明：∵，平分，∴，，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴∴四邊形是矩形．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，由等腰三角形的性質(zhì)得出，，是解決問題的關鍵．15．如圖，四邊形是平行四邊形，過點作于點，點在邊上，，連接，．(1)求證：四邊形是矩形．(2)若是的平分線．若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先證出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定即可證得；（2）根據(jù)勾股定理求出長，可證得，即可得出答案．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，即，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是矩形；（2）解：四邊形是矩形，，，四邊形是平行四邊形，，是的平分線，，，，，，．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，角平分線的定義，等角對等邊，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．16．如圖，在四邊形中，ADBC，．對角線交于點平分交于點，連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，=，求△的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)矩形的判定即可得證；（2）先根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理可得，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)角平分線的定義和直角三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定可得，從而可得，最后利用三角形的面積公式即可得．（1）證明：，，∵，，∴四邊形是矩形．（2）解：在中，，，由（1）已證：四邊形是矩形，，平分，，，，，則的面積為．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定等知識點，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題關鍵．17．如圖，在中，對角線AC，BD相交于點O，于點E，于點F，且．(1)求證：四邊形ABCD是矩形．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)10°【分析】（1）證△AEO≌△DFO（AAS），得出OA=OD，則AC=BD，即可得出四邊形ABCD是矩形．（2）由矩形的性質(zhì)得出∠ABC=∠BAD=90°，OA=OB，則∠OAB=∠OBA，求出∠BAE=40°，則∠OBA=∠OAB=50°，即可得出答案．（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，∵于點E，于點F，∴，又∵

，∴，∴，∴，∴四邊形ABCD是矩形；（2）由（1）得：四邊形ABCD是矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵．能力提升篇一、單選題：1．如圖，點是中斜邊不與，重合上一動點，分別作于點，作于點，點是的中點，若，，當點在上運動時，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】證明四邊形BMPN是矩形，得BP=MN，由勾股定理求出AC=15，當BP⊥AC時，BP最小，然后由面積法求出BP最小值，即可解決問題．【詳解】解：連接，如圖所示：，于點，于點，四邊形是矩形，，，與互相平分，點是的中點，，當時，最小∵，，，故選：B．【點睛】本題主要考查矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理及面積法等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．2．如圖，在中，，M為的中點，H為上一點，過點C作，交的延長線于點，若，，則四邊形周長的最小值是（

）A．28 B．26 C．22 D．18【答案】A【分析】通過證明可得，可得四邊形的周長即為，進而可確定當時，四邊形的周長有最小值，通過證明四邊形為矩形可得的長，進而可求解．【詳解】解：，，是的中點，，在和中，，，，，，，四邊形的周長，當最小時，即時四邊形的周長有最小值，，，，四邊形為矩形，，四邊形的周長最小值為，故選：A．【點睛】本題主要考查軸對稱最短路徑問題，全等三角形的判定與性質(zhì)，確定的值是解題的關鍵．3．在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AE平分交BC于點E，．連接OE，則下面的結論：①是等邊三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正確的結論有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】判斷出△ABE是等腰直角三角形，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠ACB＝30°，再判斷出△ABO，△DOC是等邊三角形，可判斷①；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出OB＝AB，再求出OB＝BE，可判斷②，由直角三角形的性質(zhì)可得BC＝AB，可判斷③，由等腰三角形性質(zhì)求出∠BOE＝75°，再根據(jù)∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝135°，可判斷④；由面積公式可得可判斷⑤；即可求解．【詳解】解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，∴∠ACE＝∠AEB?∠CAE＝45°?15°＝30°，∴∠BAO＝90°?30°＝60°，∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，∴△ABO是等邊三角形，△COD是等邊三角形，故①正確；∴OB＝AB，又∵AB＝BE，∴OB＝BE，∴△BOE是等腰三角形，故②正確；在Rt△ABC中∵∠ACB=30°∴BC＝AB，故③錯誤；∵∠OBE＝∠ABC?∠ABO＝90°?60°＝30°＝∠ACB，∴∠BOE＝（180°?30°）＝75°，∴∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝60°＋75°＝135°，故④錯誤；∵AO＝CO，∴，故⑤正確；故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關鍵．二、填空題：4．如圖，在平行四邊形中，，，，點在邊上，且，點在線段上，點在線段的延長線上，且，連接交于點，過點作于，則___________.【答案】【分析】過點M作MHBC交CP于H，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，根據(jù)等邊對等角可得∠BCP＝∠BPC，然后求出∠BPC＝∠MHP，根據(jù)等角對等邊可得PM＝MH，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得PE＝EH，利用“角角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CF＝FH，從而求出EF＝CP，利用勾股定理列式求出AP，然后可得PD，再次利用勾股定理列式計算即可求出CP，從而得解．【詳解】解：如圖，過點M作MHBC交CP于H，則∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，∵BP＝BC，∴∠BCP＝∠BPC，∴∠BPC＝∠MHP，∴PM＝MH，∵PM＝CN，∴CN＝MH，∵ME⊥CP，∴PE＝EH，在和中，，∴（AAS），∴CF＝FH，∴EF＝EH＋FH＝CP，∵在平行四邊形ABCD中，AD＝10，，∴BC＝AD＝10，平行四邊形ABCD是矩形，∴BP＝BC＝10，在Rt中，AP＝，∴PD＝AD?AP＝10?6＝4，∵在矩形ABCD中，∠D＝90°，∴在Rt中，CP＝，∴EF＝CP＝，故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，熟記各性質(zhì)并作輔助線構造出全等三角形和等腰三角形是解題的關鍵．5．如圖，在矩形ABCD中，，，點P從點A向點D以每秒1cm的速度運動，Q以每秒4cm的速度從點C出發(fā)，在B、C兩點之間做往返運動，兩點同時出發(fā)，點P到達點D為止(同時點Q也停止)，這段時間內(nèi)，當運動時間為______時，P、Q、C、D四點組成矩形．【答案】2.4s或4s或7.2s【分析】根據(jù)已知可知：點Q將由根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD∥BC，設過了t秒，當AP=BQ時，P、Q、C、D四點組成矩形，在點Q由的過程中，則PA=t，BQ=12-4t，求得t=2.4（s），在點Q由的過程中，t=4（t-3），求得t=4（s），在點Q再由中，t=12-4（t-6），求得t=7.2（s），在點Q再由的過程中，t=4（t-9），t=13（s），故此舍去，從而得到結論．【詳解】解：根據(jù)已知可知：點Q由在點Q第一次到達點B過程中，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，若，則四邊形APQB是矩形，則以P、Q、C、D四點為頂點組成矩形．設過了t秒，則PA=t，BQ=12-4t，∴t=12-4t，∴t=2.4（s），在點Q由的過程中，設過了t秒，則PA=t，BQ=4（t-3），t=4（t-3），解得：t=4（s），在點Q再由過程中，設過了t秒，則PA=t，BQ=12-4（t-6），t=12-4（t-6），解得：t=7.2（s），在點Q再由的過程中，設過了t秒