2023-2024學年重慶市北暗區(qū)高一上冊期末數(shù)學試題

一、單選題

1.已知全集U=R,A={Λ∣-1≤X<2},則①A=()

A.{x∣x<-l}B.{x∣x<T或xN2}

C.{x∣x≥2}D.{x∣x≤-l∏gx>2)

【正確答案】B

【分析】根據(jù)補集的定義計算可得.

【詳解】解：因為全集U=R,A={x∣-l≤x<2},

所以gA={x∣x<T或x≥2}.

故選：B

2.若XeR,則“x=-l”是“(x+l)(x—2)=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】解：由(x+l)(x-2)=0,解得X=T或X=2,

所以由X=-I推得出(x+D(x-2)=0,故充分性成立，

由(x+D(x-2)=0推不出戶-1,故必要性不成立，

所以是“(x+D(x-2)=0”的充分不必要條件.

故選：A

3.若Sina=-∣,α為第四象限角，則COSa的值為()

433

A.—B.--C.-d

555?I

【正確答案】D

【分析】直接利用平方關(guān)系即可得解.

3

【詳解】解：因為Sina=-1,α為第四象限角，

所以cosa=Vl-sin2α=?∣.

故選：D.

4.已知累函數(shù)/(x)=(W-加-I)Xf在(0,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞減，則機=()

A.-2B.-1C.1D.2

【正確答案】D

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義和單調(diào)性進行求解即可.

【詳解】由題意，塞函數(shù)IX)=(*-Zn-DX5,可得病-機-1=1,

即加2—〃？一2=0,解得機=2或機=-1,

當，77=2時，函數(shù)/(x)=χT,可得函數(shù)“X)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，符合題意；

當"，=-1時，函數(shù)/O)=/,可得函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，不符合題意.

故選：D

5函數(shù)F(X)=IglXITd/的零點個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【正確答案】C

【分析】轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=ig∣χ∣和函數(shù)y=∣f-2∣的交點個數(shù),數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)果.

【詳解】本題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=∣g∣χ∣和函數(shù)y=∣f-2∣的交點個數(shù),做出兩個函數(shù)的圖像,如圖,

根據(jù)圖像可得兩個函數(shù)交點的個數(shù)為4個,所以函數(shù)/(χ)=IglXITf-彳的零點個數(shù)為4個.

故選：c.

6.若α=e°s,b=0.8c,c=lnθ.8,則b,C的人小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

【正確答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.

【詳解】因為e°8>e°=l,O<O,8e<O.8o=l.ln0.8<lnl≈0,

所以c<b<4,

故選：C

7.若α,p都是銳角，且CoSa=延，Sin(C-夕)=?，則cos/?=()

A.也B?也C.一電或一變D.旦或顯

210210210

【正確答案】A

【分析】由平方關(guān)系求得Sinα,cos(α-/?),然后由兩角差的余弦公式計算.

【詳解】a,4都是銳角，則一]<α-/

則由題意得cos(α-6)=JI-嚕-=嚶，又Sina=Jl-凈=竽，

Ar/mi//?、」?，。、石3y∕W2[5√10&

cosp=cos∣∕z-(α-p)J=cosacos(α-p)+smcrsm(/?-p)=-?×?θ-+—y^―X-??-=-

故選：A.

8.已知Q0,y>0,且x+2y=4,則(l+x)(l+2y)的最大值為()

A.36B.4C.16D.9

【正確答案】D

【分析】根據(jù)題意得到(l+x)+(l+2y)=6,進而通過基本不等式求得答案.

【詳解】由題意，(l+x)+(l+2>0=6,l÷x>l,l÷2y>l,所以

(l+x)(l+2y)≤'+”("A=9,當且僅當l+x=l+2yn｛；］；時取"=".

故選：D.

二、多選題

9.若。<。<0,則下列不等式一定成立的是()

11

A?|。|>網(wǎng)B?a2>abC?~>TD.------>—

aba-ba

【正確答案】ABC

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷.

【詳解】a<b<O^-a>-b>O^?a?>?h?fA正確；

a<b<O=>a2>ah>B正確；

a<b<0=--<—-,即一>丁，C正確；

ababCtb

“<6<0時，與b的大小關(guān)系不確定，因此」γ>L不一定成立，D錯誤.

a-ba

故選：ABC.

10.下列命題中的真命題是()

r+

A.VxeR,2'>0B.3?∈R,InΛ0<1

C./(x)=X與g(x)=JF是相同函數(shù)D./(x)=x+J的最小值為2

【正確答案】AB

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷A；根據(jù)對數(shù)函數(shù)運算取特殊值判斷B：根據(jù)函數(shù)概念判斷

C；根據(jù)函數(shù)定義域與值域判斷D即可.

【詳解】解：對于A,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知2川>0對任意的x∈R恒成立，所以A為真

命題；

對于B,當Xo=IWR時.，則InXO=InI=O<1,故B為真命題；

對于C,函數(shù)/(x)=X的定義域為R,函數(shù)g(x)=4Γ=W的定義域為R,但兩個函數(shù)的對

應關(guān)系不同，所以不是相同函數(shù)，故C為假命題；

對于D,函數(shù)f(x)=x+J的定義域為(T,0)U(0,M),所以/(T)=-2<2,故f(χ)=χ+/

的最小值不為2,故D為假命題.

故選：AB.

11.若將函數(shù)/(x)=cos[2x+∣]的圖象向右平移,個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，

則下列說法正確的是()

A.g(x)的最小正周期為兀B.g(x)在上單調(diào)遞減

C.Xq不是函數(shù)g(x)圖象的對稱軸D?g(x)在一株上的最小值為一;

【正確答案】ACD

【分析】利用函數(shù)圖象平移變換的特點，結(jié)合余弦函數(shù)的周期公式、單調(diào)性、對稱軸及最值

逐項判斷即可求解.?

【詳解】將函數(shù)〃x)=cos(2x+與)的圖象向右平移巳個單位長度，得到函數(shù)g(x)

g(x)=cos2fx-^+y=cos(2x+1)的圖象，

對A,g(x)的最小正周期為7=4=%故A正確；

對B,當Xe0,|時，2x+∣∈py時，故g(x)在0,j匕有增有減，故B錯誤；

對C,g[-?)?eos^?+^I=COSy=O,故X=V不是g(x)圖象的一條對稱軸，故C正

確；

對D,當Xe-?,?時，2x+ge°，多，且當2x+[="，即X=F時，g(x)取最小值為

663L3J336

故選：ACD.

12.已知定義在R上的函數(shù)/(χ),若函數(shù)y=∕(χ+l)的圖象關(guān)于點(-1,0)對稱，且函數(shù)

/(x)=∣2,T-2+*'關(guān)于X的方程f(x)-2時(x)=2OneR)有〃個不同的實數(shù)解，

則"的所有可能的值為()

A.2B.3C.4D.6

【正確答案】ABC

【分析】由題意可得函數(shù)/(x)關(guān)于原點對稱，令f=∕(x)可得產(chǎn)-2,加-2=0,利用判別式

和韋達定理分析該方程根的分布,結(jié)合函數(shù)〃x)的圖象,分類討論判斷4=∕(x)和。2=/(6

的根的個數(shù).

【詳解】若函數(shù)y=?f(χ+l)的圖象關(guān)于點(TO)對稱，則函數(shù)“X)關(guān)于原點對稱，

對于方程尸(X)-2W(X)=2,令f=∕(x)可得戶一2皿=2,即產(chǎn)一2〃?-2=0,

V?=4∕n2+8>0.則》一2皿=2有兩個不相等的實根,不妨設G

又?.?%=-2<0,即:<0<),則有：

當0j<l時，則4<-2,如圖1,可得4=”力有且僅有一個實根，>2="可有3個不相

等的實根,

故關(guān)于X的方程∕2(X)-2""X)=2("2∈R)有4個不同的實數(shù)解;

當L=I時，則4=-2,如圖2,可得％=〃力有且僅有一個實根，有2個不相等

的實根，

故關(guān)于X的方程「(司-2時(X)=2(∕MGR)有3個不同的實數(shù)解；

當1氣<2時，則-2J<-1,如圖3,可得力=/(力、t2=∕(x)均只有一個實根，

故關(guān)于X的方程產(chǎn)(力-2〃”力=2(〃7€均有2個不同的實數(shù)解；

當弓=2時，則4=-1,如圖4,可得:=∕(x)有2個不相等的實根，f2="x)有且僅有一

個實根,

故關(guān)于X的方程r(x)-2時(X)=2(∕MGR)有3個不同的實數(shù)解;

當，2>2時，貝卜1J<O,如圖5,可得[="x)有3個不相等的實根，L=∕(x)有且僅有

一個實根，

故關(guān)于X的方程∕2(x)-2何?(x)=2WWR)有4個不同的實數(shù)解；

綜上所述：關(guān)于X的方程尸(X)-2時(X)=2(,∕eR)的實數(shù)解的個數(shù)有2或3或4.

故A、B、C正確，D錯誤.

故選：ABC.

三、填空題

13.計算：sin15ocos15°=.

【正確答案】1##0.25

4

【分析】利用二倍角正弦公式計算可得.

【詳解】解.sinl5θcosl5o=Lsin(2xl5o)='sin3()o=LχL=L

2''2224

故T

4

14.已知函數(shù)/(x),g(x)分別由下表給出，則g[∕(2)]=.

X123

/(?)131

g(x)321

【正確答案】1

【分析】運用找入法直接求解即可.

【詳解】由表可得g[∕(2)]=g(3)=l,

故1

15.在東方設計中存在著一個名為“白銀比例”的理念，這個比例為0:1，它在東方文化中

的重要程度不亞于西方文化中的“黃金分割比例”，傳達出一種獨特的東方審美觀.如圖，假

設扇子是從一個圓面剪下的，扇形的面積為R,圓面剩余部分的面積為邑，當今=√∑時,

扇面較為美觀.那么按“白銀比例'制作折扇時.，扇子圓心角的弧度數(shù)為.

【正確答案】2(√2-l)π

【分析】設扇子圓心角為α,則圓面剩余部分的圓心角為2π-α,圓的半徑為，根據(jù)扇形

的面積公式得到方程，解得即可.

【詳解】解：設扇子圓心角為a,則圓面剩余部分的圓心角為2π-α,圓的半徑為小

2

則S∣=gα∕,S2=^(2π-ɑ)r,

Si(2π-ɑ)r2

因為U=及，即J-------=近,即2τr-α=0α,

?i1-2

故2"-l)π

四、雙空題

16.已知定義在R上的運算“軟'：x0y=x(l-y),關(guān)于X的不等式(X-α)<2>(x+a)>0.若

a=l,則不等式的解集為;若VXWO,2］不等式恒成立，則實數(shù)”的取值范圍是

【正確答案】(0,1)；(2,+∞)(-∞,-l)

【分析】空一：根據(jù)題中定義，結(jié)合一元二次不等式的解法進行求解即可；

空二：根據(jù)題中定義，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.

【詳解】空一'：當α=l時，(x—α)(S(X+α)>01)區(qū)(x+1)>0≡≠*(%—1)(1—%—1)>0

=X(X—1)VonoVXV1,所以不等式的解集為(0,1)；

空二：由(X-Q)乳x+o)>0n(x-a)(l-x-α)>0=χ2-XVa(〃一1),

當XqO,2］時，/(χ)=χ2T=(X,該二次函數(shù)的對稱軸為X=；,

所以/(x)gχ="2)=2,

要想不等式恒成立只需2<α(a-l)=>α>2,或,

所以實數(shù)”的取值范圍是(2,y)(-∞,-D,

故(0,1)；(2,+∞)(F-I)

五、解答題

17.已知集合A={x∣2'≤8},B={X∣2<X≤5}.

⑴求ACB；

(2)若集合C={x∣0<x4o},且BUC,求實數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】(l){x∣2<x≤3}

(2)[5,-HΛ)

【分析】（1）首先解指數(shù)不等式求出集合A,再根據(jù)交集的定義計算可得；

（2）根據(jù)BaC可得即可得解.

【詳解】（1）解：由2*≤8,即2”23,解得x≤3,所以A=k∣2'≤8}={x∣x≤3},

XB={x∣2<x≤5},所以Ar8={x∣2<xW3};

（2）解：因為B={x∣2<x≤5},C={x∣O<x≤α},且BaC,

所以4≥5,即實數(shù)。的取值范圍為［5,+∞）.

18.計算：

(2)logs35+21ogI√2-Iog5--Iog514.

23U

【正確答案】(l)g；

⑵2.

【分析】（1）根據(jù)指數(shù)'幕的運算公式進行求解即可;

（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)進行求解即可.

3,44

=----1-----1—

299

——1?

2，

(2)log535+21ogl√2-log5^--log514

2?l)

=Iog535-2Iog2Λ∕2+Iog550-Iog514

=Iog5(35×50÷14)-Iog22

=Iog5125-1

=3-1

=2.

Γc2

19.在條件：①2sin(2022%一α)=cos(20221+a)；②Sina+cosa=;③SinaCOSa=-W

中任選一個，補充在下面的題目中，并求解.

已知α∈（0∕）,且滿足條件.

八、43Sina+4COSa…上

⑴求--------：——的值;

CoSa-Slna

⑵若夕€砥，乃,且COS尸=一等，求α+6的值.

【正確答案】（1）任選①②③，I

⑵任選①②③，?

【分析】（1）選①由誘導公式得，代入求值式化簡即得；選②，結(jié)合平方關(guān)系求得Sine,cosα,

然后代入求值，選③，解法同選②;

（2）選①，利用（1）及平方關(guān)系求得Sina,cosa,然后再求得sin/,計算CoS（α+0的值,

由角范圍可得角的大小.選②或選③，解法都同選①求出Sina,cosα后解法.

【詳解】(1)選①，2sin(2022萬-α)=COS(2022τr+o),由誘導公式得一2Sina=CoSa,

,3sinσ÷4cosσ3sina-8sina5

則rll--------:——=-------:-=-;

COSa-Sma—2sιnα-SIna3

/??2

選②，sincr+cos<7=兩邊平方得si??a+Zsinacosa+cos?α=-，所以SinaCOSa=-二

555

又α∈(O,∕r),所以α∈"/),即Sina>0,COSaVO,

2

_正.石2√5

sina+coscr=Slna=——SIna=--------

555(舍去),

從而由,解得,或“r

22√5,√5

SinaCoSa=-cosa=--------cosa=——

555

aE,2√5.

?.3×-----F4AX(-------)

3smα+4λcosa_555

COSa-Sina2λ∕5?/?3

3T

選③，sinacosa=-∣,因為?！?0,∕r),所以〃∈(工,1)，即Sina>(),cosa<(),

52

2√5

.2sina=——s?na=--------

SInaCoSa=——55(舍去),

因此由?5可解得<或<r

2√5,√5

sin2or+cos2a=lcosa=--------cosa=——

155

以下同選②;

(2)選①，因為?！?。,乃)，所以。w(gτ),即Sina>0,COSa<0,

由(1)COSa=-2Sina,所以$皿％+852a=5抽％+4$111%=1,所以Sina=1

(負值舍

去)，CoSa=-邁

5

a≡(-,π),sinβ=Jl-(-也回

1010

2百√5√iθ

cos(α+/)=cosacos∕7-sinasinβ=——X(-------X------=-----，

5102

7π

又a+∕3e(π,2π),所以α+/=—.

4

選②或③，均由(1)得Sina=@，CoSa

55

，sinjS=Jl-(-3√10X√io

2)=

10-------10

√W√2

cos(cr+/7)=cosacosβ-sinasinβ=——×(-×-----=-----，

102

7汽

又α+6∈(肛2%),所以α+/=—.

4

20.已知函數(shù)"X)=2三W∈R),且移1i時，總有/(—可=—/(可成立.

⑴求用的值;

(2)判斷并用定義法證明f(x)的單調(diào)性;

⑶若關(guān)于X的不等式〃x)≤A在xe[0,2]上有解，求實數(shù)％的取值范圍.

【正確答案】(1)相=1：

(2)函數(shù)〃x)為R上的減函數(shù)，證明見解析；

3

(3)k≥--.

_rx

【分析】(1)根據(jù)“-χ)=-∕(x),代入得絲trι二J=-絲二二，即可解出m的值;

l+2v

(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，設玉<電，證明出/(xj>∕(w)即可；

(3)根據(jù)/(x)的單調(diào)性，求出/(x)的值域，Z只需大于等于/(x)的最小值.

【詳解】(I)/(-x)=-∕(x),

m-2~xm-2xm?2x-12x-m

------=-------,即ππ--------=------，

l÷2"x1+2"2Λ+1l÷2r

.?tn=?.

(2)函數(shù)/(x)為R上的減函數(shù).

證明如下，

由l+2*≠0可得，"x)=二的定義域為R,

1+2

取X[,%wR,且X<冗2，

Λ

πιl,Z、#(1-2^-2(2'?'-29

vx,

λJ∕(A,)--∕(?)-1+2*,-1+2-—(l+2')(l+2=)

X1<X2,

.?.2*<24，

.?.2*-2與<0,1+2r>0,1+2*2>0,

即fU)-/仇)=°'∕α)>∕(w),

函數(shù)f(X)為R上的減函數(shù).

(3)由(2)知，/(x)在xe[0,2]上是減函數(shù)，

/(2)≤∕(x)≤/(O),g∣J.?.-j≤∕(x)≤O,

要使”x)≤Z在xe[0,2]上有解，

3

則&≥--.

21.函數(shù)〃x)=4sin?x+s)(A>0,<w>0，M<]]的部分圖象如圖所示.

⑴求函數(shù)的解析式，并求“X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若關(guān)于X的方程〃x)+2cos(4x+1)=a有解，求實數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】(l)〃x)=2sin(2x+e),/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-2+配苗+也，kcZ

?！?^∣

⑵七

【分析】(1)由函數(shù)圖象可求A,可求周期，由周期求出。，由特殊點的坐標求出夕，可得

/(x)的解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求解單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵令f=sin(2x+J可得結(jié)合余弦二倍角公式可將方程轉(zhuǎn)化為4+2f+2=.

在fe[T,l]上有解，確定二次函數(shù)g(f)=-4∕+2r+2的單調(diào)性得值域，即可求得實數(shù)。的取

值范圍.

【詳解】⑴解：由題設圖象知，周期W管用=兀，

2Jr2冗

因為T=三，所以0=9=2,

ωT

而由圖知A=2,所以/(x)=2sin(2x+0),

因為函數(shù)/O)的圖象過點(已，2),

所以/(弓)=20出(>9)=2,則三+*=5+2也，ZceZ.所以0=7+2%](左￡2)

又因為O<p<g,所以e=J.

故函數(shù)/(X)的解析式為f(x)=2Sin，

則函數(shù)/(x)=2sin(2x+e)在R上的單調(diào)增區(qū)間滿足：-5+2E≤2X+E4^+2E,keZ

JTTT

國軍得：——+?π≤x≤-+?π,ZeZ,

36

TrTr

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-]+E%+E,kwZ.

(2)解：關(guān)于X的方程/(x)+2CoS(4x+1)=a,即2sin(2x+看)+2CoS(4x+5)=α,

令f=sin(2x+^),由于XeR,所以又

8$(4彳+()=cos2(2x+胃=1-2sin2(2x+\[=?-2t^,

則方程轉(zhuǎn)化為：7產(chǎn)+2「+2=”在￡4-1,1]上有解，

又二次函數(shù)g(f)=T/+2r+2=-4,-在re