1.(2023?新課標(biāo)I卷第3題)已知向量”=(1,1),1=(1,-1).若(4+")_13+〃坂),則()

A.2+//=lB.九+〃=—1C.A/z=1D.力=-1

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合向量垂直，向量的數(shù)量積為0,為較易題.

【解答】

解：(a+Ab)-(a+/.ib)=a2+(A+ju)(a-b)+A/.ib2=2(1+A/u)-0,所以辦=一1；故選。.

2.(2023?新課標(biāo)H卷第13題)已知向量a,人滿足|a—6|=6，|a+b|=|2"—以，則|=

【答案】＞/3

【解析】

【分析】

本題考查向量模及向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

將兩等式分別平方，然后化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

【解答】

解：將原式平方：

I一化簡(jiǎn)可得：卜=3.

||n+fe=|20-fc|I"a2_2d.b=U

即82=3，故/|=Ji

3.(2023?新課標(biāo)I卷第17題)已知在45c中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

⑴求sinA；

(2)設(shè)AB=5,求AB邊上的高.

TT

【答案】解：(1)A+3=3C,.?.萬一。=3。，解得。二一.

4

/.2sin(A-Q=sinBnJ化為2sin(A--)=sin(%---A),

44

即2sin(A--)=sin(--A),

44

展開得：x/2sinA-^cosA=—cosA+—sinA,整理得sinA=3cosA,

22

將cosA=gsinA代入sin2A+cos2A=1,得令sin?A=1,

..2x_9-.3y/10

??sinA———,sinA=----.

1010

(2)由(1)知sinA=>cosA=—sinA=—,C=—,

103104

.^./W邊上的高^=ACsinA=2^x^^=6.

【解析】本題考查了三角恒等變換與解三角形的相關(guān)知識(shí)，屬于中等題.

⑴根據(jù)題意，結(jié)合A+8+C=〃可直接求出C,再將C代入2sin(A-C)=sinB進(jìn)行恒等變換得

sinA=3cosA,最后再結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解;

(2)結(jié)合三角恒等變換、正弦定理，分別求出sin8和AC,即可得AB邊上的高ACsinA的值.

4.(2023?新課標(biāo)II卷第17題)記_>$。的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a",c,已知面積為追，

。為8C的中點(diǎn)，且45=1.

TT

(1)若NAZ)C=—,求tanB；

3

⑵若b?+c2=8,求b,c.

【答案】解：(1)5Age=6,。為8c的中點(diǎn)，

:.S即,A￡>.CL>.sinNAOC=」xlxa)x正=@，解得CZ)=2,則37)=2.

ADC22222

過點(diǎn)A作AE_LCD于點(diǎn)E,則在“M)￡中，AE=—,DE=-,

22

..在RJA砂中，BE=BD+DE=h,tanB=—==—.

2BE55

2

E

D

A

(2)在A/WC中，AO=g(A6+AC),

AD|2=-(AB+AC)2=-(|AB|2+|AC|2+2AB-AC)=-(c2+b2+次cosA),

444

1=—(8+2/?ccosA),即匕ccosA=-2,

4

又S.ABc=g"csinA=A/5，，0csinA=2\^，

.Z?csinA26/-

tanA=----------=------=73，

becosA-2

2萬\J?>

..A=,sinA=—,be—4.

32

4

再將匕=一代入〃+C2=8,即可解得匕=C=2.

c

【解析】本題考查了解三角形的綜合應(yīng)用，屬于中等題.

(1)結(jié)合三角形面積和中點(diǎn)關(guān)系進(jìn)行求解；

(2)觀察題目所給條件，結(jié)合中線的向量表示和三角形面積進(jìn)行求解.

L2022年真題】

5.(2022?新高考I卷第3題)在，/山。中，點(diǎn)。在邊AB匕8D=2ZM記C4=〃?，CD=n>則CB

()

A.3m-2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+?>n

【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查向量的加減及數(shù)乘運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

21

解：CD^-CA+-CB,CB=3CD-2CA=-2m+3n.

6.(2022?新高考H卷第4題)已知向量。=(3,4),b=(l,0),c=a+tb，若<a,c>=<b,C>,則實(shí)

數(shù)f=()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和夾角運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。

【解答】

解：由已知有，=(3+人4),cos<a,c>=cos<b,c>,

9+3/+163+f

故下而'

解得f=5.

7.(2。22?新高考I卷第18題)記的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,已知霽

(1)若。=——，求8;

3

a2

(2)求的最小值.

【答案】

2A..2A

cos----sin--

cosAsin23222sinBcosB

解：⑴且cosB工0,

2Al?2?AA1+2cosB—1

1+sinA1+cos23cos—Fsin—F2sin—cos—

2222

A.A1A

cos-----sin—.1-tan-

2sinBnA

21—tanB,tun(--------)=tanB,

c"+sidcosB1A4?

1+tan-—乙

222

71A

又A,Be(0,zr),---------e吁"去"

42

T7廠2汽.c兀.n"

又C=—，A+B=—:.B=—

33f6

b

(2)由正弦定理

sinAsinBsinC

[oA1-cos2(------)

siYA+sii??獷心百吁勺1-cos2A'42

a2+b22+2-

得一二面少十多

1-cos2(A+?-g)

2

1-cos2A+l-sinA_2sin123A-sinA+l

1+sinA1+sinA

Ae（0,萬）

71

"A八=>/l€（0,—）,令l=l+sinAe（l,2）,

-----二B￡（0,4）2

142

則），=2（"1）2一（"1）+1;2一5+±ze（i,2）,

tt

y=2f—5+3在fe（l,、右）時(shí)遞減，在re（、/2,2）時(shí)遞增，

t

因此，=應(yīng)時(shí)，％m=40-5.

【解析】本題主要考查三角恒等變換的綜合應(yīng)用及利用余弦定理和對(duì)勾函數(shù)解決最值問題，屬于中檔題.

⑴由二倍角公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)得tan（2-4）=tan5,即可求

42

B；

（2）由正弦定理，二倍角公式化簡(jiǎn)得巴二二2sm41smA+l,令，=1+5山4,利用對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)即

c1+sin71

可得解.

8.（2022?新高考n卷第18題）記JLBC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,其對(duì)邊分別為a,b,c,分別以a,

b,c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為S-S,,邑，且s—工+邑=走，sinB=-.

23

⑴求二ABC的面積;

(2)若sinAsinC=史^，求b.

3

【答案】

解：(1)邊長(zhǎng)為。的正三角形的面積為立/,

4

St-S2+S3=手(。2―/+。2)=*,即accosB=l，

由sin6=」得：cosB;也13V2

/.ac=

33cosB4

故S-Lcsin6=k^x'=^.

ABC22438

3V2

b2工93-1

(2)由正弦定理得:—j=~=G故6=_sinB=一

sin2BsinAsinCsinAsinCV2422

V

【解析】本題考查利用正余弦定理解三角形

(1)利用余弦定理與正三角形的面積求得比，繼而利用面積公式求解

(2)利用正弦定理進(jìn)行變形，即可求解

[2021年真題】

9.(2021?新高考I卷第10題)(多選)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)6(cosa,sina),￡(cos民—sin，),

P3(cos(?+/?),sin(a+/?)),A(l,0),則()

A.\OP,\=\OP2\B.\AP^\=\AP2\

C.OAOP3=OPXOP2D.0Aop'=OP]OP、

【答案】AC

【解析】

【分析】

本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，及三角恒等變換，屬于中檔題.

根據(jù)題意，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式及三角恒等變換公式依次分析選項(xiàng)，即可得答案.

【解答】

解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于4、|O[|=|Og|=l,A正確；

對(duì)于8、|AFJ|=J(cosa-1)』+sin2a=j2-2cosa，

1/：\—…I、山?,v2L…，B不正確；

對(duì)于C、OA-OP3=cos(a+/?),

OPXOP2=cosacos/3-smasinp=cos(cr+/?),C正確;

對(duì)于。、OA-=cosa,OR?OQ=cosPcos(a+/?)-sin/sin(a+/?)=cos(a+2/?),。不正確；

故選AC

10.(2021?新高考I卷第19題)記JRC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為mb,仁已知〃2=〃。，點(diǎn)。

在邊AC上，BDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD=b.

(2)若AZ)=2OC,求cos/ABC

【答案】

?<2sinC

證明：(1)BDsinZABC=tzsinC,:.BD=~~~

sinZABC

babsinA

由正弦定理可知,./人得sin/ABC=--------，

sinZABCsinAa

cnasinCa2sinCac

/.BD=—；---=---------=——

「sinA人sinAb，

a

又「b2=ac9BD=b.

h2b

解：(2)AD=2DC,.??可知。。=一，則AO=一，

33

從+(竺)2一,2^-c2

1Q

在.ABD中，cosZADB=-------%——=—,

2ba枷

33

b2+

在..BCD中，cosZCDB^——,…，

2—"

33

ZADB=7i-Z.CDB，cosZADB=-cosNCDB,

1382210〃2

-----c------a

即工，=一一%—，整理得6a2-1+3/=0,

4b-2b

亍7

又。2=ac，貝!16a2—1lac+3c2=0，

即二，：.U,可得a=—或a=￡,

23

當(dāng)a=—時(shí)，b=~-c>

22

/3cV+<J_M

在.ABC中，由余弦定理可得5,.“小（>

GOB_

20r"丁

2x—xc

2

當(dāng)時(shí)，b=2c,止匕時(shí)h<c—a,不合實(shí)際，則舍去，

33

7

故：cosZABC=—.

12

【解析】本題考查了正弦定理和余弦定理，屬中檔題.

…asinC

⑴由題可得皿=；1^菽,再借助正弦定里即可得證;

（2）根據(jù)NAO3=?-Na>3,即cosNAO8=-cosNCDB,分別在ABD和BCD中，利用余弦定

理可建立等式6/一1仍2+3。2=0,又由〃=ac，則6/—llac+3c2=0,可得a==或a=；,進(jìn)而

23

分類討論求解cosZABC.

11.（2021新高考II卷第15題）已知向量a+0+c=0，W=1，W=，|=2,a?b+b?c+c?a---------

9

【答案】一大

2

【解析】

【分析】

本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算，合理轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，屬于中檔題.

由已知可得(a+8+c『=0,展開化簡(jiǎn)后可得結(jié)果.

【解答】

解：由已知可得

(a+/?+c)=a+b+c^+2^a-b+b-c+c-aj=9+2^a-b+b-c+c-a^=0,

--9

因此，a-b+b-c+c-d=——.

2

9

故答案為：—.

2

12.(2021?新高考H卷第18題)在“1BC中，角A8,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為。也c/=a+l,c=a+2.

⑴若2sinC=3sinA,求一ABC的面積；

(2)是否存在正整數(shù)。，使得一ABC為鈍角三角形？若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.

【答案】

解：⑴因?yàn)?sinC=3sinA,

根據(jù)正弦定理可知2c=2(。+2)=3。,

則a=4,故〃=5,c=6,

a2-c2

cosC=>0

2ab4

所以c為銳角，IjiijSinC=Vl-cos2C=—

8

因此，SABC=-^sinC=-x4x5x^=l^..

ABC2284

(2)顯然c>6>a,若一ABC為鈍角三角形，則C為鈍角,

,b~c~<r?(a+19-(o+2)*a*2a-3

由余弦定理可得「小「，一

2a(a+I)2a(o+1)

又〃>(),則2a—3v0，即(a+l)(a—3)v。,

解得—lv〃<3,則0vav3,

由三角形三邊關(guān)系可得a+a+l>〃+2,可得。>1,

aeZf故。=2.

【解析】本題考查了正余弦定理與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題.

(1)由正弦定理可得出2c=3a,結(jié)合已知條件求出”的值，進(jìn)一步可求得氏c的值，利用余弦定理以及同

角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinC,再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；

(2)分析可知，角C為鈍角，由cosC<()結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)。的值.

[2020年真題】

13.(2020?新高考I卷第7題)已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形4BCOE廠內(nèi)的一點(diǎn)，則APAB的取值范圍

是()

A.(—2,6)B.(—6,2)C.(—2,4)D.(-4,6)

【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查向量數(shù)量積，屬于綜合題.

根據(jù)投影的幾何意義即可解答.

【解答】

解：|研.四].?B<1TR>=2|則見〉,

由投影定義知，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)F重合時(shí)，

APA8取最小值W.房2.

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，AB取最大值…I/1AH2.人:?*.

故AP-AB的取值范圍是(一2,6)?

故選A

14.(2020?新高考H卷第3題)在一ABC中，。是A8邊上的中點(diǎn)，則CB=()

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查向量的表示，考查向量加法減法法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

利用向量加法減法法則直接求解.

【解答】

解：在4ABe中，。是43邊上的中點(diǎn)，

則CB=C￡>+=CD+AO=CO+（AC+CD）=2CD-CA.

故選：c.

6（2020?新高考I卷第17題、II卷第17題）在①ac=G，②csinA=3,③c=&這三個(gè)條件

中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值;若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在cABC,它的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,h,c,且