青島二中2022-2023學(xué)年第一學(xué)期期中考試一一高二試題（數(shù)學(xué)）

第I卷（共60分）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若直線2x+（"?+l）y_2=0與直線的+3y—2=0垂直，則

的值是（）.

33

A--B.-3C.2或一3D.-

55

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)兩直線垂直，則44+旦&=0計(jì)算即可.

【詳解】解：因?yàn)橹本€2x+（〃z+l）y-2=0與直線3+3y—2=0垂直，

3

所以2"z+3（〃z+l）=0,解得加=-j.

故選：A.

2.已知空間向量4=（-1,2,力，8=（3,-6,—3）,且ab,則x=（）

A.9B.-1C.1D.-9

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量共線的充要條件即可求解.

【詳解】因?yàn)榭臻g向量a=（T,2,x）,6=（3,—6,—3）,且ab,

-\2x

所以一，解得：x=l,

3-6-3

故選：C.

3.直線/過(guò)點(diǎn)B（4,-3）,且在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍，則該直線的斜率是（）.

413-13fl

A.--B.--C.-或---D.---或---

324242

【答案】D

【解析】

【分析】分過(guò)直線原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)的兩類情況作討論即可求解.

3

【詳解】若直線/過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則匕=-二,此時(shí)橫縱截距都等于0,滿足題意；

若直線I不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線I的方程為—+^=1,

2bb

因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)8（4,—3）,所以白+1=1，解得b=-\,

所以直線方程為x+2y+2=0,此時(shí)用=一；，

故選:D.

4.已知ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓］+丁=1上，頂點(diǎn)4是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC

邊上，則的周長(zhǎng)是（）.

A.273B.6C.4GD.12

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題設(shè)條件求出橢圓的長(zhǎng)半軸，再借助橢圓定義即可作答.

【詳解】由橢圓猴+丁=1知，該橢圓的長(zhǎng)半軸”=3,

A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)另一焦點(diǎn)為尸，而點(diǎn)F在BC邊上，點(diǎn)、B,C又在橢圓上,

由橢圓定義得|剛+忸目=2a,|CF|+|C4|=2a,

所以ABC的周長(zhǎng)/=|/@+怛C|+|C利=|A4+怛E|+|CE|+|C4|=4a=12

故選：D.

5.直線/：自一y—l-2A=0（A：GR）與圓C：/+y2=5的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)或2個(gè)

【答案】D

【解析】

【分析】求直線過(guò)的定點(diǎn)，再判斷直線與圓位置關(guān)系，

［詳解］l:kx-y-l-2/c=0（kGR）^）k（x-2）-y-l=0,

故/過(guò)定點(diǎn)(2,T),在圓/+y2=5上，

故直線/與圓相切或相交，公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)或2個(gè)，

故選:D

6.已知大小為60。二面角二一/一萬(wàn)棱上有兩點(diǎn)A，8,ACua,AC_U,BOu/7,若AC=3,

【答案】C

【解析】

【分析】過(guò)A作AE//8O且AE=BD，連接CE、DE，易得NC4￡=60°,通過(guò)線面垂直的判定定理

可得￡D_L平面A￡C,繼而得到ED_LEC,即可求出答案.

【詳解】解：過(guò)A作AE//BD且AE=B。，連接C￡、DE，

則四邊形ABOE是平行四邊形，則AB=E￡>=2J16

因?yàn)榘?gt;1A5,所以平行四邊形ABOE是矩形，

因?yàn)?。，/,即A￡_L/,而AC_L/,

則NC4￡是二面角a—/—/?的平面角，即NC4E=60°,

因?yàn)?D=AE=AC=3,即AMCE為正三角形，所以CE=3,

因?yàn)椤闐1.AE，/_LAC即EDL4C,AEr>AC=A,AE，ACu平面AEC,

所以￡￡>，平面MC,因?yàn)镋Cu平面A￡C,所以EDLEC,

所以在RL.E0。中，CD=dCE?+ED2=廂f+3?=7

故選：C.

7.唐代詩(shī)人李頑的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)

有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題一一“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回

軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)闋t+丁44,若將軍從點(diǎn)A（3,l）

處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=5,并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”

的最短總路程為（）.

A.710-2B.275-2c.MD.2指

【答案】B

【解析】

【分析】利用點(diǎn)關(guān)于直線的找到最短距離，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可求得.

【詳解】由已知得A（3,l）關(guān)于直線x+y=5的對(duì)稱點(diǎn)為A（a,h）,

AA中點(diǎn)坐標(biāo)為（苫等），且直線AA斜率為1

4+3/7+1

----------1----------=5

22

所以《解得a=4,b=2即A'(4,2)

T=1

Q—3

圓心0（0,0）,可知|。4[=2行，則最短總路程為|。4[一片2石-2

故選：B

8.已知F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若存在直線y="與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，且NAFB=60。，則橢圓離心

率的取值范圍是（).

D.Y

A.B.

2

（例(47制

【答案】A

【解析】

【分析】由橢圓的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，可得NW120。，在三角形中有余弦定理及均

值不等式可得離心率的取值范圍.

【詳解】解：連接A,B與左右焦點(diǎn)F，尸的連線，

由NAF6=60°,由橢圓及直線的對(duì)稱性可得四邊形AEBE'為平行四邊形，ZFAF'=120°,

在三角形AFF'中，F(xiàn)F'2=AF2+AF'2-2AF-AF'cosZFAF'=(AF+AF')2-AF-AF',

AP4-Ap'a

所以'、桁際,（丁-）、即］（”+立）2,,巾，當(dāng)且僅當(dāng).二A廠時(shí)等號(hào)成立,

又直線y=履的斜率存在，故AFwAF',

即3.4〃2<4,2,可得e=￡>

4a~、2，

所以橢圓的離心率ee,1.

2

7

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.已知空間中三點(diǎn)A（2』,—l）,5（1,0,2）,C（0,3,-l）,則（）.

A.M=vnB.AB±AC

C.ciC=DM,B,C三點(diǎn)共線

19

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)向量的模的坐標(biāo)表示即可判斷A；判斷AB-AC=O是否成立即可判斷B；根據(jù)

cosZABC=^A'.BC.

網(wǎng)陽(yáng)即可判斷C：判斷向量AB,AC是否共線即可判斷D.

【詳解】解：AB=（-1,-1,3）,則朋=11+1+9=布，故A正確;

/IC=(-2,2,0),則A8.AC=2—2+0=0,所以AB1AC，故B正確;

BABC-1+3+9_J209

BC=(T,3,-3),胡=(1,1,一3),則cosNABC=

BA\BC\~19'故,正確;

因?yàn)锳3=(-1,-1,3),AC=(-2,2,0),—,所以向量A3,不共線，則4,B,C三點(diǎn)不共線，故

—22

D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

10.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。一A4G9中，E、F、G分別為8C,CJ,的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)

正確的是().

A.BD1AF

B.直線AG與所所成角的余弦值為叵

10

C.三棱錐G—AEP的體積為！

3

D.存在實(shí)數(shù);I、〃使得4G=%4F+"AE

【答案】ABD

【解析】

【分析】以力為原點(diǎn)，D4,0C,OA為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)判斷

即可.

【詳解】解：如圖，以。為原點(diǎn)，。4。。,。。為乂％2軸建立空間直角坐標(biāo)系

則4（2,0,0）,8（2,2,0）,C（0,2,0）,D（0,0,0）,A,（2,0,2）,4（2,2,2）,C,（0,2,2）,"（0,0,2）,

￡（1,2,0）,尸（0,2,1）,G（2,2,l）

對(duì)于A,80=(—2,—2,0),4尸=(—2,2,1),所以A尸=4一4+0=0，則3D_LAF，故A正確;

AGEf__1__VTo

所以cos4G,E7?=

對(duì)于B,4G=(O,2,-l),￡F=(-1,0,1),同:@V5xV210,

因此，直線AG與上戶所成角的余弦值為嚕，故B正確;

對(duì)于C,又E4=(l,—2,0),跖=(—1,0,1),設(shè)平面A口的法向量為“=(x,y,z),

EA-n^Ox-2y=0

則〈=><'八，令y=l,則〃=(2,1,2),又AG=(O,2/),

EF?〃二0—X+Z=()

AGn\

則點(diǎn)G(2,2,1)到平面AEF的距離d=4

同3

““EAEF-1V10則sinEA,EF=^^~

又中，cosE46=印研=反記，

1()

所以s.AEF=gI?IE尸I?sinNAEF=gX逐X夜XT,

11342

故％-4EF=§S花尸=§,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)锳。=(—2,0,2),EF=(-1,0,1),所以ADi=2EF,則ADJ/EF,則AR,四點(diǎn)共面,

又AG=(0,2,—1),D,F=(O,2,-l),所以AG=￡＞尸，則AGAfAE共面,

即存在實(shí)數(shù)2、〃使得46=九4/+"4月，故D正確；

故選：ABD.

11.已知eC:x?+y2-2x-4y+l=0與eG：/+V+2x-3=0相交于4,B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的

是().

A.直線AB的方程為x+y—l=0

B.過(guò)A,8兩點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(1,1)的圓的方程為f+y2—x+y-2=0

C.0G與：C的公切線的長(zhǎng)度為2道

D.以線段AB為直徑的圓的方程為f+(y—i)2=2

【答案】AD

【解析】

【分析】由圓與圓的位置關(guān)系，直線方程，圓的方程對(duì)選項(xiàng)逐一判斷,

x：+「f+l=O解得］x=lx=-l

【詳解】由《或《

%-+y~+2x-3=0）二0一

即A(1,O),8(—1,2),

對(duì)于A,直線AB的方程為X+y-l=O,故A正確，

對(duì)于B,設(shè)過(guò)A,B兩點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（1,1）的圓的方程d+V+^+ey+f=0,

l+J+/=0[d=l

得＜1+4—d+2e+/=0,解得＜e=-1,

]+\+d+e+f=Q[/=-2

圓的方程為尤2+y2+x—y—2=0,故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,」G的圓心為“（1,2）,半徑為2，0G的圓心為N（-l,0）,半徑為2,

兩圓半徑相等，則”G與CG的公切線的長(zhǎng)度為1仰|=2應(yīng)，故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,AB中點(diǎn)為（0,1），\AB\=242,則以線段AB為直徑的圓的方程為f=2,

故選：AD

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，方程丁+3=2對(duì)應(yīng)的曲線為E,貝1」（）.

A.曲線E是封閉圖形，其圍成的面積小于8J5

B.曲線￡關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

C.曲線E上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為0

D.曲線E上的點(diǎn)到直線x+y=4距離的最小值為亞

8

【答案】AB

【解析】

【分析】對(duì)于選項(xiàng)B結(jié)合中心對(duì)稱的概念即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C,設(shè)曲線E上任意一點(diǎn)為（x,y）,結(jié)合兩點(diǎn)

間的距離公式化簡(jiǎn)整理即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)D,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)A,求出與

直線x+y=4平行且與曲線y=-f+2相切的直線方程，再根據(jù)曲線E的對(duì)稱性求出此直線與坐標(biāo)軸圍

成圖形的面積結(jié)合圖形即可得解.

【詳解】解：當(dāng)y〉0時(shí);y=—Y+2,

當(dāng)y<0時(shí)，y=x2-2,

當(dāng)y=°B寸，x=±v2，

由此作出曲線E的圖象，其中

對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)辄c(diǎn)(-%>),點(diǎn)(％->)均滿足方程，則可得到曲線E關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，所以選項(xiàng)B正

確；

對(duì)于選項(xiàng)C,設(shè)曲線E上任意一點(diǎn)為(x,y),則其到原點(diǎn)的距離的平方為9+y2,且

222

x+y=2-\y\+y=2-\y\+\yf=^\y\-^j

當(dāng)且僅當(dāng)|y|=；時(shí)取等號(hào)，

所以曲線E上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為無(wú)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

2

對(duì)于選項(xiàng)D,由圖可知曲線E上到直線x+y=4距離最小的點(diǎn)位于第一象限，

此時(shí)y>0,則y=+2,

曲線E上任意一點(diǎn)為(x,y),

則其到直線x+y=4距離\x+y-4\X+X2-2+4C2J+470，

當(dāng)且僅當(dāng)■時(shí)，取等號(hào)，

2

所以曲線E上的點(diǎn)到直線x+y=4距離的最小值為述，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

8

對(duì)于選項(xiàng)A,設(shè)與直線x+>=4平行且與曲線y=-x2+2相切的直線方程為x+y+m=O,

x+y+m=O

聯(lián)立〈2c，消y得——+工+加+2=0,

y=-xi+2

9

則A=l+4（m+2）=0,解得4-

9-0

所以所求直線方程為x+y—-

49

9X=

令x=0,則>=-,令y=0,4-

4

由曲線E的對(duì)稱性可得,

(*

0,--四點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形的四條邊與曲線E相切,

I4J

19981r

這個(gè)正方形的面積為4x—x'x—=—<11<8&,

2448

所以曲線E是封閉圖形，其圍成的面積小于8&，故A正確.

故選：AB.

第n卷(共90分)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知，498的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(4,0),0(0,0),5(0,3),則A08的外接圓的方程為.

325

【答案】(x—2)~+(y—

【解析】

【分析】由AQ3為直角三角形，確定斜邊上中點(diǎn)坐標(biāo)并求外接圓半徑，即可寫(xiě)出AQ3的外接圓的方程.

【詳解】由題設(shè)易知：A08為直角三角形，故外接圓圓心是斜邊的中點(diǎn)，而NAO5=90。，

所以斜邊為AB，則外接圓圓心為(2,3),故r=四匚="，

244

綜上，AQB的外接圓的方程為(％-2)2+。一］)2=彳.

3c75

故答案為：(x—2)2+(y——)~=—

14.在平面直角坐標(biāo)系中，直線工一根y+2=0與曲線y=Ji_%2有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)〃z的取值范圍是

【答案】m>y/3

【解析】

【分析】由題知直線過(guò)定點(diǎn)A（-2,0）,曲線表示半圓，作出圖像，數(shù)形結(jié)合即可求得答案.

【詳解】解：直線x—，町葉2=0過(guò)定點(diǎn)4（一2,0）,曲線y=加_雪是圓心為。半徑為1的上半圓,B（l,0）

為右頂點(diǎn)，如圖所示，其中點(diǎn)C為直線與曲線相切時(shí)的切點(diǎn)

由圖可知，直線x—my+2=0與曲線了=，1一%2有公共點(diǎn)時(shí),直線的斜率上滿足心

____|2|

當(dāng)直線x-my+2=0與曲線y=相切時(shí),圓心0（0,0）到直線的距離號(hào)鼻=1,解得機(jī)=—

V1+m~

或加=百，

則直線x—沖+2=0的斜率％=一@或左=@,由圖可得上>0,所以左=立,

333

于是有0WZWB,即04立,解得：m>V3

3m3

故答案為：加NJ].

15.過(guò)點(diǎn)（、萬(wàn)，-G）,且與橢圓言+/=1有相同的焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是,

22

【答案】工+匕=1

204

【解析】

【分析】設(shè)與已知橢圓焦點(diǎn)相同的橢圓的方程,將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得參數(shù)的值，求出橢圓的方程.

【詳解】解：由題意設(shè)橢圓的方程為一一+上=1,0<Z<9,

25-A9-2

53

將點(diǎn)（6,-百）代入,-----+-----1,

25-/19-2

整理可得：22-262+105=0-

解得;1=5或;1=21（舍），

22

所以橢圓的方程為：±+2-=1,

204

2

故答案為：工尤2+匕V=1.

204

16.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)4,8距離之比；1（丸＞0,；1。1）是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是

一個(gè)圓心在直線以AB上的圓，該圓簡(jiǎn)稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問(wèn)題：在棱長(zhǎng)為1的正方體

ABC。-44GA中，點(diǎn)尸是正方體的表面ADDM（包括邊界）上的動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)尸滿足Q4=2FD，則

點(diǎn)尸所形成的阿氏圓的半徑為：三棱錐。一AC。體積的最大值是

阿波羅尼奧斯

【答案】①.±②.拽

39

【解析】

【分析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x,y）,利用Q4=2PD，求出點(diǎn)P的軌

跡方程，即可得到點(diǎn)尸所形成的阿氏圓的半徑；求出。鳥(niǎo)即為三棱錐AC。最大的高，然后利用三棱錐

的體積公式求解即可.

【詳解】解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

AB

則4(2,0),0(0,0),設(shè)P(x,y),

因?yàn)镼4=2PD，所以J(x—2>+V=2+y,

整理得(x+|>+y2=(g)2,

4

；?點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑為一；

3

則當(dāng)P到距離最大時(shí)，三棱錐P—ACD的體積最大，

結(jié)合圖形可知當(dāng)P在。。上，即。鳥(niǎo)為三棱錐P—ACD最大的高，

"3-0爐=牌號(hào)|『=竽

則三棱錐P-ACD體積的最大值是-xSxDR=-x-x2x2x^-=記.

33239

故答案為：土；州.

39

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.如圖，在O4B中，P為邊A8上的一點(diǎn)BP=2PA，|。4=6，|。@=2且Q4與OB的夾角為60°.

UUUUUUL1U

(1)設(shè)OP=xO4+yO3，求x，的值;

⑵求OPAB值.

,2162

【r答案】(i)x=；,y-~!(2)一--.

333

【解析】

【分析】(1)由向量的加減運(yùn)算，可得。尸=0B+BP=08+g84=06+1(Q4-08),進(jìn)而可得答案.

(2)用0A06表示OPAB，利用向量數(shù)量積公式，即可求得結(jié)果.

2

【詳解】⑴因?yàn)?P=224,所以8P=§BA.

--2.2/-\2?1

OP=OB+BP=OB+-BA=OB+-(OA-OB]=-OA+-OB.

33、'33

又OP=xOA-xOB，

一一21

又因?yàn)椤?、0B不共線，所以，尤=§，y=-

⑵結(jié)合⑴可得：

OPAB=^OA+^OB^(OB-OA^.

22-21-21

=-OAOB——OA+-OB——OAOB

3333

2

=LOAOB--O^+-OB,

333

因?yàn)榫W(wǎng)=6,阿|=2,且Q4與08的夾角為60。.

所以。248=''6乂2'!-2'62+,、22=_阿.

32333

【點(diǎn)睛】本題考查了向量的加減運(yùn)算、平面向量基本定理、向量的數(shù)量積運(yùn)算等基本數(shù)學(xué)知識(shí)，考查了運(yùn)

算求解能力和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題目.

18.已知直線4:2x-y+l=0和4：x-y-2=0的交點(diǎn)為P.

(1)若直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與直線4：4x-3y—5=0平行，求直線/的方程；

(2)若直線〃?經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與無(wú)軸，y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，P為線段A8的中點(diǎn)，求AOAB的面積.(其中。

為坐標(biāo)原點(diǎn)).

【答案】⑴4x-3y-3=0

(2)30

【解析】

【分析】(1)聯(lián)立直線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線平行，明確斜率，由點(diǎn)斜式方程可得答案；

(2)由點(diǎn)斜式方程，設(shè)出直線方程，求得A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得斜率，根據(jù)三角形面積

公式，可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

2r-y+l=OI^=-3,

由〈c八，求得《廠，可得直線4和,2的交點(diǎn)為P（-3,-5）.

x-y-2=0[y=-5

44

由于直線k的斜率為§，故過(guò)點(diǎn)P且與直線4平行的直線I的方程為y+5=§（x+3）,

即4x-3y-3=0.

【小問(wèn)2詳解】

由題知：設(shè)直線機(jī)的斜率為人伏。0）,則直線膽的方程為y+5=Z（x+3）,

故A（工-3,0）3（0,3左一5）,且二=_3,且^^=一5,求得％=：=一3,

故A（-6,0）、5（0,-10）.

故,“OAB的面積為工?Q4-05='x6xl0=30.

22

19.如圖，在四棱錐P—ABCD中，NA3C=N84D=90.

（1）若AO=26C，M為PO的中點(diǎn)，求證：MC〃平面RW；

（2）若二Q4￡>是邊長(zhǎng)為3的正三角形，平面Q4￡>_L平面ABCO,直線與平面A6CO所成角的正切值為

殛，且A6=6C,求四棱錐P—ABC。的體積.

5

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵亞

2

【解析】

【分析】（1）?。ブ悬c(diǎn)N,連接NM,證明四邊形BCW為平行四邊形，可得出MC//NB,利用線面平

行的判定定理可證得結(jié)論成立；

⑵取AZ）中點(diǎn)0,連。8、OP,推導(dǎo)出平面ABC。，可得出NP8。為直線P8與平面A6C。所

成的角，根據(jù)已知條件可求得A6、8C的長(zhǎng)，利用錐體的體積公式可求得四棱錐P-A6CD的體積.

【小問(wèn)1詳解】

證明：取F4中點(diǎn)N,連接NM,

因?yàn)镹、M分別為24、PD中點(diǎn)，所以，MNHAD豆MN==AD,

2

在底面A3CD中，因?yàn)镹BA￡>=NA8C=90,且AT>=2BC,則BC7/AD且8C='A。,

因此BC〃MN且BC=MN,從而四邊形BCMN是平行四邊形，所以MC//NB.

又因?yàn)镹Bu平面Q4B，用?！銎矫鍽48,所以MC〃平面P43.

【小問(wèn)2詳解】

解：取中點(diǎn)。，連。8、OP.

因?yàn)橐粐\）是正三角形，。為A。中點(diǎn)，所以PO_LA￡>,

因?yàn)槠矫鍽4DJ_平面ABCD,面QADc平面A3CD=A。，POu平面PA￡>,

所以PO工平面ABCD,從而NPBO為直線PB與平面A3C。所成的角.

在正三角形P4O中，因?yàn)锳O=3,所以po=@AO=±叵.

則在直角，P8O中，tanZPBO=—=^，所以。8=2.

OB52

直角中，A8?=082—OR?=1|=4,

所以AB=2,因此3C=AB=2.

四邊形ABC。的面積S=；(8C+AD)xA8=；(2+3)x2=5.

又因?yàn)镻0=2叵，所以四棱錐P—ABC。的體積V=1xSxPO=1x5x士叵=拽.

23322

Y-3

20.如圖，點(diǎn)A是橢圓C:*+方=l(a>b>0)的短軸位于/軸下方的端點(diǎn)，過(guò)A作斜率為5的直線/交

橢圓于點(diǎn)8,若點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,￡,且滿足3尸〃x軸，ABAP=—.

(1)求橢圓C的方程；

(2)橢圓C的左頂點(diǎn)為。，左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)例為橢圓上任意一點(diǎn)，求的取值范圍.

22

【答案】(1)土+匯=1

43

⑵[-12,0]

【解析】

-27

[分析](1)由己知求得A的坐標(biāo)，得到直線方程，求出P,B的坐標(biāo),得到AB,AP的坐標(biāo)，由AB?AP=—,

4

求得方，得到8的坐標(biāo)，把B的坐標(biāo)代入橢圓方程求得。，則橢圓方程可求；

.2..2

⑵由橢圓方程得尸(-1,0),。(一2,0),設(shè)"(%,九)，則會(huì)+為二=1.按坐標(biāo)運(yùn)算得DM.ME可轉(zhuǎn)換

為關(guān)于％的二次函數(shù)，由-24/42,即可得OM.M尸的取值范圍?

【小問(wèn)1詳解】

解：由題意得4(0,一份，/的方程為y=|x—b,由則,李為野

27

..AB=----1—/?,---Fh,AP=0,----Fh,由ABAP=—,即

33224

T,即力=5'B百，又8在橢圓上，得

，所求橢圓方程工+工=1;

43

【小問(wèn)2詳解】

22

解：由橢圓方程得c=后丁=1，則打一1,0),D(-2,0),設(shè)〃(々，%)，則會(huì)+血=1

所以巾=3-苧，且—24/42,

則DM-MF=(A：0+2,j0)?(-1-x0,-j^0)=-x：-3x()-2-y；=---3J;0-5=-—(X0+6)+4

由于-24%42,所以。12,0],即0M.M尸的取值范圍為[-12,0].

21.已知圓C:(x-l)2+(y_l)2=2.

(1)若直線/過(guò)點(diǎn)A(段,()]且被圓C截得的弦長(zhǎng)為近，求直線/的方程；

127

(2)若直線/過(guò)點(diǎn)3(3,0)與圓C相交于p,。兩點(diǎn)，求-CPQ的面積的最大值，并求此時(shí)直線/的方程；

(3)若點(diǎn)M是直線x=3上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為S,T，求證：直線ST過(guò)

定點(diǎn).

3

【答案】(l)x=二或6x+8y—9=0

2

(2)尸0或4%+3y-12=0

(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】(1)討論直線方程斜率不存在時(shí)，根據(jù)直線與圓相交弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)，檢驗(yàn)是否符合；直線斜率存

在時(shí)，設(shè)直線方程，根據(jù)直線與圓相交弦長(zhǎng)公式，求出參數(shù)的值，即得直線的方程；

(2)設(shè)直線的方程，求出圓心到直線的距離d，進(jìn)而求出弦長(zhǎng)|PQ|的表達(dá)式，代入面積公式中，由二次函

數(shù)的最值求出其最大值，進(jìn)而求出參數(shù)的值，求得直線的方程；

(3)設(shè)點(diǎn)M(3j),MS2=MC2-r2^t2-2t+3,可得以M為圓心，MS為半徑的圓的方程，則線段ST為

該圓與圓C相交形成的相交弦，兩圓方程作差可得直線ST的方程，即可求得直線過(guò)定點(diǎn).

【小問(wèn)1詳解】

解：圓C:(x—l)2+(y—l)2=2,圓心C?！?，半徑尸=血

31

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，/的方程為：x=5,此時(shí)圓心c(l,l)到直線的距離d=5,

則相交弦長(zhǎng)為2J產(chǎn)一/=2,2—\=五,符合題意;

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)/的方程為：y=kx-|,即2Ax-2y-3Z=0

此時(shí)圓心C(/L1、)到直線的距離"=\lk-2-=?)l<\昌|%+2|’則相交弦長(zhǎng)為

3

2,產(chǎn)一福=212-fjMrV7，解得：k——

34k2+4,4

39

所以此時(shí)直線/的方程為：一2x—2y+'=0,即6x+8y-9=0.

2-4

3

綜上，直線/的方程為》=二或6x+8y—9=0.

2

【小問(wèn)2詳解】

解：B在圓外，顯然直線的斜率存在,

歸—-從_|2左+1|

設(shè)直線的方程為：>=左(%一3),則圓心到直線的距離d

Jl+421+公

所以弦長(zhǎng)|PQ|=2/2-9=2,2-儲(chǔ),

所以S.CPQ=；|PQ|?d=J2d2V4,

|2后+1|4

當(dāng)儲(chǔ)=1時(shí)S最大，即d=l,即)-=1,解得左=0或攵=一一,

Jl+公3

S&CPQ的最大值為1,

所以直線/的方程為：y=0或4x+3y—12=0.

【小問(wèn)3詳解】

解：如圖，連接CS,CT,MC

以“為圓心，MS為半徑的圓的方程為（x—3）2+（y—f）2=『-2/+3①

又（x—1尸+（y_If=2②，則線段ST為兩圓相交弦，

故由①②得2]+?—1）丁一3一/=0為直線57的方程，