核心素養(yǎng)測評六十八

變量間的相關關系與統(tǒng)計案例

鞏固提升練(2。分鐘40分)

一、選擇題(每小題5分，共20分)

1.為了判定兩個分類變量X和Y是否有關系,應用獨立性檢驗法算得K?的觀測值

為5,又已知P(K2》3.841)=0.05,P(K226.635)=0.01,則下列說法正確的是

()

A.有95%的把握認為“X和Y有關系”

B.有95%的把握認為“X和Y沒有關系”

C.有99%的把握認為“X和Y有關系”

D.有99%的把握認為“X和Y沒有關系”

【解析】選A.依題意上的觀測值為k=5,且P(223.841)=0.05因此有95%的把

握認為“X和Y有關系”.

2.(2020?許昌模擬)“吸煙有害健康,吸煙會對身體造成傷害”.美國癌癥協(xié)會

研究表明，開始吸煙年齡X分別為16歲、18歲、20歲和22歲者,其得肺癌的相

對危險度Y依次為15.10,12.81,9.72,3.21;每天吸煙支數(shù)U分別為10,20,30者,

其得肺癌的相對危險度V分別為7.5,9.5和16.6,用r表示變量X與Y之間的線

1

性相關系數(shù),用r表示變量U與V之間的線性相關系數(shù),則下列說法正確的是

2

)

-1-

A.r=rB.r>r>0

1212

C.0<r<rD.r<0<r

1212

【解析】選D.由題意可知，開始吸煙年齡遞增時，得肺癌的相對危險度呈遞減趨

勢，所以吸煙年齡與得肺癌的危險度呈負相關，所以r<0,同理可知，得肺癌的危

1

險度與每天吸煙支數(shù)呈正相關，所以r>0,因此可得r<0<r.

212

3.為研究語文成績和英語成績之間是否具有線性相關關系，統(tǒng)計兩科成績得到

如圖所示的散點圖（兩坐標軸單位長度相同），用回歸直線廠伊+》近似地刻畫其相

關關系,根據(jù)圖形，以下結論最有可能成立的是（）

八英語成績,

??????

???

?????

????????

????

,n語文成境）

A.線性相關關系較強,彳的值為1.25

B.線性相關關系較強,彳的值為0.83

C.線性相關關系較強,方的值為-0.87

D.線性相關關系太弱,無研究價值

【解析】選B.散點圖里變量的對應點分布在一條直線附近，且比較密集，故可判

斷語文成績和英語成績之間具有較強的正線性相關關系，且直線斜率小于1.

4.（2020?南昌模擬）某公司在2015~2019年的收入與支出如表所示：

收入x（億元）2.22.64.05.35.9

支出y（億元）0.21.52.02.53.8

根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸方程為y=0.8x+a,依此估計2020年該公司收入為8億元

時支出為（）

-2-

A.4.2億元B.4.4億元

C.5.2億元D.5.4億元

【解析】選C.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算產1義（2.2+2.6+4.0+5.3+5.9）=4,

q

y=-X（0.2+1.5+2.0+2.5+3.8）=2,

5

所以戶2-0.8X4=-1.2,

所以回歸直線方程為產0.8x-1.2,

計算x=8時/0.8X8-1.2=5.2（億元），

即2020年該公司收入為8億元時的支出為5.2億元.

二、填空題（每小題5分，共10分）

5.（2020?長春模擬）某同學將收集到的六組數(shù)據(jù)制作成散點圖如圖所示,并得到

其回歸直線的方程為（:產。.68X+G，計算其相關系數(shù)為,相關指數(shù)為Rj.經過分

析確定點F為“離群點”，把它去掉后,再利用剩下的5組數(shù)據(jù)計算得到回歸直

線的方程為/jp^x+0.68,相關系數(shù)為r,相關指數(shù)為Rj.以下結論中，不正確的

序號是.

尸(6.5)

?￡(5.2.8)

?*M4.2.5)

0(321)

5(2.1.5)

刖1.1.1)

①r)0,r/0②R言心

③產0.12?0</0.68

【解析】由圖可知兩變量呈現(xiàn)正相關，故rJ0,，>0,且r產2,故曾〈彫，

故①正確，②不正確.

又回歸直線/：-=0.68x+*必經過樣本點的中心（3.5,2.5）,所以『2.5-0.68X

3.5=0.12,③正確.

回歸直線（:廣爐+0.68必經過樣本點的中心（3,2）,所以2株X3+0.68,

所以尸0.44,也可直接根據(jù)圖象判斷0<10.68（比較兩直線的傾斜程度），故④正

確.

答案:②

6.某學校社團為調查學生課余學習圍棋的情況,隨機抽取了100名學生進行調查.

根據(jù)調查結果繪制的學生日均學習圍棋時間的頻率分布直方圖如圖所示，將日

均學習圍棋時間不低于40分鐘的學生稱為“圍棋迷”.

蟆事

0.010

0.005

10203（）40506）日均學習圍

棋時間，分鐘

根據(jù)已知條件完成下面的2X2列聯(lián)表,并據(jù)此資料判斷（填“能”或“不

能”）在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“圍棋迷”與性別有關.

非圍棋迷圍棋迷總計

總計

附：K2=.n(ad-bc),，其中n=a+b+c+d.

乙i十b）乙:+d）%+c丿力+d）

-4-

P-0.100.050.0250.0100.0050.001

0

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

0

【解析】由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“圍棋迷”有100X0.25=25

人，

從而2X2列聯(lián)表如下所示：

非圍棋迷圍棋迷總計

男301545

女451055

總計7525100

將2X2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得

K2的觀測值k=i0°x白廠二些"3一030,

45X55X75X25RR

因為3.0300.841,所以不能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“圍棋迷”

與性別有關.

答案：不能

三、解答題

7.（10分）（2018?全國卷H）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資

額y（單位:億元）的折線圖.

-5-

為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額,建立了v與時間變量t的兩個

線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1,2,…，17）

建立模型①:產-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次

為1,2,…，7）建立模型②：尸99+17.5t.

（1）分別利用這兩個模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值.

⑵你認為用哪個模型得到的預測值更可靠?并說明理由.

【命題意圖】本題考查線性回歸方程的運用和函數(shù)模型的擬合選用，重點考查學

生的識圖、讀圖能力和數(shù)據(jù)分析能力.

【解析】⑴利用模型①,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為

丁-30.4+13.5X19=226.1（億元）.

利用模型②,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為L99+17.5X

9=256.5（億元）.

⑵利用模型②得到的預測值更可靠.

理由如下：

方法一：從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直

線y=-30.4+13.5t上下.這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①

不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基

礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附

近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用

2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型「99+17.5t可以較好地描述2010年以

后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預測值更可靠.

-6-

方法二：從計算結果看，相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元，由模型

①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅

比較合理.說明利用模型②得到的預測值更可靠.

綜合運用練（15分鐘35分）

1.（5分）已知某次考試之后,班主任從全班同學中隨機抽取一個容量為8的樣本,

他們的數(shù)學、物理成績（單位:分）對應如表：

學生編號12345678

數(shù)學成績6065707580859095

物理成績7277808488909395

給出散點圖如圖:

物理成塩‘分

100-??

90.■

80.?

70**

60

5°506070K090100數(shù)學或?分

根據(jù)以上信息,判斷下列結論：

①根據(jù)散點圖，可以判斷數(shù)學成績與物理成績具有線性相關關系；

②根據(jù)散點圖，可以判斷數(shù)學成績與物理成績具有一次函數(shù)關系；

③從全班隨機抽取甲、乙兩名同學,若甲同學數(shù)學成績?yōu)?0分，乙同學數(shù)學成績

為60分,則甲同學的物理成績一定比乙同學的物理成績高.

其中正確的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【解析】選B.由散點圖知，各點都分布在一條直線附近，故可以判斷數(shù)學成績與

物理成績具有線性相關關系，但不能判斷數(shù)學成績與物理成績具有一次函數(shù)關

-7-

系，故①正確，②錯誤；若甲同學數(shù)學成績?yōu)?0分，乙同學數(shù)學成績?yōu)?0分，則甲

同學的物理成績可能比乙同學的物理成績高，故③錯誤.綜上，正確的個數(shù)為1.

2.（5分）通過隨機詢問110名性別不同的學生是否愛好某項運動,得到如下的列

聯(lián)表：

男女總計

愛好402060

不愛好203050

總計6050110

2

由K2=______"丿-______算得，

乙I十匕丿d7十d）&I十c丿力十d）

K?的觀測值為卜=11吟2°*3°日02°丿=7.8.

60X50X60X50

附表：

P(Q2k)0.050.0100.001

0

k3.8416.63510.828

0

參照附表，得到的正確結論是（）

A.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”

B.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”

C.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別有關”

D.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別無關”

【解析】選A.根據(jù)獨立性檢驗的定義，由k的觀測值為k%7.8>6.635,可知我們

在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，即有99%以上的把握認為“愛好該項運動

與性別有關”.

-8-

3.（5分）在2019年3月15日那天,某市物價部門對本市的5家商場的某商品的

一天銷售量及其價格進行調查,5家商場的售價x元和銷售量y件之間的一組數(shù)

據(jù)如表所示：

價格X99.5m10.511

銷售量y11n865

由散點圖可知,銷售量y與價格x之間有較強的線性相關關系,其線性回歸方程

是『=-3.2x+40,且m+n=20,則其中的n=.

［解析］婷+9'5+”?+1°“5+11=8+%

11十“十8+6+5

y=6+-.

5

回歸直線一定經過樣本點的中心（憶歹）,

即6+-=~3.2（8+：）+4。,

冃

即3.2m+n=42.

又因為m+n=20,即戸?2m+n=42,解得力i=10,

+n=20,⑺=10.

答案：10

4.（10分）已知某企業(yè)近3年的前7個月的月禾U潤（單位:百萬元）如折線圖所示:

-9-

（1）試問這3年的前7個月中哪個月的月平均利潤最高？

（2）通過計算判斷這3年的前7個月的總利潤的發(fā)展趨勢.

⑶試以第3年的前4個月的數(shù)據(jù)（如表），用線性回歸的擬合模式估計第3年8

月份的利潤.

【解析】⑴由折線圖可知5月和6月的月平均利潤最高.

⑵第1年前7個月的總利潤為1+2+3+5+6+7+4=28（百萬元）,

第2年前7個月的總利潤為2+5+5+4+5+5+5=31（百萬元）.

第3年前7個月的總利潤為4+4+6+6+7+6+8=41（百萬元），所以這3年的前7個月

的總利潤呈上升趨勢.

（3）因為下=2.5,y=5,12+22+32+42=30,1X4+2X4+3X6+4X6=54,

所以戶547X2.5x5=0.8,所以『5-2.5X0.8=3.因此線性回歸方程為尸0.8x+3.

30--1X7.

當x=8時，｛.=0,8X8+3=9.4.

所以估計第3年8月份的利潤為9.4百萬元.

5.（10分）（2020?珠海模擬）某種儀器隨著使用年限的增加,每年的維護費相應增

加.現(xiàn)對一批該儀器進行調查,得到這批儀器自購入使用之日起,前5年平均每

臺儀器每年的維護費用大致如表：

-10-

年份x（年）12345

維護費y（萬元）0.71.21.62.12.4

⑴根據(jù)表中所給數(shù)據(jù),試建立V關于X的線性回歸方程產M+a.

（2）若該儀器的價格是每臺12萬元，你認為應該使用滿五年換一次儀器,還是應

該使用滿八年換一次儀器?并說明理由.