PAGE中考數(shù)學(xué)選擇填空壓軸題：三角形綜合問題例1．如圖所示，矩形ABCD中，AB＝4，EQBC＝4\R(,3)，點E是折線ADC上的一個動點（點E與點A不重合），點P是點A關(guān)于BE的對稱點．在點E運動的過程中，使△PCB為等腰三角形的點E的位置共有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個同類題型1.1如圖，在鈍角△ABC中，分別以AB和AC為斜邊向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于點M，取BC中點D，AC中點N，連接DN、DE、DF．下列結(jié)論：①EM＝DN；②EQS\S\DO(△CDN)＝\F(1,3)S四邊形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF．其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個同類題型1.2如圖，D，E分別是△ABC的邊BC，AC上的點，若∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，則（）A．當(dāng)∠B為定值時，∠CDE為定值 B．當(dāng)∠1為定值時，∠CDE為定值 C．當(dāng)∠2為定值時，∠CDE為定值 D．當(dāng)∠3為定值時，∠CDE為定值同類題型1.3如圖，在△ABC中，EQAB＝AC＝2\R(,3)，∠BAC＝120°，點D、E都在邊BC上，∠DAE＝60°．若BD＝2CE，則DE的長為______________．例2．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC，E為AB邊上一點，∠BCE＝15°，且AE＝AD．連接DE交對角線AC于H，連接BH．下列結(jié)論：①ACD≌△ACE；②△CDE為等邊三角形；③EH＝2EB；④EQ\F(S\S\DO(△AEH),S\S\DO(△CEH))＝\F(EH,CD)．其中正確的結(jié)論是________．同類題型2.1如圖所示，已知：點A（0，0），EQB（\R(,3)，0），C（0，1）在△ABC內(nèi)依次作等邊三角形，使一邊在x軸上，另一個頂點在BC邊上，作出的等邊三角形分別是第1個EQ△AA\S\DO(1)B\S\DO(1)，第2個EQ△B\S\DO(1)A\S\DO(2)B\S\DO(2)，第3個EQ△B\S\DO(2)A\S\DO(3)B\S\DO(3)，…，則第n個等邊三角形的邊長等于____________．同類題型2.2如圖，點P在等邊△ABC的內(nèi)部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，將線段PC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到P'C，連接AP'，則sin∠PAP'的值為_________．例3．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點O作OD⊥AC于D．下列四個結(jié)論：①EQ∠BOC＝90°＋\F(1,2)∠A；②以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切；③EF是△ABC的中位線；④設(shè)OD＝m，AE＋AF＝n，則EQS\S\DO(△AEF)＝\F(1,2)mn．其中正確的結(jié)論是 （）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④同類題型3.1如圖所示，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．則BD的長為（）A．EQ\R(,14) B．EQ\R(,15) C．EQ3\R(,2) D．EQ2\R(,3)同類題型3.2如圖，在Rt△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，斜邊AB的兩個端點分別在相互垂直的射線OM、ON上滑動，下列結(jié)論：①若C、O兩點關(guān)于AB對稱，則EQOA＝2\R(,3)；②C、O兩點距離的最大值為4；③若AB平分CO，則AB⊥CO；④斜邊AB的中點D運動路徑的長為EQ\F(π,2)；其中正確的是______________（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）．同類題型3.3如圖，直角△ABC中，∠B＝30°，點O是△ABC的重心，連接CO并延長交AB于點E，過點E作EF⊥AB交BC于點F，連接AF交CE于點M，則EQ\F(MO,MF)的值為 （）A．EQ\F(1,2) B．EQ\F(\R(,5),4) C．EQ\F(2,3) D．EQ\F(\R(,3),3)例4．如圖，在△ABC中，4AB＝5AC，AD為△ABC的角平分線，點E在BC的延長線上，EF⊥AD于點F，點G在AF上，F(xiàn)G＝FD，連接EG交AC于點H．若點H是AC的中點，則EQ\F(AG,FD)的值為________．同類題型4.1如圖，已知EQCO\S\DO(1)是△ABC的中線，過點EQO\S\DO(1)作EQO\S\DO(1)E\S\DO(1)∥AC交BC于點EQE\S\DO(1)，連接EQAE\S\DO(1)交EQCO\S\DO(1)于點EQO\S\DO(2)；過點EQO\S\DO(2)作EQO\S\DO(2)E\S\DO(2)∥AC交BC于點EQE\S\DO(2)，連接EQAE\S\DO(2)交EQCO\S\DO(1)于點EQO\S\DO(3)；過點EQO\S\DO(3)作EQO\S\DO(3)E\S\DO(3)∥AC交BC于點EQE\S\DO(3)，…，如此繼續(xù)，可以依次得到點EQO\S\DO(4)，EQO\S\DO(5)，…，EQO\S\DO(n)和點EQE\S\DO(4)，EQE\S\DO(5)，…，EQE\S\DO(n)，則EQO\S\DO(2016)E\S\DO(2016)＝_________AC．同類題型4.2如圖，過銳角△ABC的頂點A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延長線于點F．在AF上取點M，使得EQAM＝\F(1,3)AF，連接CM并延長交直線DE于點H．若AC＝2，△AMH的面積是EQ\F(1,12)，則EQ\F(1,tan∠ACH)的值是___________．例5．如圖，△ABC的面積為S．點EQP\S\DO(1)，EQP\S\DO(2)，EQP\S\DO(3)，…，EQP\S\DO(n－1)是邊BC的n等分點（n≥3，且n為整數(shù)），點M，N分別在邊AB，AC上，且EQ\F(AM,AB)＝\F(AN,AC)＝\F(1,n)，連接EQMP\S\DO(1)，EQMP\S\DO(2)，EQMP\S\DO(3)，…，EQMP\S\DO(n－1)，連接NB，EQNP\S\DO(1)，EQNP\S\DO(2)，…，EQNP\S\DO(n－1)，線段EQMP\S\DO(1)與NB相交于點EQD\S\DO(1)，線段EQMP\S\DO(2)與EQNP\S\DO(1)相交于點EQD\S\DO(2)，線段EQMP\S\DO(3)與EQNP\S\DO(2)相交于點EQD\S\DO(3)，…，線段EQMP\S\DO(n－1)與EQNP\S\DO(n－2)相交于點EQD\S\DO(n－1)，則EQ△ND\S\DO(1)P\S\DO(1)，EQ△ND\S\DO(2)P\S\DO(2)，EQ△ND\S\DO(3)P\S\DO(3)，…，EQ△ND\S\DO(n－1)P\S\DO(n－1)的面積和是____________．（用含有S與n的式子表示）同類題型5.1如圖，四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點B落在CD邊上的B′處，點A對應(yīng)點為A′，且B′C＝3，則AM的長是 （）A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5同類題型5.2如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，點D是BC的中點，將△ABD沿AD翻折得到△AED，連CE，則線段CE的長等于 （）A．2 B．EQ\F(5,4) C．EQ\F(5,3) D．EQ\F(7,5)同類題型5.3如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，EQBC＝\R(,2)＋1，點M，N分別是邊BC，AB上的動點，沿MN所在的直線折疊∠B，使點B的對應(yīng)點B′始終落在邊AC上，若△MB′C為直角三角形，則BM的長為____________．同類題型5.4如圖，在矩形ABCD中，∠B的平分線BE與AD交于點E，∠BED的平分線EF與DC交于點F，若AB＝9，DF＝2FC，則BC＝_________________．（結(jié)果保留根號）參考答案例1．如圖所示，矩形ABCD中，AB＝4，EQBC＝4\R(,3)，點E是折線ADC上的一個動點（點E與點A不重合），點P是點A關(guān)于BE的對稱點．在點E運動的過程中，使△PCB為等腰三角形的點E的位置共有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個解：①BP為等腰三角形一腰長時，符合點E的位置有2個，是BC的垂直平分線與以B為圓心BA為半徑的圓的交點即是點P；②BP為底邊時，C為頂點時，符合點E的位置有2個，是以B為圓心BA為半徑的圓與以C為圓心BC為半徑的圓的交點即是點P；③以PC為底邊，B為頂點時，這樣的等腰三角形不存在，因為以B為圓心BA為半徑的圓與以B為圓心BC為半徑的圓沒有交點．選C．同類題型1.1如圖，在鈍角△ABC中，分別以AB和AC為斜邊向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于點M，取BC中點D，AC中點N，連接DN、DE、DF．下列結(jié)論：①EM＝DN；②EQS\S\DO(△CDN)＝\F(1,3)S四邊形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF．其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：∵D是BC中點，N是AC中點，∴DN是△ABC的中位線，∴DN∥AB，且EQDN＝\F(1,2)AB；∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB交AB于點M，∴M是AB的中點，∴EQEM＝\F(1,2)AB，又∵EQDN＝\F(1,2)AB，∴EM＝DN，∴結(jié)論①正確；∵DN∥AB，∴△CDN∽ABC，∵EQDN＝\F(1,2)AB，∴EQS\S\DO(△CDN)＝\F(1,4)S\S\DO(△ABC)，∴EQS\S\DO(△CDN)＝\F(1,3)S_(四邊形ABDN)，∴結(jié)論②正確；如圖1，連接MD、FN，∵D是BC中點，M是AB中點，∴DM是△ABC的中位線，∴DM∥AC，且EQDM＝\F(1,2)AC；∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中點，∴EQFN＝\F(1,2)AC，又∵EQDM＝\F(1,2)AC，∴DM＝FN，∵DM∥AC，DN∥AB，∴四邊形AMDN是平行四邊形，∴∠AMD＝∠AND，又∵∠EMA＝∠FNA＝90°，∴∠EMD＝∠DNF，在△EMD和△DNF中，EQ\B\lc\{(\a\al(EM＝DN,∠EMD＝∠DNF,MD＝NF))，∴△EMD≌△DNF，∴DE＝DF，∴結(jié)論③正確；如圖2，連接MD，EF，NF，∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，∴M是AB的中點，EM⊥AB，∴EM＝MA，∠EMA＝90°，∠AEM＝∠EAM＝45°，∴EQ\F(EM,EA)＝sin45°＝\F(\R(,2),2)，∵D是BC中點，M是AB中點，∴DM是△ABC的中位線，∴DM∥AC，且EQDM＝\F(1,2)AC；∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中點，∴EQFN＝\F(1,2)AC，∠FNA＝90°，∠FAN＝∠AFN＝45°，又∵EQDM＝\F(1,2)AC，∴EQDM＝FN＝\F(\R(,2),2)FA，∵∠EMD＝∠EMA＋∠AMD＝90°＋∠AMD，∠EAF＝360°－∠EAM－∠FAN－∠BAC＝360°－45°－45°－（180°－∠AMD）＝90°＋∠AMD∴∠EMD＝∠EAF，在△EMD和△∠EAF中，EQ\B\lc\{(\a\al(\F(EM,EA)＝\F(DM,FA)＝\F(\R(,2),2),∠EMD＝∠EAF))∴△EMD∽△∠EAF，∴∠MED＝∠AEF，∵∠MED＋∠AED＝45°，∴∠AED＋∠AEF＝45°，即∠DEF＝45°，又∵DE＝DF，∴∠DFE＝45°，∴∠EDF＝180°－45°－45°＝90°，∴DE⊥DF，∴結(jié)論④正確．∴正確的結(jié)論有4個：①②③④．選D．同類題型1.2如圖，D，E分別是△ABC的邊BC，AC上的點，若∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，則（）A．當(dāng)∠B為定值時，∠CDE為定值B．當(dāng)∠1為定值時，∠CDE為定值C．當(dāng)∠2為定值時，∠CDE為定值D．當(dāng)∠3為定值時，∠CDE為定值解：在△CDE中，由三角形的外角性質(zhì)得，∠AED＝∠CDE＋∠C，在△ABD中，由三角形的外角性質(zhì)得，∠B＋∠1＝∠ADC＝∠ADE＋∠CDE，∵∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，∴∠B＋∠1＝∠CDE＋∠C＋∠CDE＝2∠CDE＋∠B，∴∠1＝2∠CDE，∴當(dāng)∠1為定值時，∠CDE為定值．選B．同類題型1.3如圖，在△ABC中，EQAB＝AC＝2\R(,3)，∠BAC＝120°，點D、E都在邊BC上，∠DAE＝60°．若BD＝2CE，則DE的長為______________．解：將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACF，取CF的中點G，連接EF、EG，如圖所示．∵EQAB＝AC＝2\R(,3)，∠BAC＝120°，∴∠ACB＝∠B＝∠ACF＝30°，∴∠ECG＝60°．∵CF＝BD＝2CE，∴CG＝CE，∴△CEG為等邊三角形，∴EG＝CG＝FG，∴EQ∠EFG＝∠FEG＝\F(1,2)∠CGE＝30°，∴△CEF為直角三角形．∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠BAD＋∠CAE＝60°，∴∠FAE＝∠FAC＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝60°．在△ADE和△AFE中，EQ\B\lc\{(\a\al(AD＝AF,∠DAE＝∠FAE＝60°,AE＝AE))，∴△ADE≌△AFE（SAS），∴DE＝FE．設(shè)EC＝x，則BD＝CD＝2x，DE＝FE＝6－3x，在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，CF＝2x，EC＝x，EQEF＝\R(,CF\S\UP6(2)－EC\S\UP6(2))＝\R(,3)x，∴EQ6－3x＝\R(,3)x，EQx＝3－\R(,3)，∴EQDE＝\R(,3)x＝3\R(,3)－3．例2．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC，E為AB邊上一點，∠BCE＝15°，且AE＝AD．連接DE交對角線AC于H，連接BH．下列結(jié)論：①ACD≌△ACE；②△CDE為等邊三角形；③EH＝2EB；④EQ\F(S\S\DO(△AEH),S\S\DO(△CEH))＝\F(EH,CD)．其中正確的結(jié)論是________．解：①∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，又∵∠BAD＝90°，∴∠BAC＝∠DAC，在△ACD和△ACE中，EQ\B\lc\{(\a\al(AD＝AE,∠EAC＝∠DAC,AC＝AC))，∴△ACD≌△ACE（SAS）；故①正確；②同理∠AED＝45°，∠BEC＝90°－∠BCE＝90°－15°＝75°，∴∠DEC＝60°，∵△ACD≌△ACE，∴CD＝CE，∴△CDE為等邊三角形．故②正確．③∵△CHE為直角三角形，且∠HEC＝60°∴EC＝2EH∵∠ECB＝15°，∴EC≠4EB，∴EH≠2EB；故③錯誤．④∵AE＝AD，CE＝CD，∴點A與C在DE的垂直平分線上，∴AC是DE的垂直平分線，即AC⊥DE，∴CE＞CH，∵CD＝CE，∴CD＞CH，∵∠BAC＝45°，∴AH＝EH，∵EQ\F(S\S\DO(△AEH),S\S\DO(△CEH))＝\F(AH,CH)＝\F(EH,CH)，∴EQ\F(S\S\DO(△AEH),S\S\DO(△CEH))＞\F(EH,CD)，故④錯誤．答案為：①②．同類題型2.1如圖所示，已知：點A（0，0），EQB（\R(,3)，0），C（0，1）在△ABC內(nèi)依次作等邊三角形，使一邊在x軸上，另一個頂點在BC邊上，作出的等邊三角形分別是第1個EQ△AA\S\DO(1)B\S\DO(1)，第2個EQ△B\S\DO(1)A\S\DO(2)B\S\DO(2)，第3個EQ△B\S\DO(2)A\S\DO(3)B\S\DO(3)，…，則第n個等邊三角形的邊長等于____________．解：∵EQOB＝\R(,3)，OC＝1，∴BC＝2，∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°．而EQ△AA\S\DO(1)B\S\DO(1)為等邊三角形，EQ∠A\S\DO(1)AB\S\DO(1)＝60°，∴EQ∠COA\S\DO(1)＝30°，則EQ∠CA\S\DO(1)O＝90°．在EQRt△CAA\S\DO(1)中，EQAA\S\DO(1)＝\F(\R(,3),2)OC＝\F(\R(,3),2)，同理得：EQB\S\DO(1)A\S\DO(2)＝\F(1,2)A\S\DO(1)B\S\DO(1)＝\F(\R(,3),2\S\UP6(2))，依此類推，第n個等邊三角形的邊長等于EQ\F(\R(,3),2\S\UP6(n))．同類題型2.2如圖，點P在等邊△ABC的內(nèi)部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，將線段PC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到P'C，連接AP'，則sin∠PAP'的值為_________．解：連接PP′，如圖，∵線段PC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到P'C，∴CP＝CP′＝6，∠PCP′＝60°，∴△CPP′為等邊三角形，∴PP′＝PC＝6，∵△ABC為等邊三角形，∴CB＝CA，∠ACB＝60°，∴∠PCB＝∠P′CA，在△PCB和△P′CA中EQ\B\lc\{(\a\al(PC＝P′C,∠PCB＝∠P′CA,CB＝CA))，∴△PCB≌△P′CA，∴PB＝P′A＝10，∵EQ6\S\UP6(2)＋8\S\UP6(2)＝10\S\UP6(2)，∴EQPP′\S\UP6(2)＋AP\S\UP6(2)＝P′A\S\UP6(2)，∴△APP′為直角三角形，∠APP′＝90°，∴EQsin∠PAP′＝\F(PP′,P′A)＝\F(6,10)＝\F(3,5)．同類題型2.4例3．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點O作OD⊥AC于D．下列四個結(jié)論：①EQ∠BOC＝90°＋\F(1,2)∠A；②以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切；③EF是△ABC的中位線；④設(shè)OD＝m，AE＋AF＝n，則EQS\S\DO(△AEF)＝\F(1,2)mn．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴EQ∠OBC＝\F(1,2)∠ABC，EQ∠OCB＝\F(1,2)∠ACB，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴EQ∠OBC＋∠OCB＝90°－\F(1,2)∠A，∴EQ∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB）＝90°＋\F(1,2)∠A；故①正確；過點O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴ON＝OD＝OM＝m，∴EQS\S\DO(△AEF)＝S\S\DO(△AOE)＋S\S\DO(△AOF)＝\F(1,2)AE﹒OM＋\F(1,2)AF﹒OD＝\F(1,2)OD﹒（AE＋AF）＝\F(1,2)mn；故④正確；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴EB＝EO，F(xiàn)O＝FC，∴EF＝EO＋FO＝BE＋CF，∴以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切，故②正確，根據(jù)已知不能推出E、F分別是AB、AC的中點，故③正確，∴其中正確的結(jié)論是①②④選D．同類題型3.1如圖所示，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．則BD的長為（）A．EQ\R(,14) B．EQ\R(,15) C．EQ3\R(,2) D．EQ2\R(,3)解：以A為圓心，AB長為半徑作圓，延長BA交⊙A于F，連接DF．∵DC∥AB，∴EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),DF)＝\o\ac(\S\UP7(⌒),BC)，∴DF＝CB＝1，BF＝2＋2＝4，∵FB是⊙A的直徑，∴∠FDB＝90°，∴EQBD＝\R(,BF\S\UP6(2)－DF\S\UP6(2))＝\R(,15)．選B．同類題型3.2如圖，在Rt△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，斜邊AB的兩個端點分別在相互垂直的射線OM、ON上滑動，下列結(jié)論：①若C、O兩點關(guān)于AB對稱，則EQOA＝2\R(,3)；②C、O兩點距離的最大值為4；③若AB平分CO，則AB⊥CO；④斜邊AB的中點D運動路徑的長為EQ\F(π,2)；其中正確的是______________（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）．解：在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠BAC＝30°，∴AB＝4，EQAC＝\R(,4\S\UP6(2)－2\S\UP6(2))＝2\R(,3)，①若C、O兩點關(guān)于AB對稱，如圖1，∴AB是OC的垂直平分線，則EQOA＝AC＝2\R(,3)；所以①正確；②如圖1，取AB的中點為E，連接OE、CE，∵∠AOB＝∠ACB＝90°，∴EQOE=CE=\F(1,2)AB＝2，當(dāng)OC經(jīng)過點E時，OC最大，則C、O兩點距離的最大值為4；所以②正確；③如圖2，當(dāng)∠ABO＝30°時，∠OBC＝∠AOB＝∠ACB＝90°，∴四邊形AOBC是矩形，∴AB與OC互相平分，但AB與OC的夾角為60°、120°，不垂直，所以③不正確；④如圖3，斜邊AB的中點D運動路徑是：以O(shè)為圓心，以2為半徑的圓周的EQ\F(1,4)，則：EQ\F(90π×2,180)＝π，所以④不正確；綜上所述，本題正確的有：①②．同類題型3.3如圖，直角△ABC中，∠B＝30°，點O是△ABC的重心，連接CO并延長交AB于點E，過點E作EF⊥AB交BC于點F，連接AF交CE于點M，則EQ\F(MO,MF)的值為（）A．EQ\F(1,2) B．EQ\F(\R(,5),4) C．EQ\F(2,3) D．EQ\F(\R(,3),3)解：∵點O是△ABC的重心，∴EQOC＝\F(2,3)CE，∵△ABC是直角三角形，∴CE＝BE＝AE，∵∠B＝30°，∴∠FAE＝∠B＝30°，∠BAC＝60°，∴∠FAE＝∠CAF＝30°，△ACE是等邊三角形，∴EQCM＝\F(1,2)CE，∴EQOM＝\F(2,3)CE－\F(1,2)CE＝\F(1,6)CE，即EQOM＝\F(1,6)AE，∵BE＝AE，∴EQEF＝\F(\R(,3),3)AE，∵EF⊥AB，∴∠AFE＝60°，∴∠FEM＝30°，∴EQMF＝\F(1,2)EF，∴EQMF＝\F(\R(,3),6)AE，∴EQ\F(MO,MF)＝\F(\F(1,6)AE,\F(\R(,3),6)AE)＝\F(\R(,3),3)．選D．例4．如圖，在△ABC中，4AB＝5AC，AD為△ABC的角平分線，點E在BC的延長線上，EF⊥AD于點F，點G在AF上，F(xiàn)G＝FD，連接EG交AC于點H．若點H是AC的中點，則EQ\F(AG,FD)的值為________．解：已知AD為角平分線，則點D到AB、AC的距離相等，設(shè)為h．∵EQ\F(BD,CD)＝\F(S\S\DO(△ABD),S\S\DO(△ACD))＝\F(\F(1,2)AB﹒h,\F(1,2)AC﹒h)＝\F(AB,AC)＝\F(5,4)，∴EQBD＝\F(5,4)CD．如右圖，延長AC，在AC的延長線上截取AM＝AB，則有AC＝4CM．連接DM在△ABD與△AMD中，EQ\B\lc\{(\a\al(AB＝AM,∠BAD＝∠MAD,AD＝AD))∴△ABD≌△AMD（SAS），∴EQMD＝BD＝\F(5,4)CD．過點M作MN∥AD，交EG于點N，交DE于點K．∵M(jìn)N∥AD，∴EQ\F(CK,CD)＝\F(CM,AC)＝\F(1,4)，∴EQCK＝\F(1,4)CD，∴EQKD＝\F(5,4)CD．∴MD＝KD，即△DMK為等腰三角形，∴∠DMK＝∠DKM．由題意，易知△EDG為等腰三角形，且∠1＝∠2；∵M(jìn)N∥AD，∴∠3＝∠4＝∠1＝∠2，又∵∠DKM＝∠3（對頂角）∴∠DMK＝∠4，∴DM∥GN，∴四邊形DMNG為平行四邊形，∴MN＝DG＝2FD．∵點H為AC中點，AC＝4CM∴EQ\F(AH,MH)＝\F(2,3)．∵M(jìn)N∥AD，∴EQ\F(AG,MN)＝\F(AH,MH)，即EQ\F(AG,2FD)＝\F(2,3)，∴EQ\F(AG,FD)＝\F(4,3)．同類題型4.1如圖，已知EQCO\S\DO(1)是△ABC的中線，過點EQO\S\DO(1)作EQO\S\DO(1)E\S\DO(1)∥AC交BC于點EQE\S\DO(1)，連接EQAE\S\DO(1)交EQCO\S\DO(1)于點EQO\S\DO(2)；過點EQO\S\DO(2)作EQO\S\DO(2)E\S\DO(2)∥AC交BC于點EQE\S\DO(2)，連接EQAE\S\DO(2)交EQCO\S\DO(1)于點EQO\S\DO(3)；過點EQO\S\DO(3)作EQO\S\DO(3)E\S\DO(3)∥AC交BC于點EQE\S\DO(3)，…，如此繼續(xù)，可以依次得到點EQO\S\DO(4)，EQO\S\DO(5)，…，EQO\S\DO(n)和點EQE\S\DO(4)，EQE\S\DO(5)，…，EQE\S\DO(n)，則EQO\S\DO(2016)E\S\DO(2016)＝_________AC．解：∵EQO\S\DO(1)E\S\DO(1)∥AC，∴EQ∠BO\S\DO(1)E\S\DO(1)＝∠BAC，EQ∠BE\S\DO(1)O\S\DO(1)＝∠BCA，∴EQ△BO\S\DO(1)E\S\DO(1)∽△BAC，∴EQ\F(BO\S\DO(1),BA)＝\F(O\S\DO(1)E\S\DO(1),AC)．∵EQCO\S\DO(1)是△ABC的中線，∴EQ\F(BO\S\DO(1),BA)＝\F(O\S\DO(1)E\S\DO(1),AC)＝\F(1,2)．∵EQO\S\DO(1)E\S\DO(1)∥AC，∴EQ∠O\S\DO(1)E\S\DO(1)O\S\DO(2)＝∠CAO\S\DO(2)，EQ∠E\S\DO(1)O\S\DO(1)O\S\DO(2)＝∠ACO\S\DO(2)，∴EQ△E\S\DO(1)O\S\DO(1)O\S\DO(2)∽△ACO\S\DO(2)，∴EQ\F(E\S\DO(1)O\S\DO(1),AC)＝\F(E\S\DO(1)O\S\DO(2),AO\S\DO(2))＝\F(1,2)．∵EQO\S\DO(2)E\S\DO(2)∥AC，∴EQ\F(E\S\DO(1)O\S\DO(2),E\S\DO(1)A)＝\F(O\S\DO(2)E\S\DO(2),AC)＝\F(1,3)，∴EQO\S\DO(2)E\S\DO(2)＝\F(1,3)AC．同理：EQO\S\DO(n)E\S\DO(n)＝\F(1,n＋1)AC．∴EQO\S\DO(2016)E\S\DO(2016)＝\F(1,2016＋1)＝\F(1,2017)．同類題型4.2如圖，過銳角△ABC的頂點A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延長線于點F．在AF上取點M，使得EQAM＝\F(1,3)AF，連接CM并延長交直線DE于點H．若AC＝2，△AMH的面積是EQ\F(1,12)，則EQ\F(1,tan∠ACH)的值是___________．解：過點H作HG⊥AC于點G，∵AF平分∠CAE，DE∥BF，∴∠HAF＝∠AFC＝∠CAF，∴AC＝CF＝2，∵EQAM＝\F(1,3)AF，∴EQ\F(AM,MF)＝\F(1,2)，∵DE∥CF，∴△AHM∽△FCM，∴EQ\F(AM,MF)＝\F(AH,CF)，∴AH＝1，設(shè)△AHM中，AH邊上的高為m，△FCM中CF邊上的高為n，∴EQ\F(m,n)＝\F(AM,MF)＝\F(1,2)，∵△AMH的面積為：EQ\F(1,12)，∴EQ\F(1,12)＝\F(1,2)AH﹒m∴EQm＝\F(1,6)，∴EQn＝\F(1,3)，設(shè)△AHC的面積為S，∴EQ\F(S,S\S\DO(△AHM))＝\F(m＋n,m)＝3，∴EQS＝3S\S\DO(△AHM)＝\F(1,4)，∴EQ\F(1,2)AC﹒HG＝\F(1,4)，∴EQHG＝\F(1,4)，∴由勾股定理可知：EQAG＝\F(\R(,15),4)，∴EQCG＝AC－AG＝2－\F(\R(,15),4)∴EQ\F(1,tan∠ACH)＝\F(CG,HG)＝8－\R(,15)．例5．如圖，△ABC的面積為S．點EQP\S\DO(1)，EQP\S\DO(2)，EQP\S\DO(3)，…，EQP\S\DO(n－1)是邊BC的n等分點（n≥3，且n為整數(shù)），點M，N分別在邊AB，AC上，且EQ\F(AM,AB)＝\F(AN,AC)＝\F(1,n)，連接EQMP\S\DO(1)，EQMP\S\DO(2)，EQMP\S\DO(3)，…，EQMP\S\DO(n－1)，連接NB，EQNP\S\DO(1)，EQNP\S\DO(2)，…，EQNP\S\DO(n－1)，線段EQMP\S\DO(1)與NB相交于點EQD\S\DO(1)，線段EQMP\S\DO(2)與EQNP\S\DO(1)相交于點EQD\S\DO(2)，線段EQMP\S\DO(3)與EQNP\S\DO(2)相交于點EQD\S\DO(3)，…，線段EQMP\S\DO(n－1)與EQNP\S\DO(n－2)相交于點EQD\S\DO(n－1)，則EQ△ND\S\DO(1)P\S\DO(1)，EQ△ND\S\DO(2)P\S\DO(2)，EQ△ND\S\DO(3)P\S\DO(3)，…，EQ△ND\S\DO(n－1)P\S\DO(n－1)的面積和是____________．（用含有S與n的式子表示）解：連接MN，設(shè)BN交EQMP\S\DO(1)于EQO\S\DO(1)，EQMP\S\DO(2)交EQNP\S\DO(1)于EQO\S\DO(2)，EQMP\S\DO(3)交EQNP\S\DO(2)于EQO\S\DO(3)．∵EQ\F(AM,AB)＝\F(AN,AC)＝\F(1,n)，∴MN∥BC，∴EQ\F(MN,BC)＝\F(AM,AB)＝\F(1,n)，∵點EQP\S\DO(1)，EQP\S\DO(2)，EQP\S\DO(3)，…，EQP\S\DO(n－1)是邊BC的n等分點，∴EQMN＝BP\S\DO(1)＝P\S\DO(1)P\S\DO(2)＝P\S\DO(2)P\S\DO(3)，∴四邊形EQMNP\S\DO(1)B，四邊形EQMNP\S\DO(2)P\S\DO(1)，四邊形EQMNP\S\DO(3)P\S\DO(2)都是平行四邊形，易知EQS\S\DO(△ABN)＝\F(1,n)﹒S，EQS\S\DO(△BCN)＝\F(n－1,n)﹒S，EQS\S\DO(△MNB)＝\F(n－1,n\S\UP6(2))﹒S，∴EQS\S\DO(△BP)\S\DO(1)O\S\DO(1)＝S\S\DO(△P)\S\DO(1)P\S\DO(2)O\S\DO(2)＝S\S\DO(△P)\S\DO(3)P\S\DO(2)O\S\DO(3)＝\F(n－1,2n\S\UP6(2))﹒S，∴EQS\S\DO(陰)＝S\S\DO(△NBC)－（n－1）﹒S\S\DO(△BP)\S\DO(1)O\S\DO(1)－S\S\DO(△NP)\S\DO(n－1)C＝\F(n－1,n)﹒S－（n－1）﹒EQ\F(n－1,2n\S\UP6(2))﹒S－EQ\F(n－1,n\S\UP6(2))S＝EQ\F((n－1)\S\UP6(2),2n\S\UP6(2))﹒S．同類題型5.1如圖，四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點B落在CD邊上的B′處，點A對應(yīng)點為A′，且B′C＝3，則AM的長是（）A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5解：設(shè)AM＝x，連接BM，MB′，在Rt△ABM中，EQAB\S\UP6(2)＋AM\S\UP6(2)＝BM\S\UP6(2)，在Rt△MDB′中，EQB′M\S\UP6(2)＝MD\S\UP6(2)＋DB′\S\UP