《2021年數學(理)函數與導數二輪突破提升》

專題01函數的圖象與性質

【考情分析】1.高考對此部分內容的命題多集中于函數的概念、函數的性質及分段函數等，主要考查求函

數的定義域、分段函數的函數值的求解或分段函數中參數的求解及函數圖象的識別.難度屬中等及以上2

此部分內容多以選擇題、填空題形式出現，有時在壓軸題的位置，多與導數、不等式、創(chuàng)新性問題結合命

題.

考點一函數的概念與表示

【重點熱點】

1.復合函數的定義域

(1)若兀0的定義域為[加，ri\,則在犬g(x))中，m<g(x)<n,從中解得x的范圍即為/(g(x))的定義域.

⑵若|g(x))的定義域為阿，n],則由機SxWw確定的g(x)的范圍即為用0的定義域.

2.分段函數

分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，值域等于各段函數值域的并集.

例1(1)若函數/(X)=log2(x—1)+y2—X,則函數的定義域為()

A.(1,2]B.(2,4]C.[1,2)D.[2,4)

【答案】B

【解析】由f得1VE2,故式尤)的定義域為(1,2],由1條2,得2y4,故/闈的定義域為(2,4].

L%—1>0,乙s

(2x+l,x<0,

(2)設函數加尸“八貝IJ滿足於)+加一122的x的取值范圍是________.

⑷，x>0,

【答案】修+8)

2元+1,立0,

【解析】,?,函數?！?/p>

⑷，x>0,

???當xSO時，x—1<—1,fix)J[x—l)=2x+l+2(x—1)+1=4x>2,無解；

fx>O

當[f即0<%<1時，

[%—1<0,

fi.x)+fix-I)=4x+2(X-1)+1=4x+2x~1>2,得幺后1；

當x—1>0,即x>l時，兀x)+/(x—1)=4*+4廠>2,得x>l.

綜上，x的取值范圍是七，

【方法小結】⑴形如黃g(x))的函數求值時，應遵循先內后外的原則.

(2)對于分段函數的求值(解不等式)問題，必須依據條件準確地找出利用哪一段求解.

考點二函數的性質

【重點熱點】

1.函數的奇偶性

(1)定義：若函數的定義域關于原點對稱，則有：

八X)是偶函數=4—X)=式尤)=XIR)；

?r)是奇函數=八一勸=-fix).

(2)判斷方法：定義法、圖象法、奇偶函數性質法(如奇函數x奇函數是偶函數).

2.函數單調性判斷方法：定義法、圖象法、導數法.

3.函數圖象的對稱中心或對稱軸

⑴若函數危)滿足關系式加+x)=2b—加一x),則函數y=/(x)的圖象關于點(a,b)對稱.

(2)若函數次無)滿足關系式艮a+x)=f(b—尤)，則函數y=/(x)的圖象關于直線尤=對稱.

考向1單調性與奇偶性

例2(2020?新高考全國I)若定義在R上的奇函數於)在(一oo,0)上單調遞減，且負2)=0,則滿足就xT巨0

的x的取值范圍是()

A.[-1,1]U[3,+oo)B.[-3,-1]U[O,1]

C.[-1,O]U[1,+oo)D.[-1,0]U[1,3]

【答案】D

【解析】因為函數1x)為定義在R上的奇函數，

則共0)=0.

又兀0在(一8,0)上單調遞減，且負2)=0,

畫出函數兀0的大致圖象如圖(1)所示，

則函數/U—1)的大致圖象如圖(2)所示.

當爛0時，要滿足狀x—l)K),則兀CT)W0,

得一1W爛0.

當x>0時，要滿足求x—1)沙,則危一1巨0,

得l<x<3.

故滿足歡xT巨0的x的取值范圍是[T,0]U[1,3].

考向2奇偶性與周期性

例3⑴定義在R上的奇函數於)滿足小+|)=段),當xe(0,；時&)=log』(l—x),則式x)在區(qū)間(1,1

2

內是()

A.減函數且黃尤)>0B.減函數且黃尤)<0

C.增函數且式x)>0D.增函數且加)0

【答案】D

【解析】當xG(0,時，由於)=log1(1-X)可知，/(X)單調遞增且又函數/(x)為奇函數，所以

2

在區(qū)間［W0)上函數也單調遞增，且於)<0.由小+步段)知，函數的周期為|,所以在區(qū)間(1,號上，

函數單調遞增且尤)<0.故選D.

(2)已知定義在R上的函數人x)滿足：函數的圖象關于點(1,0)對稱，且尤K)時恒有五元+2)=次尤)，

當xe［0,1］時，fi,x)=ex~l,貝1］人2020)+4—2021)=.

【答案】1-e

【解析】因為函數y=Ax—1)的圖象關于點(1,0)對稱，所以y=A尤)的圖象關于原點對稱，

又定義域為R，所以函數y=/(x)是奇函數，

因為后0時恒有人尤+2)=兀0，

所以x>0時，氏0是周期為2的周期函數.

所以汽2020)+支一2021)=式0)—式2021)

=X0)-Xl)=(e°-l)-(e1-l)=l-e.

二級結論(1)若函數其無)為偶函數，且式a+x)=/(a—尤)，則2a是函數/(X)的一個周期.

(2)若函數/U)為奇函數，且八0+尤)=Xa—x),則4a是函數/(x)的一個周期.

(3)若函數處0滿足八a+x)=/(a—尤)，且人方+無)=/(b—x),則2(6一°)是函數五功的一個周期.

考點三函數的圖象

【重點熱點】

1.作函數圖象有兩種基本方法：一是描點法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對

稱變換.

2.利用函數圖象可以判斷函數的單調性、奇偶性，作圖時要準確畫出圖象的特點.

考向1函數圖象的識別

例4(1)(2020?衡水模擬)函數/U)=?ln|x|的圖象可能是()

"y

AB

yfy

【答案】D

【解析】函數段)=x?ln|%|是奇函數，排除選項A,C；當時，y=一3對應點在x軸下方，排除B.

（2）已知某函數圖象如圖所示，則此函數的解析式可能是（）

y

^^4

1—e%e”一

A./U)—]+e『sinxB.人人）一砂十1■?sinx

1-e*e”一

c.府)一]+e『cos)D.於)—e-■?cosX

【答案】B

【解析】根據題意，由圖象可得，該函數為偶函數，且在y軸右側，先為正值，然后為負值.C,D選項

1—e"

中的函數均為奇函數，不符合題意；對于A選項,作）為偶函數，當xe（O,兀）時，sinx>0,百］。則A尤）<0,

QX—i

不符合題意；對于B選項，《x）為偶函數，當xG（0,兀）時，sinx>0,最不^>0,則/（彳）>0,符合題意.

考向2函數圖象的變換及應用

例5（1）若函數y=/（x）的圖象如圖所示，則函數y=—/U+1）的圖象大致為（）

A

【答案】c

【解析】要想由y=/（x）的圖象得到y(tǒng)=Fx+l）的圖象，需要先將y=/U）的圖象關于x軸對稱得到y(tǒng)=一

Kx）的圖象，然后再向左平移一個單位長度得到y(tǒng)=-J（x+l）的圖象，根據上述步驟可知C正確.

2%一］廣0

（2）已知函數兀0=一2‘一’若不等式直劃力以一2恒成立，則實數機的取值范圍為（）

一一x—3x,x>0,

A.[3-2^2,3+2的B.[0,3-2^2]

C.(3-2^2,3+2^2)D.[0,3+2^2]

【答案】D

f-2x+l,爛0,

【解析】由函數的解析式易知人尤)或恒成立，則人x)|=2「I不等式應明沙吠一2恒成立，等價

[廣十3元，x>0,

于函數y=|/(x)|的圖象在函數y=m—2圖象的上方恒成立.

作出函數y=|Ax)|的圖象，如圖所示，函數>=;加一2的圖象是過定點(0,—2)的直線，由圖可知，當機<0

時，不滿足題意；當“2=0時，滿足題意；當冽>0時，考慮直線y=/nx—2與曲線y=f+3x(x>0)相切的情

況.

[y=mx—2,

由J得f+(3)x+2=0,

[yx9~~I-3xf

令/=(3—02)2—8=m2—6〃z+l=0,

解得m=3+2吸或巾=3—2娘，

結合圖形可知0<加工3+2也.

綜上，根的取值范圍是[0,3+2限].

【方法小結】(1)確定函數圖象的主要方法是利用函數的性質，如定義域、奇偶性、單調性等，特別是利

用一些特征點排除不符合要求的圖象.

(2)函數圖象的應用主要體現為數形結合思想，借助于函數圖象的特點和變化規(guī)律，求解有關不等式恒成立、

最值、交點、方程的根等問題.求解兩個函數圖象在給定區(qū)間上的交點個數問題時，可以先畫出已知函數

完整的圖象，再觀察.

【突破提升練習】

一、選擇題

1.函數y="一晨2：+3的定義域為()

A.(-1,3]B.(—1,0)U(0,3]

C.[-1,3]D.[―1,0)U(0,3]

【答案】B

—X2+2X+3>0,

【解析】由已知得卜+1>0，

、x+1力1,

解得l,0)U(0,3].

[2X—3,x>0,

2.若加)==’是奇函數，則慮(一2))的值為()

[gx,x<0

55

A，2B.-2C.1D.—1

【答案】c

(2X—3x>0

【解析】：/)=''是奇函數,

[gx,x<0

當x<0時，g(x)=—￡+3

'?g(-2)=-3=-1,

Xg（-2））=A-l）=^（-D=-^+3=l.

3.（2020?全國H）設函數負x）=ln|2尤+l|Tn|2x—l|,則式x）（)

A.是偶函數，且在g,+oo）單調遞增

B.是奇函數，且在（V，，單調遞減

C.是偶函數，且在（一8,一§單調遞增

D.是奇函數，且在（一8,一；）單調遞減

【答案】D

【解析】於）=ln|2x+l|—ln|2x—1|的定義域為卜|存±3j.

又負一x）=ln|—2x+l|—ln|—2x-l|

=ln|2x-l|-ln|2x+l|

=一兀0，

.\Ax）為奇函數，故排除A,C.

當00，一；）時，

—-1

/（x）=ln（—2工一1）一ln（l—2x）=ln不玄-

——=小+含），

?.丁=]+5:]在（一孫一上單調遞減，

???由復合函數的單調性可得yu）在（一8,一；）上單調遞減.

2

4.設函數yu）=我4X，則函數八方的圖象大致為（）

o5x.05%

-2-2-

B

y

\2-

O.5x

-2?

D

【答案】A

【解析】觀察函數解析式發(fā)現，尤是以平方、絕對值的形式出現的，所以外）為偶函數，排除B.當尤＞0時,

4x2216

當X—+oo時，人X）—0,排除C.因為式2）=丁=互＜2,選項D中汽2）＞2,所以D不符合題意.

3工，

2%+]%＞i

5.若函數人無）="2；二:t在R上是增函數，則〃的取值范圍為（）

一X十QX十1,X＜1

A.[2,3]B.[2,+oo)C.[1,3]D.[1,+oo)

【答案】A

【解析】由題意得，

、-1+。+1<2+1,

二。晝[2,3]?

6.若定義域為R的函數人x）在（4,+（?）上為減函數，且函數y=?x+4）為偶函數，貝!]（

A.犬2)43)B.犬2)45)

C.八3)45)D.犬3)次6)

【答案】D

【解析】??,函數y=/（x+4）為偶函數,

.?加—x+4)=/(x+4),

函數y=/（x）的圖象關于直線x=4對稱,

?,?/2)=/6),犬3)=汽5).

又?.,函數＞=/（尤）在（4,+8）上為減函數,

.?小5)次6),...43)/6).

'2廠叫爛1,

7.設函數無）=若正1）是/U）的最小值，則實數。的取值范圍是（）

尤+1,x>l,

A.[-1,2)B.[-1,0]

C.[1,2]D.[1,+oo)

【答案】C

獷叫爛1,

【解析】yu)=

x+1,X>1,

若x>l,貝!J/(%)=%+1>2,

易知六0=2『@在(m+8)上單調遞增，在(一00,。)上單調遞減.

若則?x)在處取得最小值，不符合題意；

若定1,則要使人工)在％=1處取得最小值，只需25W2,解得K2,???1%02,

綜上所述，。的取值范圍是[1,2].

8.已知函數危)(x￡R)滿足7(%)=/(2—%),若函數yTx2—2x—3|與y=/(%)圖象的交點為⑶，yD，(%2,竺)，…,

(Xm,ym),則?等于()

z=l

A.0B.mC.2mD.4m

【答案】B

【解析】由題意可知式x)的圖象關于直線x=l對稱，而y=|f—2x—3|=|(x—l)2—4|的圖象也關于直線x

=1對稱，所以兩個圖象的交點關于直線x=l對稱，且每對關于直線x=l對稱的交點的橫坐標之和為2,

tn

所以尸丸

(=1

9.已知定義在R上的函數式x)是奇函數，且兀0在(一8,0)上是減函數，式2)=0,g(x)=/(x+2),則不等式

xg(x)<0的解集是()

A.(—co,—2]U[2,+co)

B.[-4,-2]U[0,+oo)

C.(—co,—4]U[—2,+oo)

D.(-oo,-4]U[0,+oo)

【答案】C

【解析】由題意，可知g(x)的圖象是把兀0的圖象向左平移2個單位長度得到的，則g(x)的大致圖象如圖

所示，

[x>0,x<0,

則xg(x)豈)/或彳數形結合,

1g爛0〔g尤沙，

得移(元)三0的解集為(一oo,-4]U[-2,+oo).

10.定義新運算十：當。名時，a十b=a；當cz<6時，a?b—b2,則函數式幻=(1十x)x—(2十x),2,

2]的最大值等于()

A.-1B.1

C.6D.12

【答案】C

【解析】由題意知，當一2小1時，於)=x-2；當1<爛2時，於)=/一2,又：y=x-2,—2在R上

都為增函數，且/U)在x=l處連續(xù)，.7/U)的最大值為式2)=23—2=6.

11.(2020?貴陽模擬)定義在R上的偶函數式x)滿足/U+2)=/(x),當3,—2]時，危)=一x—2,貝1()

A.7(sin的'(cos總B.Asin3)</(cos3)

C.7(sin華卜(cos專)D.42020)42019)

【答案】B

【解析】由式x+2)=/(x),得兀c)是周期函數且周期為2,根據本)在工€[—3,—2]的圖象和穴X)是偶函數

可得在[0,1]上是增函數.

I十兀兀

對于A,0<sin不cos%<L

?'?/(sin^<f(cosD，A錯誤；

對于B,0<sin3<_cos3<1,

.'./sin3)</(—cos3)=y(cos3),B正確；

4兀4兀

對于C,0<—cos-<—sin-^-<1,

■卜os曰勺'(sin明，C錯誤；

對于D,/2020)=負0)勺(2019)=/U),D錯誤.

—%2~CIX,X^-1,

2；'若時，X2GR,且尤時X2，使得式X1)=/(X2),則實數a的取值范圍

tr尤一7a+14,x>l,

是()

A.(-00,2)B.(-00,2)U(3,5)

C.[2,引D.[2,+oo)

【答案】B

f—X2,,

【解析】當〃=0時，/(%)={

[14,x>l,

此時存在Xl，X2￡[—1,1]滿足條件.

若分0,則當Q1時，段)為增函數,

且—■7a+14,

當它1時，J(x)=—x2+ax=—^x—^2+^,

對稱軸為x=與

若即a<2時，滿足條件，

若表1,即位2時，函數在（-8,1］上單調遞增，

要使條件成立，則式x）在（一oo,1］上的最大值式1）=-1+外層一7。+14,

即8。+15<0,即3<a<5,'：a>2,：.3<a<5,

綜上3<a<5或a<2.

二、填空題

2

13.（2020?江蘇）已知y=/（x）是奇函數，當定0時，則八一8）的值是.

【答案】一4

2

【解析】/（—8）=-/（8）=—83=4

14.已知定義在R上的函數於）滿足式x+2）=一/，當無e（0,2］時，段）=2x+l,則近2020）+八2021）的值為

14

【答案】y

【解析】??VU+2）=一為

.dx+4）=一看=〃），

.??函數人x）的周期為7=4.

又當xe（0,2］時，人龍）=2x+l,

?7/U)=3,丸2)=5,44)=

=一予

114

；瓜2020)+X202