南海外國語高級(jí)中學(xué)2023～2024學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)數(shù)學(xué)科一檢考試（全卷150分，考試時(shí)間120分鐘）一、單項(xiàng)選擇題（每題5分，共8題40分）1．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）．A． B． C． D．2．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為（）．A． B．C． D．3．已知平面內(nèi)任意兩個(gè)向量，，則（）．A． B．C． D．4．設(shè)是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下面的四組向量不能構(gòu)成基底的是（）．A．和 B．和C．和 D．和5．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（）．A．2 B． C．或4 D．46．如圖，在平行四邊形ABCD中，M為AB的中點(diǎn)，AC與DM交于點(diǎn)O，則（）．A． B．C． D．7．已知某帆船中心比賽場館區(qū)的海面上每天海浪高度可看作是時(shí)間t（，單位：h）的函數(shù)，記作，經(jīng)長期觀測，的曲線可近似地看成是函數(shù)，下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)：0369121518212421.511.521.50.991.52則最能近似地表示表中數(shù)據(jù)間對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是（）．A． B．C． D．8．O為三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，a，b，c，均為大于1的正實(shí)數(shù)，且滿足，若，，，分別表示，，的面積，則為（）．A． B．C． D．二、多項(xiàng)選擇題（每題6分，共3題18分）9．已知，，則下列結(jié)論正確的是（）．A． B．C． D．10．是邊長為1的等邊三角形，已知向量，，則下列說法中正確的是（）．A． B．C． D．若，則11．如圖，直線，點(diǎn)A是，之間的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)A到，的距離分別為1和2，點(diǎn)B是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作，交直線于點(diǎn)C，G是該平面內(nèi)一點(diǎn)且，則（）．A． B．面積的最小值是C． D．存在最小值三、填空題（每題5分，共3題；第14題第一空2分，第二空3分，合計(jì)15分）12．已知，，，若，則__________．13．已知，，，，則__________．14．如圖，圓O的半徑為2，l為圓O外一條直線，圓心O到直線l的距離，為圓周上一點(diǎn)，且，點(diǎn)P從處開始以2秒g周的速度繞點(diǎn)O在圓周上按逆時(shí)針方向作勻速圓周運(yùn)動(dòng)．①1秒鐘后，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為__________．②t秒鐘后，點(diǎn)P到直線l的距離用t可以表示為__________．四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）15．（本小題13分）已知，且是第二象限角．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．16．（本小題15分）如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，向量，滿足，，且．（1）在圖中，以A為起點(diǎn)作出向量，使得；（2）在（1）的條件下，求．17．（本小題15分）已知、為平面向量，且．（1）若，且，求向量的坐標(biāo)；（2）若，且與垂直，求實(shí)數(shù)k的值．18．（本小題17分）如圖，在四邊形ABCD中，，，，且，．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若M，N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值．19．（本小題17分）隨著私家車的逐漸增多，居民小區(qū)“停車難”問題日益突出．本市某居民小區(qū)為緩解“停車難”問題，擬建造地下停車庫，建筑設(shè)計(jì)師提供了該地下停車庫的入口和進(jìn)入后的直角轉(zhuǎn)彎處的平面設(shè)計(jì)示意圖．圖1 圖2（1）按規(guī)定，地下停車庫坡道口上方要張貼限高標(biāo)志，以便告知停車人車輛能否安全駛?cè)?，為?biāo)明限高，請你根據(jù)該圖1所示數(shù)據(jù)求高度CD的值？（精確到0.1m）（下列數(shù)據(jù)提供參考：，，）（2）在車庫內(nèi)有一條直角拐彎車道，車道的平面圖如圖2所示，車道寬為3米，現(xiàn)有一輛轉(zhuǎn)動(dòng)靈活的小汽車，在其水平截面圖為矩形ABCD，它的寬AD為1.8米，直線CD與直角車道的外壁相交于E、F．①若小汽車卡在直角車道內(nèi)（即A、B分別在PE、PF上，點(diǎn)O在CD上），求水平截面的長？（即AB的長，用表示）②若小汽車水平截面的長為4.4米，問此車是否能順利通過此直角拐彎車道？2023～2024學(xué)年南外高中第二學(xué)期一檢數(shù)學(xué)參考答案和部分解析一、選擇題答案和部分解析：1234567891011CDDDCABAABCACBC2．【解析】解：函數(shù)向右平移個(gè)單位，則所得函數(shù)為．3．【解析】解：若，為共線向量且方向相同，則有，若方向相反，則有．若，不共線，如圖，令，，則，∴．綜上，．4．【解析】解：由于是平面內(nèi)的一個(gè)基底，故，不共線，根據(jù)向量的加減法法則可知和分別為以，為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線，故不共線，和是平行四邊形的一條邊和一條對(duì)角線，故不共線，和不存在實(shí)數(shù)倍數(shù)關(guān)系，故不共線，故A，B，C中向量能構(gòu)成平面的一個(gè)基底，，故和共線，不能構(gòu)成平面的一個(gè)基底，D錯(cuò)誤．5．【解析】解：，，因?yàn)椋?，即，所以?．6．【解析】解：設(shè)，則，因?yàn)镺，D，M三點(diǎn)共線，所以，解得，則，所以．7．【解析】解：根據(jù)所給的表格數(shù)據(jù)，取，可得函數(shù)的周期，∴，又最大值為2，最小值為1，∴，且，解得，，∴函數(shù)的解析式為．8．【解析】解：由，可得，即，因?yàn)?，，，所以，，所以，，記，，則以AD，AE為鄰邊，AO為對(duì)角線做平行四邊形，如圖所示：由平行四邊形可得，，所以，同理可得，，所以．10．【解析】解：因?yàn)?，所以，故A正確；，故B不正確；，故C正確；因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)t，使，所以，解得或，故D不正確．11．【解析】解：設(shè)AB中點(diǎn)為F，連接CF，以D為原點(diǎn)，DB，DE方向分別為x，y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：則，，設(shè)，，，且，所以，，因?yàn)椋?，即，故，即，所以，，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，故，A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，即，所以G，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且G為CF靠近F的三等分點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故B正確；因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故，C正確；因?yàn)?，，所以，因?yàn)榍?，所以，記，，可知在上單調(diào)遞增，沒有最值，即沒有最值，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．二、填空題答案和部分解析：12．【答案】13．【答案】14．【答案】① ②，【解析】解：①1秒鐘后，點(diǎn)P從處開始繞點(diǎn)O在圓周上按逆時(shí)針方向作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)了半周，此時(shí)點(diǎn)P與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為；②由題意，周期為2，則t秒鐘后，旋轉(zhuǎn)角為，則此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，所以點(diǎn)P到直線l的距離為，．故答案為：；②，．三、解答題答案和解析15．解：（Ⅰ）∵，是第二象限角，∴，∴．（Ⅱ）．16．解：（1），以A為起點(diǎn)作出向量，如圖所示．（2）由圖中網(wǎng)格可得：，由，，且，則有．17．解：（1）由，可設(shè)，∴，解得，即或．（2）∵，，∴，，∵與垂直，∴，即，解得．【解析】本題考查了向量坐標(biāo)的加法、減法、數(shù)乘和數(shù)量積的運(yùn)算，根據(jù)向量的坐標(biāo)求模的公式、平行向量的坐標(biāo)表示、垂直向量的數(shù)量積，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．（1）根據(jù)條件可設(shè)，然后根據(jù)，即可求出的值，進(jìn)而可得出向量的坐標(biāo)；（2）可得出，，然后根據(jù)與垂直，得出，然后進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出k的值．18．解：（1）以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，過B且垂直于BC的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，則，，∵，∴．（2）不妨設(shè)，，且，∴，，∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值．【解析】本題考查通過數(shù)形結(jié)合建系法來解決有關(guān)向量運(yùn)算的問題，通過設(shè)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，將表示為關(guān)于x的二次函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求得最值，體現(xiàn)函數(shù)思想．19．解：（1）圖1中：在中，，，，又，則，而，有，在中，，，，則，結(jié)合實(shí)際意義，四舍五入會(huì)使車輛卡住，可以使用去尾法，則，所以限定高度CD的值約為2.8m．（2）①圖2中：依題意，則，，，，又，設(shè)，，．②由①知，設(shè)，則，，，則轉(zhuǎn)化為，而，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上是減函數(shù)，于是得當(dāng)，即時(shí)，，所以小