第2章MATLAB矩陣及其運(yùn)算

2.1變量和數(shù)據(jù)操作

2.2MATLAB矩陣

2.3MATLAB運(yùn)算

2.4矩陣分析

2.5矩陣的超越函數(shù)

2.6字符串

2.7結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)和單元數(shù)據(jù)

2.8稀疏矩陣編輯ppt第2章MATLAB矩陣及其運(yùn)算

2.1變量和數(shù)據(jù)操作12.1變量和數(shù)據(jù)操作2.1.1變量與賦值

1．變量命名

在MATLAB6.5中，變量名是以字母開頭，后接字母、數(shù)字或下劃線的字符序列，最多63個(gè)字符。在MATLAB中，變量名區(qū)分字母的大小寫。編輯ppt2.1變量和數(shù)據(jù)操作2.1.1變量與賦值

1．變量命22．賦值語句

(1)變量=表達(dá)式

(2)表達(dá)式

編輯ppt2．賦值語句

(1)變量=表達(dá)式

(2)表達(dá)式

編輯3例2.

a=abs(3+4i)a=5例1.計(jì)算有理數(shù)>>2000/21ans=95.2381編輯ppt例2.例1.計(jì)算有理數(shù)>>2000/21編輯ppt4例3計(jì)算表達(dá)式的值，其中，并顯示計(jì)算結(jié)果。

在MATLAB命令窗口輸入命令：

x=1+2i;

y=3-sqrt(17);

z=(cos(abs(x+y))-sin(78*pi/180))/(x+abs(y))

其中pi和i都是MATLAB預(yù)先定義的變量，分別代表代表圓周率π和虛數(shù)單位。

輸出結(jié)果是：

z=

-0.3488+0.3286i編輯ppt例3計(jì)算表達(dá)式的值編輯ppt52.1.2預(yù)定義變量在MATLAB工作空間中，還駐留幾個(gè)由系統(tǒng)本身定義的變量。例如，用pi表示圓周率π的近似值，用i，j表示虛數(shù)單位。預(yù)定義變量有特定的含義，在使用時(shí)，應(yīng)盡量避免對(duì)這些變量重新賦值。編輯ppt2.1.2預(yù)定義變量在MATLAB工作空間中，還61.1、內(nèi)部常數(shù)常數(shù)返回值ans默認(rèn)變量名，保存最近的結(jié)果eps浮點(diǎn)相對(duì)精度pi圓周率i,j虛數(shù)單位inf無限值NaN不合法的數(shù)值值，非數(shù)值編輯ppt1.1、內(nèi)部常數(shù)常數(shù)返回值a72.1.3內(nèi)存變量的管理

1．內(nèi)存變量的刪除與修改clear命令用于刪除MATLAB工作空間中的變量。who和whos這兩個(gè)命令用于顯示在MATLAB工作空間中已經(jīng)駐留的變量名清單。who命令只顯示出駐留變量的名稱，whos在給出變量名的同時(shí)，還給出它們的大小、所占字節(jié)數(shù)及數(shù)據(jù)類型等信息。編輯ppt2.1.3內(nèi)存變量的管理

1．內(nèi)存變量的刪除與修改編輯p82．內(nèi)存變量文件

利用MAT文件可以把當(dāng)前MATLAB工作空間中的一些有用變量長久地保留下來，擴(kuò)展名是.mat。MAT文件的生成和裝入由save和load命令來完成。常用格式為：

save文件名[變量名表][-append][-ascii]

load文件名[變量名表][-ascii]編輯ppt2．內(nèi)存變量文件

編輯ppt9其中，文件名可以帶路徑，但不需帶擴(kuò)展名.mat，命令隱含一定對(duì).mat文件進(jìn)行操作。變量名表中的變量個(gè)數(shù)不限，只要內(nèi)存或文件中存在即可，變量名之間以空格分隔。當(dāng)變量名表省略時(shí)，保存或裝入全部變量。-ascii選項(xiàng)使文件以ASCII格式處理，省略該選項(xiàng)時(shí)文件將以二進(jìn)制格式處理。save命令中的-append選項(xiàng)控制將變量追加到MAT文件中。編輯ppt其中，文件名可以帶路徑，但不需帶擴(kuò)展編輯ppt102.1.4MATLAB常用數(shù)學(xué)函數(shù)

MATLAB提供了許多數(shù)學(xué)函數(shù)，函數(shù)的自變量規(guī)定為矩陣變量，運(yùn)算法則是將函數(shù)逐項(xiàng)作用于矩陣的元素上，因而運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)與自變量同維數(shù)的矩陣。

函數(shù)使用說明：

(1)三角函數(shù)以弧度為單位計(jì)算。

(2)abs函數(shù)可以求實(shí)數(shù)的絕對(duì)值、復(fù)數(shù)的模、字符串的ASCII碼值。

(3)用于取整的函數(shù)有fix、floor、ceil、round，要注意它們的區(qū)別。

編輯ppt2.1.4MATLAB常用數(shù)學(xué)函數(shù)

MATLAB提供了許112.1.5數(shù)據(jù)的輸出格式

MATLAB用十進(jìn)制數(shù)表示一個(gè)常數(shù)，具體可采用日常記數(shù)法和科學(xué)記數(shù)法兩種表示方法。

在一般情況下，MATLAB內(nèi)部每一個(gè)數(shù)據(jù)元素都是用雙精度數(shù)來表示和存儲(chǔ)的。數(shù)據(jù)輸出時(shí)用戶可以用format命令設(shè)置或改變數(shù)據(jù)輸出格式。format命令的格式為：

format格式符

其中格式符決定數(shù)據(jù)的輸出格式編輯ppt2.1.5數(shù)據(jù)的輸出格式

MATLAB用十進(jìn)制數(shù)12MATLAB用format命令來控制輸出格式，formatshort短格式

3.146formatlong

長格式3.14159265358979formatshorte短格式e3.1416e+000formatlonge長格式e3.141592653589793e+000formatrat

分?jǐn)?shù)格式355/113formathex十六進(jìn)制格式40091eb851eb851f計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)數(shù)記法5.11×108

5.11e+80.0000015=1.5×10-6

1.5e-6,2.4560000=2.456×107

2.456e+7編輯pptMATLAB用format命令來控制輸出格式，format132.2MATLAB矩陣2.2.1矩陣的建立

1．直接輸入法

最簡單的建立矩陣的方法是從鍵盤直接輸入矩陣的元素。直接輸入法三條規(guī)則：矩陣元素必須在方括號(hào)[]之內(nèi);同一行相鄰元素間用逗號(hào)或空格分隔;

矩陣的行與行之間必須用分號(hào)分隔.編輯ppt2.2MATLAB矩陣2.2.1矩陣的建立

1．直接14直接輸入法三條規(guī)則：

矩陣元素必須在方括號(hào)[]之內(nèi);同一行相鄰元素間用逗號(hào)或空格分隔;

矩陣的行與行之間必須用分號(hào)分隔.例4.三階Hilbert矩陣

A=[11/21/3;1/21/31/4;1/31/41/5]A=1.00000.50000.33330.50000.33330.25000.33330.25000.2000編輯ppt直接輸入法三條規(guī)則：A=編輯ppt152．利用冒號(hào)表達(dá)式建立一個(gè)向量

冒號(hào)表達(dá)式可以產(chǎn)生一個(gè)行向量，一般格式是：

e1:e2:e3其中e1為初始值，e2為步長，e3為終止值。在MATLAB中，還可以用linspace函數(shù)產(chǎn)生行向量。其調(diào)用格式為：linspace(a,b,n)

其中a和b是生成向量的第一個(gè)和最后一個(gè)元素，n是元素總數(shù)。

顯然，linspace(a,b,n)與a:(b-a)/(n-1):b等價(jià)。

4．建立大矩陣

大矩陣可由方括號(hào)中的小矩陣或向量建立起來。編輯ppt2．利用冒號(hào)表達(dá)式建立一個(gè)向量

編輯ppt162.2.2矩陣的拆分

1．矩陣元素

通過下標(biāo)引用矩陣的元素，例如

A(3,2)=200

采用矩陣元素的序號(hào)來引用矩陣元素。矩陣元素的序號(hào)就是相應(yīng)元素在內(nèi)存中的排列順序。在MATLAB中，矩陣元素按列存儲(chǔ)，先第一列，再第二列，依次類推。例如

A=[1,2,3;4,5,6];

A(3)

ans=

2

顯然，序號(hào)(Index)與下標(biāo)(Subscript)是一一對(duì)應(yīng)的，以m×n矩陣A為例，矩陣元素A(i,j)的序號(hào)為(j-1)*m+i。其相互轉(zhuǎn)換關(guān)系也可利用sub2ind和ind2sub函數(shù)求得。編輯ppt2.2.2矩陣的拆分

1．矩陣元素

通過下標(biāo)引用172．矩陣拆分

(1)利用冒號(hào)表達(dá)式獲得子矩陣

①A(:,j)表示取A矩陣的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩陣第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩陣第i行、第j列的元素。

②A(i:i+m,:)表示取A矩陣第i～i+m行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩陣第k～k+m列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩陣第i～i+m行內(nèi)，并在第k～k+m列中的所有元素。

此外，還可利用一般向量和end運(yùn)算符來表示矩陣下標(biāo)，從而獲得子矩陣。end表示某一維的末尾元素下標(biāo)。編輯ppt2．矩陣拆分

(1)利用冒號(hào)表達(dá)式獲得子矩陣

18(2)利用空矩陣刪除矩陣的元素

在MATLAB中，定義[]為空矩陣。給變量X賦空矩陣的語句為X=[]。注意，X=[]與clearX不同，clear是將X從工作空間中刪除，而空矩陣則存在于工作空間中，只是維數(shù)為0。編輯ppt(2)利用空矩陣刪除矩陣的元素

在MATL192.2.3特殊矩陣

1．通用的特殊矩陣

常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有：

zeros：產(chǎn)生全0矩陣(零矩陣)。

ones：產(chǎn)生全1矩陣(幺矩陣)。

eye：產(chǎn)生單位矩陣。

rand：產(chǎn)生0～1間均勻分布的隨機(jī)矩陣。

randn：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。編輯ppt2.2.3特殊矩陣

1．通用的特殊矩陣

常用的產(chǎn)生通用特20例2-3分別建立3×3、3×2和與矩陣A同樣大小的零矩陣。

(1)建立一個(gè)3×3零矩陣。

zeros(3)

(2)建立一個(gè)3×2零矩陣。

zeros(3,2)

(3)設(shè)A為2×3矩陣，則可以用zeros(size(A))建立一個(gè)與矩陣A同樣大小零矩陣。

A=[123;456];%產(chǎn)生一個(gè)2×3階矩陣A

zeros(size(A))%產(chǎn)生一個(gè)與矩陣A同樣大小的零矩陣編輯ppt例2-3分別建立3×3、3×2和與矩陣A同樣大小的零矩陣21例2-4建立隨機(jī)矩陣：

(1)在區(qū)間[20,50]內(nèi)均勻分布的5階隨機(jī)矩陣。

(2)均值為0.6、方差為0.1的5階正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。

命令如下：

x=20+(50-20)*rand(5)

y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)

此外，常用的函數(shù)還有reshape(A,m,n)，它在矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣A重新排成m×n的二維矩陣。編輯ppt例2-4建立隨機(jī)矩陣：

(1)在區(qū)間[20,50]內(nèi)均勻222．用于專門學(xué)科的特殊矩陣

(1)魔方矩陣

魔方矩陣有一個(gè)有趣的性質(zhì)，其每行、每列及兩條對(duì)角線上的元素和都相等。對(duì)于n階魔方陣，其元素由1,2,3,…,n2共n2個(gè)整數(shù)組成。MATLAB提供了求魔方矩陣的函數(shù)magic(n)，其功能是生成一個(gè)n階魔方陣。編輯ppt2．用于專門學(xué)科的特殊矩陣

(1)魔方矩陣

魔方矩陣有一23例2-5將101~125等25個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行5列的表格中，使其每行每列及對(duì)角線的和均為565。

M=100+magic(5)編輯ppt例2-5將101~125等25個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行5列的表格24(2)范得蒙矩陣

范得蒙(Vandermonde)矩陣最后一列全為1，倒數(shù)第二列為一個(gè)指定的向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點(diǎn)乘積?？梢杂靡粋€(gè)指定向量生成一個(gè)范得蒙矩陣。在MATLAB中，函數(shù)vander(V)生成以向量V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。例如，A=vander([1;2;3;5])即可得到上述范得蒙矩陣。

編輯ppt(2)范得蒙矩陣

范得蒙(Vandermonde)矩陣最25(3)希爾伯特矩陣

在MATLAB中，生成希爾伯特矩陣的函數(shù)是hilb(n)。

使用一般方法求逆會(huì)因?yàn)樵紨?shù)據(jù)的微小擾動(dòng)而產(chǎn)生不可靠的計(jì)算結(jié)果。MATLAB中，有一個(gè)專門求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)invhilb(n)，其功能是求n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。編輯ppt(3)希爾伯特矩陣

在MATLAB中，生成希爾伯特矩陣的函26例2-6求4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。

命令如下：

formatrat%以有理形式輸出

H=hilb(4)

H=invhilb(4)

編輯ppt例2-6求4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。

命令如下：

fo27(4)托普利茲矩陣

托普利茲(Toeplitz)矩陣除第一行第一列外，其他每個(gè)元素都與左上角的元素相同。生成托普利茲矩陣的函數(shù)是toeplitz(x,y)，它生成一個(gè)以x為第一列，y為第一行的托普利茲矩陣。這里x,y均為向量，兩者不必等長。toeplitz(x)用向量x生成一個(gè)對(duì)稱的托普利茲矩陣。例如

T=toeplitz(1:6)編輯ppt(4)托普利茲矩陣

托普利茲(Toeplitz)矩陣除第28(5)伴隨矩陣

MATLAB生成伴隨矩陣的函數(shù)是compan(p)，其中p是一個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)向量，高次冪系數(shù)排在前，低次冪排在后。例如，為了求多項(xiàng)式的x3-7x+6的伴隨矩陣，可使用命令：

p=[1,0,-7,6];

compan(p)編輯ppt(5)伴隨矩陣

MATLAB生成伴隨矩陣的函數(shù)是comp29(6)帕斯卡矩陣

我們知道，二次項(xiàng)(x+y)n展開后的系數(shù)隨n的增大組成一個(gè)三角形表，稱為楊輝三角形。由楊輝三角形表組成的矩陣稱為帕斯卡(Pascal)矩陣。函數(shù)pascal(n)生成一個(gè)n階帕斯卡矩陣。編輯ppt(6)帕斯卡矩陣

我們知道，二次項(xiàng)(x+y)n展開后的系30例2-7求(x+y)5的展開式。

在MATLAB命令窗口，輸入命令：

pascal(6)

矩陣次對(duì)角線上的元素1,5,10,10,5,1即為展開式的系數(shù)。編輯ppt例2-7求(x+y)5的展開式。

在MATLAB命令窗口312.3MATLAB運(yùn)算

2.3.1算術(shù)運(yùn)算

1．基本算術(shù)運(yùn)算

MATLAB的基本算術(shù)運(yùn)算有：＋(加)、－(減)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、^(乘方)。

注意，運(yùn)算是在矩陣意義下進(jìn)行的，單個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)運(yùn)算只是一種特例。編輯ppt2.3MATLAB運(yùn)算

2.3.1算術(shù)運(yùn)算

132(1)矩陣加減運(yùn)算

假定有兩個(gè)矩陣A和B，則可以由A+B和A-B實(shí)現(xiàn)矩陣的加減運(yùn)算。運(yùn)算規(guī)則是：若A和B矩陣的維數(shù)相同，則可以執(zhí)行矩陣的加減運(yùn)算，A和B矩陣的相應(yīng)元素相加減。如果A與B的維數(shù)不相同，則MATLAB將給出錯(cuò)誤信息，提示用戶兩個(gè)矩陣的維數(shù)不匹配。編輯ppt(1)矩陣加減運(yùn)算

假定有兩個(gè)矩陣A和B，33(2)矩陣乘法

假定有兩個(gè)矩陣A和B，若A為m×n矩陣，B為n×p矩陣，則C=A*B為m×p矩陣。編輯ppt(2)矩陣乘法

假定有兩個(gè)矩陣A和B，若A為m34(3)矩陣除法

在MATLAB中，有兩種矩陣除法運(yùn)算：\和/，分別表示左除和右除。如果A矩陣是非奇異方陣，則A\B和B/A運(yùn)算可以實(shí)現(xiàn)。A\B等效于A的逆左乘B矩陣，也就是inv(A)*B，而B/A等效于A矩陣的逆右乘B矩陣，也就是B*inv(A)。

對(duì)于含有標(biāo)量的運(yùn)算，兩種除法運(yùn)算的結(jié)果相同，如3/4和4\3有相同的值，都等于0.75。又如，設(shè)a=[10.5,25]，則a/5=5\a=[2.10005.0000]。對(duì)于矩陣來說，左除和右除表示兩種不同的除數(shù)矩陣和被除數(shù)矩陣的關(guān)系。對(duì)于矩陣運(yùn)算，一般A\B≠B/A。編輯ppt(3)矩陣除法

在MATLAB中，有兩種矩陣除法運(yùn)35(4)矩陣的乘方

一個(gè)矩陣的乘方運(yùn)算可以表示成A^x，要求A為方陣，x為標(biāo)量。

2．點(diǎn)運(yùn)算

在MATLAB中，有一種特殊的運(yùn)算，因?yàn)槠溥\(yùn)算符是在有關(guān)算術(shù)運(yùn)算符前面加點(diǎn)，所以叫點(diǎn)運(yùn)算。點(diǎn)運(yùn)算符有.*、./、.\和.^。兩矩陣進(jìn)行點(diǎn)運(yùn)算是指它們的對(duì)應(yīng)元素進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，要求兩矩陣的維參數(shù)相同。編輯ppt(4)矩陣的乘方

一個(gè)矩陣的乘方運(yùn)算可以表362.3.2關(guān)系運(yùn)算

MATLAB提供了6種關(guān)系運(yùn)算符：<(小于)、<=(小于或等于)、>(大于)、>=(大于或等于)、==(等于)、～=(不等于)。它們的含義不難理解，但要注意其書寫方法與數(shù)學(xué)中的不等式符號(hào)不盡相同。編輯ppt2.3.2關(guān)系運(yùn)算

MATLAB提供了6種關(guān)系運(yùn)37關(guān)系運(yùn)算符的運(yùn)算法則為：

(1)當(dāng)兩個(gè)比較量是標(biāo)量時(shí)，直接比較兩數(shù)的大小。若關(guān)系成立，關(guān)系表達(dá)式結(jié)果為1，否則為0。

(2)當(dāng)參與比較的量是兩個(gè)維數(shù)相同的矩陣時(shí)，比較是對(duì)兩矩陣相同位置的元素按標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行，并給出元素比較結(jié)果。最終的關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由0或1組成。編輯ppt關(guān)系運(yùn)算符的運(yùn)算法則為：

(1)當(dāng)兩個(gè)比較38(3)當(dāng)參與比較的一個(gè)是標(biāo)量，而另一個(gè)是矩陣時(shí)，則把標(biāo)量與矩陣的每一個(gè)元素按標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個(gè)比較，并給出元素比較結(jié)果。最終的關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由0或1組成。編輯ppt(3)當(dāng)參與比較的一個(gè)是標(biāo)量，而另一個(gè)是矩陣時(shí)，則39例2-8產(chǎn)生5階隨機(jī)方陣A，其元素為[10,90]區(qū)間的隨機(jī)整數(shù)，然后判斷A的元素是否能被3整除。

(1)生成5階隨機(jī)方陣A。

A=fix((90-10+1)*rand(5)+10)

(2)判斷A的元素是否可以被3整除。

P=rem(A,3)==0

其中，rem(A,3)是矩陣A的每個(gè)元素除以3的余數(shù)矩陣。此時(shí)，0被擴(kuò)展為與A同維數(shù)的零矩陣，P是進(jìn)行等于(==)比較的結(jié)果矩陣。編輯ppt例2-8產(chǎn)生5階隨機(jī)方陣A，其元素為[10,90402.3.3邏輯運(yùn)算

MATLAB提供了3種邏輯運(yùn)算符：&(與)、|(或)和～(非)。

邏輯運(yùn)算的運(yùn)算法則為：

(1)在邏輯運(yùn)算中，確認(rèn)非零元素為真，用1表示，零元素為假，用0表示。

(2)設(shè)參與邏輯運(yùn)算的是兩個(gè)標(biāo)量a和b，那么，

a&ba,b全為非零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為1，否則為0。

a|ba,b中只要有一個(gè)非零，運(yùn)算結(jié)果為1。

～a當(dāng)a是零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為1；當(dāng)a非零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為0。編輯ppt2.3.3邏輯運(yùn)算

MATLAB提供了3種邏輯運(yùn)41(3)若參與邏輯運(yùn)算的是兩個(gè)同維矩陣，那么運(yùn)算將對(duì)矩陣相同位置上的元素按標(biāo)量規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行。最終運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)與原矩陣同維的矩陣，其元素由1或0組成。

(4)若參與邏輯運(yùn)算的一個(gè)是標(biāo)量，一個(gè)是矩陣，那么運(yùn)算將在標(biāo)量與矩陣中的每個(gè)元素之間按標(biāo)量規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行。最終運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)與矩陣同維的矩陣，其元素由1或0組成。編輯ppt(3)若參與邏輯運(yùn)算的是兩個(gè)同維矩陣，那么運(yùn)算將對(duì)矩42(5)邏輯非是單目運(yùn)算符，也服從矩陣運(yùn)算規(guī)則。

(6)在算術(shù)、關(guān)系、邏輯運(yùn)算中，算術(shù)運(yùn)算優(yōu)先級(jí)最高，邏輯運(yùn)算優(yōu)先級(jí)最低。編輯ppt(5)邏輯非是單目運(yùn)算符，也服從矩陣運(yùn)算規(guī)則。

(6)43例2-9建立矩陣A，然后找出大于4的元素的位置。

(1)建立矩陣A。

A=[4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0]

(2)找出大于4的元素的位置。

find(A>4)編輯ppt例2-9建立矩陣A，然后找出大于4的元素的位置。

(1)442.4矩陣分析

2.4.1對(duì)角陣與三角陣

1．對(duì)角陣

只有對(duì)角線上有非0元素的矩陣稱為對(duì)角矩陣，對(duì)角線上的元素相等的對(duì)角矩陣稱為數(shù)量矩陣，對(duì)角線上的元素都為1的對(duì)角矩陣稱為單位矩陣。編輯ppt2.4矩陣分析

2.4.1對(duì)角陣與三角陣

1．對(duì)角陣

45(1)提取矩陣的對(duì)角線元素

設(shè)A為m×n矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣A主對(duì)角線元素，產(chǎn)生一個(gè)具有min(m,n)個(gè)元素的列向量。

diag(A)函數(shù)還有一種形式diag(A,k)，其功能是提取第k條對(duì)角線的元素。

(2)構(gòu)造對(duì)角矩陣

設(shè)V為具有m個(gè)元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個(gè)m×m對(duì)角矩陣，其主對(duì)角線元素即為向量V的元素。

diag(V)函數(shù)也有另一種形式diag(V,k)，其功能是產(chǎn)生一個(gè)n×n(n=m+)對(duì)角陣，其第k條對(duì)角線的元素即為向量V的元素。編輯ppt(1)提取矩陣的對(duì)角線元素

設(shè)A為m×n矩陣，diag(A46例2-10先建立5×5矩陣A，然后將A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。

A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;...

11,18,25,2,19];

D=diag(1:5);

D*A%用D左乘A，對(duì)A的每行乘以一個(gè)指定常數(shù)

編輯ppt例2-10先建立5×5矩陣A，然后將A的第一行元素乘以1472．三角陣

三角陣又進(jìn)一步分為上三角陣和下三角陣，所謂上三角陣，即矩陣的對(duì)角線以下的元素全為0的一種矩陣，而下三角陣則是對(duì)角線以上的元素全為0的一種矩陣。編輯ppt2．三角陣

三角陣又進(jìn)一步分為上三角陣和下三角陣，所謂上三角48(1)上三角矩陣

求矩陣A的上三角陣的MATLAB函數(shù)是triu(A)。

triu(A)函數(shù)也有另一種形式triu(A,k)，其功能是求矩陣A的第k條對(duì)角線以上的元素。例如，提取矩陣A的第2條對(duì)角線以上的元素，形成新的矩陣B。

(2)下三角矩陣

在MATLAB中，提取矩陣A的下三角矩陣的函數(shù)是tril(A)和tril(A,k)，其用法與提取上三角矩陣的函數(shù)triu(A)和triu(A,k)完全相同。編輯ppt(1)上三角矩陣

求矩陣A的上三角陣的MATLAB函數(shù)是t492.4.2矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)

1．矩陣的轉(zhuǎn)置

轉(zhuǎn)置運(yùn)算符是單撇號(hào)(‘)。

2．矩陣的旋轉(zhuǎn)

利用函數(shù)rot90(A,k)將矩陣A旋轉(zhuǎn)90o的k倍，當(dāng)k為1時(shí)可省略。編輯ppt2.4.2矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)

1．矩陣的轉(zhuǎn)置

轉(zhuǎn)置運(yùn)算符是503．矩陣的左右翻轉(zhuǎn)

對(duì)矩陣實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換，…，依次類推。MATLAB對(duì)矩陣A實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是fliplr(A)。

4．矩陣的上下翻轉(zhuǎn)

MATLAB對(duì)矩陣A實(shí)施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是flipud(A)。編輯ppt3．矩陣的左右翻轉(zhuǎn)

對(duì)矩陣實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最512.4.3矩陣的逆與偽逆

1．矩陣的逆

對(duì)于一個(gè)方陣A，如果存在一個(gè)與其同階的方陣B，使得：

A·B=B·A=I(I為單位矩陣)

則稱B為A的逆矩陣，當(dāng)然，A也是B的逆矩陣。

求一個(gè)矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出錯(cuò)，但在MATLAB中，求一個(gè)矩陣的逆非常容易。求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)inv(A)。

例2-11用求逆矩陣的方法解線性方程組。

Ax=b

其解為：

x=A-1b編輯ppt2.4.3矩陣的逆與偽逆

1．矩陣的逆

對(duì)于一個(gè)方陣A，522．矩陣的偽逆

如果矩陣A不是一個(gè)方陣，或者A是一個(gè)非滿秩的方陣時(shí)，矩陣A沒有逆矩陣，但可以找到一個(gè)與A的轉(zhuǎn)置矩陣A‘同型的矩陣B，使得：

A·B·A=A

B·A·B=B

此時(shí)稱矩陣B為矩陣A的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。在MATLAB中，求一個(gè)矩陣偽逆的函數(shù)是pinv(A)。編輯ppt2．矩陣的偽逆

如果矩陣A不是一個(gè)方陣，或者A是一個(gè)非滿秩的532.4.4方陣的行列式

把一個(gè)方陣看作一個(gè)行列式，并對(duì)其按行列式的規(guī)則求值，這個(gè)值就稱為矩陣所對(duì)應(yīng)的行列式的值。在MATLAB中，求方陣A所對(duì)應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是det(A)。編輯ppt2.4.4方陣的行列式

把一個(gè)方陣看作一個(gè)行列式，并對(duì)其按542.4.5矩陣的秩與跡

1．矩陣的秩

矩陣線性無關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。在MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。

2．矩陣的跡

矩陣的跡等于矩陣的對(duì)角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。在MATLAB中，求矩陣的跡的函數(shù)是trace(A)。編輯ppt2.4.5矩陣的秩與跡

1．矩陣的秩

矩陣線性無關(guān)的行數(shù)552.4.6向量和矩陣的范數(shù)

矩陣或向量的范數(shù)用來度量矩陣或向量在某種意義下的長度。范數(shù)有多種方法定義，其定義不同，范數(shù)值也就不同。編輯ppt2.4.6向量和矩陣的范數(shù)

矩陣或向量的范數(shù)用來度量矩陣561．向量的3種常用范數(shù)及其計(jì)算函數(shù)

在MATLAB中，求向量范數(shù)的函數(shù)為：

(1)norm(V)或norm(V,2)：計(jì)算向量V的2—范數(shù)。

(2)norm(V,1)：計(jì)算向量V的1—范數(shù)。

(3)norm(V,inf)：計(jì)算向量V的∞—范數(shù)。編輯ppt1．向量的3種常用范數(shù)及其計(jì)算函數(shù)

在MATLAB中，求向量572．矩陣的范數(shù)及其計(jì)算函數(shù)

MATLAB提供了求3種矩陣范數(shù)的函數(shù)，其函數(shù)調(diào)用格式與求向量的范數(shù)的函數(shù)完全相同。

2.4.7矩陣的條件數(shù)

在MATLAB中，計(jì)算矩陣A的3種條件數(shù)的函數(shù)是：

(1)cond(A,1)計(jì)算A的1—范數(shù)下的條件數(shù)。

(2)cond(A)或cond(A,2)計(jì)算A的2—范數(shù)數(shù)下的條件數(shù)。

(3)cond(A,inf)計(jì)算A的∞—范數(shù)下的條件數(shù)。編輯ppt2．矩陣的范數(shù)及其計(jì)算函數(shù)

MATLAB提供了求3種矩陣范數(shù)582.4.8矩陣的特征值與特征向量

在MATLAB中，計(jì)算矩陣A的特征值和特征向量的函數(shù)是eig(A)，常用的調(diào)用格式有3種：

(1)E=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成向量E。

(2)[V,D]=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成對(duì)角陣D，并求A的特征向量構(gòu)成V的列向量。編輯ppt2.4.8矩陣的特征值與特征向量

在MATLAB中，計(jì)算59(3)[V,D]=eig(A,‘nobalance’)：與第2種格式類似，但第2種格式中先對(duì)A作相似變換后求矩陣A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩陣A的特征值和特征向量。編輯ppt(3)[V,D]=eig(A,‘nobalance’)：與60例2-12用求特征值的方法解方程。

3x5-7x4+5x2+2x-18=0

p=[3,-7,0,5,2,-18];

A=compan(p);%A的伴隨矩陣

x1=eig(A)%求A的特征值

x2=roots(p)%直接求多項(xiàng)式p的零點(diǎn)編輯ppt例2-12用求特征值的方法解方程。

3x5-7x4+5x612.5矩陣的超越函數(shù)

1．矩陣平方根sqrtm

sqrtm(A)計(jì)算矩陣A的平方根。

2．矩陣對(duì)數(shù)logm

logm(A)計(jì)算矩陣A的自然對(duì)數(shù)。此函數(shù)輸入?yún)?shù)的條件與輸出結(jié)果間的關(guān)系和函數(shù)sqrtm(A)完全一樣編輯ppt2.5矩陣的超越函數(shù)

1．矩陣平方根sqrtm

sqrtm623．矩陣指數(shù)expm、expm1、expm2、expm3

expm(A)、expm1(A)、expm2(A)、expm3(A)的功能都求矩陣指數(shù)eA。

4．普通矩陣函數(shù)funm

funm(A,‘fun’)用來計(jì)算直接作用于矩陣A的由‘fun’指定的超越函數(shù)值。當(dāng)fun取sqrt時(shí)，funm(A,‘sqrt’)可以計(jì)算矩陣A的平方根，與sqrtm(A)的計(jì)算結(jié)果一樣。編輯ppt3．矩陣指數(shù)expm、expm1、expm2、expm3

e632.6字符串

在MATLAB中，字符串是用單撇號(hào)括起來的字符序列。

MATLAB將字符串當(dāng)作一個(gè)行向量，每個(gè)元素對(duì)應(yīng)一個(gè)字符，其標(biāo)識(shí)方法和數(shù)值向量相同。也可以建立多行字符串矩陣。編輯ppt2.6字符串

在MATLAB中，字符串是用單撇64字符串是以ASCII碼形式存儲(chǔ)的。abs和double函數(shù)都可以用來獲取字符串矩陣所對(duì)應(yīng)的ASCII碼數(shù)值矩陣。相反，char函數(shù)可以把ASCII碼矩陣轉(zhuǎn)換為字符串矩陣。編輯ppt字符串是以ASCII碼形式存儲(chǔ)的。abs和double函數(shù)都65例2-13建立一個(gè)字符串向量，然后對(duì)該向量做如下處理：

(1)取第1～5個(gè)字符組成的子字符串。

(2)將字符串倒過來重新排列。

(3)將字符串中的小寫字母變成相應(yīng)的大寫字母，其余字符不變。

(4)統(tǒng)計(jì)字符串中小寫字母的個(gè)數(shù)。編輯ppt例2-13建立一個(gè)字符串向量，然后對(duì)該向量做如下處理：

66命令如下：

ch=‘ABc123d4e56Fg9’;

subch=ch(1:5)%取子字符串

revch=ch(end:-1:1)%將字符串倒排

k=find(ch>=‘a(chǎn)’&ch<=‘z’);%找小寫字母的位置

ch(k)=ch(k)-(‘a(chǎn)’-‘A’);%將小寫字母變成相應(yīng)的大寫字母

char(ch)

length(k)%統(tǒng)計(jì)小寫字母的個(gè)數(shù)編輯ppt命令如下：

ch=‘ABc123d4e56Fg9’;

sub67

與字符串有關(guān)的另一個(gè)重要函數(shù)是eval，其調(diào)用格式為：

eval(t)

其中t為字符串。它的作用是把字符串的內(nèi)容作為對(duì)應(yīng)的MATLAB語句來執(zhí)行。編輯ppt

與字符串有關(guān)的另一個(gè)重要函數(shù)是eval，其調(diào)用格式682.7結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)和單元數(shù)據(jù)

2.7.1結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)

1．結(jié)構(gòu)矩陣的建立與引用

結(jié)構(gòu)矩陣的元素可以是不同的數(shù)據(jù)類型，它能將一組具有不同屬性的數(shù)據(jù)納入到一個(gè)統(tǒng)一的變量名下進(jìn)行管理。建立一個(gè)結(jié)構(gòu)矩陣可采用給結(jié)構(gòu)成員賦值的辦法。具體格式為：

結(jié)構(gòu)矩陣名.成員名=表達(dá)式

其中表達(dá)式應(yīng)理解為矩陣表達(dá)式。編輯ppt2.7結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)和單元數(shù)據(jù)

2.7.1結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)

1．結(jié)692．結(jié)構(gòu)成員的修改

可以根據(jù)需要增加或刪除結(jié)構(gòu)的成員。例如要給結(jié)構(gòu)矩陣a增加一個(gè)成員x4，可給a中任意一個(gè)元素增加成員x4：

a(1).x4=‘410075’;

但其他成員均為空矩陣，可以使用賦值語句給它賦確定的值。

要?jiǎng)h除結(jié)構(gòu)的成員，則可以使用rmfield函數(shù)來完成。例如，刪除成員x4：

a=rmfield(a,‘x4’);

3．關(guān)于結(jié)構(gòu)的函數(shù)

除了一般的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的操作外，MATLAB還提供了部分函數(shù)來進(jìn)行結(jié)構(gòu)矩陣的操作。編輯ppt2．結(jié)構(gòu)成員的修改

可以根據(jù)需要增加或刪除結(jié)構(gòu)的成員。例如要702.7.2單元數(shù)據(jù)

1．單元矩陣的建立與引用

建立單元矩陣和一般矩陣相似，只是矩陣元素用大括號(hào)括起來。

可以用帶有大括號(hào)下標(biāo)的形式引用單元矩陣元素。例如b{3,3}。單元矩陣的元素可以是結(jié)構(gòu)或單元數(shù)據(jù)。

可以使用celldisp函數(shù)來顯示整個(gè)單元矩陣，如celldisp(b)。還可以刪除單元矩陣中的某個(gè)元素。2．關(guān)于單元的函數(shù)

MATLAB還提供了部分函數(shù)用于單元的操作。編輯ppt2.7.2單元數(shù)據(jù)

1．單元矩陣的建立與引用

建立單元矩712.8稀疏矩陣

2.8.1矩陣存儲(chǔ)方式

MATLAB的矩陣有兩種存儲(chǔ)方式：完全存儲(chǔ)方式和稀疏存儲(chǔ)方式。

1．完全存儲(chǔ)方式

完全存儲(chǔ)方式是將矩陣的全部元素按列存儲(chǔ)。以前講到的矩陣的存儲(chǔ)方式都是按這個(gè)方式存儲(chǔ)的，此存儲(chǔ)方式對(duì)稀疏矩陣也適用。編輯ppt2.8稀疏矩陣

2.8.1矩陣存儲(chǔ)方式

MATLAB的722．稀疏存儲(chǔ)方式

稀疏存儲(chǔ)方式僅存儲(chǔ)矩陣所有的非零元素