數(shù)值計算方法 第4版 課件 第2章2-3,4 牛頓迭代法_第1頁
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文檔簡介

2.3牛頓迭代法2.3.1迭代公式的建立2.3.2牛頓迭代法的收斂情況2.3.3牛頓迭代法的修正法2.3.1迭代公式的建立

3.幾何意義

過曲線上的點pk(xk,f(xk))作切線，切線方程

y=f(xk)+f

(xk)(x–xk)

切線方程和橫軸的交點(xk+1,0)，即

0=

f(xk)+f

(xk)(xk+1–xk)若

f

(xk

)≠0，解出xk+1，則得Newton迭代公式例用牛頓迭代法求方程xex-1=0在x=0.5附近的根。解牛頓迭代法

取x0=0.5，經(jīng)計算可得普通迭代法18次才能得到的計算結(jié)果。,則x2-a=0,求等價于求方程

令例造平方根表。用牛頓迭代法計算(其中a>0)解的正實根。因為

f′(x)=2x，由牛頓迭代公式得當(dāng)a=115時，取初值x0=10，迭代4次可得10，10.7500，10.723837，10.723805，10.723805≈10.723805是否還能用牛頓法計算一個正數(shù)的立方根？,則x3-3=0,

求等價于求方程

令例用牛頓迭代法求解的正實根。由牛頓迭代公式得當(dāng)a=4111.7910時，取初值

x0=8，迭代4次可得7.48，7.439977,7.439760,7.439760,令例用牛頓迭代法造倒數(shù)表，計算解3、牛頓迭代法的計算步驟(1)給出x0,ε，N(2)計算(3)若則轉(zhuǎn)(4)；否則，轉(zhuǎn)(2);(4)輸出x1,結(jié)束。牛頓迭代法局部收斂:2.4.2牛頓迭代法的收斂情況1.局部收斂性結(jié)論：

f(x)=0的單根x*附近存在著連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，當(dāng)初值在單根x*附近時，牛頓法具有平方收斂速度。證牛頓法迭代函數(shù)當(dāng)f(x*)=0，而f(x*)≠0，則x*是f(x)=0的單根,單根x*附近存在著連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，有

牛頓法至少具有平方收斂速度。2.3.3牛頓迭代法的修正1.簡化牛頓法(平行弦法)2.牛頓下山法

在牛頓法基礎(chǔ)上，構(gòu)造既有較高的收斂速度，又不需要求導(dǎo)數(shù)的迭代公式。公式的推導(dǎo)

用差商則得兩個弦截迭代公式2.5弦截法（割線法）單點弦法

雙點弦法例用單點弦截迭代法求方程

x3-0.2x-1.2=0在x=1.5附近的根。解弦截迭代公式據(jù)題意，取x0=1.5,f(x0)=1.425,代入單點弦迭代法所以有k1234567xk11.1501.1901.1931.1981.1991.200例用雙點弦截迭代法求方程

xex-1=0在x=0.5附近的根。解弦截迭代公式方程化為

x-e–x=0,令

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