5.3.2命題、定理、證明

（第1課時）問題1

請同學(xué)讀出下列語句（1）等式兩邊都加同一個數(shù)，結(jié)果仍是等式；（2）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補；（3）對頂角相等；像這樣判斷一件事情的語句，叫做命題（proposition）.一、觀察發(fā)現(xiàn)，認(rèn)識命題

下列哪些是命題。（1）兩點之間，線段最短；（）（2）請畫出兩條互相平行的直線；（）（3）過直線外一點作已知直線的垂線；（）（4）如果兩個角的和是90o，那么這兩個角互余．（）

√

√三、火眼金睛，辨別真?zhèn)螁栴}4

下列語句是命題嗎？如果是，請將它們改寫成“如果……，那么……”的形式.（1）兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補；（2）等式兩邊都加同一個數(shù)，結(jié)果仍是等式；（3）互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；（4）同旁內(nèi)角互補；（5）對頂角相等．如果兩條直線被第三條直線所截，那么同旁內(nèi)角互補；如果等式兩邊都加同一個數(shù)，那么結(jié)果仍是等式；如果兩個數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個數(shù)相加得0；如果兩個角是同旁內(nèi)角，那么這兩個角互補；如果兩個角互為對頂角，那么這兩個角相等．問題5

哪些命題是正確的，哪些命題是錯誤的？（1）兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補；（2）等式兩邊都加同一個數(shù)，結(jié)果仍是等式；（3）互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；（4）同旁內(nèi)角互補；（5）對頂角相等．

√

√

√問題8

請同學(xué)們舉例說出一些真命題和假命題．命題的真假真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，

這樣的命題叫做真命題．

假命題：如果題設(shè)成立時，不能保證結(jié)論一定成立，

這樣的命題叫做假命題．歸納小結(jié)問題6請同學(xué)們判斷下列命題哪些是真命題？哪些是假命題？（1）在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行

線中的一條，那么也垂直于另一條；（2）如果兩個角互補，那么它們是鄰補角；（3）如果

，那么a=b；（4）經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；（5）兩點確定一條直線．真假假真真一個命題中的正確性需要經(jīng)過推理證實，才能得出判斷，這個推理的過程叫做證明（proof）命題：在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么他也垂直于另外一條．是真命題還是假命題？你是判斷的？我們把這個推理過程叫做證明質(zhì)疑探究，學(xué)習(xí)證明命題1在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條.已知：b∥c，

a⊥b．求證：a⊥c．證明：∵

a⊥b（已知），∴∠1=90o

（垂直的定義）．又∵

b∥c（已知），∴∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）.∴∠2=∠1=90o（等量代換）．

∴

a⊥c（垂直的定義）．1、數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結(jié)出來的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理。2、有些命題可以從公理或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它們是正確的，并且可以進一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理。公理和定理都可作為判斷其他命題真假的依據(jù)。1.公理:人們在長期實踐中總結(jié)出來的，并作為判定其他命題真假的根據(jù).2.定理:用推理的方法得到的真命題.3.證明:除公理外，一個命題的正確性需要經(jīng)過推理，才能作出判斷，這個推理的過程叫做證明.1.公理:兩點之間線段最短兩點確定一條直線同位角相等，兩直線平行公理是經(jīng)過大量的實踐證實的真理，是無需證明的如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補等式兩邊都加同一個數(shù)，結(jié)果仍是等式．定理是可以證明的，由公理推出2.定理:題設(shè)（條件）結(jié)論（條件）推理方法以已知、定義、公理、定理為依據(jù)證明總結(jié)判斷一句話是不是命題，關(guān)鍵看能否找到題設(shè)和結(jié)論判斷一個命題是假命題，只要舉出一個反例（符合命題的題設(shè)，但是不滿足結(jié)論）就可以了題設(shè)

結(jié)論真命題

假命題真命題練習(xí)下列句子哪些是命題？是命題的，指出是真命題還是假命題？1、豬有四只腳；2、內(nèi)錯角相等；3、畫一條直線；4、四邊形是正方形；5、你的作業(yè)做完了嗎？

6、同位角相等，兩直線平行；7、對頂角相等；8、同垂直于一直線的兩直線平行；9、過點P畫線段MN的垂線；10、x＞2是真命題否是假命題是假命題否是真命題是真命題是假命題否練習(xí)否ADEF內(nèi)錯角相等，兩直線平行BC同旁內(nèi)角互補，兩直線平行ADBC平行于同一條直線的兩條直線互相平行3、完成下列推理，并在括號中寫出相應(yīng)的根據(jù).∴

∥.（1）如圖甲所示∵∠ADE＝∠DEF（已知）∴AD∥

（）又∵∠EFC+∠C=180°∴EF∥

（）（）補角的性質(zhì)定理：同角或等角的補角相等.兩直線平行的判定定理：同位角相等，兩直線平行.對頂角的性質(zhì)定理：對頂角相等.新知定理與證明1.定理：經(jīng)過推理證實得到的真命題叫做定理.定理也可以作為繼續(xù)推理的依據(jù).合作探究數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結(jié)出來的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理.如直線公理：兩點確定一條直線.拓展2.證明：在很多情況下，一個命題的正確性需要經(jīng)過推理才能作出判斷，這個推理過程叫做證明.1.證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”.這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是學(xué)過的定義、基本事實、定理等.2.定理一定是真命題，但真命題不一定是定理.證明命題：在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條.已知：b∥c，

a⊥b．求證：a⊥c．題設(shè)結(jié)論abc12例2如圖，已知直線b∥c，

a⊥b．求證a⊥c．證明：∵

a⊥b(已知)，∴∠1=90°(垂直的定義).

∵b∥c

(已知)，∴∠2=∠1=90°(等量代換).∴a⊥c

(垂直的定義).∴∠1=∠2(兩直線平行，同位角相等).abc12證明的一般步驟：1.分清命題的題設(shè)和結(jié)論，如果與圖形有關(guān)，應(yīng)先根據(jù)題意，畫出圖形，并在圖形上標(biāo)出有關(guān)字母與符號；2.根據(jù)題設(shè)、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證；3.經(jīng)過分析，找出由已知推出結(jié)論的途徑，有條理地寫出證明過程.如何判定一個命題是假命題呢？只要舉出一個例子(反例)，它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論即可.例如，判定命題“相等的角是對頂角”是假命題，可以舉出如下反例：如圖，OC是∠AOB的角平分線，

∠1=∠2，但它們不是對頂角.12AOCB如圖，已知AD//BC，∠A=∠C.求證：AB//CD.證明：∵AD//BC(已知)，∴∠A=∠ABF(兩直線平行，內(nèi)錯角相等).∵∠A=∠C(已知)，∴∠ABF=∠C(等量代換)，∴AB//CD(同位角相等，兩直線平行).還有其他解法嗎？鞏固新知證明：∵AD//BC(已知)，∴∠A+∠ABC=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補).∵∠A=∠C(已知)，∴∠C+∠ABC=180°(等量代換)，∴AB//CD(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行).如圖，已知AD//BC，∠A=∠C.求證：AB//CD.

(-2)2-1=3>0A課堂練習(xí)2.下列命題：①兩個銳角之和一定是鈍角；②內(nèi)錯角相等；③若x=y，則x2=y2；④若x2=y2，則x=y；⑤兩點之間，線段最短.其中，真命題有()A.1個

B.2個

C.3個

D.4個20°+40°=60°兩直線不平行時不成立x=2，y=-2時，不成立B3.已知：如圖，∠1=∠2，∠3=∠4.求證：EG∥FH．證明：∵∠1=∠2（已知），∠AEF=∠1（對頂角相等），∴∠AEF=∠2（等量代換）．∴AB∥CD

（同位角相等，兩直線平行）．∴∠BEF=∠CFE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．

∵∠3=∠4（已知），∴∠BEF－∠4=∠CFE－∠3．即∠GEF=∠HFE（等式性質(zhì)）．∴EG∥FH（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．命題真命題假命題反證法定理證明歸納新知1．下列命題中，是真命題的是()A．同位角相等B．相等的角是直角C．若|y|＝2，則y＝±2D．若ab＝0，則a＝0C課后練習(xí)2．如圖，下列條件中，不能判斷直線l1∥l2的是()A．∠1＝∠3B．∠4＝∠5C．∠2＋∠4＝180°D．∠2＝∠3D3．如圖，AB⊥CD，垂足為點O，EF為過點O的一條直線，則∠1與∠2的關(guān)系一定成立的是()A．相等B．互余C．互補D．互為對頂角B4.已知，直線AC∥BD，AO，BO分別是∠BAC，∠ABD的平分線，那么下列結(jié)論錯誤的是()A．∠BAO與∠CAO相等B．∠BAC與∠ABD互補C．∠BAO與∠ABO互余D．∠ABO與∠DBO不等D5．(2017·濰坊)如圖，∠BCD＝90°，AB∥DE，則∠α與∠β滿足()A．∠α＋∠β＝180°B．∠β－∠α＝90°C．∠β＝3∠αD．∠α＋∠β＝90°B6如圖，請完成下列各題．(1)如果∠1＝_________，那么DE∥AC；(2)如果∠1＝_____________，那么EF∥BC；(3)如果∠FED＋_____________＝180°，那么AC∥ED；(4)如果∠2＋______________＝180°，那么AB∥DF.∠C∠FED∠EFC∠AED7．如圖，EF⊥AB于點F，CD⊥AB于點D，E是AC上一點，∠1＝∠2，則圖中互相平行的直線是___________________________．EF∥CD，BC∥DE8．如圖，給出下面的推理，其中正確的是________________．①因為∠B＝∠BEF，所以AB∥EF；②因為∠B＝∠CDE，所以AB∥CD；③因為∠B＋∠BEC＝180°，所以AB∥EF；④因為AB∥CD，CD∥EF，所以AB∥EF.①②④9．如圖，AC⊥BC，垂足為點C，∠BCD是∠B的余角．求證：∠ACD＝∠B.證明：∵AC⊥BC(已知)，∴∠ACB＝90°(______________________)，∴∠BCD是∠ACD的余角．∵∠BCD是∠B的余角(已知)，∴∠ACD＝∠B(______________________)．垂直的定義同角的余角相等10．在學(xué)習(xí)中，小明發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n＝1，2，3時，n2－6n的值都是負(fù)數(shù)．于是小明猜想：當(dāng)n為任意正整數(shù)時，n2－6n的值都是負(fù)數(shù)．小明的猜想正確嗎？請簡要說明你的理由．解：小明的猜想不對．∵n2－6n＝n(n－6)，當(dāng)n≤0或n≥6時，n2－6≥0，∴小明的說法不對．①BC平分∠ABE；②∠BCE＋∠D＝90°；③AC∥BE；④∠DBF＝2∠ABC.其中正確的有()A．1個B．2