線性代數(shù)高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分一元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用第一節(jié)微分中值定理第二節(jié)洛必達(dá)法則第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值第四節(jié)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)第五節(jié)函數(shù)圖形的描繪第六節(jié)泰勒公式一元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用一、羅爾中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理第一節(jié)微分中值定理第一節(jié)微分中值定理

導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中具有廣泛的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)可以求解未定式的極限問題；利用導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的基本性態(tài)、函數(shù)圖形的特征；利用導(dǎo)數(shù)可以解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問題.

微分中值定理是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間上整體性質(zhì)的有力工具和橋梁，微分中值定理主要包括羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理。

幾何特征：若曲線弧為[a,b]上連續(xù)弧段,在(a,b)內(nèi)曲線弧上每點(diǎn)都有不平行于y軸的切線,且曲線弧段在兩個(gè)端點(diǎn)處的縱坐標(biāo)相同,那么在曲線弧段上至少有一點(diǎn),過該點(diǎn)的切線必定平行于x軸.

圖形觀察：設(shè)光滑曲線弧AB，將弦AB平行移動(dòng)，在曲線弧AB間存在點(diǎn)C，使直線與曲線在點(diǎn)C處相切，且切線為水平.xabyy=f(x)ξABC一、羅爾定理

羅爾定理設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),(3)f(a)=f(b),

說明：(1)羅爾定理的條件是充分條件,但不是必要條件.也就是說,定理的結(jié)論成立,函數(shù)未必滿足定理中的三個(gè)條件.即定理的逆命題不成立.

例在[0,3]上不滿足羅爾定理的條件但是存在使.(2)羅爾定理的三個(gè)條件缺少其中任何一個(gè)條件定理將不成立.在下列函數(shù)中都有羅爾定理的一個(gè)條件不滿足,相應(yīng)的羅爾定理結(jié)論不成立.原點(diǎn)處不可導(dǎo)端點(diǎn)處值不等端點(diǎn)處不連續(xù)例顯然多項(xiàng)式函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且連續(xù)可導(dǎo).滿足羅爾定理?xiàng)l件y-55x例證

于是，存在使得二、拉格朗日定理

圖形觀察：設(shè)光滑曲線弧AB，將弦AB平行移動(dòng)，在曲線弧AB間存在點(diǎn)C，使直線與曲線在點(diǎn)C處相切，且切線平行于弦AB.byaξＯy=f(x)ξ

幾何特征：如果在[a,b]上的連續(xù)曲線,除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線,那么在曲線弧上至少有一點(diǎn)使曲線在該點(diǎn)處的切線平行于過曲線弧兩端點(diǎn)的弦線.也即有相同的斜率.

定理設(shè)函數(shù)f(x)滿足:在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則至少存在一點(diǎn)使得

分析

由拉格朗日定理的幾何特征可知,若在定理中增加條件f(a)=f(b),則化為羅爾定理.因此,如果能由f(x)構(gòu)造一個(gè)新輔助函數(shù)使其在[a,b]上滿足羅爾定理?xiàng)l件,且由此能導(dǎo)出拉格朗日定理結(jié)論,則問題可解決.

考慮到拉格朗日定理結(jié)論的幾何特征是在曲線弧上至少有一點(diǎn)使曲線在該點(diǎn)處的切線平行于過曲線弧兩端點(diǎn)的弦線.即在該點(diǎn)曲線的切線斜率與弦線的斜率相等.也即在該點(diǎn)曲線與弦線的導(dǎo)數(shù)相等或二者之差導(dǎo)數(shù)為零.輔助函數(shù)的構(gòu)造：byaξＯy=f(x)ξ弦線的方程為作輔助函數(shù)

的幾何意義為：曲線的縱坐標(biāo)與曲線弧兩端點(diǎn)連線對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)之差.則有也即byaξＯy=f(x)ξ證

令由于f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).因此在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).且由羅爾定理知,至少存在一點(diǎn)使即或?qū)懗?/p>

因此又稱拉格朗日中值定理為有限增量定理.

如果f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在以為端點(diǎn)的區(qū)間上f(x)也滿足拉格朗日中值定理，即其中為之間的點(diǎn).也可以記為或證對(duì)于(a,b)內(nèi)任意點(diǎn)由拉格朗日定理得故有f(x1)=f(x2).推論1

若則由推論1可知f(x)－g(x)=C證明由已知條件及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得即f(x)=g(x)+C.推論2

若則例試證證設(shè)f(x)=arctanx,(a<b).可知必定存在一點(diǎn),使得顯然arctanx在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件.由于，因此例當(dāng)x>0時(shí),試證不等式

證明取f(t)=ln(1+t),則f(t)=ln(1+t)在區(qū)間[0,x]上滿足拉格朗日中值定理,因此必有一點(diǎn)使得說明本例中若令y=lnt,a=1,b=1+x,亦可利用拉格朗日中值定理證明所給不等式.這表明證明不等式時(shí),f(x)與[a,b]的選取不是唯一的.即進(jìn)而知例證明證

內(nèi)可導(dǎo)，且三、柯西中值定理

定理設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)滿足：在閉區(qū)間[a,b]上都連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)都可導(dǎo),在開區(qū)間(a,b)內(nèi),且則至少存在一點(diǎn)使得yf(a)t=ξＯf(b)

若在拉格朗日定理的幾何背景中曲線由參數(shù)方程表述由參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)公式可推出下述柯西定理.推廣特例中值定理之間關(guān)系

在柯西定理中,若取g(x)=x,則得到拉格朗日定理.因此柯西定理可以看成是拉格朗日定理的推廣.

在拉格朗日定理中,若取f(a)=f(b),則得到羅爾定理.因此拉格朗日定理可以看成是羅爾定理的推廣.羅爾定理拉格朗日定理柯西定理推廣特例

拉格朗日

Joseph-LoouisLagrange(1736-1813)

拉格朗日法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家、天文學(xué)家.拉格朗日在中學(xué)時(shí)代就感興趣與數(shù)學(xué)與天文學(xué)，曾以自學(xué)方式鉆研數(shù)學(xué)，成績斐然.19歲被聘為教授，23歲被選為柏林科學(xué)院院士，30歲任柏林科學(xué)院主席.他在數(shù)學(xué)、力學(xué)、天文學(xué)等領(lǐng)域都取得了輝煌成就.一元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用一、洛必達(dá)法則與型未定式二、拉格朗日中值定理第二節(jié)洛必達(dá)法則

確定未定式的極限是求極限的主要類型．常見的未定式主要有：在同一極限過程下第二節(jié)洛必達(dá)法則由無窮小的商和無窮大的商形成的型未定式；由無窮小與無窮大的積形成的型未定式；由無窮大與無窮大的差形成的型未定式；由無窮小與無窮大之間的冪形成的型未定式.

如何來求解這些未定式的極限？法國數(shù)學(xué)家洛比達(dá)給出了解決這些未定式極限的最有力工具——洛比達(dá)法則.定理(洛比達(dá)法則)

若f(x)和g(x)滿足下列條件：那么

證由于討論的是函數(shù)在點(diǎn)的極限，而極限與函數(shù)在點(diǎn)的值無關(guān)，所以補(bǔ)充與在的定義．令，則與在點(diǎn)連續(xù)．在附近任取一點(diǎn)x，并應(yīng)用柯西中值定理，得所以那么定理(洛比達(dá)法則)

若f(x)和g(x)滿足下列條件：對(duì)于型未定式極限也有類似的求極限法則

說明:(1)對(duì)于求未定型極限的洛比達(dá)法則,不僅適用于極限過程,對(duì)于極限過程只要定理的條件作相應(yīng)的修改,定理的結(jié)論仍成立.

(2)在使用洛比達(dá)法則求極限時(shí),判別是否為未定型是使用法則求極限的前提.若法則使用后仍為未定型,則法則可以重復(fù)使用.例求極限極限為未定型,由洛必達(dá)法則有解例極限為未定型,由洛必達(dá)法則有解例解極限為未定型,由洛必達(dá)法則有例解例解例解極限為未定型,由洛必達(dá)法則有例求極限解極限為未定型,連續(xù)洛必達(dá)法則有由等價(jià)無窮小代換,得例解所給極限為型，由洛必達(dá)法則得因?yàn)橐部捎傻葍r(jià)代換求此極限例求極限解先用無窮小等價(jià)代換化簡，再用洛必達(dá)法則得（等價(jià)代換化簡）（洛必達(dá)法則）（運(yùn)算法則）使用洛比達(dá)法則應(yīng)注意的問題：1.使用前必須判別是否為未定式.2.使用中要注意化簡，以及將極限存在的因式進(jìn)行必要的分離.3.使用中要注意與重要極限、無窮小等價(jià)代換等其他求極限方法結(jié)合使用.4.使用后對(duì)極限不存在情形（除外），以及難于確定極限，應(yīng)另尋其他解決方法.說明：若型或型極限中含有非零因子,應(yīng)單獨(dú)求極限而不要參與洛必達(dá)法則運(yùn)算,可以簡化極限運(yùn)算.例為型,由洛必達(dá)法則有解所以例證明存在但不能用洛必達(dá)法則求解解因?yàn)樗裕o極限存在．但由洛必達(dá)法則該極限不存在，于是所給極限不能用洛必達(dá)法則求出對(duì)于型可將其化為型或型未定型.二、其它未定式的極限為型未定型.

若,則稱例解若對(duì)于型可將其化為型或型未定型.例解

（3）對(duì)于由產(chǎn)生的未定型,可以通過取對(duì)數(shù)將其化為未定型.例解所求極限為型未定式，所以例解所求極限為型未定式，所以一元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用一、函數(shù)的單調(diào)性判別二、函數(shù)的極值第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值

問題導(dǎo)言：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的最基本特性.在作函數(shù)的圖形時(shí),必須要掌握函數(shù)的單調(diào)性.如何判別函數(shù)的單調(diào)性？導(dǎo)數(shù)給出了判別函數(shù)單調(diào)性的簡單方法.函數(shù)的極值是函數(shù)的一個(gè)重要特征，它與函數(shù)的最大值與最小值密切相關(guān)，也是引發(fā)導(dǎo)數(shù)概念產(chǎn)生的一類重要問題．利用導(dǎo)數(shù)可以方便的確定函數(shù)的極大值與極小值.單調(diào)增加曲線上各點(diǎn)處的切線斜率非負(fù),即.

如果函數(shù)f(x)在某區(qū)間上單調(diào)增加,則它的圖形是隨x的增大而上升的曲線.xyoy=f(x)一、函數(shù)的單調(diào)性xyoy=f(x)觀察導(dǎo)數(shù)符號(hào)

如果函數(shù)f(x)在某區(qū)間上單調(diào)減少，則它的圖形是隨x的增大而下降的曲線.單調(diào)減少曲線上各點(diǎn)處的切線斜率非正，即.xyoy=f(x)xyoy=f(x)觀察導(dǎo)數(shù)符號(hào)由此可以歸納出函數(shù)單調(diào)性判定定理定理設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).則(1)若在(a,b)內(nèi),則f(x)在[a,b]上單調(diào)增加.(2)若在(a,b)內(nèi),則f(x)在[a,b]上單調(diào)減少.

證明在[a,b]上任取兩點(diǎn),因f(x)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo).由拉格朗日中值定理可知

說明：（1）將定理中閉區(qū)間[a,b]改為開區(qū)間、半開區(qū)間或換為無窮區(qū)間仍然有相仿的結(jié)論.

單調(diào)區(qū)間：具有單調(diào)性的區(qū)間稱為單調(diào)區(qū)間.

（2）定理中的導(dǎo)數(shù)符號(hào)條件（或）改成（或）但等號(hào)只在有限個(gè)點(diǎn)成立，定理的結(jié)論依然成立.

確定單調(diào)區(qū)間的關(guān)鍵是找出單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn).xoyab

問題：函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)具有哪些特征？函數(shù)單調(diào)區(qū)間分界點(diǎn)及其特征分析

函數(shù)單調(diào)區(qū)間分界點(diǎn)可能在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)處取得.導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱為駐點(diǎn).xoy觀察分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)為零點(diǎn)

思考：導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)是否一定為單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)？未必.y圖形觀察y導(dǎo)數(shù)為零點(diǎn)xo

結(jié)論：若連續(xù)函數(shù)在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)異號(hào)則該點(diǎn)為單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn).xo確定函數(shù)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間的一般步驟(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求出使

f

(x)=0和

f

(x)

不存在的點(diǎn),并以這些點(diǎn)為分界點(diǎn),將定義域分為若干個(gè)子區(qū)間；(3)確定

f

(x)在各個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號(hào),從而判定出f(x)的單調(diào)性.(4)根據(jù)函數(shù)

f(x)的單調(diào)性寫出單調(diào)區(qū)間.所以，函數(shù)在(1,2)內(nèi)單調(diào)增加.函數(shù)在及內(nèi)單調(diào)減少.例解2xyO例解例解y+0－不存在+0－10－１x在單調(diào)減少.函數(shù)在單增；

觀察函數(shù)在導(dǎo)數(shù)為零點(diǎn)周圍函數(shù)值大小變化情況.二、函數(shù)的極值導(dǎo)數(shù)為零點(diǎn)附近函數(shù)值或比該點(diǎn)值小或比該點(diǎn)值大.xy5-5定義設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義,如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于x0的x都有(1)成立,則稱為f(x)的極大值，稱為f(x)的極大值點(diǎn)；(2)成立,則稱為f(x)的極小值，稱為f(x)的極小值點(diǎn).極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).

問題：函數(shù)的極值點(diǎn)在哪些點(diǎn)處取得？如何判別函數(shù)的極值？函數(shù)極值點(diǎn)及其特征分析

結(jié)論1：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)在取得極值處的切線是水平的，即極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零.

由此可得如下極值的必要條件.圖形觀察xoy導(dǎo)數(shù)為零導(dǎo)數(shù)為零導(dǎo)數(shù)為零

定理(極值的必要條件)

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)且x0為f(x)的極值點(diǎn)，則證只證是極大值的情形，由存在知

注意：(1)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn).但是需要注意,函數(shù)的駐點(diǎn)并不一定是函數(shù)的極值點(diǎn).(2)有些函數(shù)的不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是其極值點(diǎn).xoyxyo

問題：如何判別函數(shù)的駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)是否為函數(shù)的極值點(diǎn)？函數(shù)極值點(diǎn)特征分析

結(jié)論：若在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)異號(hào)，則該點(diǎn)為極值點(diǎn).

即有如下極值判別法1.圖形觀察xoy導(dǎo)數(shù)為零導(dǎo)數(shù)為零導(dǎo)數(shù)為零

定理(判定極值的第一充分條件)

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù),且在x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)(點(diǎn)x0可除外).如果在該鄰域內(nèi)

如果f(x)在x0的兩側(cè)保持相同符號(hào),則x0不是f(x)的極值點(diǎn).當(dāng)時(shí),f(x)單調(diào)增加，當(dāng)時(shí),f(x)單調(diào)減少，因此可知x0為f(x)的極大值點(diǎn).證明(1)由函數(shù)單調(diào)性的判別定理可知，(2)可以類似（1）進(jìn)行證明.xoyxoyxoyxf(x)+極大__極小+±非極值±圖形特征xyxoyxoy極值第一判別法圖表當(dāng)時(shí),在(0,0)處取得極小值.

定理(判定極值的第二充分條件)

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且則

定理結(jié)論可由函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證.當(dāng)時(shí),在(0,0)處取得極大值.xoy(3)極值的判別判別法1：判定每個(gè)駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào),依判定定理1判定是否為f(x)的極值點(diǎn).判別法2：判別駐點(diǎn)處的符號(hào).

求函數(shù)極值的步驟：所以，函數(shù)的極大值為,極小值為例所給的函數(shù)定義域?yàn)?解法１極小值極大值y+0－0+３(1,3)1x例所給的函數(shù)定義域?yàn)?解法２可知x=0為y的極小值點(diǎn),極小值為0.例所給的函數(shù)定義域?yàn)?解非極值極小0y+0+0–1(0,1)0x例所給的函數(shù)定義域?yàn)?解–(0,1)極小值01極大值０極小值y+不存在+0–0(–1,0)–1x三、利用單調(diào)性與極值證明不等式(2)利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)判別函數(shù)F(x)單調(diào)性或極值；(3)利用單調(diào)性或極值的概念說明不等式的成立.用單調(diào)性證明用極值證明例證例證方法一方法二一元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用一、曲線凹凸性與拐點(diǎn)的定義二、曲線凹凸性的判別第四節(jié)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

函數(shù)圖形向上彎曲（曲線為凹的），函數(shù)圖形向下彎曲（曲線為凸的）.

問題導(dǎo)言：為了描繪函數(shù)的圖形，僅知道函數(shù)的增減性和極值是不夠的．還要了解曲線的彎曲方向.第四節(jié)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

如函數(shù)與都是上單調(diào)增加函數(shù)，但它們的圖形彎曲方向卻有明顯的差異.1xy

問題：對(duì)曲線的彎曲方向，即曲線的凹凸性進(jìn)行研究是必要的.

問題觀察：觀察曲線的彎曲方向與區(qū)間內(nèi)點(diǎn)的函數(shù)值之間的關(guān)系.曲線弧為凹的曲線弧為凸的

定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)，如果對(duì)I上任意兩點(diǎn)

幾何特征是凹曲線位于弦線下側(cè)，凸曲線位于弦線的上側(cè).

問題觀察：觀察曲線的凹凸方向與曲線的切線間的位置關(guān)系.xyoy=f(x)xyoy=f(x)凹曲線在切線的上側(cè)，隨著x的增大，切線斜率隨之增大，即凸曲線在切線的下側(cè)，隨著x的增大，切線斜率隨之增大，即

定理(曲線凹凸性的判定法)

設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo).若在(a,b)內(nèi),則曲線弧y=f(x)在[a,b]

上為凹的.(2)若在(a,b)內(nèi),則曲線弧y=f(x)在[a,b]

上為凸的.

定理結(jié)論可由函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證.當(dāng)時(shí),曲線為凹的.當(dāng)時(shí),曲線為凸的.所給曲線在內(nèi)為連續(xù)曲線弧.由于解故

在內(nèi)為凹的.例判定曲線弧

的凹凸性.判定曲線弧的凹凸性.當(dāng)x<0時(shí)，,可知為凸的.當(dāng)x>0時(shí)，,可知為凹的.例所給曲線在內(nèi)為連續(xù)曲線弧.由于解在此,原點(diǎn)(0,0)為曲線弧凹凸區(qū)間的分界點(diǎn).xyo

若曲線在區(qū)間內(nèi)具有凹凸性，區(qū)間稱為凹凸區(qū)間曲線上凹與凸區(qū)間的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)．

定義設(shè)曲線在點(diǎn)處有穿過曲線的切線，且在切點(diǎn)兩側(cè)近旁曲線的凹向不同，這時(shí)稱點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)．

對(duì)于具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)而言，由曲線的凹向判別條件知，拐點(diǎn)的兩則二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)相異，由此可得

定理（拐點(diǎn)存在的必要條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，若點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)，則xyo

例求曲線弧的拐點(diǎn).當(dāng)x<0時(shí)，,曲線為凸的.從而知點(diǎn)(0,0)為曲線弧的拐點(diǎn).解

由此可以看到曲線的拐點(diǎn)可能在二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)以及不可導(dǎo)處取得.xyo求曲線與的拐點(diǎn).當(dāng)x<0時(shí)，,為凸的.當(dāng)x>0時(shí)，,為凹的.例所給曲線在內(nèi)為連續(xù)曲線弧.由于解xyo所以，原點(diǎn)(0,0)為與的拐點(diǎn).當(dāng)x<0時(shí)，,曲線為凸的.當(dāng)x>0時(shí)，,曲線為凹的.

由此可以看到曲線的拐點(diǎn)可能在二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)以及不可導(dǎo)處取得.(1)在f(x)所定義的區(qū)間內(nèi),求出二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn).(2)求出二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).判斷連續(xù)曲線弧拐點(diǎn)的步驟：(3)判定上述點(diǎn)兩側(cè)是否異號(hào).如果兩側(cè)異號(hào)則為曲線弧的y=f(x)的拐點(diǎn).如果兩側(cè)同號(hào)，則非曲線弧y=f(x)的拐點(diǎn).凹+拐點(diǎn)凸拐點(diǎn)凹y0－0+2(1,2)1x討論的凹凸性與拐點(diǎn).例函數(shù)內(nèi)連續(xù).解可知曲線在內(nèi)為凹的.在(1,2)為凸的.拐點(diǎn)為點(diǎn)(1,－3)與點(diǎn)(2,6).討論曲線的凹凸性,并求其拐點(diǎn).例所給函數(shù)內(nèi)為連續(xù)函數(shù).解凹+非拐點(diǎn)凹拐點(diǎn)凸y不存在+0－曲線在為凸的.在內(nèi)為凹的.一元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用一、曲線的漸近線二、函數(shù)作圖的一般步驟第五節(jié)函數(shù)圖形的描繪第五節(jié)函數(shù)圖形的描繪

問題導(dǎo)言：函數(shù)圖形可以直觀地反映出函數(shù)的基本性態(tài)和變化特征.它在數(shù)學(xué)研究和求解實(shí)際問題中無論是對(duì)于定性的分析還是定量的計(jì)算都大有益處.問題是如何準(zhǔn)確地描繪出函數(shù)的圖形？初等數(shù)學(xué)中所使用的描點(diǎn)法雖然可以描繪一些簡單的函數(shù)圖形，但計(jì)算量大、精度低.為此給出函數(shù)圖形描繪的基本作圖方法——微分作圖法.一、漸近線

定義點(diǎn)M沿曲線y=f(x)無限遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，若點(diǎn)M與某定直線L之間的距離趨于零,則稱直線L為曲線y=f(x)的一條漸近線.xyoy=f(x)1.水平漸近線則稱直線y=c為曲線y=f(x)的水平漸近線.2.鉛直漸近線則稱直線為曲線y=f(x)的鉛直漸近線.若xo例解知y=0為曲線的水平漸近線.由可知x=–1,x=3為所給曲線的鉛直漸近線.例所給的函數(shù)的定義域?yàn)榻?/p>

定義

若函數(shù)滿足條件(1)；(2)，則稱為曲線的斜漸近線.

當(dāng)時(shí)，曲線的斜漸近線變?yōu)樗綕u近線.例解故得曲線的漸近線方程為

(1)確定函數(shù)的定義域及函數(shù)所具有的某些特性(連續(xù)性、奇偶性、周期性等)；

(2)求出函數(shù)的和；及其定義域內(nèi)的全部零點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn),用這些點(diǎn)分割定義域?yàn)椴糠謪^(qū)間；二、函數(shù)圖形的描繪（微分法作圖步驟）(3)確定部分區(qū)間內(nèi)和的符號(hào),并由此確定函數(shù)圖形的升降、凹凸、極值點(diǎn)和拐點(diǎn)；(4)

確定函數(shù)圖形漸近線及變化趨勢(shì)；(5)

補(bǔ)充適當(dāng)?shù)狞c(diǎn),然后結(jié)合圖形上述特征描點(diǎn)作圖.例函數(shù)的定義域?yàn)?，?0––0+極小3+(2,3)+

拐點(diǎn)

極大y0––2(1,2)1x函數(shù)的極大值點(diǎn)為(1,2)；極小值點(diǎn)為(3,-2)曲線的拐點(diǎn)為（2，0）.曲線無漸近線.補(bǔ)充點(diǎn)函數(shù)圖形如下：oxy函數(shù)為奇函數(shù)例函數(shù)定義域?yàn)?解知y=0為水平漸近線.由函數(shù)極大值為點(diǎn)(1,1/2)，曲線拐點(diǎn)為––0+凹減+拐點(diǎn)

凸減極大凸增y0–––1(0,1)x由函數(shù)為奇函數(shù)知點(diǎn)(0,0)也為曲線拐點(diǎn).oxy可知y=0為該曲線的水平漸近線.例且為偶函數(shù).

函數(shù)定義域?yàn)?解函數(shù)極大值點(diǎn)（1，1）拐點(diǎn)為拐點(diǎn)+–––0

凹減+

凸減極大y–0xoxy例

函數(shù)定義域?yàn)?解凸增拐點(diǎn)凹增-0++++一元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用第六節(jié)泰勒公式一、多項(xiàng)式代替二、泰勒公式第六節(jié)泰勒公式

導(dǎo)言：在理論分析和實(shí)際計(jì)算中我們經(jīng)常用簡單的函數(shù)近似表示和代替復(fù)雜的函數(shù)，由于多項(xiàng)式函數(shù)是最簡單的一類函數(shù)，它具有任意階導(dǎo)數(shù)，并且運(yùn)算簡單.因此，想到用多項(xiàng)式函數(shù)近似代替復(fù)雜的函數(shù).泰勒公式提供了用多項(xiàng)式函數(shù)代替函數(shù)的一種有效形式.它是拉格朗日中值定理的進(jìn)一步推廣.

幾何意義為:在點(diǎn)的附近用曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線來代替曲線y=f(x).即進(jìn)行線性代替.

線性代替：由微分的概念知道，如果y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則有一、多項(xiàng)式代替

線性代替公式的不足：精度往往不能滿足實(shí)際需要；用它作近似計(jì)算時(shí)無法估計(jì)誤差.

二次多項(xiàng)式代替：以代替函數(shù)，設(shè)f(x)在含

的某區(qū)間(a,b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),為了使與f(x)盡可能接近，應(yīng)使用在點(diǎn)附近來逼近f(x)，可以提高代替精度,為了進(jìn)一步提高精度,需要采取多項(xiàng)式代替.由可得所以來近似表達(dá)函數(shù)f(x),并使得當(dāng)時(shí)，為比高階的無窮小,且能寫出的具體表達(dá)式,以便能估計(jì)誤差.這樣的如何？多項(xiàng)式代替：用簡單的多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行代替.即用

設(shè)f(x)在含

的某區(qū)間(a,b)內(nèi)有n+1階導(dǎo)數(shù),為了使與f(x)盡可能接近，應(yīng)使對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)求導(dǎo)得由此可得所以且有余項(xiàng)

定理（泰勒公式）設(shè)函數(shù)f(x)在含x0的某區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直至n+1階導(dǎo)數(shù),則當(dāng)時(shí)有泰勒展開式

二、泰勒公式

馬克勞林公式若在泰勒公式中令，則有（介于0與x之間）.此展開式稱為馬克勞林公式

.稱為馬克勞林多項(xiàng)式

.稱為余項(xiàng).且有拉格朗日型余項(xiàng).

例設(shè)f(x)=cosx，寫出f(x)在點(diǎn)x=0處的1次、2次、4次、6次泰勒多項(xiàng)式.解由泰勒多項(xiàng)式為

例設(shè)

寫出帶有拉格朗日余項(xiàng)的馬克勞林公式.解由所以，帶有拉格朗日余項(xiàng)的馬克勞林公式為常用的泰勒公式例求極限解將分子分別用馬克勞林公式表示所以一元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用一、函數(shù)的最值二、實(shí)際問題的最值三、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的優(yōu)化問題第七節(jié)優(yōu)化問題第七節(jié)優(yōu)化問題

在實(shí)際問題中經(jīng)常遇到需要解決在一定條件下的“產(chǎn)值最高”、“成本最低”、“效益最大”、“耗時(shí)最小”等問題，這類問題在數(shù)學(xué)上?？梢詺w結(jié)為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值或最小值問題，這里統(tǒng)稱為優(yōu)化問題.

在本節(jié)主要討論函數(shù)的最值問題求解，實(shí)際問題最值的求解，以及經(jīng)濟(jì)學(xué)中典型的優(yōu)化問題。一、函數(shù)的最值

由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值最小值定理可知，如果f(x)在[a,b]上連續(xù),則f(x)在[a,b]上必定能取得最大值與最小值.由圖形可以看出

由此可以看到：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值只能在極值點(diǎn)和端點(diǎn)處取得.在區(qū)間[a,b]上在區(qū)間[a,c]上xoyacb(2)求出f(x)在(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)及其函數(shù)值.(1)求出f(x)在(a,b)內(nèi)的駐點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.(4)比較駐點(diǎn)值、導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)值及端點(diǎn)值大小.求[a,b]上連續(xù)函數(shù)最值的步驟：(3)求出f(x)在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值f(a)和f(b).其中最大的值即為最大值，最小的值即為最小值，相應(yīng)的點(diǎn)為最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn).例由于所給函數(shù)為[–1/2,4]上的連續(xù)函數(shù).解比較各值可得函數(shù)的最值為yOx2（4，17）（2，-3）二、實(shí)際問題的最值

在求解實(shí)際問題最值時(shí)常遇到下述兩種情況：（1）對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)部(不是端點(diǎn)處)如果可以根據(jù)實(shí)際問題的性質(zhì)斷定存在最大值（最小值），且區(qū)間的內(nèi)部有惟一駐點(diǎn)，則可斷定在該駐點(diǎn)取得相應(yīng)的最大值（最小值）．（2）若連續(xù)函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)可能極大值(極小值)點(diǎn)，則可斷定在該點(diǎn)取得相應(yīng)的最大值（最小值）．bxOy=f(x)ya（3）最值的判別：①如果目標(biāo)函數(shù)可導(dǎo),其駐點(diǎn)唯一,且實(shí)際意義表明函數(shù)的最大(小)值存在,那么所求駐點(diǎn)就是函數(shù)的最大(小)值點(diǎn).