第2講命題及充要條件考試要求

1.命題的概念，命題的四種形式及相互關(guān)系，A級要求；2.充分條件、必要條件、充要條件的含義，B級要求．知

識

梳

理1．四種命題及其關(guān)系 (1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系①兩個命題互為逆否命題，它們具有

的真假性．②兩個命題為互逆命題或互否命題時，它們的真假性

．相同沒有關(guān)系2．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的

條件，q是p的

條件p是q的

條件p?q且q

pp是q的

條件p?/q且q?pp是q的

條件p?qp是q的

條件p

q且qp充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要×

√

×

×

√

3．(2013·福建卷改編)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的________條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)． 解析a＝3時，A＝{1,3}，顯然A?B. 但A?B時，a＝2或3.所以“a＝3”是“A?B”的充分不必要條件． 答案充分不必要4．(2014·浙江卷改編)設(shè)四邊形ABCD的兩條對角線為AC，BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的________條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．答案充分不必要5．(蘇教版選修2－1P9T4改編)下列命題： ①x＝2是x2－4x＋4＝0的必要不充分條件； ②圓心到直線的距離等于半徑是這條直線為圓的切線的充分必要條件； ③sinα＝sinβ是α＝β的充要條件； ④ab≠0是a≠0的充分不必要條件． 其中為真命題的是__________(填序號)． 答案②④答案真，真，真規(guī)律方法

(1)熟悉四種命題的概念是正確書寫或判斷四種命題真假的關(guān)鍵．(2)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價命題的真假．(3)判斷一個命題為假命題可舉反例．【訓(xùn)練1】

已知：命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則m≤1”，則下列結(jié)論正確的為________(填序號)． ①否命題是“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則m＞1”，是真命題； ②逆命題是“若m≤1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)”，是假命題； ③逆否命題是“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是減函數(shù)”，是真命題； ④逆否命題是“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函數(shù)”，是真命題．解析由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則m≤1”是真命題，所以其逆否命題“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函數(shù)”是真命題．答案④考點二充分、必要條件的判定與探求【例2】(1)(2014·新課標全國Ⅱ卷改編)函數(shù)f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的極值點，則p是q的________條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)． (2)ax2＋2x＋1＝0至少有一個負實根的充要條件是________．解析(1)設(shè)f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是單調(diào)增函數(shù)，在x＝0處不存在極值，故“若p，則q”是一個假命題，由極值點的定義可得“若q，則p”是一個真命題．(2)當a＝0時，原方程為一元一次方程2x＋1＝0，有一個負實根．當a≠0時，原方程為一元二次方程，有實根的充要條件是Δ＝4－4a≥0，即a≤1.答案(1)必要不充分(2)a≤1規(guī)律方法判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復(fù)雜問題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題．【訓(xùn)練2】(1)(2014·北京卷改編)設(shè)a，b是實數(shù)，則“a＞b”是“a2＞b2”的________條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)． (2)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，則a⊥b的充要條件是x＝________.解析(1)令a＝1，b＝－2，顯然a＞b，但a2＜b2；∴“a＞b”不是“a2＞b2”的充分條件．令a＝－2，b＝1，顯然a2＞b2，但a＜b，∴“a＞b”不是“a2＞b2”的必要條件．∴“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要條件．(2)∵a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，∴a·b＝2(x－1)＋2×1＝2x.又a⊥b?a·b＝0，∴2x＝0，∴x＝0.答案(1)既不充分也不必要(2)0答案①規(guī)律方法解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解，在求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象．【訓(xùn)練3】

若x<m－1或x>m＋1是x2－2x－3>0的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是________．答案[0,2][思想方法]1．寫出一個命題的逆命題、否命題及逆否命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來寫；在判斷原命題及其逆命題、否命題以及逆否命題的真假時，要借助原命題與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來判定．(3)利用集合間的包含關(guān)系判斷：若A?B，則“x∈A”是“x∈B”的充分條件或“x∈B”是“x∈