第1.1章數(shù)與式

1.1.2整式

色課程要求了《?!求心中有數(shù)

1了解整數(shù)指數(shù)幕的意義和基本性質(zhì)；會(huì)用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)（包括在計(jì)

算器上表示）；

初中要求2理解整式的概念，掌握合并同類(lèi)項(xiàng)和去括號(hào)的法則，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式

加法和減法運(yùn)算；能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式乘法運(yùn)算

3能推導(dǎo)平方差公式和完全平方公式.

1掌握指數(shù)嘉運(yùn)算；

高中要求

2掌握立方和差公式，三數(shù)和平方公式.

LJ基礎(chǔ)知識(shí)夯實(shí)基硼，■立完整知識(shí)體系

1.整式

數(shù)與字母的積的代數(shù)式叫單項(xiàng)式，單獨(dú)一個(gè)字母或數(shù)字也是單項(xiàng)式；

幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式；

單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)整式.

2.整數(shù)指數(shù)暴

正整數(shù)指數(shù)幕：an=a,a,a…a（n為正整數(shù)）；

幾個(gè)a

。整數(shù)指數(shù)累：a0=l（a0）；

負(fù)整數(shù)指數(shù)賽a-n=京。40,九為正整數(shù)）.

整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)：（l）am-an=am+n；（2）嚴(yán)+an=嚴(yán)―；（3）（時(shí)尸=an?9；

（4）g）n=~（以上a,b都不為0,犯n都為整數(shù)）.

（高中會(huì)學(xué)習(xí)到分?jǐn)?shù)指數(shù)幕）

3.乘法公式

平方差公式a2-62=(a+6)(a—b)；

完全平方公式(a±6)2=a2±2ab+b2；

立方和公式a3+h3=(a+fa)(a2—ab+Z)2)；

立方差公式a3—fo3=(a—fa)(a2+ab+Z?2)；

三數(shù)和平方公式(a+b+c)2二*+匕2+02+2(aft+be+ac)

（后三個(gè)公式可嘗試證明）

從典例中見(jiàn)力

【題型1】指數(shù)塞運(yùn)算

2

【典題1】計(jì)算0.1256一(一1+243a8+(一5.6)。]+(233x

0.1254=2-3XH)=2>(-1)=言=25,

解析

243O,8=35XO,8=34=81,(一5.6)°=1,

G曠=(獷=(滑等=(獷屋，Of

原式=[2—25+81+1]-j--X—=59.

1616

變式練習(xí)

O-111

1.求值：(21)°+2-2X(21)-2-(0.01)2=()

A.—B.3—C.-8-D.0

15306

答案A

2

解析(2|)°+2-x(2^)4-(0.01)5=i+lx|-0.1=l+1-^盤(pán)故選：A.

2.已知/=2,yn=5,則(/y)2n=.

答案400

42

解析(/y)2n=%4n.y2n=2X5=16X25=400.

3.已知3a=2,3b=5,則33a"=.

答案I

解析337=冬=等

4.若2,=8丹1,且9y=3X-9,貝I]x+y的值是.

答案27

解析2X=8尸+1,二有2%=23y+3,X=3y+3

又9y=3x-9,.?.有32y=3X-9,2y=x-9

聯(lián)立虢弟;得至暝V=27.

【題型2】乘法公式運(yùn)用

【典題1】計(jì)算：

(1)(—%-2)(/-%+4)；

(2)(%+1)(%—l)(x2—%+l)(x2+%+1)；

(3)(%+2y)2(x2—2xy+4y2)2；

(4)x(x—2)2—(%2—2%+4)(%+2).

解析(1)原式=—(%+2)(%2—x+4)=—(x3+8)=—x3—8；

(2)原式=(%2—l)[(x2+l)2—x2]=(x2—1)(%4+x2+1)=x6—1；

或原式=[(%+1)(7—%+1)]-[(%—l)(x2+%+1)]=(x3+l)(x3—1)=%6—1；

(3)原式=[(x+2y)(%2—2xy+4y2)]2=(%3+8y3)2=%6+16x3y3+64y6；

(4)原式=x(x-2)2—(x3+8)=x(x2—4x+4)—(x3+8)=-4%2+4x—8.

【典題2】證明817一279-913能被45整除.

791347282726

證明81-27-9=(3)一(33)9一(32)13=3-3-3

=326(9-3-1)=326x5=324x45

,817一279_913能被45整除.

【典題3】已知兩個(gè)正方體，其棱長(zhǎng)之總和為48cm,體積之和為28CTH3,求兩個(gè)正方體的

棱長(zhǎng).

解析設(shè)兩個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為。,從

依題意得12a+12b=48=>a+b=4,a3+b3=28,

a3+63=(a+6)(a2—ab+b2)=(a+&)[(a+6)2-3ab]=4(36—3ab)=28,

解得ab=3,

由a+6=4,[；或｛：;；，即兩個(gè)正方體的棱長(zhǎng)分別為Isn和3cm.

變式練習(xí)

1.若9x2—mxy+16y2是一個(gè)完全平方式，則租=()

A、12B、24C、±12D、±24

答案D

2.若|%+y-5|+(%y—6)2=0,則％?+y2的值為()

A.13B.26C.28D.37

答案A

解析依題意得產(chǎn)+9則%2+y2=(%+y)2_2xy=25-12=13,故選4

3.計(jì)算：(3+2y)(9-6y+4y2)=.

答案27+8y3

解析原式=33+(2y)3=27+8y3.

4.計(jì)算：(4+a)(16-4a+a2)=.

答案64+a3

解析原式=43+a3=64+a3.

5.計(jì)算:(%3—1)(%6+汁+1)(%9+1)=.

答案%18-1

解析原式=(x9-l)(x9+1)=x18-1.

6.%,y可取任何實(shí)數(shù)，T=/+4%y+5y2_2y+2,當(dāng)久=,y=時(shí)，T取到最小

彳1.

答案％=-2,y=l時(shí)，T取到最小值1

解析T=x2+4xy+5y2—2y+2=(x2+4xy+4y2)+(y2—2y+1)+1

=(%+2y>+(y-1)2+1

當(dāng)即=一丫=時(shí)，取到最小值

(y—1=0K2,171.

7.已知％=2,求己+1)(%2—x+1)(%6—x3+1)(%9—1)—2=的值.

答案1

解析(x+l)(x2—%+1)(%6—x3+1)(%9—1)—218

=(X3+1)(%6—X3+1)(久9—1)—218

=(%9+1)(%9—1)—218

=%18-1-218

=218-1-218

=1.

8.已矢口(x+y)2=1,(x-y)2=49,求x?+y2與xy的值.

答案x2+y2=25,xy=-12

解析(x+y)2=x2+y2+2xy=l?,(x-y)2=x2+y2-2xy=49②，

?,?①+②得：2(x2+y2)=50,即x2+y2=25；

①-②得：4xy=-48,即xy=-12.

9.先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問(wèn)題，

例題：若m2+2mn+2n2-6n+9=0,求m和n的值.

解：m2+2mn+2n2-6n+9=0

m2+2mn+n2+n2-6n+9=0

(m+n)2+(n-3)

m+n=0,n-3=0

m=-3，n=3

問(wèn)題(1)若x2+2y2-2xy+4y+4=0,求x>的值.

(2)已知a,b,c是AABC的三邊長(zhǎng)，滿(mǎn)足a?+b2=10a+8b-41,且c是AABC中最

長(zhǎng)的邊，求c的取值范圍.

答案(1)-(2)5<c<9

4.

解析(1)x2+2y2-2xy+4y+4=x2-2xy+y2+y2+4y+4=(x-y)2+(y+2)2=0,

x-y=O,y+2=0,

解得x=-2,y=-2,

儀=(-2)-2=L

(2)Va2+b2=10a+8b-41,

...a2-10a+25+b2-8b+16=0,

即(a-5)2+(b-4)占0,

a-5=0,b-4=0,

解得a=5,b=4,

Vc^AABC中最長(zhǎng)的邊，

/.5<c<9.

通過(guò)it習(xí)，訊國(guó)罐力

1.若10久=2,則10一3%等于()

A.8B.—8C.-D.—

88

答案C

解析10^=2,則10-3X=.=5=］故選：c

2.不論為何實(shí)數(shù)，次+-2a-4b+8的值()

A.總是正數(shù)B.總是負(fù)數(shù)

C.可以是零D.可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)

答案無(wú)數(shù)

解析a2+廿一2?！?b+8=(a—I)2+(b—2)2+3>0,故選4

1n_2

3.計(jì)算：(2斤一(高一(3|)*1.5)-2=一.

答案I

1_2

解析原式=(3-1-仔)、(|)-2+

4.如果45X=3,45y=5,那么2%+y=.

解析由45*=3,得(45，)2=9,45》=5,則452工x45曠=9X5=45.

452x+y=451,2x+y=1.

5.已知2M=a,2n=b,貝1J22ffl+"=.

答案a2b

解析22m+n=a2b.

6.計(jì)算：(3+2y)(9—6y+4y2)=.

答案27+8y3

解析原式=33+(2y)3=27+8y3.

7.已知a=三匹,b=上盧，則a2—4爐―2a+1=________.

24

答案V5

解析b=???2b=與^

a2—4b2—2a+1=(a—l)2—(2b)2=(a—1—2b)(a—1+2b)

=(萼…等)(萼…陰二病

8?計(jì)算：ET"D°_(3?+伐產(chǎn)

答案16

解析原式=后一1一信('G)(3)=|_1_|+16=16.

9.試說(shuō)明不論%,y取何值，代數(shù)式%2+y2+6%_4y+15的值總是正數(shù).

解析vx2+y2+6%—4y+15=(%+3)2+(y—2)2+2>2>0,

所以不論%,y取何值，代數(shù)式的值總是正數(shù).

10.已知％+y=1,求%3+y3+3%y的值.

答案1

解析%3+y3+3xy

二(%+y)(x2—xy+y2)+3xy

=%2—xy+y2+3xy

=x2+2xy+y2

=(x+y/=1.

11.已知a-b=2,ah=48,求d+b4的值.

答案5392

解析va—h=2