2023-2024學(xué)年甘肅省蘭州市蘭州高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、多選題

i.已知是等比數(shù)列，與=2,牝=:，則公比g=（）

8

A.--B.-2C.2D.v

22

【正確答案】AD

【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解

【詳解】由題意可得/="=],解得q或-工

a21622

故選：AD

2.下列說法的正確的是（）

A.直線加x-y+m+2=0（meR）恒過定點(diǎn)（-1,2）

B.經(jīng)過定點(diǎn)尸（0,2）的直線的方程都可以表示為y=6+2

C.經(jīng)過點(diǎn)（0,0）和（0,2）的直線可用截距式方程表示

D.經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)片（%,必）、直線的方程都可以表示為

（。-乂）（工2一再）=（x-xj（於一%）

【正確答案】AD

【分析】對(duì)于A,求出直線/過的定點(diǎn)即可判斷；對(duì)于B,當(dāng)斜率不存在的時(shí)候可判斷：對(duì)

于C,由直線過原點(diǎn)即可判斷；對(duì)于D,結(jié)合兩點(diǎn)式的概念及辨析進(jìn)行分析即可

【詳解】對(duì)于A,由〃a-y+加+2=0（mwR）,得〃?（x+l）-y+2=0,

由解得因此無論機(jī)為何值，直線/恒過定點(diǎn)卜L2）,故正確；

對(duì)于B,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，經(jīng)過定點(diǎn)尸（0,2）的直線的方程不可以表示為y=Ax+2,

故不正確；

對(duì)于C,經(jīng)過原點(diǎn)的直線不可用截距式方程表示，故不正確；

對(duì)于D,3-%）（&-玉）=（x-xj（乃-必）為兩點(diǎn)式的變形，包含與V軸平行或重合的直線,

故正確;

故選：AD

3.加，〃為空間中兩條不重合直線，a為空間中一平面，則下列說法不正確的是()

A.若"ua,則B.若〃？_La,mlln,貝

C.若z?//a,〃ua,則就/”D.若，〃_La,mln,則〃//a

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可判斷AC的正誤，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判

斷BD的正誤.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)機(jī)ua時(shí)，雖有〃?〃"，”ua,但胴〃a不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若mla,則〃?垂直于平面。內(nèi)的任意一條直線，

而機(jī)〃”，故〃垂直于平面a內(nèi)的任意一條直線，故故B正確；

對(duì)于C,若zn//a,“ua,則或機(jī)，”異面，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若，"_Lc,mln,則〃〃a或〃ua,故D錯(cuò)誤.

故選：ACD.

4.已知等差數(shù)列｛凡｝的公差為止前〃項(xiàng)和為S,,,且S4=8,國(guó)=-32,以下命題正確的是

()

A.3的最大值為？B.數(shù)列1鳥4是公差為的等差數(shù)列

2[n)2

C.%是4的倍數(shù)D.55<0

【正確答案】AB

【分析】根據(jù)已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式及性質(zhì)分析各選項(xiàng)即可判斷.

1013

【詳解】由邑=8,國(guó)=-32,得｛/，解得％=?,d=_3,

防+郊，=_322

2

所以q=1￡3不是4的倍數(shù)，故C不正確；

1a1n

所以等差數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式為(=q+(〃-l)d=—+(n-l)x(-3)=-3n^,

(13_19](_8V64

等差數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和為<_〃(4+*)_〃[]3"+五1_31”可+丁

"222

Q

由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)〃取與己最接近的整數(shù)即3時(shí)，S,取最大值為

一，_8丫64

_I3j3_21，故A正確；

~1

號(hào)丫64

'\3J+35,故D不正確;

=——---------------=—>0

22

—=-----------=——〃+8,

n22

所以2^__鼠=（〃+i）+8_/一；〃+8）=一\

〃+1〃|_2」（2/2

所以數(shù)列是公差為-|的等差數(shù)列，故B正確

故選：AB

5.在數(shù)列｛對(duì)｝中，若卬=；,°向=/門，則下列結(jié)論正確的有（）

-的前〃項(xiàng)和；生+〃

A.為等差數(shù)列B.7=3

I。"，22

C.｛對(duì)｝的通項(xiàng)公式為%D.｛%｝的最小值為:

3〃

【正確答案】ABC

【分析】由。向=*7可得一匚=3+工，可得［工］是公差為3的等差數(shù)列，然后利用等

3°”+1%a?［a"

差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可

【詳解】由。的=/「可得'-=現(xiàn)出=3+°,

所以是首項(xiàng)為'=3,公差為3的等差數(shù)列，故A正確；

：=3+3（〃-1）=3〃，1｝｝的前〃項(xiàng)和7；=3〃+*^1<3=；+｝,故B正確;

由，=3〃可得q=二，故C正確；

a.3〃

因?yàn)閝=!，4=）<《，故｛%,｝的最小值不為L(zhǎng)故D錯(cuò)誤；

363

故選：ABC

二、單選題

6.直線3x-y+5=0的斜率為（）

A.—B.3C.—D.—3

33

【正確答案】B

【分析】把直線方程寫成斜截式，從而可求直線的斜率.

【詳解】直線3x-y+5=0的斜截式方程為：y=3x+5,

故該直線的斜率為：3,

故選：B.

7.已知直線/過且與直線x-y-l=O平行，則直線/的方程是（）

A.x+y+3=0B.x-y+3=0C.x-y-3=0D.x+y-3=0

【正確答案】B

【分析】設(shè)直線/：x-y+，〃=O,代入點(diǎn)力（-2,1）可求直線方程.

【詳解】因?yàn)橹本€/與直線x-y-l=O平行，故可設(shè)直線/：x-y+〃?=O,

代入N（-2,l）,故有-2-1+加=0即加=3,

故所求直線的方程為：x-y+3=0,

故選：B

8.在下列四個(gè)正方體中，能得出15_LCD的是（）

【正確答案】A

【分析】由線面垂直的性質(zhì)可判斷A,根據(jù)異面直線所成角的計(jì)算可判斷BCD.

【詳解】對(duì)A,如圖，連接BE,則在正方體中，CD1BE,又4EL平面BCED,C￡>u平

面8c￡7）,則ZE_LC￡>,/Ec8E=E,\.平面48E,月8u平面NBE,，CDJ_,

故A正確;

對(duì)B,如圖，連接NE,易得CD〃4E,則NB/E為異面直線N8,cr）所成角，NB4E=6Q"，

故CO不垂直，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,如圖，CD//BE,則為異面直線48,CD所成角，易得N4BE=45",故居,CD

不垂直，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,如圖，CD//BE,則/Z8E為異面直線/民8所成角，顯然N/8EH90"，故4B,CD

不垂直，故D錯(cuò)誤.

R

故選：A.

9.記等差數(shù)列｛4“｝的前〃項(xiàng)和為S,,若%=5,牝+%=20,則九=()

A.34B.35C.68D.75

【正確答案】D

【分析】由題意出+為=20,進(jìn)而可得2%=20,而'。=乂乂肢+小),代入即可得答案.

【詳解】%=5,又%+%=20,根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)得2a8=20,得私=10,

則又產(chǎn)103+&)=75,

2

故選：D.

10.已知等比數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S,，且5$=3,九=9,貝焰5=()

A.20B.21C.22D.23

【正確答案】B

【分析】根據(jù)等比數(shù)列片段和的性質(zhì)可求&的值.

【詳解】因?yàn)椋啊埃秊榈缺葦?shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“，

故S"品，-邑，品-5為等比數(shù)列,故3,6,$-9為等比數(shù)列,

故3(￡$-9)=36,故&=21,

故選：B.

11.已知棱長(zhǎng)為1的正方體的所有頂點(diǎn)均在一個(gè)球的球面上，則該球的表面積是()

A.兀B.2兀C.3花D.4兀

【正確答案】C

【分析】利用正方體外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線，即可求解.

【詳解】棱長(zhǎng)為1的正方體，其體對(duì)角線長(zhǎng)為6,

而正方體的外接球直徑即為正方體的體對(duì)角線，

故外接球半徑為正，

2

該球的表面積為S=4nR2=47tx-3兀

故選：C

12.如圖，在直三棱柱中，。為44的中點(diǎn)，AB=BC=BB]=1,AC=4S,

則異面直線8。與/C所成的角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【正確答案】C

【分析】取4G的中點(diǎn)E,易得NBDE（或其補(bǔ)角）為異面直線8。與NC所成的角，根據(jù)

直棱柱的性質(zhì)結(jié)合條件即得.

【詳解】如圖，取4G的中點(diǎn)E,連接則/C//4G//QE,

B

所以N8DE（或其補(bǔ)角）即為異面直線8。與NC所成的角,

由題可知===岑，DE=；AC=4,

所以/3?！?60。，

故選：C.

三、填空題

S3〃2

13.已知數(shù)列他,｝均為等差數(shù)列，且其前〃項(xiàng)和分別為S.和/；.若?=票「則

2=

瓦-------

13

【正確答案】—

【分析】根據(jù)等差數(shù)列中等差中項(xiàng)的性質(zhì)，將所求的?=乎等，再由等差數(shù)列的求和公式,

b.b.+公

轉(zhuǎn)化為戲，從而得到答案.

’5

【詳解】因?yàn)閿?shù)列㈤｝、也｝均為等差數(shù)列，且是=1^,

5(q+%)

所以&=%=婦"=__2_=&=_15-2=13

“2b3b1+b$53+々)7；10+111

2

14.如果直線(a-l)x+S+l)y+4=0與直線x+(a-l)y-l=0互相垂直，則”的值等于

【正確答案】1或-2

【分析】由直線垂直的條件列方程(a-l)xl+(a+l)(a-l)=0求解即可.

【詳解】因?yàn)橹本€(a-l)x+(a+l)y+4=0與直線x+(a-l)y-l=0互相垂直,

所以(a-l)xl+(a+l)(a-l)=0,解得：a=l或0=一2

故1或-2

15.在正四棱錐P-Z8CZ)中，AB=\,PA=2,則該四棱錐的體積是.

【正確答案】叵

6

【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)可得正四棱錐的高，然后根據(jù)體積公式即得.

【詳解】過點(diǎn)P作尸。工平面N8C。，則。為正方形/8C。的中心，連接4C,8。，易知

ACBD=O.

所以?！斑擞秩?,

所以CP=JP/2_“=

則四棱錐P-ABCD的體積r=--^S2-OP=-xl2x’14='I，.

3326

故答案為.巫

6

16.已知直線/過4(-2,-3),且在兩坐標(biāo)軸上的截距為相反數(shù)，那么直線/的方程是

【正確答案】3x-2y=0或x-y-1=0

【分析】分直線過原點(diǎn)、不過原點(diǎn)討論即可

【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線為卜=云，此時(shí)在兩坐標(biāo)軸上的截距為0,滿足題意，

將點(diǎn)彳(-2,-3)代入得：-3=h(-2),解得左得，

3

所以此時(shí)直線方程為y=即3x-2y=0

當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線為土+2=1,

a-a

將點(diǎn)/(-2,-3)代入得：—+—=1^?=1

a-a

所以此時(shí)直線方程為J+4=lnx-yT=0；

1—1

綜上，直線/的方程是3工一2歹二0或工一丁一1=0

故3x-2y=0或x-y-1=0

四、解答題

17.已知直線/過點(diǎn)蟲-1,2).

(1)若直線/與直線y=1x-3垂直，求直線/的方程；

4

(2)若直線/的一個(gè)方向向量為(1,2),求直線/的方程.

【正確答案】(l)y=-4x-2

⑵y=2x+4

【分析】(1)根據(jù)直線垂直可設(shè)直線/方程，將A點(diǎn)代入求出參數(shù)即可：

(2)根據(jù)直線方向向量的性質(zhì)，結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)因?yàn)橹本€/與直線垂直，故設(shè)直線/方程為y=-4x+b,

4

因?yàn)橹本€/過點(diǎn)/(-1,2),所以2=-4x(-1)+6,解得b=-2,

所以直線/方程為V=-4x-2.

(2)因?yàn)橹本€/的一個(gè)方向向量為(1,2),

所以直線/的斜率％="=2,

又直線/過點(diǎn)/(-L2),

所以直線/方程為N-2=2(x+l),整理得y=2x+4.

18.記E,為等差數(shù)列｛見｝的前"項(xiàng)和，已知％=-4,5,=-9.

(1)求｛““｝的通項(xiàng)公式；

(2)求S,,并求S”的最小值.

【正確答案】(1)?！?〃-5

(2)-10

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和，與等差數(shù)列的性質(zhì)求出生的值，然后根據(jù)通項(xiàng)公

式求出公差d,就能求通項(xiàng)公式.

(2)根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求出前n項(xiàng)和再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值.

【詳解】(1)E,為等差數(shù)列｛““｝的前〃項(xiàng)和

所以邑=3(q+aJ=壬幺=3al=-9

22

所以利=-3,又因?yàn)閝=-4

所以=d,:.d=1

所以=q+=-4+1二〃-5

⑵〃(4+用)〃(-4+〃-5)I/…?〃、1)-9Y為81

又因?yàn)椤╳N*,所以當(dāng)〃=4或〃=5時(shí)S〃有最小值，

最小值為$4=；(不-4x9)=-10

S”的最小值為-10

19.如圖，正方體ABCD-AIBIGDI的棱長(zhǎng)為2.

(I)證明：ACJ_BiD；

(ID求三棱錐C-BDBi的體積.

4

【正確答案】⑴詳見解析；(ID3.

【詳解】試題分析：⑴要證明線線垂直，可以先證明線面垂直，然后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定

理，得到線線垂直，所以先證明-平面(n)根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化，?儂曳='%箍里

試題解析：⑴證明：工18cD-.d/CQi是正方體,

BB：-平面

vACU平面.4CD

.浴?L.齡

?.?底面.二8為正方形

：.AC^BD

“"金7'"忘演=E

----4。—平面

BD二平面BD8]

AAC^BXD

(H)解：瓦="1-初：4

BB--平面."CD

83：是三棱錐的高

.“.I=—1x-1x…2x2…x.=—4

323

1.線面垂直的判定定理；2.幾何體的高.

20.已知等差數(shù)列單調(diào)遞增，其前〃項(xiàng)和為S,,,%=5,其中4，%，45成等比數(shù)列?

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)，=!，也｝的前〃項(xiàng)和記為7；,求證：T?<2.

【正確答案】⑴%=〃

(2)證明見解析

【分析】(1)由已知條件列出關(guān)于公差的方程求解即可得到通項(xiàng)公式;

(2)由(1)求得E,得到6,,,利用裂項(xiàng)求和法求出7；即可證明.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛對(duì)｝的公差為認(rèn)

因?yàn)閝,%,%5成等比數(shù)列，%=5,

所以產(chǎn)="陶,即］25=q(%+24d)

%=51%+4d=5

z\d=｝/、

因?yàn)榈炔顢?shù)列｛““｝單調(diào)遞增，解得所以?！?1+(〃-1)」=〃

[a\=1

(2)由(1)知：S=na——“(!=△———

"A122

則"$=一7F2(二一

Stl+\n77+17

土“，，，Jl11111、/1

所以\=a+a+=27—h——=21——

<1223n〃+1)(n+1

21.已知直線/經(jīng)過兩條直線x+2y-5=0和3x-y-l=0的交點(diǎn).

(1)若直線/與直線x-2y-l=0平行，求直線/的方程；

⑵若直線/與直線x-2y-l=0垂直，求直線/的方程.

【正確答案】(l)x-2y+3=0；

(2)2x+y-4=0.

【分析】(1)先求兩條直線的交點(diǎn)得0,2),再利用直線平行設(shè)/的方程為

x—2y+G=0(G*T),把(1,2)代入方程即得;

(2)由直線垂直設(shè)直線/的方程為2x+y+g=0,把(1,2)代入方程即得.

,+2y-5=0fx=1

【詳解】(1)(1)由1,可得,，

[3x-y-\=0[丁=2

即直線x+2y-5=0和3x-y-l=0的交點(diǎn)為(1,2),

因?yàn)橹本€/平行于直線x-2y-l=0,

可設(shè)直線/的方程為x-2y+C=0(GI),

把點(diǎn)(1,2)代入方程得1-2x2+G=0,解得G=3,

所以直線/的方程為x-2y+3=0；

(2)設(shè)直線/的方程為2x+y+C2=0,

把點(diǎn)(1，2)代入方程得2+2+C2=0，解得G=-4,

所以直線/的方程為2x+y-4=0.

22.如圖，已知在四棱錐尸-月8CD中，PA=AD=PD=2,NB4D=NCDA=90°,AB=2CD,

CD1PA,E,F分別為棱PB,RI的中點(diǎn).

⑴求證：平面尸.平面￡7*C；

(2)若直線PC與平面PAD所成的角為45°,求四棱錐P-Z8C。的體積.

【正確答案】(1)見解析；

(2)2石

【分